Pas de panique. On part du tout début et on va droit au but. Aujourd'hui, on parle de fonctions linéaires et affines. Pour que ça marche, tu dois déjà être à l'aise avec quelques prérequis : le calcul avec des nombres relatifs et des fractions (somme, différence, produit, quotient), la notation d'un point dans un repère avec ses coordonnées (x ; y), la résolution d'équations simples du type ax + b = c, et savoir ce qu'est une droite. Tout ça, on va le réactiver en même temps qu'on construit la notion. Une fonction, c'est juste une machine qui transforme un nombre x en un nombre f(x). Là, les machines sont super simples : f(x) = ax (linéaire) ou f(x) = ax + b (affine). Objectif contrôle : savoir calculer une image, lire un coefficient directeur et une ordonnée à l'origine sur une formule, et tracer vite fait une droite.
1. De quoi parle-t-on ?
Une fonction linéaire est une fonction de la forme $f(x) = \underline{\hspace{1.1em}} \times x$, où $a$ est un nombre. On écrit $f(x) = ax$.
Exemple : $f(x) = 2x$. Tu prends un nombre, tu le multiplies par 2, tu obtiens l'image.
Une fonction affine est une fonction de la forme $f(x) = \underline{\hspace{1.1em}} \times x + \underline{\hspace{1.1em}}$, où $a$ et $b$ sont des nombres. On écrit $f(x) = ax + b$.
Exemple : $f(x) = 3x - 1$. Tu multiplies $x$ par 3, puis tu enlèves 1.
Le nombre $a$ s'appelle le coefficient directeur (c'est la pente de la droite).
Le nombre $b$ s'appelle l'ordonnée à l'origine : c'est la valeur de $f(x)$ quand $x = 0$ (donc le point où la droite coupe l'axe des ordonnées).
Dans $f(x) = 2x + 3$, le coefficient directeur est $2$ et l'ordonnée à l'origine est $3$.
2. Comment calculer une image ?
Calculer l'image de $4$ par $f(x) = 2x + 3$, c'est remplacer $x$ par $4$.
$f(4) = 2 \times 4 + 3 = 8 + 3 = 11$.
L'image de $4$ est $11$. C'est tout.
3. Comment tracer la droite ?
Une fonction affine est représentée par une droite. Pour la tracer, on calcule les coordonnées de deux points.
On choisit deux valeurs de $x$ simples (souvent 0 et 1). Avec $f(x) = 2x + 3$ :
Pour $x = 0$, $f(0) = 2 \times 0 + 3 = 3 \rightarrow$ point $A(0 ; 3)$.
Pour $x = 1$, $f(1) = 2 \times 1 + 3 = 5 \rightarrow$ point $B(1 ; 5)$.
On place $A$ et $B$, et on trace la droite qui passe par ces deux points.
Cas d'une fonction linéaire $f(x) = 2x$ : la droite passe par l'origine $O(0 ; 0)$.
À toi de jouer
1. On donne $f(x) = 4x - 7$. Complète : le coefficient directeur est $a = \underline{\hspace{1.1em}}$ et l'ordonnée à l'origine est $b = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
Le coefficient directeur est $a = 4$ et l'ordonnée à l'origine est $b = -7$. Rappel : dans $f(x) = ax + b$, $a$ est le nombre devant $x$, $b$ est le nombre sans $x$ (avec son signe).
2. Voici la fonction $f(x) = -2x + 5$. On le fait ensemble : l'image de 3 par $f$ est $f(3) = \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
$f(3) = -2 \times 3 + 5 = -6 + 5 = -1$. L'image de 3 est -1.
3. On donne $g(x) = 7x$. Complète : $g$ est une fonction $\underline{\hspace{1.1em}}$ (linéaire ou affine ?) parce que $b = \underline{\hspace{1.1em}}$. Son coefficient directeur est $a = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
$g$ est une fonction linéaire parce que $b = 0$. Son coefficient directeur est $a = 7$.
