Contrôle demain et tu découvres le chapitre ? Bonne nouvelle : il n'y a que deux calculs à savoir faire, une soustraction et une division. Toute la difficulté est de savoir lequel des deux répond à la question posée. C'est exactement ce qu'on va régler ici.
Trois gestes déjà connus, rien de plus :
Si tu sais faire ces trois choses, tu sais déjà tout comparer.
Comparer deux quantités $a$ et $b$, ce n'est pas une seule opération, c'est un choix entre deux questions.
Sur l'exemple $a=12$ et $b=3$ :
Les deux phrases sont vraies en même temps et décrivent le même couple de nombres. Elles ne se contredisent pas : elles ne répondent simplement pas à la même question.
Étape 1 — comparaison additive. On soustrait : $100-80=20$. L'abonnement a augmenté de $20$ €. La réponse porte une unité, ici l'euro.
Étape 2 — comparaison multiplicative. On divise : $\dfrac{100}{80}=1{,}25$. Le nouveau prix vaut $1{,}25$ fois l'ancien. Ce nombre n'a pas d'unité.
Étape 3 — on le dit en pourcentage. $1{,}25=1+0{,}25$, et $0{,}25=25\,\%$ : le prix a augmenté de $25\,\%$.
Conclusion. « $+20$ € » et « $+25\,\%$ » décrivent la même hausse. La première réponse est additive, la seconde est multiplicative.
Retiens la règle de traduction : une différence garde l'unité de départ (€, kg, habitants), un rapport n'en a aucune et se dit « fois » ou « pour cent ».
Tu as déjà croisé « de plus » et « fois plus » sans y mettre de nom. On reprend proprement : les deux définitions du programme, le lien avec le pourcentage, et le vocabulaire exact (écart, rapport, ratio) que le correcteur attend.
Soient deux quantités $a$ et $b$ exprimées dans la même unité.
Attention à l'ordre : $a-b$ et $\dfrac{a}{b}$ comparent $a$ à $b$. Le nombre cité en second, ici $b$, est la référence.
Ces deux calculs servent d'abord à savoir lequel est le plus grand, même quand les nombres ne se comparent pas à vue d'œil.
| Signe de $a-b$ | $a-b \gt 0$ | $a-b=0$ | $a-b \lt 0$ |
| Conclusion | $a \gt b$ | $a=b$ | $a \lt b$ |
| Position de $\dfrac{a}{b}$ ($a,b \gt 0$) | $\dfrac{a}{b} \gt 1$ | $\dfrac{a}{b}=1$ | $\dfrac{a}{b} \lt 1$ |
| Conclusion | $a \gt b$ | $a=b$ | $a \lt b$ |
Le second tableau exige $a \gt 0$ et $b \gt 0$, comme l'écrit le programme. C'est le dénominateur qui pose problème : diviser par un nombre négatif renverse les inégalités, et « deux fois plus » n'a de toute façon aucun sens pour une température de $-4$ °C. La comparaison multiplicative est donc réservée aux nombres strictement positifs ; la comparaison additive, elle, marche toujours.
Une fois le calcul fait, il faut le dire. Deux écritures, deux façons de parler :
Exemple avec $a=90$ et $b=72$ : $d = 90-72 = 18$, donc $90 = 72+18$ ; et $k=\dfrac{90}{72}=1{,}25$, donc $90 = 1{,}25 \times 72$. En pourcentage, $t = 0{,}25$ : $90$ dépasse $72$ de $25\,\%$.
Quand $b$ est une valeur de départ et $a$ la valeur d'arrivée, ces trois nombres portent les noms du chapitre statistique : $d$ est la variation absolue, $k$ le coefficient multiplicateur, $t$ le taux d'évolution. Autrement dit, une évolution n'est rien d'autre qu'une comparaison entre deux instants.
Trois formulations circulent, et elles ne veulent pas dire la même chose. Fixe-les une fois pour toutes :
Un rapport se simplifie comme une fraction : dire « $18$ pour $12$ » ou « $3$ pour $2$ » revient au même, puisque $\dfrac{18}{12}=\dfrac{3}{2}$.
La différence change simplement de signe quand on inverse les rôles : $100-80=20$ et $80-100=-20$. Le rapport, lui, s'inverse : $\dfrac{100}{80}=1{,}25$ mais $\dfrac{80}{100}=0{,}8$.
Traduit en pourcentages : $100$ dépasse $80$ de $25\,\%$, alors que $80$ est inférieur à $100$ de $20\,\%$. Ce ne sont pas les mêmes pourcentages, parce que la référence a changé. Avant d'annoncer un pourcentage, demande-toi toujours : par rapport à quoi ?
Trois situations, traitées entièrement, ligne par ligne. La première montre les deux calculs côte à côte, la deuxième montre qu'ils peuvent désigner deux gagnants différents, la troisième attaque le piège n°1 du chapitre : les points de pourcentage.
