Pas de panique ! On part de zéro, on va à l'essentiel et tu vas vite devenir fonctionnel. Avant de plonger dans les programmes de calcul, on réactive trois réflexes indispensables : calculer avec des nombres relatifs et des fractions, respecter les priorités opératoires et les parenthèses, et utiliser une lettre pour représenter un nombre. Accroche-toi, on y va ensemble.
Prérequis express
1. Calculer avec des nombres relatifs et des fractions
Tu sais additionner, soustraire, multiplier et diviser des nombres positifs et négatifs. Exemple : $-3 + 5 = 2$, $4 \times (-2) = -8$. Pour les fractions, on applique les mêmes règles. On en aura besoin pour tester les programmes.
2. Priorités opératoires et parenthèses
Dans un calcul, on effectue d'abord ce qui est entre parenthèses, puis les multiplications/divisions, enfin les additions/soustractions. Exemple : $ (2+3) \times 4 = 5 \times 4 = 20$, alors que $2+3 \times 4 = 2+12 = 14$. Les parenthèses changent tout !
3. Une lettre pour un nombre
En maths, on peut remplacer un nombre inconnu par une lettre, souvent $x$. Cela permet d'écrire des expressions comme $x+5$ ou $3x$. On apprendra à les manipuler.
L'essentiel : tester un programme de calcul
Un programme de calcul est une suite d'instructions qu'on applique à un nombre de départ. Tester le programme, c'est choisir une ou deux valeurs numériques, faire les calculs et observer le résultat. Si on obtient toujours la même chose, on peut faire une conjecture (une supposition). Mais attention : tester ne suffit pas pour être sûr que ça marche pour tous les nombres ! La preuve viendra plus tard.
Exemple : Programme P : « Choisir un nombre, ajouter 4, multiplier par 2, soustraire 8. »
Test avec $n=3$ : $(3+4)\times 2 - 8 = 7\times 2 - 8 = 14-8 = 6$.
Test avec $n=-1$ : $(-1+4)\times 2 - 8 = 3\times 2 - 8 = 6-8 = -2$ ? Ah, ici le résultat n'est pas le même, donc pas de conjecture de constance. Mais souvent les programmes sont conçus pour donner un résultat fixe.
À toi de jouer
1. On considère le programme : « Choisir un nombre, ajouter 2, multiplier par 5. »
Complète les étapes pour $n=1$ puis pour $n=-4$.
Pour $n=1$ :
$1 + \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
$\underline{\hspace{1.1em}} \times 5 = \underline{\hspace{1.1em}}$
Pour $n=-4$ :
$-4 + \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
$\underline{\hspace{1.1em}} \times 5 = \underline{\hspace{1.1em}}$
Que remarques-tu ? Peux-tu faire une conjecture ?
Corrigé
Pour $n=1$ :
$1 + 2 = 3$
$3 \times 5 = 15$
Pour $n=-4$ :
$-4 + 2 = -2$
$-2 \times 5 = -10$
Les résultats sont différents (15 et -10), donc le programme ne donne pas toujours le même résultat. Aucune conjecture de constance possible.
2. Programme Q : « Choisir un nombre, soustraire 3, multiplier par 4, puis ajouter le double du nombre de départ. »
Complète le test pour $n=5$ et $n=-2$.
Pour $n=5$ :
$5 - \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
$\underline{\hspace{1.1em}} \times 4 = \underline{\hspace{1.1em}}$
$\underline{\hspace{1.1em}} + 2 \times 5 = \underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
Pour $n=-2$ :
$-2 - \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
$\underline{\hspace{1.1em}} \times 4 = \underline{\hspace{1.1em}}$
$\underline{\hspace{1.1em}} + 2 \times (-2) = \underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
Formule une conjecture.
