Cercle trigonométrique — cosinus et sinus

Les prérequis en 30 secondes

Trois choses à avoir en tête, tu les connais déjà :

1. Le radian. C'est simplement une autre unité pour mesurer un angle. Un tour complet vaut $2\pi$ radians (au lieu de $360$°), un demi-tour vaut $\pi$, un quart de tour vaut $\dfrac{\pi}{2}$. Ici on travaille toujours en radians.

2. Un repère. Dans un repère, un point a une abscisse (sa position horizontale) et une ordonnée (sa position verticale). Retiens ces deux mots : tout le chapitre est là-dessus.

3. Le cercle de rayon 1. On trace le cercle de centre $O$ et de rayon $1$ : c'est le cercle trigonométrique. On part du point $A = (1,\ 0)$, tout à droite.

L'essentiel et les formules clés

Tout tient en deux phrases. On se donne un réel $x$, on avance sur le cercle depuis $A$ d'un arc de longueur $x$ (dans le sens qui monte, vers la gauche), et on arrive sur un point $M$. Alors :

• $\cos x$ = l'abscisse de $M$ (sa position horizontale) ;
• $\sin x$ = l'ordonnée de $M$ (sa position verticale).

Comme $M$ est sur un cercle de rayon $1$, ses coordonnées ne dépassent jamais $1$ et ne descendent jamais sous $-1$ :

$-1 \le \cos x \le 1 \qquad -1 \le \sin x \le 1$

La formule à ne surtout pas oublier, vraie pour tout $x$ :

$\cos^2 x + \sin^2 x = 1$

Et les quelques valeurs à connaître par cœur :

• $\cos 0 = 1$ et $\sin 0 = 0$
• $\cos\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ et $\sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}$
• $\cos\dfrac{\pi}{4} = \sin\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
• $\cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}$ et $\sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$
• $\cos\dfrac{\pi}{2} = 0$ et $\sin\dfrac{\pi}{2} = 1$
• $\cos\pi = -1$ et $\sin\pi = 0$

Un exemple fait en entier

Question ultra classique : combien vaut $\cos\dfrac{5\pi}{6}$ ? L'angle $\dfrac{5\pi}{6}$ n'est pas dans la liste des valeurs remarquables... mais il est tout proche de $\pi$.

Étape 1 — je décompose l'angle. Je remarque que $\dfrac{5\pi}{6} = \pi - \dfrac{\pi}{6}$. Autrement dit, c'est $\pi$ moins un angle que je connais, $\dfrac{\pi}{6}$.

Étape 2 — j'applique la formule toute faite. Il existe une règle pour ce cas : $\cos(\pi - \alpha) = -\cos\alpha$. Ici $\alpha = \dfrac{\pi}{6}$, donc $\cos\dfrac{5\pi}{6} = -\cos\dfrac{\pi}{6}$.

Étape 3 — je remplace par la valeur connue. Comme $\cos\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ :

$\cos\dfrac{5\pi}{6} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

Le signe moins est logique : $\dfrac{5\pi}{6}$ est un angle « à gauche », donc son abscisse — le cosinus — est négative. Tu tiens déjà la méthode principale du chapitre.

La définition propre du cercle trigonométrique

Le cercle trigonométrique est le cercle de centre $O$ et de rayon $1$, muni d'un point de départ $A = (1,\ 0)$ et d'un sens de parcours, le sens direct (celui qui tourne dans le sens inverse des aiguilles d'une montre).

Donne-toi un réel $x$. On parcourt depuis $A$ un arc de mesure $x$ radians, dans le sens direct si $x \gt 0$. On arrive sur un unique point $M$ du cercle. On définit alors :

• $\cos x$ = abscisse de $M$ ;
• $\sin x$ = ordonnée de $M$.

Le point fort de cette définition : elle vaut pour tout réel $x$. Si $x \lt 0$, on tourne dans l'autre sens (sens indirect). Si $x \gt 2\pi$, on fait plus d'un tour et on continue. Il y a donc un $\cos x$ et un $\sin x$ pour absolument n'importe quel nombre — plus seulement pour les angles aigus d'un triangle rectangle comme au collège.

