Tu découvres la notion aujourd'hui, mais ton contrôle approche. On attaque direct ! On va d'abord réveiller deux prérequis indispensables : la somme des probabilités et le calcul d'une moyenne pondérée. Ensuite, on enchaîne sur la variable aléatoire et son espérance, le coeur du sujet. C'est parti !
Prérequis – Ce qu'il faut avoir en tête
En probabilité, pour toute expérience aléatoire, la somme des probabilités de toutes les issues vaut 1.
Exemple : un dé équilibré a 6 faces, chaque face a probabilité $\frac{1}{6}$ et $\frac{1}{6} \times 6 = 1$.
Quand tu as plusieurs issues avec des probabilités différentes, tu peux les rassembler dans un tableau.
En statistiques, pour trouver une moyenne pondérée, on multiplie chaque valeur par son poids, on additionne et on divise par le total des poids. Par exemple, si tu as 12 en maths (coeff 3), 14 en français (coeff 2), ta moyenne pondérée est $\frac{12\times 3 + 14\times 2}{3+2} = \frac{36+28}{5}=12,8$. Ici, la somme des poids n'est pas forcément 1, mais en probabilité, les probas sont des poids qui totalisent 1 donc la moyenne pondérée devient simplement : somme de chaque valeur × sa probabilité.
Une variable aléatoire, c'est quoi ?
Une variable aléatoire $X$ est une fonction qui associe un nombre à chaque issue d'une expérience aléatoire. Par exemple, on lance un dé : si la face est 6, on gagne 4€ ; si la face est 1, on perd 3€ ; sinon on gagne 0€. Le gain $X$ dépend du résultat du dé.
La loi de probabilité de $X$ est un tableau donnant toutes les valeurs possibles de $X$ et les probabilités correspondantes. On vérifie toujours que la somme des probabilités fait 1.
L'espérance : la moyenne à la longue
L’espérance $E(X)$ est la moyenne qu’on obtiendrait si on répétait l’expérience un très grand nombre de fois. Elle se calcule en faisant la somme : chaque valeur de $X$ est multipliée par sa probabilité, et on additionne le tout :
$$E(X) = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \dots + x_n p_n$$
Si $X$ est un gain, $E(X)$ est le gain moyen par partie. Si $E(X)>0$, le jeu est favorable au joueur ; si $E(X)<0$, défavorable ; si $E(X)=0$, équitable.
À toi de jouer
1. On donne la loi de probabilité de $X$ : $P(X=-2)=0,2$, $P(X=0)=0,5$, $P(X=3)=0,3$.
a) Vérifie que c'est une loi valide : $\underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$.
b) Calcule $E(X)$ : $E(X) = (-2) \times \underline{\hspace{1.1em}} + 0 \times \underline{\hspace{1.1em}} + 3 \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$.
c) Si $X$ est le gain en euros, interprète le résultat.
Corrigé
a) $0,2 + 0,5 + 0,3 = 1,0$ → loi valide.
b) $(-2)\times 0,2 = -0,4$ ; $0\times 0,5 = 0$ ; $3\times 0,3 = 0,9$ ; $-0,4 + 0 + 0,9 = 0,5$.
c) $E(X)=0,5$ € : le joueur gagne en moyenne 0,50 € par partie, le jeu est favorable.
2. On lance un dé tétraédrique (4 faces numérotées 1,2,3,4) équilibré. Le gain $X$ est : +5€ pour la face 4, -2€ pour la face 1, 0€ pour les faces 2 et 3.
a) Complète la loi de probabilité de $X$ :
$\bullet$ Valeur 5 € : probabilité $\underline{\hspace{1.1em}}$ (car 1 face sur 4)
$\bullet$ Valeur -2 € : probabilité $\underline{\hspace{1.1em}}$
$\bullet$ Valeur 0 € : probabilité $\underline{\hspace{1.1em}}$ (car 2 faces sur 4)
b) Vérifie que la somme des probabilités vaut 1 : $\underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$.
c) Calcule $E(X)$ : $E(X) = 5 \times \underline{\hspace{1.1em}} + (-2) \times \underline{\hspace{1.1em}} + 0 \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$.
d) Interprète.