Ligne 1 — additif. $24\,000-8\,000 = 16\,000$. Ville A compte $16\,000$ habitants de plus que ville B. L'unité « habitant » est conservée.
Ligne 2 — multiplicatif. Les deux nombres sont strictement positifs, on peut diviser : $\dfrac{24\,000}{8\,000}=3$. Ville A est $3$ fois plus peuplée que ville B.
Ligne 3 — en pourcentage. $3 = 1+2$, et $2 = 200\,\%$ : ville A compte $200\,\%$ d'habitants de plus que ville B. (Pas $300\,\%$ : $300\,\%$ serait le rapport lui-même, pas l'excédent.)
Conclusion. $+16\,000$ habitants, ou $\times 3$ : deux réponses justes. La seconde est plus parlante pour comparer deux villes de tailles très différentes ; la première l'est pour dimensionner un réseau de bus.
Ligne 1 — comparaison additive des deux hausses. Léa : $1\,680-1\,600 = 80$ €. Sam : $2\,496-2\,400 = 96$ €. En euros, Sam gagne davantage : $96 \gt 80$.
Ligne 2 — comparaison multiplicative. Léa : $\dfrac{1\,680}{1\,600}=1{,}05$. Sam : $\dfrac{2\,496}{2\,400}=1{,}04$.
Ligne 3 — traduction. $1{,}05 = 1+0{,}05$ donc $+5\,\%$ pour Léa ; $1{,}04 = 1+0{,}04$ donc $+4\,\%$ pour Sam. En pourcentage, c'est Léa la mieux augmentée.
Vérification. $1\,600 \times 1{,}05 = 1\,680$ et $2\,400 \times 1{,}04 = 2\,496$. Les deux coefficients sont bons.
Conclusion. Les deux comparaisons désignent des gagnants différents, et aucune ne se trompe. La question « qui a été le mieux augmenté ? » est ambiguë tant qu'on n'a pas dit « en euros » ou « en pourcentage ». C'est tout l'enjeu du chapitre.
Ligne 1 — additif. $6-4 = 2$. La part a gagné $2$ points de pourcentage. On dit « points », jamais « pour cent », parce qu'on a soustrait deux pourcentages.
Ligne 2 — multiplicatif. $\dfrac{6}{4}=1{,}5$, soit $1+0{,}5$ : la part a augmenté de $50\,\%$.
Ligne 3 — les deux ensemble. « $+2$ points » et « $+50\,\%$ » décrivent la même chose. Le premier compare les deux taux entre eux, le second compare la hausse au taux de départ.
Ligne 4 — vérification sur les effectifs. Sur $850$ élèves : $4\,\%$ de $850$ font $34$ élèves, $6\,\%$ de $850$ font $51$ élèves. Additif : $51-34 = 17$ élèves de plus. Multiplicatif : $\dfrac{51}{34}=1{,}5$, soit bien $+50\,\%$. Le rapport se lit tel quel sur les effectifs : $1{,}5$ des deux côtés. L'écart en points, lui, doit être converti avant de se lire en élèves : $2\,\%$ de $850$ font bien les $17$ élèves trouvés.
Conclusion. Écrire « la part a augmenté de $2\,\%$ » est une faute : c'est $2$ points, ou $50\,\%$.
Niveau contrôle. On fixe la méthode en quatre étapes, on déroule un problème complet comme au tableau, puis on liste ce qui rapporte des points — et les cinq pièges qui en coûtent, à commencer par les points de pourcentage.
1. Repérer la référence. À quoi compare-t-on ? C'est le nombre qui sera au dénominateur et qu'on soustrait.
2. Lire l'unité de la réponse attendue, pas seulement les mots. Si la réponse se dit en euros, en habitants, en points $\Rightarrow$ additif (« de combien ? », « quel écart ? »). Si elle se dit « fois » ou « pour cent » $\Rightarrow$ multiplicatif (« combien de fois ? », « quel rapport ? », « de quel pourcentage cela a-t-il augmenté ? »). Méfie-toi de « de plus », qui ne tranche rien : « $16\,000$ habitants de plus » est additif, « $200\,\%$ de plus » est multiplicatif.
3. Calculer. $a-b$ dans le premier cas ; $\dfrac{a}{b}$ dans le second, après avoir vérifié que $a$ et $b$ sont strictement positifs.
4. Rédiger avec la bonne unité. Une différence se dit en euros, en habitants, en points si on a soustrait des pourcentages. Un rapport se dit « fois » ou « pour cent », jamais en euros.
Deux magasins d'une même enseigne. Le magasin A a vendu $250$ articles en janvier et $300$ en février. Le magasin B en a vendu $40$ en janvier et $60$ en février.