4. Pour tracer la droite de $h(x) = 0,5x + 1$, on calcule deux points. Complète : Pour $x = 0$, $h(0) = \underline{\hspace{1.1em}} \times 0 + 1 = \underline{\hspace{1.1em}}$. Point : $(0 ; \underline{\hspace{1.1em}})$. Pour $x = 2$, $h(2) = 0,5 \times 2 + 1 = \underline{\hspace{1.1em}} + 1 = \underline{\hspace{1.1em}}$. Point : $(2 ; \underline{\hspace{1.1em}})$. Trace la droite passant par ces deux points (entraîne-toi sur ton brouillon).
Corrigé
Pour $x = 0$, $h(0) = 0,5 \times 0 + 1 = 1$. Point : $(0 ; 1)$. Pour $x = 2$, $h(2) = 0,5 \times 2 + 1 = 1 + 1 = 2$. Point : $(2 ; 2)$. Ces deux points suffisent pour tracer la droite.
Ah, tu te souviens un peu ! L'histoire d'une machine qui transforme un nombre avec du $ax$ ou du $ax + b$, ça te parle. Ici on va solidifier ça : revoir le calcul d'image ET l'inverse (trouver l'antécédent, c'est-à-dire le $x$ de départ). On structurera aussi la méthode pour tracer une droite proprement. On ne lâche pas les 'trous' pour te guider.
1. Image vs antécédent (la machine dans les deux sens)
Calculer une image, c'est remplacer $x$ dans la formule. On obtient $f(x)$.
Trouver un antécédent de $k$, c'est chercher $x$ tel que $f(x) = k$. On résout l'équation $ax + b = k$.
Exemple avec $f(x) = 2x - 5$ :
Image de 3 : $f(3) = 2 \times 3 - 5 = 1$.
Antécédent de 9 : on résout $2x - 5 = 9 \rightarrow 2x = 14 \rightarrow x = 7$.
2. Méthode pas-à-pas pour tracer la droite
Étape 1 : Choisis deux valeurs de $x$ (souvent 0 et un autre, genre 1 ou 2).
Étape 2 : Calcule les images correspondantes $f(x)$. Tu obtiens deux points $(x ; f(x))$.
Étape 3 : Place ces deux points dans le repère.
Étape 4 : Trace la droite qui les relie. Donne-lui un nom (par exemple $(d)$).
Pour une fonction linéaire $f(x) = ax$, l'un des points est toujours l'origine $(0 ; 0)$.
3. Coefficient directeur et ordonnée à l'origine
Dans $f(x) = ax + b$ :
$a$ est le coefficient directeur. Il donne l'inclinaison de la droite.
Si $a > 0$, la droite est croissante (elle monte).
Si $a < 0$, la droite est décroissante (elle descend).
$b$ est l'ordonnée à l'origine. C'est $f(0)$, l'endroit où la droite coupe l'axe vertical.
À toi de jouer
1. Soit $f(x) = 5x - 3$. a) Complète les images : $f(0) = \underline{\hspace{1.1em}}$, $f(1) = \underline{\hspace{1.1em}}$, $f(-1) = \underline{\hspace{1.1em}}$. b) Antécédent de 12 : on résout $\underline{\hspace{1.1em}} x - \underline{\hspace{1.1em}} = 12$. Solution : $x = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
a) $f(0) = 5 \times 0 - 3 = -3$. $f(1) = 5 \times 1 - 3 = 2$. $f(-1) = 5 \times (-1) - 3 = -8$. b) $5x - 3 = 12 \rightarrow 5x = 15 \rightarrow x = 3$. L'antécédent de 12 est 3.
2. On donne $g(x) = -x + 4$. a) Le coefficient directeur est $a = \underline{\hspace{1.1em}}$. La droite est donc $\underline{\hspace{1.1em}}$ (croissante ou décroissante ?). b) Pour tracer la droite, choisis $x = 0$ et $x = 4$. Complète : $g(0) = \underline{\hspace{1.1em}}$, donc point $A(0 ; \underline{\hspace{1.1em}})$. $g(4) = -\underline{\hspace{1.1em}} + 4 = \underline{\hspace{1.1em}}$, donc point $B(4 ; \underline{\hspace{1.1em}})$. c) Trace sur ton brouillon la droite passant par $A$ et $B$.