Corrigé
Pour $n=5$ :
$5 - 3 = 2$
$2 \times 4 = 8$
$8 + 2 \times 5 = 8 + 10 = 18$
Pour $n=-2$ :
$-2 - 3 = -5$
$-5 \times 4 = -20$
$-20 + 2 \times (-2) = -20 - 4 = -24$
Les résultats sont différents, pas de conjecture de constance. On peut conjecturer que le résultat dépend du nombre de départ.
Ah oui, c'est ça ! On avait vu qu'on pouvait remplacer le nombre de départ par une lettre pour écrire une expression littérale, puis la simplifier. C'est le moment de remettre tout ça en ordre avec une méthode pas-à-pas. On va traduire, développer, réduire et enfin prouver.
Traduire un programme en expression littérale
Chaque instruction devient une opération avec $x$ :
- « Choisir un nombre » → $x$
- « Ajouter 5 » → $x+5$
- « Multiplier le résultat par 3 » → $(x+5)\times 3$ (parenthèses obligatoires !)
- « Soustraire le double du nombre de départ » → $(x+5)\times 3 - 2x$
Ensuite on développe et on réduit pour obtenir une expression simple.
Méthode : tester puis prouver
1. Tester avec 2 ou 3 valeurs numériques (dont un négatif si possible).
2. Conjecturer : « le résultat semble toujours égal à … »
3. Prouver : on appelle $x$ le nombre de départ, on écrit l'expression littérale instruction par instruction, on développe et on réduit.
4. Conclure : si l'expression simplifiée confirme la conjecture, c'est prouvé pour tout $x$.
Erreurs à éviter :
- Oublier les parenthèses autour de $x+5$ quand on multiplie.
- Confondre tester et prouver : un test ne suffit pas.
- Mal lire : « retrancher le double du nombre de départ » signifie $-2x$, pas $-2$ fois le résultat intermédiaire.
- Signe moins devant une parenthèse : $-(x+3) = -x-3$.
À toi de jouer
1. Programme R : « Choisir un nombre, ajouter 6, multiplier par 2, soustraire le double du nombre de départ. »
a) Teste avec $x=4$ en complétant :
$(4 + \underline{\hspace{1.1em}}) \times 2 - 2 \times 4 = \underline{\hspace{1.1em}} \times 2 - \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
b) Écris l'expression littérale en fonction de $x$ :
Résultat = $(x + \underline{\hspace{1.1em}}) \times \underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}} x$
c) Développe et réduis :
$(x+6) \times 2 - 2x = \underline{\hspace{1.1em}} x + \underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}} x = \underline{\hspace{1.1em}}$
d) Conclusion : le programme R donne toujours …
Corrigé
a) Test avec $x=4$ :
$(4 + 6) \times 2 - 2 \times 4 = 10 \times 2 - 8 = 20 - 8 = 12$
b) Résultat = $(x + 6) \times 2 - 2x$
c) Développement : $(x+6) \times 2 - 2x = 2x + 12 - 2x = 12$
d) Le programme R donne toujours 12.
2. Programme S : « Choisir un nombre, multiplier par 3, ajouter 9, puis soustraire le triple du nombre de départ. »
a) Complète l'expression littérale :
Résultat = $3 \times \underline{\hspace{1.1em}} + 9 - \underline{\hspace{1.1em}} x$
b) Simplifie cette expression : $3x + 9 - 3x = \underline{\hspace{1.1em}}$
c) Teste avec $x = -5$ pour vérifier :
$3 \times (-5) + 9 - 3 \times (-5) = \underline{\hspace{1.1em}} + 9 + \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
d) Que peux-tu conclure ?
Corrigé
a) Résultat = $3 \times x + 9 - 3x$
b) $3x + 9 - 3x = 9$
c) $3 \times (-5) + 9 - 3 \times (-5) = -15 + 9 + 15 = 9$
d) Le programme S donne toujours 9.
