Tu débarques dans le chapitre ? On y va tout doux : chaque exercice te donne les deux calculs à faire, tu n'as qu'à remplir les trous. Une soustraction, une division, et une phrase pour dire ce que ça veut dire. Rien d'autre.
Pour comparer deux quantités $a$ et $b$ :
a) $15-5=10$ ; $\dfrac{15}{5}=3$.
b) $36-9=27$ ; $\dfrac{36}{9}=4$.
c) $7{,}5-2{,}5=5$ ; $\dfrac{7{,}5}{2{,}5}=3$.
d) $120-100=20$ ; $\dfrac{120}{100}=1{,}2$.
a) $45-9=36$, donc $A$ dépasse $B$ de $36$ ; $\dfrac{45}{9}=5$, donc $A$ vaut $5$ fois $B$.
b) $250-50=200$ ; $\dfrac{250}{50}=5$.
c) « dépasse de » vient de la soustraction : c'est la comparaison additive. « vaut tant de fois » vient de la division : c'est la comparaison multiplicative. Remarque que dans a) et b) le rapport est le même ($5$) alors que les écarts sont très différents ($36$ et $200$).
a) $75-60=15$ €.
b) $\dfrac{75}{60}=1{,}25$.
c) $1{,}25=1+0{,}25$, donc $+25\,\%$. Contrôle : $60\times 1{,}25 = 75$.
a) Vrai : $1\,200-1\,000=200$ (comparaison additive).
b) Vrai : $\dfrac{1\,200}{1\,000}=1{,}2=1+0{,}2$, donc $+20\,\%$ (comparaison multiplicative).
c) Faux : doubler signifierait un rapport égal à $2$, donc un salaire de $2\,000$ €. Ici le rapport vaut $1{,}2$.
Tu reconnais le principe, il te manque la rigueur. Ici on utilise les deux comparaisons pour ce qu'elles servent d'abord : ranger deux nombres. Puis on traduit chaque calcul en variation additive et en variation multiplicative.
Pour ranger $a$ et $b$ : le signe de $a-b$ suffit ($a-b \gt 0 \Leftrightarrow a \gt b$). Si $a$ et $b$ sont strictement positifs, la position de $\dfrac{a}{b}$ par rapport à $1$ suffit aussi ($\dfrac{a}{b} \gt 1 \Leftrightarrow a \gt b$).
Et pour dire le résultat : $a = b + d$ avec $d=a-b$ (variation additive), ou $a = k\times b$ avec $k=\dfrac{a}{b}$ (variation multiplicative).
a) $0{,}7-0{,}68=0{,}02 \gt 0$, donc $0{,}7 \gt 0{,}68$.
b) $\dfrac{5}{8}=0{,}625$ et $0{,}625-0{,}6=0{,}025 \gt 0$, donc $\dfrac{5}{8} \gt 0{,}6$.
c) $\dfrac{3}{7}=\dfrac{27}{63}$ et $\dfrac{4}{9}=\dfrac{28}{63}$, donc $\dfrac{3}{7}-\dfrac{4}{9}=-\dfrac{1}{63} \lt 0$ : $\dfrac{3}{7} \lt \dfrac{4}{9}$.
a) $\dfrac{0{,}7}{0{,}68}=\dfrac{70}{68}=\dfrac{35}{34}\approx 1{,}03 \gt 1$, donc $0{,}7 \gt 0{,}68$.
b) $\dfrac{5}{8}\div 0{,}6=\dfrac{0{,}625}{0{,}6}=\dfrac{25}{24}\approx 1{,}04 \gt 1$, donc $\dfrac{5}{8} \gt 0{,}6$.
c) $\dfrac{3}{7}\div\dfrac{4}{9}=\dfrac{3}{7}\times\dfrac{9}{4}=\dfrac{27}{28} \lt 1$, donc $\dfrac{3}{7} \lt \dfrac{4}{9}$. Les trois conclusions sont exactement celles de l'exercice 1 : les deux méthodes rangent pareil.
d) Le critère « rapport $\gt 1$ » suppose un dénominateur strictement positif. Avec $a=5$ et $b=-3$ : $\dfrac{5}{-3}=-\dfrac{5}{3} \lt 1$, ce qui ferait conclure $5 \lt -3$ — et c'est faux. Diviser par un nombre négatif renverse l'inégalité. Ici on compare par la différence : $5-(-3)=8 \gt 0$, donc $5 \gt -3$.
a) $d=90-72=18$, donc $90=72+18$ ; $k=\dfrac{90}{72}=1{,}25$, donc $90=1{,}25\times 72$. Contrôle : $72\times 1{,}25=90$.
b) $d=45-60=-15$, donc $45=60-15$ ; $k=\dfrac{45}{60}=0{,}75$, donc $45=0{,}75\times 60$.
