Contrôle bientôt et « produit scalaire » sonne comme du klingon ? Respire. Derrière ce nom un peu solennel se cache surtout une addition déguisée. On installe le strict minimum pour que tu arrives serein(e).
Les prérequis, en trois mots
Trois notions suffisent pour démarrer, et tu les connais déjà.
Un vecteur $\vec{u}$, c'est une flèche : une direction et une longueur. Dans un repère, on le décrit par ses coordonnées $\vec{u}(x\,;\,y)$.
La norme $\|\vec{u}\|$, c'est tout simplement la longueur de cette flèche.
Un repère orthonormé, c'est un repère aux axes perpendiculaires et gradués à la même échelle. Les formules faciles de cette fiche ne marchent QUE là-dedans, garde-le dans un coin de la tête.
L'essentiel et la formule qui sauve
Le produit scalaire de deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$, noté $\vec{u}\cdot\vec{v}$, n'est pas un vecteur : c'est un nombre (un réel). Rien de plus effrayant.
Quand tu connais les coordonnées $\vec{u}(x\,;\,y)$ et $\vec{v}(x'\,;\,y')$, le calcul tient en une ligne :
$\vec{u}\cdot\vec{v} = xx' + yy'$
Tu multiplies les deux $x$ entre eux, les deux $y$ entre eux, et tu additionnes. C'est tout.
Et voici la propriété vedette, celle qu'on te demandera presque à coup sûr : ce nombre vaut $0$ exactement quand les deux vecteurs sont perpendiculaires.
$\vec{u}\cdot\vec{v} = 0 \iff \vec{u}\perp\vec{v} \quad (\vec{u},\,\vec{v}\neq\vec{0})$
Un exemple fait en entier
Question classique : les vecteurs $\vec{u}(3\,;\,-2)$ et $\vec{v}(4\,;\,6)$ sont-ils perpendiculaires ?
On applique la formule $\vec{u}\cdot\vec{v} = xx' + yy'$ avec $x=3$, $y=-2$, $x'=4$ et $y'=6$.
$\vec{u}\cdot\vec{v} = 3\times 4 + (-2)\times 6$
$\vec{u}\cdot\vec{v} = 12 + (-12) = 0$
Le produit scalaire vaut $0$, donc $\vec{u}\perp\vec{v}$ : oui, ils sont bien perpendiculaires.
Le réflexe à emporter au contrôle : des coordonnées, puis $xx'+yy'$, et si ça tombe sur $0$, c'est perpendiculaire. Avec ça, tu tiens déjà une bonne part des points.
Ça y est, des bribes remontent. On reprend proprement, dans l'ordre, pour que le « truc qui me dit quelque chose » devienne un solide « ah oui, je sais faire ».
Deux définitions, un seul nombre
Le produit scalaire a deux visages qui donnent toujours le même nombre. Tu choisis celui qui colle aux données de l'énoncé.
Version angle. Si $\theta$ est l'angle géométrique entre $\vec{u}$ et $\vec{v}$ :
$\vec{u}\cdot\vec{v} = \|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos\theta \qquad \theta\in[\,0°\,;\,180°\,]$
On multiplie les deux longueurs, puis par le cosinus de l'angle entre les flèches.
Version coordonnées (en repère orthonormé). Avec $\vec{u}(x\,;\,y)$ et $\vec{v}(x'\,;\,y')$ :
$\vec{u}\cdot\vec{v} = xx' + yy'$
Cas particulier bien utile, un vecteur multiplié par lui-même donne le carré de sa longueur :
$\|\vec{u}\|^2 = \vec{u}\cdot\vec{u} = x^2 + y^2$
Enfin, le produit scalaire est symétrique : $\vec{u}\cdot\vec{v} = \vec{v}\cdot\vec{u}$. L'ordre n'a aucune importance.
Les propriétés et l'identité à retenir
Le produit scalaire se manipule presque comme une multiplication ordinaire : il est distributif sur l'addition, donc on peut développer les expressions.