3. Programme T : « Choisir un nombre, ajouter 1, multiplier par 2, puis diviser par 2, enfin soustraire 1. »
a) Traduis par une expression littérale en complétant :
Résultat = $((x + \underline{\hspace{1.1em}}) \times \underline{\hspace{1.1em}}) \div 2 - \underline{\hspace{1.1em}}$
b) Simplifie pas à pas :
$((x+1) \times 2) \div 2 - 1 = (\underline{\hspace{1.1em}} x + \underline{\hspace{1.1em}}) \div 2 - 1 = \underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}} - 1 = \underline{\hspace{1.1em}}$
c) Conclusion ?
Corrigé
a) Résultat = $((x + 1) \times 2) \div 2 - 1$
b) $((x+1) \times 2) \div 2 - 1 = (2x + 2) \div 2 - 1 = x + 1 - 1 = x$
c) Le programme T redonne toujours le nombre de départ.
Cinq petits exercices quasi identiques pour automatiser le mécanisme. Tu vas remplir les trous, encore et encore, jusqu'à ce que ça devienne un réflexe. La réussite est garantie !
À toi de jouer
1. Programme 1 : « Choisir un nombre, ajouter 3, multiplier par 2, soustraire le double du nombre de départ. »
Test avec $n=5$ :
$(5 + \underline{\hspace{1.1em}}) \times 2 - 2 \times 5 = \underline{\hspace{1.1em}} \times 2 - \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
Expression littérale : $(x + \underline{\hspace{1.1em}}) \times \underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}} x$
Développe : $2x + \underline{\hspace{1.1em}} - 2x = \underline{\hspace{1.1em}}$
Conclusion : le résultat est toujours .
Corrigé
Test avec $n=5$ :
$(5 + 3) \times 2 - 2 \times 5 = 8 \times 2 - 10 = 16 - 10 = 6$
Expression littérale : $(x + 3) \times 2 - 2x$
Développe : $2x + 6 - 2x = 6$
Conclusion : le résultat est toujours 6.
2. Programme 2 : « Choisir un nombre, ajouter 5, multiplier par 3, soustraire le triple du nombre de départ. »
Test avec $n=-2$ :
$(-2 + \underline{\hspace{1.1em}}) \times 3 - 3 \times (-2) = \underline{\hspace{1.1em}} \times 3 + \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
Expression littérale : $(x + \underline{\hspace{1.1em}}) \times \underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}} x$
Développe : $3x + \underline{\hspace{1.1em}} - 3x = \underline{\hspace{1.1em}}$
Conclusion : le résultat est toujours .
Corrigé
Test avec $n=-2$ :
$(-2 + 5) \times 3 - 3 \times (-2) = 3 \times 3 + 6 = 9 + 6 = 15$
Expression littérale : $(x + 5) \times 3 - 3x$
Développe : $3x + 15 - 3x = 15$
Conclusion : le résultat est toujours 15.
3. Programme 3 : « Choisir un nombre, ajouter 1, multiplier par 4, soustraire le quadruple du nombre de départ. »
Test avec $n=0$ :
$(0 + \underline{\hspace{1.1em}}) \times 4 - 4 \times 0 = \underline{\hspace{1.1em}} \times 4 - \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
Expression littérale : $(x + \underline{\hspace{1.1em}}) \times \underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}} x$
Développe : $4x + \underline{\hspace{1.1em}} - 4x = \underline{\hspace{1.1em}}$
Conclusion : le résultat est toujours .
Corrigé
Test avec $n=0$ :
$(0 + 1) \times 4 - 4 \times 0 = 1 \times 4 - 0 = 4 - 0 = 4$
Expression littérale : $(x + 1) \times 4 - 4x$
Développe : $4x + 4 - 4x = 4$
Conclusion : le résultat est toujours 4.
