Pas de panique ! On va repartir de ce que tu sais déjà faire en calcul littéral et construire l'essentiel des identités remarquables. Le but est d'être vite opérationnel pour ton contrôle.
Prérequis : développer et factoriser (simple)
En 4e, tu as appris à développer (transformer un produit en somme) et à factoriser (transformer une somme en produit).
Développer : on utilise la distributivité. Par exemple :
$k(a+b) = ka + kb$
$(a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd$
Exemple : $(x+2)(x+3) = x^2 + 3x + 2x + 6 = x^2 + 5x + 6$
Factoriser : c'est l'inverse. On repère un facteur commun. Par exemple :
$3x + 6 = 3(x + 2)$
Ces bases sont indispensables pour aborder les identités remarquables, qui ne sont que des cas particuliers de développement et de factorisation.
L'idée des identités remarquables
Une identité remarquable est une égalité toujours vraie, qui permet de développer ou factoriser très rapidement des expressions qui ont une forme particulière. Tu dois en connaître trois.
Dans chaque formule, $a$ et $b$ représentent n'importe quelle expression (un nombre, $x$, $3x$, etc.).
On les utilise dans deux sens :
- Sens direct (développer) : on part d'un produit pour aller vers une somme.
- Sens inverse (factoriser) : on part d'une somme pour retrouver le produit de départ.
Les trois identités (à connaître par cœur)
1. Carré d'une somme : $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
2. Carré d'une différence : $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
3. Produit de conjugués : $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$
Le mot conjugués vient du fait que les deux parenthèses sont presque identiques : seul le signe central diffère.
À toi de jouer
1. On va le faire ensemble.
Complète la première identité remarquable avec les mots ou expressions qui manquent :
$(a + b)^2 = a^2 + \underline{\hspace{1.1em}} + b^2$
Le terme manquant est le double du produit de $a$ et $b$. Écris-le.
Corrigé
Le terme manquant est $2ab$.
Donc $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
2. Complète la deuxième identité remarquable :
$(a - b)^2 = a^2 \underline{\hspace{1.1em}} \, 2ab + b^2$
Quel signe manque ?
Corrigé
Le signe manquant est un moins ($-$).
Donc $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
3. Complète la troisième identité remarquable :
$(a - b)(a + b) = \underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}}$
Corrigé
$(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$.
C'est la différence des carrés.
4. Reconnais quelle identité correspond à chaque expression développée. Relie les éléments (écris la lettre) :
A. $a^2 + 2ab + b^2$
B. $a^2 - b^2$
C. $a^2 - 2ab + b^2$
1. Produit de conjugués : $\underline{\hspace{1.1em}}$
2. Carré d'une somme : $\underline{\hspace{1.1em}}$
3. Carré d'une différence : $\underline{\hspace{1.1em}}$
Corrigé
1. Produit de conjugués : B
2. Carré d'une somme : A
3. Carré d'une différence : C
Ah, les souvenirs reviennent ! On va maintenant structurer la méthode pour développer et factoriser avec les identités remarquables. Accroche-toi, ça va devenir limpide.
Développer : la méthode pas-à-pas
1. Je reconnais la forme : est-ce un carré d'une somme, d'une différence, ou un produit de conjugués ?
2. J'identifie $a$ et $b$ dans mon expression.
3. J'applique la formule choisie, sans oublier les parenthèses quand je mets $a$ ou $b$ au carré.
4. Je calcule $a^2$, $b^2$ et $2ab$ (attention au signe).
5. Je réduis si c'est possible.
Exemples :
- $(x+4)^2$ : $a=x$, $b=4$ —> $x^2 + 2 \times x \times 4 + 4^2 = x^2 + 8x + 16$
- $(3x-2)^2$ : $a=3x$, $b=2$ —> $(3x)^2 - 2 \times 3x \times 2 + 2^2 = 9x^2 - 12x + 4$
- $(x+5)(x-5)$ : $a=x$, $b=5$ —> $x^2 - 5^2 = x^2 - 25$
Factoriser : la méthode pas-à-pas
Factoriser, c'est l'inverse. On part d'une expression développée, on veut retrouver le produit d'origine.
1. Je regarde le nombre de termes : 2 ou 3 ?
- Si 2 termes avec un moins : je pense à la différence de carrés $A^2 - B^2 = (A - B)(A + B)$.
- Si 3 termes : je cherche si le premier et le dernier sont des carrés parfaits. Je calcule leur racine carrée pour identifier $A$ et $B$. Ensuite, je vérifie si le terme du milieu vaut bien $2AB$. Si oui, c'est $(A \pm B)^2$ selon le signe central.
Exemple : $x^2 - 10x + 25$.