La relation fondamentale et le signe selon le quadrant

Première propriété, la plus importante de toutes. Pour tout réel $x$ :

$\cos^2 x + \sin^2 x = 1$

Elle relie cosinus et sinus : si tu connais l'un des deux (et le quadrant), tu retrouves l'autre. Elle vient directement du fait que $M$ est à distance $1$ de $O$.

Ensuite, comme $M$ vit sur un cercle de rayon $1$, ses coordonnées restent bornées :

$-1 \le \cos x \le 1 \qquad -1 \le \sin x \le 1$

Enfin, le signe de $\cos x$ et de $\sin x$ ne dépend que de l'endroit du cercle où se trouve $M$, c'est-à-dire du quadrant :

• $\cos x \gt 0$ à droite de l'axe vertical : quadrants Q1 et Q4 ;
• $\sin x \gt 0$ au-dessus de l'axe horizontal : quadrants Q1 et Q2.

Ce réflexe « dans quel quadrant suis-je ? » sert à contrôler chaque résultat.

Les formules de symétrie et les valeurs remarquables

Quatre familles de formules permettent de ramener n'importe quel angle « compliqué » à un angle connu. À chaque fois, on lit sur le cercle la position d'un point symétrique de $M$.

Parité (angle opposé $-x$) : $\cos(-x) = \cos x$ et $\sin(-x) = -\sin x$. Le cosinus est pair, le sinus est impair.

Périodicité (tour complet $2\pi$) : $\cos(x + 2\pi) = \cos x$ et $\sin(x + 2\pi) = \sin x$. Ajouter un tour ne change rien.

Supplément ($\pi - x$) : $\cos(\pi - x) = -\cos x$ et $\sin(\pi - x) = \sin x$.

Antipode ($\pi + x$) : $\cos(\pi + x) = -\cos x$ et $\sin(\pi + x) = -\sin x$.

Et voici la boîte à outils des valeurs remarquables, à connaître par cœur :

Astuce mémoire : sur la ligne du cosinus, tu lis $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, $\dfrac{\sqrt{2}}{2}$, $\dfrac{1}{2}$ qui décroissent ; la ligne du sinus, c'est la même chose à l'envers.

Exemple 1 — un sinus en bas à droite : sin(7π/4)

On veut $\sin\dfrac{7\pi}{4}$. Cet angle est presque un tour complet (rappel : $2\pi = \dfrac{8\pi}{4}$), donc $M$ se trouve tout en bas à droite, dans le quadrant Q4.

On décompose. $\dfrac{7\pi}{4} = 2\pi - \dfrac{\pi}{4}$. On enlève le tour complet grâce à la périodicité :

$\sin\dfrac{7\pi}{4} = \sin\!\left(2\pi - \dfrac{\pi}{4}\right) = \sin\!\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)$

On applique la parité. Le sinus est impair, donc $\sin(-\alpha) = -\sin\alpha$ :

$\sin\!\left(-\dfrac{\pi}{4}\right) = -\sin\dfrac{\pi}{4}$

On remplace. Comme $\sin\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$ :

$\sin\dfrac{7\pi}{4} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

On vérifie le signe. En Q4, l'ordonnée est négative, donc on attendait bien $\sin\dfrac{7\pi}{4} \lt 0$. Cohérent.

Exemple 2 — un cosinus à gauche : cos(2π/3)

On veut $\cos\dfrac{2\pi}{3}$. Ici $\dfrac{2\pi}{3}$ est entre $\dfrac{\pi}{2}$ et $\pi$ : $M$ est en haut à gauche, quadrant Q2.

On décompose. $\dfrac{2\pi}{3} = \pi - \dfrac{\pi}{3}$ : c'est un supplément de $\dfrac{\pi}{3}$.

