Loi binomiale

Les prérequis à avoir en tête

Pas de panique. Avant la formule, voici les trois briques qu'il te faut, rien de plus.

1. Une probabilité est un nombre entre $0$ et $1$ : $0$ = impossible, $1$ = certain. Sur un dé équilibré, sortir un $6$ a pour probabilité $\dfrac{1}{6}$.

2. Deux répétitions sont indépendantes quand le résultat de l'une ne change rien à l'autre : deux lancers de dé successifs, par exemple.

3. Le coefficient binomial $\binom{n}{k}$ (on lit « $k$ parmi $n$ ») compte le nombre de façons de choisir $k$ objets parmi $n$. Tu le calcules à la calculatrice (touche $\text{nCr}$) ou avec $\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}$, où $n! = 1 \times 2 \times \cdots \times n$.

L'essentiel en une phrase, et la formule clé

L'idée tient en une phrase : on répète $n$ fois la même expérience qui n'a que deux issues — succès (probabilité $p$) ou échec (probabilité $1-p$) — et les répétitions sont indépendantes. On note $X$ le nombre de succès obtenus. On dit alors que $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$, ce qui s'écrit $X \sim \mathcal{B}(n,\,p)$.

La formule à retenir pour la probabilité d'obtenir exactement $k$ succès :

$P(X = k) = \binom{n}{k}\, p^{k}\,(1-p)^{\,n-k}$, pour $k \in \{0,\,1,\,\ldots,\,n\}$.

Comment la lire, morceau par morceau : $\binom{n}{k}$ compte les façons de placer les $k$ succès parmi les $n$ répétitions ; $p^{k}$ est la probabilité des $k$ succès ; $(1-p)^{\,n-k}$ celle des $n-k$ échecs.

Et le nombre moyen de succès (l'espérance) est tout simple : $E(X) = n\,p$.

Un exemple traité en entier

On lance un dé équilibré $4$ fois. Le succès, c'est « obtenir un $6$ ». Donc $p = \dfrac{1}{6}$, $n = 4$, et $X \sim \mathcal{B}\!\left(4,\,\dfrac{1}{6}\right)$.

Question : quelle est la probabilité d'obtenir exactement deux $6$, c'est-à-dire $P(X = 2)$ ?

Étape 1 — on écrit la formule avec $k = 2$ :

$P(X = 2) = \binom{4}{2}\left(\dfrac{1}{6}\right)^{2}\left(\dfrac{5}{6}\right)^{2}$

Étape 2 — on calcule le coefficient : $\binom{4}{2} = 6$.

Étape 3 — on remplace : $P(X = 2) = 6 \times \dfrac{1}{36} \times \dfrac{25}{36} = \dfrac{150}{1296}$.

Étape 4 — valeur approchée : $P(X = 2) \approx 0{,}116$, soit environ $11{,}6\,\%$ de chances.

Et voilà ta réponse. Tu tiens déjà l'essentiel pour le contrôle.

Les définitions, dans l'ordre

Épreuve de Bernoulli. C'est une expérience aléatoire qui n'a que deux issues : le succès, de probabilité $p$, et l'échec, de probabilité $1-p$, avec $0 \lt p \lt 1$. Le paramètre de l'épreuve est $p$.

Schéma de Bernoulli. On répète $n$ fois la même épreuve de Bernoulli, de manière indépendante (chaque répétition ignore les précédentes). Ses paramètres sont $n$ (le nombre de répétitions) et $p$.

Loi binomiale. Dans un schéma de Bernoulli de paramètres $n$ et $p$, la variable aléatoire $X$ qui compte le nombre de succès suit la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$. On note $X \sim \mathcal{B}(n,\,p)$.

La formule, et d'où elle vient

Suivre un chemin de l'arbre qui donne exactement $k$ succès, c'est multiplier $k$ probabilités $p$ (les succès) et $n-k$ probabilités $1-p$ (les échecs), grâce à l'indépendance : chaque chemin « à $k$ succès » pèse donc $p^{k}(1-p)^{\,n-k}$.

