Trigonométrie — Exercices

Valeurs remarquables, relation fondamentale, symétries et équations. Corrigé inclus.

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1Valeurs remarquables/ 4 pts

Donne les valeurs exactes de $\cos x$ et $\sin x$ pour chacun des angles suivants.

$x = \dfrac{\pi}{4}$
$x = \dfrac{2\pi}{3}$
$x = \dfrac{5\pi}{6}$
$x = -\dfrac{\pi}{3}$

2Relation fondamentale/ 4 pts

On sait que $\sin x = \dfrac{5}{13}$ et $x \in \left[0,\, \dfrac{\pi}{2}\right]$.

Calcule $\cos x$ à l'aide de la relation fondamentale.
En déduire les valeurs exactes de $\sin(\pi + x)$ et $\cos(-x)$.

3Symétries/ 3 pts

Exprime chaque angle sous la forme $\pi \pm \alpha$ avec $\alpha$ un angle remarquable, puis donne la valeur exacte.

$\cos\dfrac{7\pi}{6}$
$\sin\dfrac{4\pi}{3}$
$\cos\dfrac{5\pi}{4}$

4Équations trigonométriques/ 4 pts

Résous chacune des équations suivantes sur $[0,\, 2\pi]$.

$\cos x = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$
$\sin x = -\dfrac{1}{2}$

5Calcul malin/ 3 pts

Calcule la valeur exacte de $E = \cos^2\!\dfrac{\pi}{6} + \cos^2\!\dfrac{\pi}{4} + \cos^2\!\dfrac{\pi}{3}$.

Corrigé détaillé

1Valeurs remarquables

a) $x = \dfrac{\pi}{4}\text{ : valeur directe}$ $\cos\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2},\quad \sin\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$

b) $\dfrac{2\pi}{3} = \pi - \dfrac{\pi}{3} \Rightarrow \cos\dfrac{2\pi}{3} = -\cos\dfrac{\pi}{3} = -\dfrac{1}{2}\;\text{ et }\;\sin\dfrac{2\pi}{3} = \sin\dfrac{\pi}{3}$ $\cos\dfrac{2\pi}{3} = -\dfrac{1}{2},\quad \sin\dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$

c) $\dfrac{5\pi}{6} = \pi - \dfrac{\pi}{6} \Rightarrow \cos\dfrac{5\pi}{6} = -\cos\dfrac{\pi}{6} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}\;\text{ et }\;\sin\dfrac{5\pi}{6} = \sin\dfrac{\pi}{6}$ $\cos\dfrac{5\pi}{6} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2},\quad \sin\dfrac{5\pi}{6} = \dfrac{1}{2}$

d) $\cos\!\left(-\dfrac{\pi}{3}\right) = \cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}\;\text{ et }\;\sin\!\left(-\dfrac{\pi}{3}\right) = -\sin\dfrac{\pi}{3}$ $\cos\!\left(-\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{1}{2},\quad \sin\!\left(-\dfrac{\pi}{3}\right) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

2Relation fondamentale

a) $\cos^2 x = 1 - \sin^2 x = 1 - \dfrac{25}{169} = \dfrac{144}{169} \Rightarrow \cos x = \pm\dfrac{12}{13}\;\text{; comme }x \in \left[0,\,\dfrac{\pi}{2}\right],\;\cos x \ge 0$ $\cos x = \dfrac{12}{13}$

b) $\sin(\pi + x) = -\sin x = -\dfrac{5}{13}$ $\sin(\pi + x) = -\dfrac{5}{13}$

c) $\cos(-x) = \cos x = \dfrac{12}{13}$ $\cos(-x) = \dfrac{12}{13}$

3Symétries

a) $\dfrac{7\pi}{6} = \pi + \dfrac{\pi}{6} \Rightarrow \cos\dfrac{7\pi}{6} = -\cos\dfrac{\pi}{6}$ $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

b) $\dfrac{4\pi}{3} = \pi + \dfrac{\pi}{3} \Rightarrow \sin\dfrac{4\pi}{3} = -\sin\dfrac{\pi}{3}$ $-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

c) $\dfrac{5\pi}{4} = \pi + \dfrac{\pi}{4} \Rightarrow \cos\dfrac{5\pi}{4} = -\cos\dfrac{\pi}{4}$ $-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

4Équations trigonométriques

a) $\cos x = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \Leftrightarrow x = \dfrac{\pi}{6}\text{ (Q1) ou }x = 2\pi - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{11\pi}{6}\text{ (Q4)}$ $x \in \left\{\dfrac{\pi}{6},\;\dfrac{11\pi}{6}\right\}$

b) $\sin x = -\dfrac{1}{2}\text{ : négatif en Q3 et Q4} \Rightarrow x = \pi + \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{7\pi}{6}\text{ ou }x = 2\pi - \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{11\pi}{6}$ $x \in \left\{\dfrac{7\pi}{6},\;\dfrac{11\pi}{6}\right\}$

5Calcul malin

$E = \left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^2 + \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 = \dfrac{3}{4} + \dfrac{2}{4} + \dfrac{1}{4} = \dfrac{6}{4}$ $E = \dfrac{3}{2}$