Géométrie repérée : droites et systèmes

Traduire la géométrie en algèbre : équations de droites, positions relatives et résolution de systèmes linéaires.

1 L'idée

Dans le plan muni d'un repère $(O,\vec{i},\vec{j})$, toute droite non verticale possède une équation réduite $y = mx + p$, où $m$ est le coefficient directeur (pente) et $p$ l'ordonnée à l'origine. Une droite verticale a pour équation $x = a$. Plus généralement, toute droite admet une équation cartésienne $ax + by + c = 0$ avec $(a, b) \neq (0, 0)$.

Deux droites du plan sont soit sécantes (un point commun), soit parallèles non confondues (aucun point commun), soit confondues (infinité de points communs). Trouver le point d'intersection revient à résoudre un système de deux équations linéaires.

2 Formules essentielles

Équation réduite

$y = mx + p$

Coefficient directeur

$m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} \quad (x_A \neq x_B)$

Équation cartésienne

$ax + by + c = 0 \quad (a,b) \neq (0,0)$

Droite verticale

$x = a$

3 Trouver l'équation d'une droite passant par deux points

Droite passant par $A(1,\ 3)$ et $B(4,\ 9)$

Coefficient directeur : $m = \dfrac{9-3}{4-1} = \dfrac{6}{3} = 2$

Forme provisoire $y = 2x + p$ ; on injecte $A(1,3)$ : $3 = 2 \times 1 + p \Rightarrow p = 1$

Équation de la droite : $y = 2x + 1$

Droite passant par $C(2,\ 5)$ et $D(2,\ -1)$

$x_C = x_D = 2$ : la droite est verticale, le coefficient directeur n'existe pas.

Équation : $x = 2$

4 Résoudre un système de deux équations linéaires

Trouver l'intersection de deux droites revient à résoudre $\begin{cases} a_1 x + b_1 y = c_1 \\ a_2 x + b_2 y = c_2 \end{cases}$. Deux méthodes principales :

Substitution : isoler une inconnue dans une équation, remplacer dans l'autre.
Combinaison : multiplier les équations par des scalaires pour éliminer une inconnue par addition.

Système impossible (aucune solution) $\Leftrightarrow$ droites parallèles non confondues. Système indéterminé (infinité de solutions) $\Leftrightarrow$ droites confondues.

Méthode — Résoudre un système par substitution

Isoler une inconnue dans l'équation la plus simple (ex. $y = \ldots$).
Substituer cette expression dans l'autre équation : on obtient une équation à une seule inconnue.
Résoudre, puis revenir à la première équation pour déterminer la seconde inconnue.
Vérifier les valeurs dans les deux équations d'origine.

Erreurs fréquentes

Confondre $m$ et $p$ : dans $y = mx + p$, $m$ est le coefficient de $x$, pas la constante.
Oublier le cas vertical : si $x_A = x_B$, il n'existe pas de coefficient directeur ; l'équation est $x = a$.
Conclure « pas de solution » sans vérifier si les droites ne seraient pas confondues (même équation réduite).
Ne pas vérifier la solution dans les deux équations après résolution.