Contrôle bientôt, et le mot « espérance » sonne plus comme une prière que comme des maths ? Respire. En quelques minutes tu tiens l'essentiel, la formule, et un exemple déroulé du début à la fin.
Les prérequis + l'essentiel en deux minutes
Pas de panique : cette notion tient en trois idées et deux formules. Voici d'abord ce qu'il te faut déjà savoir.
- Calculer une probabilité simple, souvent une fraction (cas favorables sur cas possibles), toujours comprise entre $0$ et $1$.
- Savoir que, pour une même expérience, la somme de toutes les probabilités vaut $1$.
- Faire une moyenne pondérée : multiplier chaque valeur par son poids, puis tout additionner.
L'essentiel en mots simples. Une variable aléatoire, notée $X$, est une machine qui colle un nombre sur chaque résultat du hasard (par exemple un gain en euros). La loi de probabilité de $X$ est le tableau qui dit quelles valeurs $X$ prend et avec quelles probabilités. L'espérance $E(X)$ est la moyenne à long terme : si tu répétais l'expérience un très grand nombre de fois, la moyenne des résultats se rapprocherait de $E(X)$. Dans un jeu, $E(X)$ est le gain moyen par partie.
Traduction de la deuxième formule : pour chaque valeur possible, tu fais valeur $\times$ sa probabilité, puis tu ajoutes tout. C'est tout.
Un exemple fait en entier
On déroule un exemple complet, du début à la fin, pour que tu voies la mécanique.
Retiens le geste : lister les valeurs, vérifier que la somme des probabilités fait $1$, puis multiplier-additionner. Tu tiens déjà l'essentiel du contrôle.
Ça y est, ça te revient : les petits tableaux de probabilités, les gains, cette moyenne un peu bizarre… On remet tout au propre, dans l'ordre, sans laisser de trou.
Les définitions propres
On repose les mots proprement, parce qu'au contrôle le vocabulaire compte autant que le calcul.
Variable aléatoire discrète. À chaque issue d'une expérience aléatoire, une variable aléatoire $X$ associe un nombre réel. On dit discrète quand $X$ ne prend qu'un nombre fini de valeurs $x_1, x_2, \dots, x_n$.
Loi de probabilité. C'est le tableau qui donne, pour chaque valeur $x_i$ prise par $X$, sa probabilité $P(X = x_i)$. Ces probabilités sont positives et leur somme vaut $1$ : $\displaystyle\sum_i P(X = x_i) = 1$. Cette vérification n'est pas un détail : c'est le contrôle de cohérence de toute la loi.
Espérance. L'espérance de $X$ est le nombre $\displaystyle E(X) = \sum_i x_i \times P(X = x_i)$. C'est la moyenne théorique de $X$ : la valeur vers laquelle tend la moyenne des résultats quand on répète l'expérience un grand nombre de fois. Géométriquement, $E(X)$ est le point d'équilibre de la loi : si tu poses les probabilités comme des masses sur les valeurs, $E(X)$ est l'endroit où l'ensemble se met en balance (vois la figure).
La méthode pas à pas
Voici la méthode à appliquer à chaque fois, dans cet ordre.
- Lister toutes les valeurs distinctes que peut prendre $X$.
- Calculer la probabilité $P(X = x_i)$ de chacune (arbre, comptage, tableau).
- Vérifier que $\sum_i P(X = x_i) = 1$ avant de continuer.
- Calculer $E(X) = \sum_i x_i \times P(X = x_i)$, sans oublier les valeurs négatives.
- Conclure selon le contexte.
Les trois cas à distinguer dans un jeu (quand $X$ est le gain algébrique du joueur) :
Un jeu est dit équitable lorsque l'espérance de gain est nulle : sur un grand nombre de parties, joueur et organisateur s'y retrouvent à égalité.
Exemple traité — le jeu de dé
On applique la méthode à l'exemple de référence du cours.
Chaussures de sport aux pieds : on refait les calculs ensemble, ligne par ligne. Tu ne fais rien tout seul ici, on avance à deux.
On refait le dé ensemble, ligne par ligne
On refait le jeu de dé ensemble, en commentant chaque ligne. Lis la ligne, puis regarde le pourquoi juste à côté en italique.