Mais il y a plusieurs chemins qui donnent $k$ succès : autant que de façons de choisir quelles répétitions sont des succès, c'est-à-dire $\binom{n}{k}$. On les additionne, et on obtient la formule :

$P(X = k) = \binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{\,n-k}$, avec $k \in \{0,\,1,\,\ldots,\,n\}$.

Sur l'arbre ci-dessous ($n = 2$), les deux chemins $\text{SE}$ et $\text{ES}$ donnent chacun $1$ succès : c'est bien $\binom{2}{1} = 2$.

Espérance et les deux questions types

L'espérance de $X$, c'est le nombre moyen de succès sur un grand nombre de schémas : $E(X) = n\,p$. Attention, c'est une moyenne, pas une probabilité — elle peut valoir $0{,}67$ ou $2{,}5$ sans que cela choque.

La méthode, pas à pas :

1. Vérifier qu'on a bien un schéma de Bernoulli : $n$ épreuves identiques et indépendantes.

2. Identifier le succès et sa probabilité $p$.

3. Poser $X = $ nombre de succès et écrire $X \sim \mathcal{B}(n,\,p)$.

4. Appliquer $P(X = k) = \binom{n}{k}\,p^{k}(1-p)^{\,n-k}$ pour le $k$ demandé.

Deux directions à bien distinguer :

• Exactement $k$ succès : on applique directement la formule.

• Au moins un succès : on passe par le complémentaire, bien plus rapide que d'additionner tous les cas — $P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - (1-p)^{\,n}$.

Exemple 1 : le dé, du début à la fin

Énoncé. On lance un dé équilibré $4$ fois ; succès = obtenir un $6$. On a $p = \dfrac{1}{6}$, $n = 4$, donc $X \sim \mathcal{B}\!\left(4,\,\dfrac{1}{6}\right)$. On veut $P(X = 2)$, puis $E(X)$.

On repère les paramètres : $n = 4$, $p = \dfrac{1}{6}$, $1-p = \dfrac{5}{6}$, $k = 2$.

On écrit la formule : $P(X = 2) = \binom{4}{2}\left(\dfrac{1}{6}\right)^{2}\left(\dfrac{5}{6}\right)^{2}$.

On calcule le coefficient : $\binom{4}{2} = \dfrac{4!}{2!\,2!} = 6$ (il y a $6$ façons de choisir les deux lancers gagnants).

On remplace et on regroupe : $P(X = 2) = 6 \times \dfrac{1}{36} \times \dfrac{25}{36} = \dfrac{150}{1296} \approx 0{,}116$.

L'espérance : $E(X) = 4 \times \dfrac{1}{6} = \dfrac{2}{3} \approx 0{,}667$ — en moyenne, environ $0{,}67$ six sur $4$ lancers.

Le diagramme en bâtons ci-dessous montre toute la loi : la valeur la plus probable est $0$ six (barre la plus haute), et plus on demande de $6$, plus c'est rare.

Exemple 2 : la pièce, et le réflexe du complémentaire

Énoncé. On lance une pièce équilibrée $5$ fois ; succès = tomber sur pile. Ici $p = \dfrac{1}{2}$, $n = 5$, donc $X \sim \mathcal{B}\!\left(5,\,\dfrac{1}{2}\right)$.

Question a) $P(X = 3)$ — exactement trois piles :

$P(X = 3) = \binom{5}{3}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{3}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2} = 10 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^{5} = \dfrac{10}{32} = \dfrac{5}{16} \approx 0{,}3125$.

(On a utilisé $\binom{5}{3} = 10$, et comme $p = 1-p = \dfrac{1}{2}$, les puissances se regroupent en $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{5}$.)

Question b) $P(X \ge 1)$ — au moins un pile :

Additionner $P(X=1) + \cdots + P(X=5)$ serait long. On passe par le complémentaire : le contraire de « au moins un pile », c'est « aucun pile ».

