V VIDYALAYA · Soutien scolaire
Mathématiques3eNombres et calculsExercices + corrigé

Identités remarquables — Exercices

Développer, factoriser, simplifier, calculer malin. Corrigé en fin de fiche.
⏱ ~25 min✎ Calculatrice inutile
1Développer et réduire/ 4 pts
Développe et réduis chaque expression en utilisant une identité remarquable.
  1. $(x+4)^2$
  2. $(2x-3)^2$
  3. $(x+6)(x-6)$
  4. $(5+3x)^2$
2Factoriser/ 3 pts
Factorise chaque expression à l'aide d'une identité remarquable. Précise laquelle.
  1. $x^2 - 25$
  2. $x^2 - 6x + 9$
  3. $9x^2 - 4$
3Développer et simplifier/ 4 pts
Développe en utilisant les identités remarquables, puis réduis au maximum.
  1. $(x+3)^2 - (x-3)^2$
  2. $(2x+1)^2 - (2x-1)(2x+1)$
4Calcul malin/ 3 pts
Utilise une identité remarquable pour calculer sans poser l'opération. Indique quelle identité tu utilises et comment tu décomposes.
  1. $102^2$
  2. $98 \times 102$
  3. $99^2$
5Expression constante/ 3 pts
Soit $A = (x+5)^2 - (x+3)(x+7)$.
  1. Développe $(x+5)^2$.
  2. Développe $(x+3)(x+7)$ en utilisant la distributivité (ce n'est pas une identité remarquable).
  3. Calcule $A$ en soustrayant les deux résultats. Que remarques-tu ?
Corrigé détaillé
1Développer et réduire
a) \((x+4)^2 = x^2 + 2 \times x \times 4 + 4^2 =\) \(x^2 + 8x + 16\)
b) \((2x-3)^2 = (2x)^2 - 2 \times 2x \times 3 + 3^2 =\) \(4x^2 - 12x + 9\)
c) \((x+6)(x-6) = x^2 - 6^2 =\) \(x^2 - 36\)
d) \((5+3x)^2 = 5^2 + 2 \times 5 \times 3x + (3x)^2 = 25 + 30x + 9x^2 =\) \(9x^2 + 30x + 25\)
2Factoriser
a) \(x^2 - 25 = x^2 - 5^2 \quad \text{(produit de conjugués)}\) \((x-5)(x+5)\)
b) \(x^2 - 6x + 9 = x^2 - 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 \quad \text{(carré d'une différence)}\) \((x-3)^2\)
c) \(9x^2 - 4 = (3x)^2 - 2^2 \quad \text{(produit de conjugués)}\) \((3x-2)(3x+2)\)
3Développer et simplifier
a) \((x+3)^2-(x-3)^2 = (x^2+6x+9)-(x^2-6x+9) = x^2+6x+9-x^2+6x-9 =\) \(12x\)
b) \((2x+1)^2-(2x-1)(2x+1) = (4x^2+4x+1)-(4x^2-1) = 4x^2+4x+1-4x^2+1 =\) \(4x+2\)
4Calcul malin
a) \(102^2 = (100+2)^2 = 100^2 + 2 \times 100 \times 2 + 2^2 = 10\,000 + 400 + 4 =\) \(10\,404\)
b) \(98 \times 102 = (100-2)(100+2) = 100^2 - 2^2 = 10\,000 - 4 =\) \(9\,996\)
c) \(99^2 = (100-1)^2 = 100^2 - 2 \times 100 \times 1 + 1^2 = 10\,000 - 200 + 1 =\) \(9\,801\)
5Expression constante
1) \((x+5)^2 =\) \(x^2 + 10x + 25\)
2) \((x+3)(x+7) = x^2 + 7x + 3x + 21 =\) \(x^2 + 10x + 21\)
3) \(A = (x^2+10x+25)-(x^2+10x+21) = x^2+10x+25-x^2-10x-21 =\) \(4 \quad \text{(}A\text{ est constante : elle ne dépend pas de }x\text{)}\)