On applique la formule du supplément. $\cos(\pi - \alpha) = -\cos\alpha$, donc :

$\cos\dfrac{2\pi}{3} = -\cos\dfrac{\pi}{3}$

On remplace. $\cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}$, d'où :

$\cos\dfrac{2\pi}{3} = -\dfrac{1}{2}$

On vérifie. En Q2, on est à gauche de l'axe vertical, l'abscisse est négative : $\cos\dfrac{2\pi}{3} \lt 0$. Parfait.

Exemple 3 — tout en bas à gauche : sin(7π/6)

Dernier échauffement : $\sin\dfrac{7\pi}{6}$. On a $\dfrac{7\pi}{6}$ juste après $\pi$ (puisque $\pi = \dfrac{6\pi}{6}$), donc $M$ est en bas à gauche, quadrant Q3.

On décompose. $\dfrac{7\pi}{6} = \pi + \dfrac{\pi}{6}$ : c'est un antipode de $\dfrac{\pi}{6}$.

On applique la formule de l'antipode. $\sin(\pi + \alpha) = -\sin\alpha$, donc :

$\sin\dfrac{7\pi}{6} = -\sin\dfrac{\pi}{6}$

On remplace. $\sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}$, donc :

$\sin\dfrac{7\pi}{6} = -\dfrac{1}{2}$

On vérifie. En Q3, l'ordonnée est négative : $\sin\dfrac{7\pi}{6} \lt 0$. Cohérent, encore une fois. Tu remarques ? Trois exemples, exactement les mêmes quatre gestes.

Les pièges classiques et ce que le correcteur attend

Ce qui fait perdre des points, ce n'est presque jamais le résultat final : c'est un signe oublié ou une formule confondue. Les quatre pièges à connaître :

• Le cosinus est pair. $\cos(-x) = \cos x$, et surtout pas $-\cos x$. C'est le sinus, lui, qui change de signe : $\sin(-x) = -\sin x$.
• Supplément : un seul des deux change. $\cos(\pi - x) = -\cos x$ mais $\sin(\pi - x) = +\sin x$. Ne colle pas le même signe aux deux.
• Antipode : les deux changent. $\cos(\pi + x) = -\cos x$ et $\sin(\pi + x) = -\sin x$. Là, oui, les deux prennent un moins.
• Radians, pas degrés. On écrit $\cos\pi = -1$, jamais $\cos(180)$. Un angle « nu » est toujours en radians.

Ce que le correcteur veut voir sur ta copie, dans l'ordre : (1) la décomposition de l'angle sous une forme reconnaissable ($\pi - \alpha$, $\pi + \alpha$, $-\alpha$, $\alpha + 2\pi$) ; (2) la formule de symétrie citée ; (3) la valeur remarquable remplacée ; (4) une valeur exacte (garde $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$, ne passe pas à $0{,}87$) ; (5) un contrôle du signe par le quadrant. Chaque étape rapporte des points, même si la toute dernière ligne se trompe.

Deux problèmes types entièrement résolus

Problème 1 — retrouver un sinus à partir d'un cosinus.

Énoncé. On sait que $\cos x = \dfrac{3}{5}$ et que $x \in \left[0,\ \dfrac{\pi}{2}\right]$. Calculer $\sin x$.

Étape 1 — la relation fondamentale. $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$, donc $\sin^2 x = 1 - \cos^2 x$.

Étape 2 — je remplace. $\sin^2 x = 1 - \left(\dfrac{3}{5}\right)^2 = 1 - \dfrac{9}{25} = \dfrac{16}{25}$.

Étape 3 — je passe à la racine. $\sin x = \pm\sqrt{\dfrac{16}{25}} = \pm\dfrac{4}{5}$. Deux valeurs possibles a priori.

Étape 4 — je choisis le signe par le quadrant. Comme $x \in \left[0,\ \dfrac{\pi}{2}\right]$ (quadrant Q1), l'ordonnée est positive, donc :

$\sin x = \dfrac{4}{5}$

La condition sur $x$ n'est pas décorative : sans elle, impossible de trancher entre $+\dfrac{4}{5}$ et $-\dfrac{4}{5}$. C'est souvent là que le piège se cache.