c) $k=1{,}25=1+0{,}25$ : $+25\,\%$. $k=0{,}75=1-0{,}25$ : $-25\,\%$.
a) $18-12=6$ : il y a $6$ filles de plus que de garçons.
b) $\dfrac{18}{12}=\dfrac{3}{2}=1{,}5$ : il y a $1{,}5$ fois plus de filles que de garçons, soit un rapport de $3$ filles pour $2$ garçons.
c) La classe compte $18+12=30$ élèves. Filles : $\dfrac{18}{30}=0{,}6=60\,\%$. Garçons : $\dfrac{12}{30}=0{,}4=40\,\%$.
d) Par différence : $60-40=20$, soit $20$ points de pourcentage d'écart. Par rapport : $\dfrac{60}{40}=1{,}5$, soit $50\,\%$ de plus. Les deux nombres, $20$ points et $+50\,\%$, décrivent le même couple $(60\,\% ; 40\,\%)$ : le premier par différence, le second par rapport.
Entraînement en série : six couples, les mêmes trois cases à remplir — différence, rapport, variation en pourcentage — et une question de plus à la fin. Au sixième, ce sera devenu un réflexe.
$140-100=40$ ; $\dfrac{140}{100}=1{,}4$ ; $1{,}4=1+0{,}4$ donc $+40\,\%$.
$180-150=30$ ; $\dfrac{180}{150}=1{,}2$ ; donc $+20\,\%$. Contrôle : $150\times 1{,}2=180$.
$90-120=-30$ ; $\dfrac{90}{120}=0{,}75$ ; $0{,}75=1-0{,}25$ donc $-25\,\%$. Le rapport est inférieur à $1$ : c'est une baisse.
$25-20=5$ ; $\dfrac{25}{20}=1{,}25$ ; donc $+25\,\%$.
$84-105=-21$ ; $\dfrac{84}{105}=0{,}8$ ; $0{,}8=1-0{,}2$ donc $-20\,\%$. Contrôle : $105\times 0{,}8=84$.
$350-7=343$ ; $\dfrac{350}{7}=50$ ; $50=1+49$ donc $+4\,900\,\%$.
Quand le rapport est aussi grand, on préfère dire « $50$ fois plus » : le pourcentage devient illisible, et l'écart de $343$ ne dit rien tant qu'on ne connaît pas l'ordre de grandeur du point de départ.
Sujets type contrôle, avec les pièges dedans. Points de pourcentage, hausses qui s'enchaînent, formulations trompeuses : c'est exactement ce que ton professeur va mettre. Rédige en annonçant à chaque fois quelle comparaison tu fais.
a) Lycée A : $\dfrac{75}{1\,250}=0{,}06=6\,\%$. Lycée B : $\dfrac{56}{800}=0{,}07=7\,\%$.
b) $7-6=1$ : le lycée B a $1$ point de pourcentage de plus que le lycée A.
c) $\dfrac{7}{6}\approx 1{,}1667$, soit environ $+16{,}7\,\%$ : la part du lycée B dépasse celle du lycée A d'environ $16{,}7\,\%$.
d) La phrase confond points et pour cent. Il faut écrire « le lycée B fait mieux de $1$ point » ou « de $16{,}7\,\%$ environ ». Écrire « $1\,\%$ » est faux dans les deux lectures.
a) X : $1\,508-1\,450=58$ €. Y : $2\,266-2\,200=66$ €. Y gagne $66-58=8$ € de plus que X : en euros, c'est Y le mieux servi.
b) X : $\dfrac{1\,508}{1\,450}=1{,}04$, soit $+4\,\%$. Y : $\dfrac{2\,266}{2\,200}=1{,}03$, soit $+3\,\%$. En pourcentage, c'est X. Contrôles : $1\,450\times 1{,}04=1\,508$ et $2\,200\times 1{,}03=2\,266$.
c) Parce que les deux comparaisons donnent deux gagnants différents et qu'aucune n'est fausse. La comparaison additive mesure le pouvoir d'achat gagné en euros ; la comparaison multiplicative mesure l'effort de l'employeur rapporté au salaire de départ. Il faut préciser « en euros » ou « en pourcentage ».
a) Comparaison additive : $6-8=-2$, soit un recul de $2$ points de pourcentage. Comparaison multiplicative : $\dfrac{6}{8}=0{,}75=1-0{,}25$, soit $-25\,\%$.
b) Oui, parfaitement : ce sont les deux comparaisons du même couple $(8\,\% ; 6\,\%)$. L'une soustrait les deux taux, l'autre les divise.
c) Parce qu'il annonce le résultat d'une soustraction (comparaison additive) avec l'unité de la comparaison multiplicative. « $-2\,\%$ » signifierait un rapport de $0{,}98$, donc un taux final de $8\times 0{,}98 = 7{,}84\,\%$ — ce qui n'est pas le cas. Le mot juste pour une différence de deux taux est « point ».