4. Programme 4 : « Choisir un nombre, ajouter 7, multiplier par 2, soustraire le double du nombre de départ. »
Test avec $n=10$ :
$(10 + \underline{\hspace{1.1em}}) \times 2 - 2 \times 10 = \underline{\hspace{1.1em}} \times 2 - \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
Expression littérale : $(x + \underline{\hspace{1.1em}}) \times \underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}} x$
Développe : $2x + \underline{\hspace{1.1em}} - 2x = \underline{\hspace{1.1em}}$
Conclusion : le résultat est toujours .
Corrigé
Test avec $n=10$ :
$(10 + 7) \times 2 - 2 \times 10 = 17 \times 2 - 20 = 34 - 20 = 14$
Expression littérale : $(x + 7) \times 2 - 2x$
Développe : $2x + 14 - 2x = 14$
Conclusion : le résultat est toujours 14.
5. Programme 5 : « Choisir un nombre, ajouter 2, multiplier par 5, soustraire le quintuple du nombre de départ. »
Test avec $n=-1$ :
$(-1 + \underline{\hspace{1.1em}}) \times 5 - 5 \times (-1) = \underline{\hspace{1.1em}} \times 5 + \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
Expression littérale : $(x + \underline{\hspace{1.1em}}) \times \underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}} x$
Développe : $5x + \underline{\hspace{1.1em}} - 5x = \underline{\hspace{1.1em}}$
Conclusion : le résultat est toujours .
Corrigé
Test avec $n=-1$ :
$(-1 + 2) \times 5 - 5 \times (-1) = 1 \times 5 + 5 = 5 + 5 = 10$
Expression littérale : $(x + 2) \times 5 - 5x$
Développe : $5x + 10 - 5x = 10$
Conclusion : le résultat est toujours 10.
Place au niveau attendu en contrôle ou au brevet. Ces exercices sont à faire en autonomie, sans trous. Prends ton temps, applique la méthode, et tout ira bien.
À toi de jouer
1. On considère le programme P : « Choisir un nombre, ajouter 4, multiplier par 3, soustraire 6, puis retrancher le triple du nombre choisi. »
1) Applique P avec $n = 2$, puis avec $n = -3$. Détailler les calculs.
2) Formule une conjecture sur le résultat de P.
Corrigé
1) Pour $n=2$ : $(2+4)\times 3 - 6 - 3\times 2 = 6\times 3 - 6 - 6 = 18 - 12 = 6$.
Pour $n=-3$ : $(-3+4)\times 3 - 6 - 3\times(-3) = 1\times 3 - 6 + 9 = 3 - 6 + 9 = 6$.
2) Conjecture : le programme P semble toujours donner 6.
2. On reprend le programme P de l'exercice 1.
1) Désigne le nombre de départ par $x$. Écris l'expression littérale du résultat de P.
2) Développe et réduis cette expression.
3) La conjecture est-elle prouvée ? Justifie.
Corrigé
1) Résultat = $(x+4)\times 3 - 6 - 3x$.
2) $(x+4)\times 3 - 6 - 3x = 3x + 12 - 6 - 3x = 6$.
3) Oui, l'expression simplifiée vaut 6 quel que soit $x$, la conjecture est prouvée.
3. Programme A : « Choisir un nombre, ajouter 4, multiplier par 2. »
Programme B : « Choisir un nombre, multiplier par 2, ajouter 8. »
1) Applique A et B avec $n = 3$. Que remarques-tu ?
2) Prouve, à l'aide du calcul littéral, que A et B donnent toujours le même résultat.
Corrigé
1) A : $(3+4)\times 2 = 7\times 2 = 14$ ; B : $3\times 2 + 8 = 6 + 8 = 14$. Les deux programmes donnent 14.
2) A : $(x+4)\times 2 = 2x + 8$ ; B : $2x + 8$. Les expressions sont identiques, donc A et B sont égaux pour tout $x$.
4. Programme Q : « Choisir un entier $n$, calculer le produit de $n$ et de son successeur $n+1$. »
1) Calcule Q pour $n = 6$, $n = 7$ et $n = 8$.
2) Formule une conjecture.