Corrigé
a) $5$ € : $\frac{1}{4}$ ; $-2$ € : $\frac{1}{4}$ ; $0$ € : $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
b) $\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{2}{4}=1$.
c) $E(X)=5\times\frac{1}{4} + (-2)\times\frac{1}{4} + 0\times\frac{1}{2} = \frac{5}{4} - \frac{2}{4} = \frac{3}{4}=0,75$.
d) Gain moyen de 0,75 € par partie, favorable au joueur.
3. Un jeu comporte 10 cartes numérotées de 1 à 10, toutes équiprobables. On tire une carte. $X$ vaut 5 si le nombre tiré est pair, -1 s'il est impair.
a) Calcule la probabilité de chaque valeur : $P(X=5)=\underline{\hspace{1.1em}}$ (car 5 pairs sur 10) ; $P(X=-1)=\underline{\hspace{1.1em}}$ (car 5 impairs).
b) Vérifie que la somme fait 1 : $\underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$.
c) Calcule $E(X) = 5 \times \underline{\hspace{1.1em}} + (-1) \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$.
d) Conclus.
Corrigé
a) Pairs : 5/10 = 1/2 ; Impairs : 5/10 = 1/2. Probas : 1/2 et 1/2.
b) 1/2+1/2=1.
c) $E(X)=5\times\frac{1}{2} + (-1)\times\frac{1}{2} = \frac{5}{2} - \frac{1}{2} = \frac{4}{2}=2$.
d) Gain moyen de 2 €, jeu très favorable.
Ah, ça te revient maintenant ! On a déjà vu ça vite fait ou tu t'en souviens. On va reprendre la méthode pas à pas pour ne plus jamais te tromper. Promis, après ça, construire une loi et calculer une espérance sera un jeu d'enfant.
La méthode en 4 étapes
- Lister toutes les valeurs distinctes que peut prendre $X$. Oublie aucune issue !
- Calculer la probabilité de chaque valeur : nombre de cas favorables / nombre total de cas. Penser à simplifier les fractions.
- Vérifier que la somme des probabilités vaut 1. Si ce n'est pas le cas, tu as oublié une valeur ou mal compté.
- Calculer $E(X) = \sum x_i p_i$ en étant attentif aux signes. Conclure sur l'interprétation si c'est un gain.
Petit rappel : $E(X)$ n'est pas forcément une valeur que $X$ peut prendre ! Par exemple, une espérance de 1,6€ ne veut pas dire que tu vas gagner 1,6€ à un tirage, c'est une moyenne à long terme.
À toi de jouer
1. La loi de probabilité de $X$ est : $P(X=-3)=0,1$ ; $P(X=1)=0,3$ ; $P(X=4)=0,6$.
a) Vérifie la somme des probabilités : $\underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$.
b) Calcule $E(X)$ en complétant : $E(X) = (-3) \times \underline{\hspace{1.1em}} + 1 \times \underline{\hspace{1.1em}} + 4 \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$.
c) Si $X$ est un gain en euros, quel est le gain moyen ?
Corrigé
a) $0,1+0,3+0,6=1$.
b) $(-3)\times 0,1 = -0,3$ ; $1\times 0,3 = 0,3$ ; $4\times 0,6 = 2,4$ ; somme = $-0,3+0,3+2,4 = 2,4$. Donc $E(X)=2,4$.
c) Gain moyen de 2,40 € par partie.
2. Une urne contient 3 boules rouges, 4 boules bleues et 3 boules vertes (total 10). On tire une boule au hasard. Le gain $X$ en euros est : rouge → +4€, bleue → -2€, verte → 0€.
Complète la loi de probabilité :
Valeur 4€ : prob = $\underline{\hspace{1.1em}}$ (car 3 rouges/10)
Valeur -2€ : prob = $\underline{\hspace{1.1em}}$ (car 4 bleues/10)
Valeur 0€ : prob = $\underline{\hspace{1.1em}}$ (car 3 vertes/10)
Vérifie la somme : $\underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Calcule $E(X)$ : $4 \times \underline{\hspace{1.1em}} + (-2) \times \underline{\hspace{1.1em}} + 0 \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$. Le jeu est-il favorable ?
Corrigé
Probas : 4€ : $3/10$ ; -2€ : $4/10 = 2/5$ ; 0€ : $3/10$. Somme = 1.
