Cercle trigonométrique — cosinus et sinus

Définir cosinus et sinus pour tout réel grâce au cercle unité, et maîtriser leurs propriétés fondamentales.

1 L'idée

Le cercle trigonométrique est le cercle de centre $O$ et de rayon $1$. On fixe un point de départ $A = (1,\, 0)$ (rayon initial). Pour tout réel $x$, on parcourt un arc de mesure $x$ radians depuis $A$ dans le sens direct (sens positif), ce qui détermine un point $M$ sur le cercle. On pose alors :

$\cos x$ = abscisse de $M$,
$\sin x$ = ordonnée de $M$.

Cette définition vaut pour tout réel $x$ : l'angle peut être négatif (sens indirect), supérieur à $2\pi$ (plusieurs tours), etc. On a toujours $-1 \le \cos x \le 1$ et $-1 \le \sin x \le 1$.

2 Propriétés fondamentales et formules de symétrie

Relation fondamentale

$\cos^2 x + \sin^2 x = 1$

Parité / Imparité

$\cos(-x) = \cos x \qquad \sin(-x) = -\sin x$

Périodicité (2π)

$\cos(x + 2\pi) = \cos x \qquad \sin(x + 2\pi) = \sin x$

Supplément (π − x)

$\cos(\pi - x) = -\cos x \qquad \sin(\pi - x) = \sin x$

Antipode (π + x)

$\cos(\pi + x) = -\cos x \qquad \sin(\pi + x) = -\sin x$

Valeurs remarquables — à connaître par cœur

$x = 0$ : $\cos 0 = 1$, $\sin 0 = 0$
$x = \dfrac{\pi}{6}$ : $\cos\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$, $\sin\dfrac{\pi}{6} = \dfrac{1}{2}$
$x = \dfrac{\pi}{4}$ : $\cos\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}$
$x = \dfrac{\pi}{3}$ : $\cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}$, $\sin\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$
$x = \dfrac{\pi}{2}$ : $\cos\dfrac{\pi}{2} = 0$, $\sin\dfrac{\pi}{2} = 1$
$x = \pi$ : $\cos\pi = -1$, $\sin\pi = 0$

4 Utiliser les formules de symétrie

Exemple A — $\cos\dfrac{5\pi}{6}$

$\dfrac{5\pi}{6} = \pi - \dfrac{\pi}{6}$ : on reconnaît la forme $\pi - \alpha$ avec $\alpha = \dfrac{\pi}{6}$.

$\cos\dfrac{5\pi}{6} = \cos\!\left(\pi - \dfrac{\pi}{6}\right) = -\cos\dfrac{\pi}{6} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

Exemple B — $\sin\dfrac{7\pi}{4}$

$\dfrac{7\pi}{4} = 2\pi - \dfrac{\pi}{4}$, donc $\sin\dfrac{7\pi}{4} = \sin\!\left(2\pi - \dfrac{\pi}{4}\right) = \sin\!\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)$ par périodicité.

$\sin\!\left(-\dfrac{\pi}{4}\right) = -\sin\dfrac{\pi}{4} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$

Méthode — calculer $\cos x$ ou $\sin x$ pour un angle quelconque

Ramener $x$ dans $[0,\, 2\pi]$ par périodicité si $x \lt 0$ ou $x \gt 2\pi$.
Identifier le quadrant : Q1 $\left[0,\,\dfrac{\pi}{2}\right]$, Q2 $\left[\dfrac{\pi}{2},\,\pi\right]$, Q3 $\left[\pi,\,\dfrac{3\pi}{2}\right]$, Q4 $\left[\dfrac{3\pi}{2},\,2\pi\right]$.
Écrire l'angle sous la forme $\pi \pm \alpha$ ou $-\alpha$ (avec $\alpha$ angle remarquable), puis appliquer la formule de symétrie.
Vérifier le signe : $\cos x \gt 0$ en Q1 et Q4 ; $\sin x \gt 0$ en Q1 et Q2.

Erreurs fréquentes

$\cos(-x) = \cos x$ (et non $-\cos x$) : le cosinus est une fonction paire.
$\cos(\pi - x) = -\cos x$ mais $\sin(\pi - x) = +\sin x$ : les deux formules n'ont pas le même signe.
$\cos(\pi + x) = -\cos x$ et $\sin(\pi + x) = -\sin x$ : cette fois les deux changent de signe.
Travailler en radians, pas en degrés. On écrit $\cos\pi = -1$, jamais $\cos(180)$.