Trois termes. $x^2$ est le carré de $x$ ; $25$ est le carré de $5$. Le double produit : $2 \times x \times 5 = 10x$. On a bien $-10x$ au milieu. Signe central moins, donc $(x - 5)^2$.
À toi de jouer
1. Développe $(x+3)^2$ avec la méthode. Complète :
$a = \underline{\hspace{1.1em}}$ et $b = \underline{\hspace{1.1em}}$
$(x+3)^2 = \underline{\hspace{1.1em}}^2 + 2 \times \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}}^2$
$= \underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}} x + \underline{\hspace{1.1em}}$
Corrigé
$a = x$ et $b = 3$
$(x+3)^2 = x^2 + 2 \times x \times 3 + 3^2$
$= x^2 + 6x + 9$
2. Développe $(2x-1)^2$. Complète :
$a = \underline{\hspace{1.1em}}$ et $b = \underline{\hspace{1.1em}}$
$(2x-1)^2 = (\underline{\hspace{1.1em}})^2 - 2 \times \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}}^2$
$= \underline{\hspace{1.1em}} x^2 - \underline{\hspace{1.1em}} x + \underline{\hspace{1.1em}}$
Attention au carré de $2x$ : $(2x)^2 = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
$a = 2x$ et $b = 1$
$(2x-1)^2 = (2x)^2 - 2 \times 2x \times 1 + 1^2$
$= 4x^2 - 4x + 1$
3. Factorise $x^2 - 36$. Complète :
C'est une différence de carrés : $x^2 - \underline{\hspace{1.1em}}^2$ car $36 = \underline{\hspace{1.1em}}^2$.
Donc $x^2 - 36 = (x - \underline{\hspace{1.1em}})(x + \underline{\hspace{1.1em}})$.
Corrigé
$x^2 - 36 = x^2 - 6^2$
$x^2 - 36 = (x - 6)(x + 6)$
4. Factorise $x^2 + 8x + 16$. Complète :
$x^2$ est le carré de $\underline{\hspace{1.1em}}$.
$16$ est le carré de $\underline{\hspace{1.1em}}$.
Le double produit $2 \times \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ correspond bien au terme du milieu.
Signe central + donc $(\underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}})^2$.
Corrigé
$x^2$ est le carré de $x$.
$16$ est le carré de $4$.
$2 \times x \times 4 = 8x$ (correct).
Donc $x^2 + 8x + 16 = (x + 4)^2$.
Allez, on répète le geste une fois, deux fois, cinq fois ! Cinq mini-exercices quasi identiques pour que la mécanique rentre.
À toi de jouer
1. Développe $(x+5)^2$.
Corrigé
$(x+5)^2 = x^2 + 2 \times x \times 5 + 5^2 = x^2 + 10x + 25$
2. Développe $(y+7)^2$.
Corrigé
$(y+7)^2 = y^2 + 2 \times y \times 7 + 7^2 = y^2 + 14y + 49$
3. Développe $(a-3)^2$.
Corrigé
$(a-3)^2 = a^2 - 2 \times a \times 3 + 3^2 = a^2 - 6a + 9$
4. Développe $(b-8)^2$.
Corrigé
$(b-8)^2 = b^2 - 2 \times b \times 8 + 8^2 = b^2 - 16b + 64$
5. Développe et réduis $(m^4)(m-4)$.
Corrigé
Développe et réduis $(m^4)(m-4)$.
On applique la distributivité simple :
$(m^4)(m-4) = m^4 \times m + m^4 \times (-4)$
$= m^{4+1} - 4m^4$
$= m^5 - 4m^4$
On utilise ici la règle des puissances : $m^4 \times m = m^{4+1} = m^5$. Il ne s'agit pas d'une identité remarquable mais d'une simple distribution.
Place à la pratique sérieuse ! Ces exercices sont du niveau de ton contrôle. Prends ton temps, vérifie avec la méthode.
À toi de jouer
1. Développe et réduis chaque expression en utilisant une identité remarquable.
a) $(x+6)^2$
b) $(3x-4)^2$
c) $(x+8)(x-8)$
d) $(2+5x)^2$
Corrigé
a) $(x+6)^2 = x^2 + 2 \times x \times 6 + 6^2 = x^2 + 12x + 36$
b) $(3x-4)^2 = (3x)^2 - 2 \times 3x \times 4 + 4^2 = 9x^2 - 24x + 16$
c) $(x+8)(x-8) = x^2 - 8^2 = x^2 - 64$
d) $(2+5x)^2 = 2^2 + 2 \times 2 \times 5x + (5x)^2 = 4 + 20x + 25x^2 = 25x^2 + 20x + 4$