$P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0) = 1 - \left(\dfrac{1}{2}\right)^{5} = 1 - \dfrac{1}{32} = \dfrac{31}{32} \approx 0{,}969$.

Exemple 3 : lire E(X) sans se tromper

Énoncé. Une basketteuse réussit chaque lancer franc avec probabilité $p = 0{,}8$, indépendamment. Elle en tente $n = 6$. On pose $X$ = nombre de lancers réussis, donc $X \sim \mathcal{B}(6,\,0{,}8)$.

Réussir les $6$ ($k = 6$) : $P(X = 6) = \binom{6}{6}(0{,}8)^{6}(0{,}2)^{0} = 1 \times (0{,}8)^{6} \approx 0{,}262$.

Le nombre moyen de réussites : $E(X) = 6 \times 0{,}8 = 4{,}8$.

À lire correctement : $4{,}8$ n'est pas une probabilité et ne tombera jamais tel quel sur une série (on ne réussit pas « $4{,}8$ lancers »). C'est la moyenne sur un très grand nombre de séries de $6$ tentatives.

Problème type 1 : le QCM répondu au hasard

Énoncé. Un QCM comporte $10$ questions indépendantes ; chacune propose $4$ réponses dont une seule est correcte. Un élève répond au hasard à chaque question. On note $X$ le nombre de bonnes réponses. Calculer la probabilité qu'il ait au moins deux bonnes réponses.

1. On modélise. Chaque question est une épreuve de Bernoulli : succès = bonne réponse, de probabilité $p = \dfrac{1}{4}$. Les $10$ questions sont identiques et indépendantes : c'est un schéma de Bernoulli, donc $X \sim \mathcal{B}\!\left(10,\,\dfrac{1}{4}\right)$.

2. On traduit la question. « Au moins deux », c'est $X \ge 2$. Son complémentaire est « zéro ou une » bonne réponse : $P(X \ge 2) = 1 - P(X = 0) - P(X = 1)$.

3. On calcule $P(X = 0)$ : $P(X = 0) = \binom{10}{0}\left(\dfrac{1}{4}\right)^{0}\left(\dfrac{3}{4}\right)^{10} = \left(\dfrac{3}{4}\right)^{10} \approx 0{,}0563$.

4. On calcule $P(X = 1)$ : $P(X = 1) = \binom{10}{1}\left(\dfrac{1}{4}\right)^{1}\left(\dfrac{3}{4}\right)^{9} = 10 \times \dfrac{1}{4} \times \left(\dfrac{3}{4}\right)^{9} \approx 0{,}1877$.

5. On conclut : $P(X \ge 2) = 1 - 0{,}0563 - 0{,}1877 \approx 0{,}756$.

Ce que le correcteur attend : la phrase « $X$ suit la loi $\mathcal{B}\!\left(10,\,\tfrac{1}{4}\right)$ » explicitement écrite, le passage par le complémentaire justifié, la formule posée avant l'application numérique, et une valeur arrondie proprement.

Problème type 2 : contrôle qualité et le « au moins un »

Énoncé. Une machine produit des composants ; $5\,\%$ sont défectueux. On prélève un échantillon de $20$ composants dans une production très nombreuse, si bien qu'on assimile les prélèvements à des tirages indépendants. On note $X$ le nombre de composants défectueux. Calculer la probabilité qu'il y en ait au moins un, puis donner le nombre moyen de défectueux.

1. On modélise : succès = composant défectueux, $p = 0{,}05$, $n = 20$, indépendance admise, donc $X \sim \mathcal{B}(20,\,0{,}05)$.

2. « Au moins un », par le complémentaire : $P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0)$.

3. Calcul de $P(X = 0)$ : $P(X = 0) = (1 - 0{,}05)^{20} = (0{,}95)^{20} \approx 0{,}358$.

4. Conclusion : $P(X \ge 1) = 1 - 0{,}358 \approx 0{,}642$.

5. Nombre moyen : $E(X) = 20 \times 0{,}05 = 1$ : en moyenne, un composant défectueux par échantillon de $20$.

Subtilité importante : la loi binomiale exige des tirages indépendants. C'est vrai pour un tirage avec remise, ou, comme ici, quand le lot est assez grand pour qu'un tirage sans remise s'en approche. Sur un petit lot tiré sans remise, ce serait faux.