La conséquence la plus rentable est l'identité du carré d'une somme :
$\|\vec{u}+\vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 + 2\,\vec{u}\cdot\vec{v} + \|\vec{v}\|^2$
Tu retrouves la structure de $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ : le double produit vaut ici $2\,\vec{u}\cdot\vec{v}$.
Autre outil, quand on connaît les trois longueurs d'un triangle $ABC$, la formule des distances (aussi appelée forme polarisée) :
$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = \dfrac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2}$
Elle transforme un produit scalaire en un simple calcul de longueurs, précieux quand aucun angle n'est donné.
Et toujours le critère clé : $\vec{u}\perp\vec{v} \iff \vec{u}\cdot\vec{v} = 0$ pour des vecteurs non nuls.
La méthode pas-à-pas, selon ce qu'on te donne
Devant un exercice, une seule question à te poser : qu'est-ce qu'on me donne ?
Cas 1, on te donne des coordonnées. Applique $\vec{u}\cdot\vec{v} = xx' + yy'$. Si le résultat est $0$, conclus à la perpendicularité ; sinon, remonte à l'angle par $\cos\theta = \dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|}$.
Cas 2, on te donne des longueurs et un angle. Applique directement $\vec{u}\cdot\vec{v} = \|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos\theta$.
Un exemple complet du cas 1 :
Points : $A(0\,;\,0)$, $B(2\,;\,2)$, $C(2\,;\,0)$. On cherche l'angle en $A$, donc on travaille avec $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.
Coordonnées des vecteurs : $\overrightarrow{AB}(2\,;\,2)$ et $\overrightarrow{AC}(2\,;\,0)$.
Produit scalaire : $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = 2\times 2 + 2\times 0 = 4$.
Longueurs : $\|\overrightarrow{AB}\| = \sqrt{2^2+2^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ et $\|\overrightarrow{AC}\| = \sqrt{2^2+0^2} = 2$.
On isole le cosinus : $\cos(\widehat{BAC}) = \dfrac{4}{2\sqrt{2}\times 2} = \dfrac{4}{4\sqrt{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
Or $\cos 45° = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$, donc $\widehat{BAC} = 45°$.
Assez de théorie, on retrousse les manches. On fait les calculs ensemble, ligne par ligne, tu regardes par-dessus mon épaule, et surtout tu vois pourquoi chaque étape arrive.
Échauffement 1 — perpendiculaires ou pas ?
On reprend le geste de base, mais on le commente à fond. Vecteurs : $\vec{u}(5\,;\,3)$ et $\vec{v}(-6\,;\,10)$.
D'abord, qu'est-ce qu'on cherche ? Savoir s'ils sont perpendiculaires. Le seul outil pour ça : le produit scalaire, et on regarde s'il vaut $0$.
On pose la formule des coordonnées : $\vec{u}\cdot\vec{v} = xx' + yy'$, ici avec $x=5$, $y=3$, $x'=-6$ et $y'=10$.
On remplace : $\vec{u}\cdot\vec{v} = 5\times(-6) + 3\times 10$.
On calcule chaque morceau : $5\times(-6) = -30$ et $3\times 10 = 30$.
On additionne : $\vec{u}\cdot\vec{v} = -30 + 30 = 0$.
Verdict : le produit scalaire est nul, donc $\vec{u}\perp\vec{v}$. Les deux vecteurs sont perpendiculaires.
Échauffement 2 — la longueur d'une somme
Nouveau type de question, qui utilise l'identité du carré d'une somme. On te donne $\|\vec{u}\| = 3$, $\|\vec{v}\| = 5$ et $\vec{u}\cdot\vec{v} = 6$. Combien vaut $\|\vec{u}+\vec{v}\|$ ?
On part de l'identité vue au palier précédent : $\|\vec{u}+\vec{v}\|^2 = \|\vec{u}\|^2 + 2\,\vec{u}\cdot\vec{v} + \|\vec{v}\|^2$.