$E(X)=4\times 3/10 + (-2)\times 4/10 + 0 = 12/10 - 8/10 = 4/10 = 0,4$ €. Favorable.
3. On joue avec un dé à 6 faces. $X$ est la valeur de la face.
a) Complète : $P(X=1)= \underline{\hspace{1.1em}}$, $P(X=2)= \underline{\hspace{1.1em}}$, ... , $P(X=6)= \underline{\hspace{1.1em}}$.
b) Calcule $E(X) = 1\times \underline{\hspace{1.1em}} + 2\times \underline{\hspace{1.1em}} + ... + 6\times \underline{\hspace{1.1em}}$. Simplifie l'écriture puis donne le résultat.
c) Interprète.
Corrigé
a) Chaque face a proba $1/6$.
b) $E(X)=\frac{1}{6}(1+2+3+4+5+6)=\frac{21}{6}=3,5$.
c) La valeur moyenne d'un lancer de dé est 3,5. Bien sûr on n'obtient jamais 3,5 !
Maintenant qu'on a la méthode, on va l'automatiser avec 5 exercices quasi identiques. Le but : que le calcul devienne un réflexe. Un peu de répétition, et c'est dans la poche !
À toi de jouer
1. Loi de $X$ : $P(X=2)=0,4$ ; $P(X=7)=0,6$.
Calcule $E(X) = 2 \times \underline{\hspace{1.1em}} + 7 \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
$E(X)=2\times 0,4 + 7\times 0,6 = 0,8 + 4,2 = 5$.
2. Loi de $X$ : $P(X=-1)=\dfrac{1}{3}$ ; $P(X=0)=\dfrac{1}{2}$ ; $P(X=3)=\dfrac{1}{6}$.
Calcule $E(X) = \underline{\hspace{1.1em}} \times \dfrac{1}{3} + \underline{\hspace{1.1em}} \times \dfrac{1}{2} + \underline{\hspace{1.1em}} \times \dfrac{1}{6} = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
$E(X)= (-1)\times\frac{1}{3} + 0\times\frac{1}{2} + 3\times\frac{1}{6} = -\frac{1}{3} + 0 + \frac{3}{6} = -\frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{-2+3}{6} = \frac{1}{6}$.
3. Loi de $X$ : valeur 10 avec proba $1/6$, valeur -2 avec proba $1/6$, valeur 1 avec proba $4/6$.
Calcule $E(X) = 10 \times \underline{\hspace{1.1em}} + (-2) \times \underline{\hspace{1.1em}} + 1 \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
$E(X)=10\times\frac{1}{6} + (-2)\times\frac{1}{6} + 1\times\frac{4}{6} = \frac{10}{6} - \frac{2}{6} + \frac{4}{6} = \frac{12}{6}=2$.
4. Loi de $X$ : $P(X=50)=\dfrac{1}{20}$ ; $P(X=-5)=\dfrac{19}{20}$.
Calcule $E(X) = 50 \times \underline{\hspace{1.1em}} + (-5) \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
$E(X)=50\times\frac{1}{20} + (-5)\times\frac{19}{20} = \frac{50}{20} - \frac{95}{20} = -\frac{45}{20} = -2,25$ €.
5. Loi de $X$ : $P(X=0)=0,5$ ; $P(X=2)=0,3$ ; $P(X=5)=0,15$ ; $P(X=10)=0,05$.
Calcule $E(X) = 0 \times \underline{\hspace{1.1em}} + 2 \times \underline{\hspace{1.1em}} + 5 \times \underline{\hspace{1.1em}} + 10 \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
$E(X)=0\times0,5 + 2\times0,3 + 5\times0,15 + 10\times0,05 = 0 + 0,6 + 0,75 + 0,5 = 1,85$.
On passe aux choses sérieuses : des exercices comme dans ton contrôle. Des questions ouvertes, à toi de jouer sans filet. Mais tu as toute la méthode en tête, alors tu gères. Le corrigé détaillé t'attend si tu coinces.