Problème 2 — simplifier une expression.

Énoncé. Simplifier $A = \cos(\pi - x) + \cos(\pi + x) + \cos(-x)$.

Étape 1 — je traduis chaque terme avec les formules de symétrie : $\cos(\pi - x) = -\cos x$, puis $\cos(\pi + x) = -\cos x$, puis $\cos(-x) = \cos x$.

Étape 2 — je remplace et je regroupe. $A = -\cos x - \cos x + \cos x$.

Étape 3 — je réduis.

$A = -\cos x$

Aucun angle particulier, aucune valeur à calculer : juste les formules bien appliquées. C'est exactement le type de question où un seul signe confondu casse tout le résultat.

D'où viennent les formules de symétrie

Aucune de ces formules n'est à apprendre bêtement : elles se lisent sur le cercle. Prends le point $M$ associé à $x$, de coordonnées $(\cos x,\ \sin x)$. Les autres angles correspondent à des points symétriques de $M$ ; il suffit de lire leurs coordonnées.

Angle $-x$ (symétrie par rapport à l'axe horizontal). Le point a la même abscisse que $M$ mais l'ordonnée opposée : $(\cos x,\ -\sin x)$. On lit directement $\cos(-x) = \cos x$ et $\sin(-x) = -\sin x$.

Angle $\pi - x$ (symétrie par rapport à l'axe vertical). Abscisse opposée, même ordonnée : $(-\cos x,\ \sin x)$. D'où $\cos(\pi - x) = -\cos x$ et $\sin(\pi - x) = \sin x$.

Angle $\pi + x$ (symétrie centrale par rapport à $O$). Les deux coordonnées sont opposées : $(-\cos x,\ -\sin x)$. D'où $\cos(\pi + x) = -\cos x$ et $\sin(\pi + x) = -\sin x$.

Une fois que tu vois les symétries, tu n'as plus huit formules à retenir : tu retrouves chacune en dessinant le point en dix secondes.

cos²x + sin²x = 1, c'est Pythagore

La relation fondamentale a l'air tombée du ciel ; c'est en réalité le théorème de Pythagore déguisé.

Reprends le point $M = (\cos x,\ \sin x)$ et projette-le sur l'axe horizontal en un point $H$. Le triangle $OHM$ est rectangle en $H$. Ses côtés :

• le côté horizontal $OH$ mesure $|\cos x|$ ;
• le côté vertical $HM$ mesure $|\sin x|$ ;
• l'hypoténuse $OM$ est un rayon, elle mesure $1$.

Pythagore dans ce triangle rectangle donne $OH^2 + HM^2 = OM^2$, c'est-à-dire :

$\cos^2 x + \sin^2 x = 1$

C'est pour ça qu'elle est vraie pour tout $x$ : où que se trouve $M$ sur le cercle, la distance $OM$ vaut toujours $1$.

L'an prochain : des fonctions et des formules d'addition

Jusqu'ici, $\cos$ et $\sin$ transforment un nombre en un autre nombre : ce sont donc de vraies fonctions, définies sur $\mathbb{R}$ tout entier. En traçant $y = \sin x$, on obtient une courbe qui ondule, la sinusoïde. Comme $\sin(x + 2\pi) = \sin x$, le motif se répète à l'identique tous les $2\pi$ : on dit que la fonction est périodique. Même chose pour $\cos$.

En terminale, tu ajouteras deux outils :

• la tangente, définie par $\tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}$ (quand $\cos x \ne 0$) ;
• les formules d'addition, qui donnent le cosinus d'une somme d'angles, par exemple $\cos(a + b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$. Elles contiennent toutes tes formules de symétrie comme cas particuliers : prends $a = \pi$ et tu retombes sur l'antipode $\cos(\pi + b) = -\cos b$.

On apprendra aussi à dériver ces fonctions : la dérivée de $\sin$ est $\cos$, ce qui relie tout ce chapitre à l'analyse. Ce petit cercle de rayon $1$ est en fait la porte d'entrée d'une grande partie des maths du lycée.