Calcul vectoriel et produit scalaire

Un nombre réel associé à deux vecteurs pour calculer des angles et démontrer des perpendicularités par le calcul.

1 L'idée

Le produit scalaire de deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est un nombre réel, noté $\vec{u}\cdot\vec{v}$. Il encode simultanément les longueurs et l'angle formé par les deux vecteurs. Son intérêt majeur : il vaut zéro si et seulement si les vecteurs sont perpendiculaires, ce qui permet de démontrer des angles droits sans construction géométrique.

Le produit scalaire est symétrique ($\vec{u}\cdot\vec{v}=\vec{v}\cdot\vec{u}$) et distributif sur l'addition, ce qui autorise des développements du type $\|\vec{u}+\vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 + 2\,\vec{u}\cdot\vec{v} + \|\vec{v}\|^2$.

2 Formules à connaître

Définition (angle)

$\vec{u}\cdot\vec{v} = \|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos\theta \quad \theta\in[0°,\,180°]$

Coordonnées (repère orthonormé)

$\vec{u}(x,\,y),\;\vec{v}(x',\,y') \;\Longrightarrow\; \vec{u}\cdot\vec{v} = xx' + yy'$

Norme au carré

$\|\vec{u}\|^2 = \vec{u}\cdot\vec{u} = x^2+y^2$

Orthogonalité

$\vec{u}\perp\vec{v} \iff \vec{u}\cdot\vec{v}=0 \quad (\vec{u},\vec{v}\neq\vec{0})$

Formule des distances

$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = \dfrac{AB^2+AC^2-BC^2}{2}$

3 Exemples de calcul

Orthogonalité par les coordonnées

$\vec{u}(3,-2)$ et $\vec{v}(4,6)$ : $\vec{u}\cdot\vec{v} = 3\times4+(-2)\times6 = 12-12 = 0$, donc $\vec{u}\perp\vec{v}$.

Calcul d'angle

$A(0,0)$, $B(2,2)$, $C(2,0)$ : $\overrightarrow{AB}(2,2)$, $\overrightarrow{AC}(2,0)$.

$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = 4+0 = 4$, $\|\overrightarrow{AB}\|=2\sqrt{2}$, $\|\overrightarrow{AC}\|=2$.

$\cos(\widehat{BAC}) = \dfrac{4}{2\sqrt{2}\times2} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$, donc $\widehat{BAC}=45°$.

Méthode — calculer un angle ou démontrer une perpendicularité

Identifier les deux vecteurs concernés et leur origine commune.
Si les coordonnées sont disponibles : appliquer $\vec{u}\cdot\vec{v}=xx'+yy'$.
Si seuls les longueurs et un angle sont donnés : utiliser $\vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos\theta$.
Si le produit scalaire est nul : conclure à la perpendicularité.
Sinon : déduire $\cos\theta = \dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|}$, puis $\theta=\arccos(\ldots)$.

Erreurs fréquentes

$\vec{u}\cdot\vec{v}$ est un scalaire, jamais un vecteur : écrire $\overrightarrow{\vec{u}\cdot\vec{v}}$ est une faute de type.
L'angle $\theta$ est entre $0°$ et $180°$ : $\cos\theta$ peut être négatif (angle obtus).
La formule $\vec{u}\cdot\vec{v}=xx'+yy'$ n'est valable qu'en repère orthonormé.
Ne pas confondre $\|\vec{u}+\vec{v}\|^2$ et $\|\vec{u}\|^2+\|\vec{v}\|^2$ : le double produit $2\,\vec{u}\cdot\vec{v}$ ne disparaît que si $\vec{u}\perp\vec{v}$.