À toi de jouer
1. 1. Lecture d'un tableau : La loi de probabilité de $X$ est : $P(X=-2)=0,15$ ; $P(X=0)=0,25$ ; $P(X=3)=0,45$ ; $P(X=4)=0,15$.
a) Vérifier que ces données définissent bien une loi de probabilité.
b) Calculer $E(X)$.
c) Si $X$ est le gain en euros d'un joueur, interpréter le résultat.
Corrigé
a) $0,15+0,25+0,45+0,15 = 1$ → loi valide.
b) $E(X) = (-2)\times0,15 + 0\times0,25 + 3\times0,45 + 4\times0,15 = -0,3 + 0 + 1,35 + 0,6 = 1,65$.
c) Le joueur gagne en moyenne 1,65 € par partie, le jeu est favorable.
2. 2. Construire une loi : Une urne contient 4 boules rouges, 5 vertes et 1 bleue (total 10 boules). On tire une boule au hasard. Le gain $X$ en euros est : rouge → +5€, verte → -2€, bleue → 0€.
a) Déterminer la loi de probabilité de $X$ (tableau).
b) Vérifier que la somme des probabilités vaut 1.
c) Calculer $E(X)$.
d) Le jeu est-il favorable au joueur ?
Corrigé
a) P(rouge)=4/10=0,4 ; P(verte)=5/10=0,5 ; P(bleue)=1/10=0,1. Loi : X=5€ proba 0,4 ; X=-2€ proba 0,5 ; X=0€ proba 0,1.
b) 0,4+0,5+0,1=1.
c) $E(X)=5\times0,4 + (-2)\times0,5 + 0\times0,1 = 2 - 1 = 1$ €.
d) $E(X)=1>0$, favorable.
3. 3. Probabilité manquante : Soit $X$ une variable aléatoire prenant les valeurs 1, 2, 4, 6 avec : $P(X=1)=0,4$ ; $P(X=2)=a$ ; $P(X=4)=0,1$ ; $P(X=6)=0,2$.
a) Déterminer $a$.
b) Calculer $E(X)$.
Corrigé
a) Somme = 1 donne : $0,4 + a + 0,1 + 0,2 = 1 \Rightarrow a + 0,7 = 1 \Rightarrow a = 0,3$.
b) $E(X)=1\times0,4 + 2\times0,3 + 4\times0,1 + 6\times0,2 = 0,4 + 0,6 + 0,4 + 1,2 = 2,6$.
4. 4. Jeu équitable : Un jeu comporte 15 cartes numérotées de 1 à 15. On tire une carte au hasard. Si le numéro est un multiple de 5 (c'est-à-dire 5, 10 ou 15), on gagne 8 € ; sinon on ne gagne rien. Le joueur paie $c$ euros pour participer. On note $Y$ le gain net du joueur (= gain − mise).
a) Quelles sont les valeurs possibles de $Y$ ? Donner leur probabilité en fonction de $c$.
b) Montrer que $E(Y) = \dfrac{8 \times 3}{15} - c = 1,6 - c$.
c) Déterminer la valeur de $c$ pour que le jeu soit équitable.
d) Si $c = 1,5$ €, le jeu est-il favorable au joueur ou à l'organisateur ?
Corrigé
a) Multiples de 5 : 3 cartes (5,10,15) → proba 3/15=1/5 ; autre : 12 cartes → proba 12/15=4/5. Gain net : si multiple, $Y=8-c$ ; sinon $Y=-c$.
Loi : $P(Y=8-c)=1/5$ ; $P(Y=-c)=4/5$.
b) $E(Y)=(8-c)\times\frac{1}{5} + (-c)\times\frac{4}{5} = \frac{8-c -4c}{5} = \frac{8-5c}{5} = 1,6 - c$.
c) Équitable : $E(Y)=0 \Rightarrow 1,6 - c = 0 \Rightarrow c = 1,6$ €.
d) Pour $c=1,5$ : $E(Y)=1,6-1,5=0,1 >0$, favorable au joueur.
Tu maîtrises l'espérance ? Alors on va plus loin. Les exercices qui suivent dépassent un peu le programme de 1re, mais ils te donneront une longueur d'avance et une compréhension plus profonde. Tu vas voir la variance (pour mesurer les risques), la linéarité de l'espérance, et une première approche de la loi binomiale. Prêt pour le défi ?
