Loi binomiale

Modéliser le nombre de succès lors de la répétition indépendante d'une même épreuve aléatoire.

1 L'idée

Une épreuve de Bernoulli de paramètre $p$ est une expérience à deux issues : succès (probabilité $p$) ou échec (probabilité $1-p$), avec $0 \lt p \lt 1$.

Un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$ consiste à répéter $n$ fois la même épreuve de Bernoulli de manière indépendante. La variable aléatoire $X$ comptant le nombre de succès suit une loi binomiale de paramètres $n$ et $p$, notée $X \sim \mathcal{B}(n,p)$.

2 Formules essentielles

Coefficient binomial

$\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}$

Probabilité P(X = k)

$P(X = k) = \binom{n}{k}\, p^{k}\,(1-p)^{n-k}, \quad k \in \{0,1,\ldots,n\}$

Espérance

$E(X) = np$

3 Exemple guidé

Mise en place

On lance un dé équilibré 4 fois. Succès = obtenir un 6. Alors $p = \dfrac{1}{6}$, $n = 4$, donc $X \sim \mathcal{B}\!\left(4,\,\dfrac{1}{6}\right)$.

Calcul de P(X = 2)

$P(X=2) = \dbinom{4}{2} \times \left(\dfrac{1}{6}\right)^{2} \times \left(\dfrac{5}{6}\right)^{2} = 6 \times \dfrac{1}{36} \times \dfrac{25}{36} = \dfrac{150}{1296} \approx 0{,}116$

Espérance

$E(X) = 4 \times \dfrac{1}{6} = \dfrac{2}{3} \approx 0{,}667$ : en moyenne, on obtient environ $0{,}67$ six sur 4 lancers.

Méthode — Résoudre un problème avec la loi binomiale

Vérifier que l'expérience est un schéma de Bernoulli : $n$ épreuves identiques et indépendantes.
Identifier le succès et sa probabilité $p$.
Poser $X$ = nombre de succès et écrire $X \sim \mathcal{B}(n,\,p)$.
Appliquer $P(X = k) = \dbinom{n}{k}\,p^{k}(1-p)^{n-k}$ pour la valeur de $k$ souhaitée.
Pour $P(X \ge 1)$, utiliser le complémentaire : $P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0) = 1-(1-p)^{n}$.

Erreurs fréquentes

Oublier le coefficient $\dbinom{n}{k}$ : il compte le nombre de façons de placer $k$ succès parmi $n$ épreuves.
Inverser $p^{k}$ et $(1-p)^{n-k}$ : $p$ est la probabilité du succès, élevée à la puissance $k$ (nombre de succès).
Appliquer la loi binomiale à un tirage sans remise : les épreuves ne sont alors plus indépendantes.
Confondre $E(X) = np$ (valeur moyenne) avec une probabilité.