On remplace chaque terme par sa valeur : $\|\vec{u}\|^2 = 3^2 = 9$, puis $2\,\vec{u}\cdot\vec{v} = 2\times 6 = 12$, et enfin $\|\vec{v}\|^2 = 5^2 = 25$.
On additionne : $\|\vec{u}+\vec{v}\|^2 = 9 + 12 + 25 = 46$.
Attention, on a le carré ; il reste à prendre la racine : $\|\vec{u}+\vec{v}\| = \sqrt{46}$.
Comme $\sqrt{46}$ ne tombe pas juste, on garde la valeur exacte (environ $6{,}8$). Un correcteur préfère toujours $\sqrt{46}$ à un arrondi.
Échauffement 3 — un produit scalaire sans coordonnées
Cette fois, aucune coordonnée, seulement des longueurs. Dans un triangle $ABC$, on sait que $AB = 4$, $AC = 5$ et $BC = 6$. Calcule $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$.
Pas de coordonnées ni d'angle : c'est le signal pour dégainer la formule des distances.
On l'écrit : $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = \dfrac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2}$.
On remplace : $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = \dfrac{4^2 + 5^2 - 6^2}{2}$.
On calcule les carrés : $4^2 = 16$, $5^2 = 25$ et $6^2 = 36$.
On termine : $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = \dfrac{16 + 25 - 36}{2} = \dfrac{5}{2} = 2{,}5$.
Le produit scalaire est positif, ce qui indique au passage que l'angle en $A$ est aigu.
Niveau contrôle : on ne se contente plus de trouver le bon nombre, on rédige comme le correcteur aime, et on désamorce les pièges avant qu'ils ne te coûtent des points.
Problème type 1 — démontrer un angle droit
Énoncé : dans un repère orthonormé, on donne $A(1\,;\,1)$, $B(4\,;\,2)$ et $C(0\,;\,4)$. Montrer que le triangle $ABC$ est rectangle en $A$.
Le triangle est rectangle en $A$ précisément si $\overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{AC}$, c'est-à-dire si $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = 0$. C'est ce qu'on va tester.
Coordonnées d'un vecteur : arrivée moins départ. $\overrightarrow{AB}(4-1\,;\,2-1) = \overrightarrow{AB}(3\,;\,1)$.
De même : $\overrightarrow{AC}(0-1\,;\,4-1) = \overrightarrow{AC}(-1\,;\,3)$.
Produit scalaire : $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = 3\times(-1) + 1\times 3 = -3 + 3 = 0$.
Le produit scalaire est nul, donc $\overrightarrow{AB}\perp\overrightarrow{AC}$ : le triangle $ABC$ est bien rectangle en $A$ (CQFD).
Ce que le correcteur attend : que tu annonces le critère ($\vec{u}\cdot\vec{v}=0 \Leftrightarrow \vec{u}\perp\vec{v}$) avant de te lancer, puis que tu calcules les coordonnées des vecteurs proprement (arrivée moins départ) avant le produit scalaire.
Problème type 2 — un angle obtus
Énoncé : calculer, en degrés, l'angle $\theta$ entre $\vec{u}(2\,;\,1)$ et $\vec{v}(-3\,;\,1)$.
Produit scalaire : $\vec{u}\cdot\vec{v} = 2\times(-3) + 1\times 1 = -6 + 1 = -5$.
Il est négatif : ce n'est pas une faute, c'est le signe annonciateur d'un angle obtus.
Longueurs : $\|\vec{u}\| = \sqrt{2^2+1^2} = \sqrt{5}$ et $\|\vec{v}\| = \sqrt{(-3)^2+1^2} = \sqrt{10}$.
Cosinus : $\cos\theta = \dfrac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|} = \dfrac{-5}{\sqrt{5}\times\sqrt{10}} = \dfrac{-5}{\sqrt{50}} = \dfrac{-5}{5\sqrt{2}} = -\dfrac{1}{\sqrt{2}} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$.
Enfin : $\theta = \arccos\left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) = 135°$.
