Mathématiques3eAlgorithmique et programmationExercices + corrigé
Programmes de calcul — Exercices
Tester, conjecturer, prouver. Corrigé en fin de document.
1Tester et conjecturer/ 3 pts
On considère le programme P : « Choisir un nombre, lui ajouter 5, multiplier le résultat par 2, soustraire 4, puis retrancher le double du nombre choisi. »
- Appliquer P avec $n = 3$, puis avec $n = -1$. Détailler les calculs.
- Formuler une conjecture sur le résultat de P.
2Prouver la conjecture/ 4 pts
On reprend le programme P de l'exercice 1.
- Désigner le nombre de départ par $x$. Écrire l'expression littérale du résultat de P.
- Développer et réduire cette expression.
- Conclure : la conjecture formulée à l'exercice 1 est-elle prouvée ?
3Comparer deux programmes/ 4 pts
Programme A : « Choisir un nombre, ajouter 3, multiplier le résultat par 5. »
Programme B : « Choisir un nombre, multiplier par 5, ajouter 15. »
- Appliquer A et B avec $n = 2$. Que remarque-t-on ?
- Prouver, à l'aide du calcul littéral, que A et B donnent toujours le même résultat.
4Résultat toujours pair/ 4 pts
Programme Q : « Choisir un entier $n$, calculer le produit de $n$ et de son successeur $n+1$. »
- Calculer Q pour $n = 3$, $n = 4$ et $n = 5$. Formuler une conjecture.
- Prouver la conjecture en distinguant le cas où $n$ est pair et le cas où $n$ est impair.
5Calcul malin — multiple de 4/ 5 pts
Programme R : « Choisir un entier $n$, calculer $(n+1)^2-(n-1)^2$. »
- Calculer R pour $n = 3$ et $n = 7$. Que remarque-t-on ?
- Factoriser $(n+1)^2-(n-1)^2$ à l'aide d'une identité remarquable.
- En déduire que R est toujours un multiple de 4.
Corrigé détaillé
1Tester et conjecturer
a) n = 3 \((3+5)\times 2 - 4 - 2\times 3 = 16-4-6 =\) \(6\)
a) n = -1 \((-1+5)\times 2 - 4 - 2\times(-1) = 8-4+2 =\) \(6\)
b) Conjecture \(\text{Le résultat vaut } 6 \text{ dans les deux cas.}\) \(\text{Conjecture : P donne toujours } 6.\)
2Prouver la conjecture
a) Expression littérale \(\text{Résultat de P} =\) \((x+5)\times 2 - 4 - 2x\)
b) Développement et réduction \((x+5)\times 2 - 4 - 2x = 2x+10-4-2x =\) \(6\)
c) Conclusion \(\text{L'expression vaut } 6 \text{ quel que soit } x.\) \(\text{La conjecture est prouvée.}\)
3Comparer deux programmes
a) Test n = 2 \(A : (2+3)\times 5 = 25 \qquad B : 2\times 5+15 = 25\) \(\text{Les deux programmes donnent le même résultat.}\)
b) Expression de A \((x+3)\times 5 =\) \(5x+15\)
b) Expression de B \(5x+15\) \(\text{A et B ont la même expression } 5x+15 \text{ : ils donnent toujours le même résultat.}\)
4Résultat toujours pair
a) Tests et conjecture \(n=3 : 3\times 4=12 \quad n=4 : 4\times 5=20 \quad n=5 : 5\times 6=30\) \(\text{Conjecture : } n(n+1) \text{ est toujours pair.}\)
b) Cas n pair \(n=2k \Rightarrow n(n+1)=2k(n+1)\) \(\text{Divisible par 2 : pair.}\)
b) Cas n impair \(n=2k+1 \Rightarrow n+1=2(k+1) \Rightarrow n(n+1)=n\cdot 2(k+1)\) \(\text{Divisible par 2 : pair.}\)
Conclusion \(\text{Dans les deux cas, } n(n+1) \text{ est pair.}\) \(\text{La conjecture est prouvée.}\)
5Calcul malin — multiple de 4
a) Tests \(n=3 : 4^2-2^2=16-4=12=4\times 3 \qquad n=7 : 8^2-6^2=64-36=28=4\times 7\) \(\text{Le résultat semble être } 4n.\)
b) Factorisation \((n+1)^2-(n-1)^2 = \bigl[(n+1)+(n-1)\bigr]\cdot\bigl[(n+1)-(n-1)\bigr] = 2n\cdot 2 =\) \(4n\)
c) Conclusion \(4n = 4\times n\) \(\text{Le résultat est toujours } 4n \text{, donc un multiple de 4.}\)