Contrôle bientôt et tu n'as jamais vu ce chapitre ? Pas de panique, on va à l'essentiel. Une droite dans un repère, ce n'est qu'une règle du type $y = mx + p$ : je te donne le vocabulaire minimal, la formule qui sauve la mise, et un exemple déroulé du début à la fin.
Les prérequis express + l'idée en une phrase
Ce qu'il faut déjà savoir : dans le plan, on repère chaque point par deux coordonnées, $A(x_A ; y_A)$ — la première pour l'horizontale (abscisse), la seconde pour la verticale (ordonnée). Le repère, c'est $(O, \vec{i}, \vec{j})$ : un point $O$ et deux directions.
L'idée en une phrase : une droite, c'est l'ensemble des points qui suivent la même règle. Si elle n'est pas verticale, cette règle s'écrit toujours $y = mx + p$.
- $m$ est le coefficient directeur (la pente) : il dit à quel point la droite monte ou descend.
- $p$ est l'ordonnée à l'origine : c'est la valeur de $y$ quand $x = 0$, donc l'endroit où la droite croise l'axe des ordonnées.
Seule exception : une droite verticale ne rentre pas dans ce moule, son équation est $x = a$.
La formule clé + un exemple fait en entier
La formule à retenir absolument, pour calculer la pente à partir de deux points $A$ et $B$ de la droite :
Et voilà, tu sais déjà faire l'exercice le plus classique du chapitre. S'il te reste du temps, passe au palier suivant pour le cours complet.
Ça y est, le déclic : le $y = mx + p$, c'est la cousine de la fonction affine vue en seconde. On reprend tout au propre — les définitions exactes, tous les cas (même la droite verticale qui adore piéger), et comment deux droites se rencontrent... ou pas.
Toutes les façons d'écrire une droite
Dans un repère $(O, \vec{i}, \vec{j})$, une droite peut s'écrire de plusieurs manières selon sa position.
Équation réduite (droite non verticale) : $y = mx + p$, où $m$ est le coefficient directeur et $p$ l'ordonnée à l'origine. Deux points suffisent à la déterminer.
Droite verticale : tous les points ont la même abscisse, l'équation est $x = a$. Ici le coefficient directeur n'existe pas (on ne peut pas diviser par $x_B - x_A = 0$).
Équation cartésienne (la forme la plus générale, valable pour TOUTES les droites) : $ax + by + c = 0$ avec $(a ; b) \neq (0 ; 0)$. Si $b \neq 0$, on peut la ramener à la forme réduite ; si $b = 0$, on retrouve une droite verticale.
Trouver l'équation d'une droite qui passe par deux points
- Vérifier d'abord si la droite est verticale : si $x_A = x_B$, l'équation est directement $x = x_A$, on s'arrête là.
- Sinon, calculer le coefficient directeur $m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$.
- Écrire la forme $y = mx + p$, puis remplacer $x$ et $y$ par les coordonnées de l'un des deux points pour trouver $p$.
- Conclure avec l'équation complète.
Deux droites dans le plan : sécantes, parallèles ou confondues
Deux droites du plan ne peuvent se trouver que dans l'une de ces trois situations :
- Sécantes : elles se coupent en un seul point. C'est le cas dès que leurs coefficients directeurs sont différents.
- Parallèles non confondues : aucun point commun. Elles ont le même coefficient directeur mais des ordonnées à l'origine différentes.
- Confondues : c'est la même droite, une infinité de points communs (même équation réduite).
Chercher le point d'intersection de deux droites revient donc à résoudre un système de deux équations : $\begin{cases} a_1 x + b_1 y = c_1 \\ a_2 x + b_2 y = c_2 \end{cases}$. Un système impossible (aucune solution) correspond à deux droites parallèles non confondues ; un système indéterminé (une infinité de solutions) à deux droites confondues.
On enfile le survêt et on refait les gestes ensemble, tranquillement. Je rédige chaque exemple en entier et je commente ligne par ligne — l'objectif, c'est que tu voies comment on raisonne, pas seulement le résultat final.
Ensemble — l'équation d'une droite par deux points
Ensemble — résoudre un système par substitution
Ensemble — la méthode par combinaison
Substitution quand une inconnue est déjà (ou presque) isolée ; combinaison quand les coefficients d'une même inconnue sont opposés ou faciles à rendre opposés. Les deux méthodes donnent le même résultat, choisis la plus rapide.