1. Comparer les deux hausses par une comparaison additive. 2. Les comparer par une comparaison multiplicative. 3. Le directeur veut récompenser « le magasin qui a le plus progressé ». Que lui répondre ? 4. La part de marché de l'enseigne dans la ville est passée de $8\,\%$ à $10\,\%$ : de combien a-t-elle progressé ?
1. Comparaison additive. Magasin A : $300-250 = 50$ articles de plus. Magasin B : $60-40 = 20$ articles de plus. L'écart entre ces deux hausses vaut $50-20 = 30$ articles : en volume, A progresse plus que B.
2. Comparaison multiplicative. Magasin A : $\dfrac{300}{250}=1{,}2$, soit $+20\,\%$. Magasin B : $\dfrac{60}{40}=1{,}5$, soit $+50\,\%$. En pourcentage, B progresse deux fois et demie plus vite, puisque $\dfrac{50}{20}=2{,}5$.
3. Que répondre. Que la question est incomplète. « Le plus progressé en nombre d'articles » désigne A ($+50$ contre $+20$) ; « le plus progressé en pourcentage » désigne B ($+50\,\%$ contre $+20\,\%$). Un magasin qui part de $40$ ventes n'est pas comparable à un magasin qui part de $250$ : c'est justement pour cela qu'on dispose de deux comparaisons.
4. La part de marché. Additif : $10-8 = 2$, soit $+2$ points de pourcentage. Multiplicatif : $\dfrac{10}{8}=1{,}25$, soit $+25\,\%$. On écrit donc « la part de marché a gagné $2$ points, ce qui représente une hausse de $25\,\%$ » — et surtout pas « une hausse de $2\,\%$ ».
Dès que les deux quantités comparées sont elles-mêmes des pourcentages, les deux comparaisons produisent deux nombres qu'on confond tout le temps.
Passer de $4\,\%$ à $6\,\%$, c'est $+2$ points (comparaison additive : $6-4$) et $+50\,\%$ (comparaison multiplicative : $\dfrac{6}{4}=1{,}5$). Le mot « point » est réservé à la différence de deux taux.
Les trois derniers pièges relèvent des évolutions successives et de l'évolution réciproque, détaillées avec les coefficients multiplicateurs dans la fiche Variance et écart-type, qui porte tout le chapitre d'information chiffrée.
Tu maîtrises les deux gestes sur des nombres ? On les applique maintenant à des expressions, ce qui est leur vrai usage en algèbre — puis on regarde ce qu'ils deviennent en première, où toute la croissance se lit en multiplicatif.
La comparaison additive n'est pas réservée aux nombres. Pour comparer deux expressions $A(x)$ et $B(x)$, on étudie le signe de $A(x)-B(x)$. C'est la technique standard de tout le lycée.
Étape 1. On forme la différence : $\left(x^{2}+1\right)-2x = x^{2}-2x+1$.
Étape 2. On reconnaît un carré : $x^{2}-2x+1 = (x-1)^{2}$.
Étape 3. Un carré est toujours positif ou nul : $(x-1)^{2}\geqslant 0$ pour tout réel $x$.
Conclusion. La différence est positive ou nulle, donc $x^{2}+1 \geqslant 2x$ quel que soit $x$, avec égalité uniquement pour $x=1$. Aucune valeur numérique n'a été nécessaire : c'est une comparaison démontrée, pas constatée.
La comparaison multiplicative a son équivalent : pour deux expressions strictement positives, on compare $\dfrac{A(x)}{B(x)}$ à $1$. Par exemple, pour $x \gt 0$, $\dfrac{1}{x}\div x = \dfrac{1}{x^{2}}$ : ce rapport est inférieur à $1$ dès que $x \gt 1$, donc $\dfrac{1}{x} \lt x$ ; il est supérieur à $1$ pour $0 \lt x \lt 1$, donc $\dfrac{1}{x} \gt x$ ; et il vaut $1$ pour $x=1$, où les deux expressions sont égales.
Pour une fonction affine $f(x)=mx+p$, le coefficient $m$ s'interprète comme un taux d'accroissement : c'est la comparaison additive des images, divisée par la comparaison additive des antécédents.
Avec $f(x)=3x-2$ : $f(5)=13$ et $f(1)=1$, donc $f(5)-f(1)=12$, tandis que $5-1=4$. Le quotient $\dfrac{12}{4}=3$ redonne exactement $m=3$. Autrement dit, chaque unité gagnée sur $x$ fait gagner $3$ à $f(x)$ — une variation additive constante. Attention : ce « taux »-là n'est pas le taux d'évolution du palier précédent, qui est sans unité ; celui-ci s'exprime en unités de $f$ par unité de $x$. C'est la signature des fonctions affines, et ce sera le point de départ du nombre dérivé en première.
Le fil à garder : dès qu'une grandeur se construit par multiplications répétées, la comparaison additive devient trompeuse et seule la comparaison multiplicative reste lisible. Reconnaître lequel des deux régimes on observe, c'est déjà faire des mathématiques appliquées.
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