2. Factorise chaque expression à l'aide d'une identité remarquable. Précise laquelle.
a) $x^2 - 49$
b) $x^2 - 4x + 4$
c) $16x^2 - 25$
Corrigé
a) $x^2 - 49 = x^2 - 7^2$ (produit de conjugués) $= (x-7)(x+7)$
b) $x^2 - 4x + 4 = x^2 - 2 \times x \times 2 + 2^2$ (carré d'une différence) $= (x-2)^2$
c) $16x^2 - 25 = (4x)^2 - 5^2$ (produit de conjugués) $= (4x-5)(4x+5)$
3. Développe en utilisant les identités remarquables, puis réduis au maximum.
a) $(x+4)^2 - (x-4)^2$
b) $(3x+2)^2 - (3x-2)(3x+2)$
Corrigé
a) $(x+4)^2-(x-4)^2 = (x^2+8x+16)-(x^2-8x+16) = 16x$
b) $(3x+2)^2-(3x-2)(3x+2) = (9x^2+12x+4)-(9x^2-4) = 12x+8$
4. Utilise une identité remarquable pour calculer sans poser l'opération. Indique l'identité utilisée et détaille.
a) $101^2$
b) $97 \times 103$
c) $98^2$
Corrigé
a) $101^2 = (100+1)^2 = 100^2 + 2 \times 100 \times 1 + 1^2 = 10000 + 200 + 1 = 10201$
b) $97 \times 103 = (100-3)(100+3) = 100^2 - 3^2 = 10000 - 9 = 9991$
c) $98^2 = (100-2)^2 = 100^2 - 2 \times 100 \times 2 + 2^2 = 10000 - 400 + 4 = 9604$
5. Soit $B = (x+4)^2 - (x+2)(x+6)$.
a) Développe $(x+4)^2$.
b) Développe $(x+2)(x+6)$.
c) Calcule $B$ en soustrayant les deux résultats. Que remarques-tu ?
Corrigé
a) $(x+4)^2 = x^2 + 8x + 16$
b) $(x+2)(x+6) = x^2 + 6x + 2x + 12 = x^2 + 8x + 12$
c) $B = (x^2+8x+16)-(x^2+8x+12) = 4$.
$B$ est constante, elle vaut 4 quelle que soit la valeur de $x$.
Tu gères ? Parfait. On va voir comment ces identités peuvent se combiner avec d'autres chapitres (comme la géométrie) et se généraliser à des puissances supérieures, pour briller l'an prochain.
Généralisation (aperçu Seconde)
En Seconde, tu verras que l'identité $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ et $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ ne sont que le cas $n=2$ de la formule plus générale du binôme de Newton : $(a+b)^n$. Pour $n=3$, on a par exemple $(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$.
La différence de carrés $a^2 - b^2$ se factorise aussi, mais $a^3 - b^3$ et $a^3 + b^3$ ont aussi des factorisations particulières :
$a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$ et $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)$. Un bon entraînement !
À toi de jouer
1. Développe $(x+1)^3$ en utilisant la distributivité (tu peux écrire $(x+1)^3 = (x+1)(x+1)^2$ en développant d'abord le carré). Compare avec la formule $(a+b)^3$ donnée dans la fiche.
Corrigé
$(x+1)^2 = x^2 + 2x + 1$
$(x+1)^3 = (x+1)(x^2+2x+1)$
$= x(x^2+2x+1) + 1(x^2+2x+1)$
$= x^3 + 2x^2 + x + x^2 + 2x + 1$
$= x^3 + 3x^2 + 3x + 1$
La formule générale avec $a=x$, $b=1$ donne $x^3 + 3x^2 \times 1 + 3x \times 1^2 + 1^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1$.
2. En utilisant $a^3 - b^3 = (a-b)(a^2+ab+b^2)$, factorise $x^3 - 8$ (indice : $8 = 2^3$).
Corrigé
$x^3 - 8 = x^3 - 2^3$ avec $a=x$, $b=2$.
$= (x - 2)(x^2 + x \times 2 + 2^2) = (x-2)(x^2+2x+4)$.
Vérification en développant : $(x-2)(x^2+2x+4) = x^3+2x^2+4x-2x^2-4x-8 = x^3-8$.
3. Problème mêlant géométrie et identité remarquable. Un rectangle a pour longueur $L = x+3$ et pour largeur $l = x-3$ (avec $x>3$). Exprime son aire en fonction de $x$ et simplifie à l'aide d'une identité remarquable. Quelle forme reconnais-tu ?
Corrigé
Aire $= L \times l = (x+3)(x-3) = x^2 - 9$ (produit de conjugués).
L'aire est une différence de carrés. Pour $x>3$, l'aire est un nombre positif dépendant de $x$.