Deuxième exemple ensemble — un tirage de jeton
Deuxième exemple, un peu différent : ici les probabilités ne sont pas toutes égales. On y va ensemble.
Niveau contrôle maintenant. Les énoncés se déguisent — jeux, mises, tirages — mais dessous c'est toujours la même mécanique. On démonte les pièges un par un.
Problème type 1 — trouver la mise qui rend le jeu équitable
Niveau contrôle. Premier grand classique : on ne te donne pas l'espérance, on te demande de régler un paramètre (souvent la mise) pour rendre le jeu équitable.
- Que $X$ soit le gain net (mise déduite), pas seulement le versement de l'organisateur.
- Une espérance écrite en fonction de $m$, puis l'équation $E(X) = 0$ posée explicitement.
- Une phrase de conclusion qui répond à la question posée (la valeur de $m$), unité comprise.
Problème type 2 — construire la loi avec un arbre
Deuxième classique : on te décrit une situation et tu dois construire toute la loi toi-même, souvent avec un arbre. Ici, un tirage sans remise.
- Oublier de regrouper les chemins RV et VR : ils donnent tous deux $X = 1$, il faut ajouter leurs probabilités.
- Garder $\dfrac{3}{5}$ au deuxième tirage : sans remise, le dénominateur passe à $4$ et les effectifs changent.
- Confondre issues et valeurs : $4$ chemins dans l'arbre, mais seulement $3$ valeurs pour $X$.
- Annoncer $E(X)$ sans avoir vérifié que la somme des probabilités fait $1$.
Tu as compris l'espérance ? Alors regarde un cran plus loin : la variance qui l'accompagne, la loi qui explique pourquoi tout ça marche, et le pont vers la loi binomiale.
Au-delà : linéarité, variance, loi des grands nombres
Tu maîtrises l'espérance ? Voici ce qui vient se greffer dessus, en partie dès cette année, en partie l'an prochain.
1. La linéarité de l'espérance. Si tu transformes $X$ en $aX + b$ (par exemple : tous les gains multipliés par $a$, puis un bonus fixe $b$), alors
L'idée de la justification tient en une ligne, à partir de la définition :
car $\sum_i x_i\,P(X = x_i) = E(X)$ et $\sum_i P(X = x_i) = 1$. C'est exactement ce qu'on a utilisé plus haut pour la mise : déduire une mise fixe $m$ revient à prendre $b = -m$.
2. La variance et l'écart-type. L'espérance dit où se centre $X$, mais pas à quel point il est dispersé. La variance mesure l'écart moyen (au carré) à l'espérance : $\displaystyle V(X) = \sum_i \big(x_i - E(X)\big)^2\,P(X = x_i)$, et l'écart-type est $\sigma(X) = \sqrt{V(X)}$. Deux jeux peuvent avoir la même espérance mais des risques très différents : c'est la variance qui les sépare.
3. Pourquoi la moyenne observée tend vers $E(X)$. C'est la loi des grands nombres (que tu verras en Terminale) : plus on répète l'expérience, plus la moyenne des résultats se rapproche de $E(X)$. C'est ce que montre le graphe ci-dessous, et ce qui justifie l'expression gain moyen à long terme.
Les ponts vers d'autres notions
L'espérance est un outil qui se rebranche partout. Trois ponts pour situer la notion.
Quand $X$ compte le nombre de succès lors de $n$ répétitions indépendantes d'une même épreuve de probabilité de succès $p$, $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(n, p)$. On démontre alors une formule très compacte de l'espérance :
Par exemple, sur $n = 10$ lancers d'une pièce équilibrée ($p = \dfrac{1}{2}$), on attend en moyenne $E(X) = 10 \times \dfrac{1}{2} = 5$ piles — sans avoir à lister toutes les valeurs.
L'espérance est la version théorique de la moyenne d'une série statistique : la moyenne d'un échantillon estime $E(X)$, d'autant mieux que l'échantillon est grand. C'est le pont entre le hasard (probabilités) et les données observées (statistiques), au cœur du programme de Terminale.
Loi de probabilité $\rightarrow$ espérance (le centre) $\rightarrow$ variance et écart-type (la dispersion) $\rightarrow$ loi binomiale (un cas type) $\rightarrow$ loi des grands nombres (la justification). Tout part du même geste de base : chaque valeur fois sa probabilité, puis on additionne.