Au-delà de l'espérance : la variance
La variance mesure la dispersion des valeurs autour de l'espérance. Plus elle est grande, plus les résultats sont éloignés de la moyenne, donc plus le risque est élevé (dans un jeu, par exemple).
Formule : $V(X) = E\big((X-E(X))^2\big)$. Une formule plus pratique : $V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2$, où $E(X^2) = \sum x_i^2 p_i$.
L'écart-type est $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$, il s'exprime dans la même unité que $X$.
Linéarité de l'espérance
Une propriété puissante : pour tous réels $a$ et $b$, $E(aX + b) = aE(X) + b$. Cela permet de calculer rapidement l'espérance d'une transformation affine sans refaire la loi.
Aperçu de la loi binomiale
Quand on répète $n$ fois la même expérience avec deux issues (succès/échec), de probabilité de succès $p$, le nombre de succès $S$ suit une loi binomiale. On admet que $E(S) = n p$. Exemple : si on lance 100 fois un dé, on espère en moyenne $100 \times \frac{1}{6} \approx 16,67$ fois le 6.
À toi de jouer
1. 1. Variance et écart-type : On donne la loi de $X$ : $P(X=1)=0,2$ ; $P(X=3)=0,5$ ; $P(X=6)=0,3$.
a) Calculer $E(X)$.
b) Calculer $E(X^2) = 1^2 \times 0,2 + 3^2 \times 0,5 + 6^2 \times 0,3$.
c) En déduire $V(X)$ puis l'écart-type $\sigma(X)$.
d) Interpréter ce que cela signifie en termes de dispersion.
Corrigé
a) $E(X)=1\times0,2+3\times0,5+6\times0,3=0,2+1,5+1,8=3,5$.
b) $E(X^2)=1\times0,2 + 9\times0,5 + 36\times0,3 = 0,2 + 4,5 + 10,8 = 15,5$.
c) $V(X)=E(X^2)-E(X)^2 = 15,5 - 12,25 = 3,25$. $\sigma(X)=\sqrt{3,25}\approx 1,80$.
d) L'écart-type de 1,80 indique qu'en moyenne les valeurs s'écartent de 1,80 autour de l'espérance 3,5.
2. 2. Linéarité : Soit $X$ une variable aléatoire de loi : $P(X=-1)=0,2$ ; $P(X=0)=0,5$ ; $P(X=2)=0,3$.
a) Calculer $E(X)$.
b) On définit $Y = 3X - 2$. Sans calculer la loi de $Y$, utiliser la propriété de linéarité pour déterminer $E(Y)$.
c) Vérifier en construisant la loi de $Y$ (valeurs de $Y$ = ...) puis en calculant directement $E(Y)$. Conclure.
Corrigé
a) $E(X) = (-1)\times0,2 + 0\times0,5 + 2\times0,3 = -0,2 + 0 + 0,6 = 0,4$.
b) Par linéarité : $E(Y) = 3E(X) - 2 = 3\times0,4 - 2 = 1,2 - 2 = -0,8$.
c) Loi de $Y$ : si $X=-1$, $Y=3(-1)-2=-5$ ; si $X=0$, $Y=-2$ ; si $X=2$, $Y=4$. Proba inchangées. $E(Y) = (-5)\times0,2 + (-2)\times0,5 + 4\times0,3 = -1 -1 + 1,2 = -0,8$. On retrouve bien -0,8.
3. 3. Loi binomiale : On lance 10 fois une pièce équilibrée (probabilité de Pile = 0,5). On note $S$ le nombre de Piles obtenus et $G$ le gain en euros : chaque Pile rapporte 3 €, chaque Face 0 €. Ainsi $G = 3S$.
a) Que vaut l'espérance de $S$ ? (rappel : $E(S) = n p$).
b) En déduire $E(G)$ en utilisant la linéarité.
c) Même question si on lance la pièce 50 fois, gain 2 € par Pile. Conclure sur le gain espéré.
Corrigé
a) $E(S) = 10 \times 0,5 = 5$.
b) $E(G) = 3 \times E(S) = 3 \times 5 = 15$ €.
c) Pour 50 lancers : $E(S)=50\times0,5=25$ ; $G=2S$ ; $E(G)=2\times25=50$ €. Le gain espéré augmente proportionnellement au nombre de lancers.