a) $90\times 1{,}10 = 99$, puis $99\times 1{,}10 = 108{,}9$ €. Comparaison multiplicative : $\dfrac{108{,}9}{90}=1{,}21$, soit $+21\,\%$ et non $+20\,\%$. Les coefficients se multiplient ($1{,}10\times 1{,}10=1{,}21$), les taux ne s'additionnent pas.
b) $90\times 1{,}20 = 108$, puis $108\times 0{,}80 = 86{,}4$ €. Comparaison multiplicative : $\dfrac{86{,}4}{90}=0{,}96$, soit $-4\,\%$. On ne revient pas à $90$ € : la baisse de $20\,\%$ s'applique à $108$ €, pas à $90$ €. La référence a changé entre les deux étapes.
a) Magasin A : baisser de $30\,\%$, c'est multiplier par $1-0{,}30=0{,}70$, donc $80\times 0{,}70 = 56$ €. Magasin B : passer à $30\,\%$, c'est multiplier par $0{,}30$, donc $80\times 0{,}30 = 24$ €.
b) Additive : $56-24=32$ € d'écart. Multiplicative : $\dfrac{56}{24}\approx 2{,}33$ : le prix de A vaut environ $2{,}33$ fois celui de B.
c) « Baisser de $30\,\%$ » retire $30\,\%$ au prix, il en reste $70\,\%$ ; « passer à $30\,\%$ » fixe le nouveau prix à $30\,\%$ du prix d'origine, c'est-à-dire une baisse de $70\,\%$. Le mot « de » annonce l'écart, le mot « à » annonce la valeur d'arrivée.
Pour les curieux. On quitte les nombres pour les expressions : comparer, en algèbre, c'est étudier le signe d'une différence ou la position d'un rapport par rapport à $1$. C'est le geste que tu utiliseras toute l'année de première.
a) $\left(x^{2}+1\right)-2x = x^{2}-2x+1$.
b) $x^{2}-2x+1=(x-1)^{2}$.
c) Un carré est positif ou nul : $(x-1)^{2}\geqslant 0$ pour tout réel $x$. La différence étant positive ou nulle, on a $x^{2}+1 \geqslant 2x$ pour tout réel $x$.
d) L'égalité a lieu quand $(x-1)^{2}=0$, c'est-à-dire pour $x=1$ (et on vérifie : $1^{2}+1=2$ et $2\times 1 = 2$).
a) $x^{2}-x = x(x-1)$.
b) Le produit s'annule en $0$ et en $1$. Il est positif pour $x \lt 0$, négatif pour $0 \lt x \lt 1$, positif pour $x \gt 1$.
c) Pour $x \lt 0$ la différence est positive, donc $x^{2} \gt x$. Pour $0 \lt x \lt 1$ elle est négative, donc $x^{2} \lt x$. Pour $x \gt 1$ elle est positive, donc $x^{2} \gt x$. En $x=0$ et en $x=1$ la différence est nulle : $x^{2}=x$.
d) $x=-2$ : $x^{2}=4 \gt -2$. $x=0{,}5$ : $x^{2}=0{,}25 \lt 0{,}5$. $x=2$ : $x^{2}=4 \gt 2$. Conforme.
a) 2025 : $\dfrac{300}{250}\times 100 = 120$. 2026 : $\dfrac{285}{250}\times 100 = 114$.
b) $\dfrac{285}{300}=0{,}95=1-0{,}05$, soit $-5\,\%$ entre 2025 et 2026.
c) Non. $120-114=6$ est une comparaison additive : on a perdu $6$ points d'indice. La baisse en pourcentage est une comparaison multiplicative par rapport à 2025, et vaut $-5\,\%$. Le même piège que « points de pourcentage » contre « pour cent ».
a) $f(1)=3\times 1-2=1$ et $f(5)=3\times 5-2=13$.
b) Différence : $13-1=12$. Pour le rapport, on vérifie d'abord que les deux images sont strictement positives : $f(1)=1 \gt 0$ et $f(5)=13 \gt 0$. Alors $\dfrac{13}{1}=13$.
c) $\dfrac{f(5)-f(1)}{5-1}=\dfrac{12}{4}=3$ : on retrouve le coefficient $m=3$ de $f(x)=3x-2$. C'est le taux d'accroissement de la fonction affine.
d) La comparaison additive : pour une fonction affine, chaque unité gagnée sur $x$ ajoute toujours $3$ à $f(x)$. Le rapport $\dfrac{f(5)}{f(1)}=13$, lui, dépend de l'endroit où on se place et ne dit rien de stable. Pour une fonction linéaire ($p=0$), le rapport de deux images n'est pas constant non plus, mais c'est alors $\dfrac{f(x)}{x}$ qui l'est et qui vaut $m$.
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