Vérification de bon sens : $\theta$ vit dans $[\,0°\,;\,180°\,]$, et un cosinus négatif y correspond à un angle compris entre $90°$ et $180°$. Un résultat de $135°$ est donc parfaitement cohérent : surtout, ne « corrige » pas le signe moins.
Les pièges qui coûtent des points
Les fautes classiques, à connaître pour ne pas tomber dedans le jour J.
Le produit scalaire est un nombre, pas un vecteur. Écrire $\overrightarrow{\vec{u}\cdot\vec{v}}$ n'a aucun sens : jamais de flèche sur un résultat de produit scalaire.
Un cosinus peut être négatif. Puisque $\theta$ monte jusqu'à $180°$, un angle obtus donne un produit scalaire négatif. Ne rends jamais positif de force un signe qui te dérange.
La formule $xx'+yy'$ exige un repère orthonormé. En dehors de ce cadre, elle est fausse : vérifie l'énoncé avant de l'appliquer.
En général, $\|\vec{u}+\vec{v}\|^2 \neq \|\vec{u}\|^2 + \|\vec{v}\|^2$. Le double produit $2\,\vec{u}\cdot\vec{v}$ ne disparaît que si $\vec{u}\perp\vec{v}$. L'oublier est l'erreur la plus fréquente des développements.
Tu as le niveau du contrôle ? Alors offrons-nous un peu d'avance. Voici d'où viennent vraiment les formules, et où le produit scalaire va t'emmener l'an prochain.
D'où sort la formule des distances
La formule des distances n'a rien de magique : on peut la reconstruire. C'est le bon réflexe pour une démonstration, et ça t'évite de l'apprendre bêtement par cœur.
Point de départ, la relation de Chasles dans un triangle $ABC$ : $\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}$.
On élève la longueur au carré et on développe comme un carré de différence :
$BC^2 = \|\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}\|^2 = \|\overrightarrow{AC}\|^2 - 2\,\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} + \|\overrightarrow{AB}\|^2$
Autrement dit : $BC^2 = AC^2 + AB^2 - 2\,\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}$.
On isole le produit scalaire, et on retombe exactement sur la formule de la fiche :
$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = \dfrac{AB^2 + AC^2 - BC^2}{2}$
Le grand frère de Pythagore : Al-Kashi
Maintenant, combine les deux visages du produit scalaire. La version angle donne $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC} = AB\times AC\times\cos\widehat{A}$.
Injecte-la dans la formule des distances qu'on vient de démontrer :
$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2\,AB\times AC\times\cos\widehat{A}$
C'est le théorème d'Al-Kashi, la loi des cosinus : une généralisation de Pythagore à un triangle quelconque.
Regarde le cas $\widehat{A} = 90°$ : alors $\cos 90° = 0$, le dernier terme s'évapore, et il reste $BC^2 = AB^2 + AC^2$. Le théorème de Pythagore n'est donc que le cas « angle droit » d'Al-Kashi, et c'est le produit scalaire qui fait le pont entre les deux.
Ce qui t'attend l'an prochain
Le produit scalaire est un couteau suisse que tu vas recroiser partout.
En géométrie. Le critère $\vec{u}\cdot\vec{v} = 0$ sert à écrire des équations de droites et de cercles : une droite, par exemple, peut se définir comme l'ensemble des points $M$ tels qu'un vecteur soit orthogonal à un vecteur normal donné.
En dimension 3. L'an prochain, les vecteurs auront trois coordonnées et la formule s'étend sans surprise : $\vec{u}\cdot\vec{v} = xx' + yy' + zz'$. Même outil, une coordonnée de plus.
Le projeté orthogonal. Tu approfondiras l'idée de l'« ombre » d'un vecteur sur un autre, qui offre une troisième manière de calculer le produit scalaire.
En physique. Le travail d'une force s'écrit $W = \vec{F}\cdot\vec{d}$ : un produit scalaire. C'est exactement pour ça qu'une force perpendiculaire au déplacement ne « travaille » pas.