Corrigé
a) $a = -1$. La droite est décroissante car $a < 0$. b) $g(0) = -0 + 4 = 4$, donc $A(0 ; 4)$. $g(4) = -4 + 4 = 0$, donc $B(4 ; 0)$. c) La figure montre la droite tracée dans un repère.
3. Détermine l'expression $f(x) = ax + b$ d'une droite passant par $C(0 ; -2)$ et $D(2 ; 4)$. On le fait ensemble : Comme le point $C$ a pour $x = 0$, on lit directement $b = \underline{\hspace{1.1em}}$. Pour $a$, on utilise $a = \dfrac{y_D - y_C}{x_D - x_C} = \dfrac{4 - (-2)}{2 - 0} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$. Donc $f(x) = \underline{\hspace{1.1em}} x - 2$.
Cinq exos quasi identiques pour ancrer le mécanisme de calcul d'image. Tu vas faire la même chose encore et encore, avec des nombres différents. C'est ta répétition pour que ça devienne automatique. Allez, on enchaîne !
Maintenant, on te lâche un peu la main ! Voici des exercices type contrôle. Tu vas devoir calculer images et antécédents, tracer des droites, retrouver des expressions algébriques, et même résoudre un petit problème concret. Montre que tu maîtrises et que la panique est derrière toi.
À toi de jouer
1. Soit $f(x) = 3x - 4$. a) Calcule $f(0)$, $f(2)$ et $f(-1)$. b) Détermine l'antécédent de 11 par $f$. c) Détermine l'antécédent de $-13$ par $f$.
Corrigé
a) $f(0)=3 \times 0 - 4 = -4$ ; $f(2)=3 \times 2 - 4 = 2$ ; $f(-1)=3 \times (-1) -4 = -7$. b) $3x - 4 = 11 \rightarrow 3x = 15 \rightarrow x = 5$. L'antécédent de 11 est 5. c) $3x - 4 = -13 \rightarrow 3x = -9 \rightarrow x = -3$. L'antécédent de -13 est -3.
2. Soit $g(x) = -2x + 6$. a) Donne le coefficient directeur et l'ordonnée à l'origine. La fonction $g$ est-elle croissante ou décroissante ? Justifie. b) Calcule $g(0)$, $g(1)$ et $g(3)$. c) Trace la droite représentative de $g$ dans un repère (sur ta copie). d) Le point $E(2 ; 3)$ appartient-il à la droite ? Justifie par un calcul.
Corrigé
a) Coefficient directeur $a = -2$, ordonnée à l'origine $b = 6$. Comme $a < 0$, $g$ est décroissante. b) $g(0)=-2 \times 0 + 6 = 6$ ; $g(1)=-2 \times 1 + 6 = 4$ ; $g(3)=-2 \times 3 + 6 = 0$. c) Points $A(0;6)$ et $B(3;0)$, tracer la droite. d) $g(2) = -2 \times 2 + 6 = 2$. Or l'ordonnée de $E$ est 3, donc $E$ n'appartient pas à la droite.
3. Détermine l'expression $f(x) = ax + b$ dans chaque cas : a) La droite passe par $P(0 ; 5)$ et $Q(2 ; 11)$. b) La droite passe par $R(1 ; 4)$ et $S(4 ; -2)$.
Corrigé
a) $P(0;5)$ donne $b = 5$. $a = \dfrac{11-5}{2-0} = 3$. Donc $f(x) = 3x + 5$. b) $a = \dfrac{-2 - 4}{4 - 1} = \dfrac{-6}{3} = -2$. $b = 4 - (-2) \times 1 = 6$. Donc $f(x) = -2x + 6$.
4. Un loueur de vélos propose le tarif suivant : un abonnement fixe de 15 €, puis 2 € par heure de location. On note $C(x)$ le coût total pour $x$ heures. a) Exprime $C(x)$ en fonction de $x$. b) Calcule le coût pour 6 heures de location. c) Combien d'heures de location a-t-on eues pour 35 € ?
