V VIDYALAYA · Soutien scolaire
Mathématiques1reProbabilites et statistiquesExercices + corrigé

Variables aléatoires, espérance — Exercices

De la lecture d'un tableau au jeu équitable. Corrigé détaillé ci-dessous.
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1Lecture d'un tableau/ 3 pts
La loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ est définie par : $P(X = -1) = 0{,}3$, $P(X = 0) = 0{,}2$, $P(X = 2) = 0{,}4$, $P(X = 5) = 0{,}1$.
  1. Vérifier que ces données définissent bien une loi de probabilité.
  2. Calculer $E(X)$ et interpréter le résultat en supposant que $X$ est le gain (en €) d'un joueur par partie.
2Construire une loi de probabilité/ 4 pts
Une urne contient 2 boules rouges, 3 boules bleues et 5 boules vertes. On tire une boule au hasard. Le gain $X$ (en €) est : rouge $\to +4$ € ; bleue $\to +1$ € ; verte $\to -2$ €.
  1. Construire le tableau de la loi de probabilité de $X$.
  2. Vérifier que la somme des probabilités vaut $1$.
  3. Calculer $E(X)$.
  4. Le jeu est-il favorable au joueur ? Justifier.
3Probabilité manquante/ 4 pts
La variable aléatoire $X$ prend les valeurs $0$, $1$, $3$ et $6$, avec $P(X = 0) = \dfrac{1}{3}$, $P(X = 1) = a$, $P(X = 3) = \dfrac{1}{4}$ et $P(X = 6) = \dfrac{1}{6}$.
  1. Déterminer la valeur de $a$.
  2. Calculer $E(X)$.
4Jeu équitable/ 5 pts
Un jeu comporte 10 cartes numérotées de $1$ à $10$. On tire une carte au hasard. Si son numéro est divisible par $3$ (cartes 3, 6 ou 9), on gagne $10$ €. Sinon, on ne gagne rien. Le joueur paie $c$ € pour participer. On note $Y$ le gain net du joueur.
  1. Préciser les valeurs prises par $Y$ et leurs probabilités en fonction de $c$.
  2. Montrer que $E(Y) = 3 - c$.
  3. Déterminer la valeur de $c$ pour laquelle le jeu est équitable.
  4. Pour $c = 2$ €, le jeu est-il favorable au joueur ou à l'organisateur ? Justifier.
Corrigé détaillé
1Lecture d'un tableau
a) \(0{,}3 + 0{,}2 + 0{,}4 + 0{,}1 =\) \(1 \quad \Rightarrow \text{ loi de probabilité valide.}\)
b) \(E(X) = (-1)\times 0{,}3 + 0\times 0{,}2 + 2\times 0{,}4 + 5\times 0{,}1 = -0{,}3 + 0 + 0{,}8 + 0{,}5 =\) \(1 \quad \Rightarrow \text{ jeu favorable au joueur : gain moyen de 1 € par partie.}\)
2Construire une loi de probabilité
a) \(P(X=4) = \dfrac{2}{10} = \dfrac{1}{5} \qquad P(X=1) = \dfrac{3}{10} \qquad P(X=-2) = \dfrac{5}{10} = \dfrac{1}{2}\) \(\text{Tableau : valeurs } 4,\; 1,\; -2 \text{ avec probabilités } \tfrac{1}{5},\; \tfrac{3}{10},\; \tfrac{1}{2}.\)
b) \(\dfrac{1}{5} + \dfrac{3}{10} + \dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{10} + \dfrac{3}{10} + \dfrac{5}{10} =\) \(1 \quad \Rightarrow \text{ loi valide.}\)
c) \(E(X) = 4\times\dfrac{1}{5} + 1\times\dfrac{3}{10} + (-2)\times\dfrac{1}{2} = \dfrac{8}{10} + \dfrac{3}{10} - \dfrac{10}{10} =\) \(\dfrac{1}{10} = 0{,}1 \text{ €}\)
d) \(E(X) = 0{,}1 \gt 0\) \(\text{Jeu favorable au joueur.}\)
3Probabilité manquante
a) \(\dfrac{1}{3} + a + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{6} = 1 \quad \Rightarrow \quad \dfrac{4}{12} + \dfrac{3}{12} + \dfrac{2}{12} + a = 1 \quad \Rightarrow \quad \dfrac{9}{12} + a = 1\) \(a = \dfrac{3}{12} = \dfrac{1}{4}\)
b) \(E(X) = 0\times\dfrac{1}{3} + 1\times\dfrac{1}{4} + 3\times\dfrac{1}{4} + 6\times\dfrac{1}{6} = 0 + \dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4} + 1 = 1 + 1 =\) \(2\)
4Jeu équitable
a) \(\text{Cartes divisibles par 3 : } \{3,\,6,\,9\} \Rightarrow P = \dfrac{3}{10} \text{ ; autres : } P = \dfrac{7}{10}\) \(Y = 10 - c \text{ avec prob. } \tfrac{3}{10} \;\text{;}\; Y = -c \text{ avec prob. } \tfrac{7}{10}\)
b) \(E(Y) = (10-c)\times\dfrac{3}{10} + (-c)\times\dfrac{7}{10} = \dfrac{30-3c-7c}{10} = \dfrac{30-10c}{10} =\) \(3 - c\)
c) \(E(Y) = 0 \Leftrightarrow 3 - c = 0\) \(c = 3 \text{ €}\)
d) \(E(Y) = 3 - 2 = 1 \gt 0\) \(\text{Favorable au joueur : il gagne en moyenne 1 € par partie.}\)