Niveau contrôle. C'est ici qu'on grappille les points : les cas piégeux, ce que le correcteur veut lire noir sur blanc, et les deux ou trois étourderies qui font perdre des points bêtement. On sécurise.
Problème type — position relative puis point d'intersection
Si à la place on avait eu $(d_1) : y = 2x - 3$ et $(d_3) : y = 2x + 5$, même coefficient directeur $2$ mais ordonnées à l'origine différentes ($-3 \neq 5$) : les droites seraient parallèles non confondues, sans point commun, et le système serait impossible.
Le piège du contrôle — système impossible ou indéterminé
Certains systèmes n'ont pas une solution unique. Il faut savoir le reconnaître et l'interpréter géométriquement.
Ce que le correcteur attend + pièges classiques
- La conclusion géométrique écrite en toutes lettres (sécantes / parallèles non confondues / confondues), pas seulement des nombres.
- Le calcul du coefficient directeur détaillé, avec la fraction écrite avant simplification.
- Les coordonnées du point d'intersection vérifiées dans les deux équations.
- Pour un cas $2 = 5$ ou $2 = 2$, l'interprétation (système impossible / infinité de solutions), et pas seulement le constat que c'est étrange.
- Confondre $m$ et $p$ : dans $y = mx + p$, $m$ est le coefficient de $x$, $p$ la constante.
- Oublier le cas vertical : si $x_A = x_B$, pas de coefficient directeur, l'équation est $x = a$.
- Conclure « pas de solution » sans vérifier que les droites ne sont pas confondues (même équation réduite).
- Se tromper de signe dans $x_B - x_A$ quand une coordonnée est négative (le classique $2 - (-1) = 3$).
- Ne pas vérifier la solution dans les deux équations de départ.
Contrôle en poche ? On regarde par-dessus la clôture. D'où vient vraiment ce $y = mx + p$, quel petit vecteur se cache derrière chaque droite, et ce que deviennent les systèmes quand on monte d'un cran l'an prochain.
D'où vient la formule de la pente ?
La pente n'est pas une formule tombée du ciel. Sur une droite, quand on va de $A$ vers $B$, l'abscisse augmente de $x_B - x_A$ (le déplacement horizontal) et l'ordonnée de $y_B - y_A$ (la montée). Le coefficient directeur est simplement le rapport montée sur déplacement :
$$m = \dfrac{\text{variation de } y}{\text{variation de } x} = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}$$
Ce qui est propre à une droite, c'est que ce rapport ne dépend pas des deux points choisis : que tu prennes deux points proches ou éloignés, tu trouves toujours le même $m$ (c'est une conséquence du théorème de Thalès). C'est même une façon de caractériser une droite. Quant à $p$, il suffit de faire $x = 0$ dans $y = mx + p$ : on obtient $y = p$, donc $p$ est bien l'ordonnée du point où la droite croise l'axe des ordonnées.
Le vecteur caché : le vecteur directeur d'une droite
En géométrie repérée, chaque droite possède un vecteur directeur : un vecteur qui donne sa direction. Pour une droite d'équation réduite $y = mx + p$, un vecteur directeur est $\vec{u}(1 ; m)$ : on avance de $1$ le long de l'axe des abscisses, on monte de $m$ — exactement la pente.
Pour une droite cartésienne $ax + by + c = 0$, un vecteur directeur est $\vec{u}(-b ; a)$. Cela relie tout ce chapitre à la colinéarité des vecteurs : deux droites sont parallèles exactement quand leurs vecteurs directeurs sont colinéaires, c'est-à-dire quand $a_1 b_2 - a_2 b_1 = 0$ — la même condition que « même coefficient directeur ».
L'an prochain : déterminant, perpendicularité et tangentes
Quelques portes que ce chapitre vient d'ouvrir :
- Le déterminant. La quantité $a_1 b_2 - a_2 b_1$ décide d'un coup du sort d'un système : non nulle, les droites sont sécantes (solution unique) ; nulle, elles sont parallèles ou confondues. Plus tard, on généralise aux systèmes à trois inconnues et aux matrices.
- La perpendicularité. Avec le produit scalaire (aussi au programme de 1re), on montre que deux droites non verticales sont perpendiculaires exactement quand $m \times m' = -1$.
- Le lien avec l'analyse. La tangente à une courbe en un point est une droite $y = mx + p$ dont le coefficient directeur $m$ est le nombre dérivé : la dérivation et la géométrie repérée parlent la même langue.
Autrement dit, ce petit $y = mx + p$ est une brique qu'on retrouvera un peu partout ensuite.