Corrigé
a) $C(x) = 2x + 15$. b) $C(6) = 2 \times 6 + 15 = 12 + 15 = 27$ €. c) $2x + 15 = 35 \rightarrow 2x = 20 \rightarrow x = 10$. Soit 10 heures.
5. On considère $f(x) = 2x - 1$ et $g(x) = -x + 8$. a) Calcule $f(0)$, $f(1)$, $f(3)$ et $g(0)$, $g(1)$, $g(3)$. b) Résous l'équation $f(x) = g(x)$. c) Interprète graphiquement cette solution.
Corrigé
a) $f(0)=-1$; $f(1)=1$; $f(3)=5$. $g(0)=8$; $g(1)=7$; $g(3)=5$. b) $2x - 1 = -x + 8 \rightarrow 3x = 9 \rightarrow x = 3$. c) $f(3) = g(3) = 5$. La solution $x=3$ est l'abscisse du point d'intersection des deux droites ; ce point est $(3 ; 5)$.
Tu as assuré le programme de 3e. Maintenant, voyons comment ces notions vont évoluer en 2de. Les fonctions linéaires et affines sont les premiers exemples de fonctions polynômes. L'an prochain, tu étudieras des fonctions plus générales (carré, cube, inverse).On aura besoin de structurer l'étude d'une fonction : calculs d'images, résolution graphique, étude des variations. Tu verras que le coefficient directeur $a$ s'interprète comme un taux de variation moyen, et que la droite est un cas particulier ultra-pratique. Voici deux exercices pour te mettre en jambes.
À toi de jouer
1. On considère une fonction affine $f$ dont on donne un tableau de valeurs incomplet : $f(0) = 4$, $f(2) = 10$, $f(5) = k$. a) Détermine l'expression $f(x)$ (méthode 3e). b) Calcule $k$. c) Propose une interprétation géométrique du coefficient directeur $a$ en termes de pente de la droite.
Corrigé
a) $b = f(0) = 4$. $a = \dfrac{10-4}{2-0} = 3$. Donc $f(x) = 3x + 4$. b) $k = f(5) = 3 \times 5 + 4 = 19$. c) Le coefficient $a=3$ signifie que quand $x$ augmente de 1, $f(x)$ augmente de 3. Graphiquement, c'est la pente de la droite : on monte de 3 unités verticalement pour 1 unité horizontalement.
2. Un récipient contient 2 litres d'eau. Un robinet y ajoute de l'eau à débit constant de 1,5 L par minute. a) Exprime le volume $V(t)$ (en L) en fonction du temps $t$ (en min). b) Combien de temps faut-il pour que le récipient contienne 12,5 L ? c) La fonction $V$ est une fonction affine. Donne son coefficient directeur et interprète-le concrètement dans la situation. Même question pour l'ordonnée à l'origine.
Corrigé
a) $V(t) = 1,5t + 2$. b) $1,5t + 2 = 12,5 \rightarrow 1,5t = 10,5 \rightarrow t = 7$ min. c) Le coefficient directeur $a = 1,5$ représente le débit : chaque minute, le volume augmente de 1,5 L. L'ordonnée à l'origine $b = 2$ représente le volume initial d'eau avant ouverture du robinet.
3. Sur la droite d'équation $y = 2x + 1$, on considère les points d'abscisses $x$ et $x+1$. De combien l'ordonnée varie-t-elle ? Généralise pour une fonction affine $f(x) = ax + b$ quelconque. Comment appelle-t-on $a$ dans ce rôle ?
Corrigé
Pour $x$, l'ordonnée est $2x + 1$ ; pour $x+1$, l'ordonnée est $2(x+1) + 1 = 2x + 3$. La variation est $(2x+3) - (2x+1) = 2$. Pour $f(x)=ax+b$, quand $x$ augmente de 1, l'ordonnée augmente de $a$. On appelle $a$ le taux de variation (ou coefficient directeur).
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