3) Prouve la conjecture en distinguant le cas où $n$ est pair et le cas où $n$ est impair.
Corrigé
1) $n=6$ : $6\times 7 = 42$ ; $n=7$ : $7\times 8 = 56$ ; $n=8$ : $8\times 9 = 72$. Tous les résultats sont pairs.
2) Conjecture : $n(n+1)$ est toujours un nombre pair.
3) Si $n$ est pair, $n=2k$, alors $n(n+1)=2k(n+1)$ divisible par 2, donc pair.
Si $n$ est impair, $n=2k+1$, alors $n+1=2k+2=2(k+1)$, donc $n(n+1)=n\times 2(k+1)$ divisible par 2, donc pair. Dans tous les cas, le produit est pair.
5. Programme R : « Choisir un entier $n$, calculer $(n+2)^2 - (n-2)^2$. »
1) Calcule R pour $n = 5$ et $n = 10$. Que remarques-tu ?
2) Factorise $(n+2)^2 - (n-2)^2$ à l'aide d'une identité remarquable.
3) Déduis-en que le résultat est toujours un multiple de 8.
Corrigé
1) $n=5$ : $7^2 - 3^2 = 49 - 9 = 40 = 8\times 5$ ; $n=10$ : $12^2 - 8^2 = 144 - 64 = 80 = 8\times 10$. Le résultat semble être $8n$.
2) $(n+2)^2 - (n-2)^2 = [(n+2)+(n-2)]\times[(n+2)-(n-2)] = (2n)\times 4 = 8n$.
3) $8n = 8\times n$, donc le résultat est toujours un multiple de 8.
On pousse un peu plus loin pour voir ce qui t'attend au lycée. Tu vas manipuler des expressions plus riches, factoriser et même résoudre une équation. C'est le même esprit, mais avec une couche supplémentaire.
À toi de jouer
1. Programme S : « Choisir un nombre $x$, calculer $(x-3)^2 - 4$. »
1) Teste le programme avec $x = 0$, $x = 3$ et $x = 5$.
2) Développe et réduis l'expression $(x-3)^2 - 4$.
3) Factorise $(x-3)^2 - 4$ (pense à $a^2 - b^2$).
4) Pour quelles valeurs de $x$ le programme donne-t-il 0 ?
Corrigé
1) $x=0$ : $(0-3)^2 - 4 = 9 - 4 = 5$ ; $x=3$ : $(3-3)^2 - 4 = 0 - 4 = -4$ ; $x=5$ : $(5-3)^2 - 4 = 4 - 4 = 0$.
2) $(x-3)^2 - 4 = x^2 - 6x + 9 - 4 = x^2 - 6x + 5$.
3) $(x-3)^2 - 4 = (x-3)^2 - 2^2 = [(x-3)-2][(x-3)+2] = (x-5)(x-1)$.
4) Le programme donne 0 lorsque $(x-5)(x-1)=0$, c'est-à-dire pour $x=5$ ou $x=1$.
2. Programme T : « Choisir un nombre, ajouter 1, élever au carré, soustraire le carré du nombre de départ. »
1) Applique T à 3, puis à -2.
2) Exprime le résultat en fonction de $x$ et simplifie l'expression.
3) Que remarques-tu ?
4) Utilise ce programme pour calculer astucieusement $101^2 - 100^2$.
Corrigé
1) Pour 3 : $(3+1)^2 - 3^2 = 16 - 9 = 7$ ; pour -2 : $(-2+1)^2 - (-2)^2 = (-1)^2 - 4 = 1 - 4 = -3$.
2) $(x+1)^2 - x^2 = (x^2 + 2x + 1) - x^2 = 2x + 1$.
3) Le résultat est toujours le double du nombre de départ plus 1, c'est-à-dire un nombre impair.
4) $101^2 - 100^2$ correspond à $x=100$ dans le programme T, donc le résultat est $2\times 100 + 1 = 201$.