Les pièges qui coûtent des points

Oublier le coefficient $\binom{n}{k}$. Écrire $P(X = k) = p^{k}(1-p)^{\,n-k}$ tout seul, c'est oublier qu'il y a plusieurs façons de placer les $k$ succès. Le $\binom{n}{k}$ compte ces façons : sans lui, la réponse est trop petite.

Inverser $p^{k}$ et $(1-p)^{\,n-k}$. Le $p$ (succès) est élevé à la puissance $k$ (le nombre de succès), et $1-p$ (échec) à la puissance $n-k$. Intervertir donne un résultat faux dès que $p \neq 1-p$.

Appliquer la binomiale à un tirage sans remise. Sans remise, les épreuves ne sont plus indépendantes et $X$ ne suit pas une loi binomiale. Vérifie toujours l'indépendance avant de te lancer.

Confondre $E(X) = np$ avec une probabilité. L'espérance est un nombre moyen de succès : elle peut dépasser $1$ (par exemple $E(X) = 2{,}5$) et n'est jamais « la probabilité de gagner ».

Le triangle de Pascal : les coefficients de proche en proche

Tu n'as pas toujours besoin de la calculatrice pour $\binom{n}{k}$. Les coefficients se rangent dans le triangle de Pascal : chaque nombre est la somme des deux qui sont juste au-dessus de lui. C'est la relation de Pascal :

$\binom{n}{k} + \binom{n}{k+1} = \binom{n+1}{k+1}$.

Sur la figure, $3 + 3 = 6$ illustre $\binom{3}{1} + \binom{3}{2} = \binom{4}{2}$.

Le triangle a aussi une jolie symétrie : $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$ — choisir les $k$ succès ou choisir les $n-k$ échecs, cela revient au même. Pratique pour vérifier un calcul sans tout refaire.

Pourquoi la formule est vraie (l'idée de la preuve)

La formule ne tombe pas du ciel ; elle se justifie avec l'arbre pondéré du schéma de Bernoulli.

Le poids d'un chemin. Un chemin qui fixe l'ordre des résultats (par exemple succès, échec, succès, ...) a pour probabilité le produit des probabilités rencontrées, grâce à l'indépendance. S'il contient $k$ succès et $n-k$ échecs, son poids est $p^{k}(1-p)^{\,n-k}$ — quel que soit l'ordre.

Le nombre de chemins. Combien de chemins ont exactement $k$ succès ? Autant que de façons de choisir les $k$ positions des succès parmi les $n$, c'est-à-dire $\binom{n}{k}$.

On additionne. Ces chemins sont incompatibles, donc on somme leurs poids, tous égaux : $\binom{n}{k}$ chemins de poids $p^{k}(1-p)^{\,n-k}$, ce qui donne $P(X = k) = \binom{n}{k}\,p^{k}(1-p)^{\,n-k}$. La formule est démontrée.

Un avant-goût de la terminale

La dispersion. Cette année tu connais la moyenne $E(X) = np$. L'an prochain, tu mesureras aussi à quel point $X$ s'écarte de cette moyenne, avec la variance $V(X) = np(1-p)$ et l'écart-type $\sigma = \sqrt{np(1-p)}$.

La loi des grands nombres. Quand $n$ devient grand, la fréquence de succès $\dfrac{X}{n}$ se resserre autour de $p$ : c'est l'intuition « plus on répète, plus la fréquence observée approche la probabilité », qui sera rendue précise en terminale et sert de base à l'échantillonnage et à l'estimation.

Les liens à garder en tête. La loi binomiale s'appuie sur l'arbre pondéré et l'indépendance déjà vus ; elle prolonge la loi de Bernoulli (le cas $n = 1$) ; et elle ouvre, en terminale, vers la modélisation des grands échantillons.