Trigonométrie : cercle trigonométrique, cosinus et sinus

Le cercle trigonométrique

En trigonométrie, on travaille avec un cercle très spécial : le cercle trigonométrique. C’est un cercle centré à l’origine O du repère, de rayon 1. On l’appelle aussi le cercle unité.

Un point de départ A a pour coordonnées (1 ; 0). Pour tout nombre réel x (qu’on appelle une mesure d’angle en radians), on part de A et on parcourt une distance x le long du cercle :

• si x > 0, on tourne dans le sens direct (inverse des aiguilles d’une montre) ;
• si x < 0, on tourne dans le sens indirect.

On arrive alors en un point M du cercle. Par définition, cos x est l’abscisse de M, et sin x est son ordonnée.

Cosinus et sinus pour les angles clés

Pour certains angles très simples, les coordonnées se lisent directement :

• x = 0 : A(1 ; 0) ⇒ cos 0 = 1, sin 0 = 0
• x = π/2 : B(0 ; 1) ⇒ cos π/2 = 0, sin π/2 = 1
• x = π : C(-1 ; 0) ⇒ cos π = -1, sin π = 0
• x = 3π/2 : D(0 ; -1) ⇒ cos 3π/2 = 0, sin 3π/2 = -1
• x = 2π : retour en A ⇒ cos 2π = 1, sin 2π = 0

Signe selon le quadrant

Le cercle est partagé en quatre quadrants. Le signe de cos x et sin x dépend du quadrant dans lequel se trouve le point M.

• Quadrant I (0 < x < π/2) : cos > 0, sin > 0
• Quadrant II (π/2 < x < π) : cos < 0, sin > 0
• Quadrant III (π < x < 3π/2) : cos < 0, sin < 0
• Quadrant IV (3π/2 < x < 2π) : cos > 0, sin < 0

Retiens ce schéma, il te servira tout le temps !

Propriétés fondamentales

1. Relation fondamentale : pour tout x, $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$

2. Parité : $\cos(-x) = \cos x$ (paire), $\sin(-x) = -\sin x$ (impaire)

3. Périodicité : $\cos(x + 2\pi) = \cos x$, $\sin(x + 2\pi) = \sin x$

4. Symétries :
- Angle supplémentaire ($\pi - x$) : $\cos(\pi - x) = -\cos x$, $\sin(\pi - x) = \sin x$
- Angle antipode ($\pi + x$) : $\cos(\pi + x) = -\cos x$, $\sin(\pi + x) = -\sin x$

Ces formules sont à connaître par cœur !

Méthode : calculer cos x et sin x pour un angle quelconque

Pour un angle x donné en radians, suis ces étapes :

1. Ramener x dans $[0, 2\pi[$ : si x < 0 ou x ≥ 2π, ajoute ou retranche 2π jusqu’à obtenir un angle principal.
2. Identifier le quadrant et en déduire le signe de cos et sin (positif/négatif).
3. Exprimer l’angle sous la forme $\pi \pm \alpha$ ou $2\pi - \alpha$ avec $\alpha$ un angle remarquable de $[0, \pi/2]$.
4. Appliquer la formule de symétrie correspondante.
5. Utiliser les valeurs remarquables de $\alpha$ pour obtenir le résultat exact.

Exemple : $x = \frac{7\pi}{6}$.
Déjà dans $[0,2\pi[$, quadrant III (cos, sin < 0).
$\frac{7\pi}{6} = \pi + \frac{\pi}{6}$ ⇒ $\cos\frac{7\pi}{6} = -\cos\frac{\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin\frac{7\pi}{6} = -\sin\frac{\pi}{6} = -\frac{1}{2}$.

Valeurs remarquables

$\alpha = 0$ ⇒ $\cos 0 = 1$, $\sin 0 = 0$
$\alpha = \frac{\pi}{6}$ ⇒ $\cos\frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin\frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$
$\alpha = \frac{\pi}{4}$ ⇒ $\cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\alpha = \frac{\pi}{3}$ ⇒ $\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$, $\sin\frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\alpha = \frac{\pi}{2}$ ⇒ $\cos\frac{\pi}{2} = 0$, $\sin\frac{\pi}{2} = 1$