Probabilités conditionnelles

Calculer la probabilité d'un événement sous condition : la clé de l'analyse à information partielle.

1 L'idée

La probabilité conditionnelle de $A$ sachant $B$ mesure la chance que $A$ se réalise sous la condition que $B$ est déjà réalisé. On restreint l'univers à $B$ : parmi tous les cas où $B$ a lieu, quelle proportion vérifie aussi $A$ ?

Notation : $P(A \mid B)$, définie dès que $P(B) \gt 0$.

2 Formules à maîtriser

Définition

$P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} \quad \text{avec } P(B) \gt 0$

Formule de multiplication

$P(A \cap B) = P(B) \times P(A \mid B) = P(A) \times P(B \mid A)$

Probabilités totales

$P(A) = P(B) \times P(A \mid B) + P(\overline{B}) \times P(A \mid \overline{B})$

Indépendance

$A \text{ et } B \text{ indépendants} \iff P(A \cap B) = P(A) \times P(B) \iff P(A \mid B) = P(A)$

3 Exemples

Exemple A — calcul direct

Dans une classe de 30 élèves : 18 jouent d'un instrument ($B$), et parmi eux 12 ont obtenu une bonne note ($A$).

$P(B) = \dfrac{18}{30} = \dfrac{3}{5}$, $\quad P(A \cap B) = \dfrac{12}{30} = \dfrac{2}{5}$.

$P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} = \dfrac{\;2/5\;}{3/5} = \dfrac{2}{3} \approx 0{,}67$.

Exemple B — indépendance

$P(A) = 0{,}4$, $P(B) = 0{,}5$, $P(A \cap B) = 0{,}2$.

$P(A) \times P(B) = 0{,}4 \times 0{,}5 = 0{,}2 = P(A \cap B)$ : $A$ et $B$ sont indépendants.

Vérification : $P(A \mid B) = \dfrac{0{,}2}{0{,}5} = 0{,}4 = P(A)$.

Méthode — utiliser un arbre de probabilités

1re branche : placer les événements $B$ et $\overline{B}$ avec $P(B)$ et $P(\overline{B}) = 1 - P(B)$.
2e branche : pour chaque nœud, inscrire $P(A \mid B)$ et $P(A \mid \overline{B})$ (et leurs complémentaires).
Probabilité d'un chemin = produit des probabilités le long de ce chemin.
Formule des probabilités totales : additionner tous les chemins aboutissant à $A$.

Erreurs fréquentes

$P(A \mid B) \neq P(B \mid A)$ en général : l'ordre des événements change le résultat.
Oublier de vérifier $P(B) \gt 0$ avant d'appliquer la définition.
Confondre $P(A \cap B)$ (intersection) et $P(A \mid B)$ (proportion conditionnelle).
Sur un arbre : additionner les probabilités des chemins pour trouver $P(A)$ — ne pas multiplier des branches de niveaux différents entre elles.