Variables aléatoires — Espérance

Modéliser le hasard par un nombre et calculer la valeur moyenne à long terme.

1 L'idée

Une variable aléatoire discrète $X$ associe à chaque issue d'une expérience aléatoire un nombre réel. Sa loi de probabilité est le tableau qui donne, pour chaque valeur $x_i$ prise par $X$, la probabilité $P(X = x_i)$. La somme de toutes ces probabilités vaut $1$.

L'espérance $E(X)$ est la moyenne théorique de $X$ : si l'on répète l'expérience un très grand nombre de fois, la moyenne des résultats observés se rapproche de $E(X)$. Dans un jeu de hasard, $E(X)$ représente le gain moyen par partie.

2 Formules essentielles

Somme des probabilités

$\sum_{i} P(X = x_i) = 1$

Espérance mathématique

$E(X) = \sum_{i} x_i \cdot P(X = x_i)$

3 Exemple — jeu de dé

Mise en place

On lance un dé équilibré. Le gain $X$ (en €) est : $+4$ € si le dé donne 6 ; $-3$ € si le dé donne 1 ; $0$ € sinon.

Tableau de la loi : $P(X = 4) = \dfrac{1}{6}$, $P(X = -3) = \dfrac{1}{6}$, $P(X = 0) = \dfrac{4}{6} = \dfrac{2}{3}$.

Vérification : $\dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{6} + \dfrac{4}{6} = \dfrac{6}{6} = 1$.

$E(X) = 4 \times \dfrac{1}{6} + (-3) \times \dfrac{1}{6} + 0 \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{6} - \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{6} \approx 0{,}17$ €.

En moyenne, le joueur gagne environ $0{,}17$ € par partie : le jeu est légèrement favorable au joueur.

Méthode — construire la loi et calculer E(X)

Lister toutes les valeurs distinctes que peut prendre $X$.
Calculer la probabilité $P(X = x_i)$ de chaque valeur.
Vérifier que $\sum P(X = x_i) = 1$ avant de continuer.
Calculer $E(X) = \sum x_i \cdot P(X = x_i)$.
Conclure : si $E(X) \gt 0$, jeu favorable au joueur ; si $E(X) \lt 0$, défavorable ; si $E(X) = 0$, jeu équitable.

Erreurs fréquentes

Oublier une valeur : recenser toutes les issues possibles.
Ne pas vérifier $\sum P(X = x_i) = 1$ avant de calculer $E(X)$ — un tableau incomplet fausse le résultat.
Confondre $E(X)$ avec une valeur réellement prise par $X$ : $E(X) = 1{,}6$ ne signifie pas que $X$ vaut $1{,}6$.
Oublier le signe négatif des pertes dans le calcul de $E(X)$.