Fonctions linéaires et affines — Exercices

Images, antécédents, tracé, expression algébrique et problème concret. Corrigé détaillé en fin de fiche.

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1Images et antécédents/ 4 pts

Soit $f(x) = 2x - 3$.

Calculer $f(0)$, $f(4)$ et $f(-2)$.
Quel est l'antécédent de $7$ par $f$ ?
Quel est l'antécédent de $-9$ par $f$ ?

2Sens de variation et tracé/ 3 pts

Soit $g(x) = -x + 4$.

$g$ est-elle croissante ou décroissante ? Justifier en utilisant le coefficient directeur.
Calculer $g(0)$, $g(2)$ et $g(4)$.
Tracer la droite représentative de $g$ dans un repère orthogonal.

3Trouver l'expression algébrique/ 4 pts

Déterminer l'expression $f(x) = ax + b$ dans chaque cas.

La droite passe par $A(0\,;\,-1)$ et $B(2\,;\,5)$.
La droite passe par $C(1\,;\,7)$ et $D(4\,;\,1)$.

4Problème — tarif de taxi/ 4 pts

Un taxi facture 3 € de prise en charge, puis 2 € par kilomètre parcouru. On note $C(x)$ le coût total en euros pour un trajet de $x$ kilomètres.

Exprimer $C(x)$ en fonction de $x$.
Combien coûte un trajet de $8$ km ?
Pour quel nombre de kilomètres le trajet coûte-t-il exactement $25$ € ?

5Intersection de deux droites/ 5 pts

On considère $f(x) = 3x - 1$ et $g(x) = -x + 7$.

Calculer $f(0)$, $f(1)$, $f(2)$ et $g(0)$, $g(1)$, $g(2)$.
Résoudre l'équation $f(x) = g(x)$.
Que représente graphiquement la solution obtenue ?

Corrigé détaillé

1Images et antécédents

a) $f(0) = 2 \times 0 - 3 = -3 \qquad f(4) = 2 \times 4 - 3 = 5 \qquad f(-2) = 2 \times (-2) - 3 = -7$ $f(0) = -3 \;,\quad f(4) = 5 \;,\quad f(-2) = -7$

b) $2x - 3 = 7 \Rightarrow 2x = 10 \Rightarrow x = 5$ $\text{L'antécédent de } 7 \text{ est } 5.$

c) $2x - 3 = -9 \Rightarrow 2x = -6 \Rightarrow x = -3$ $\text{L'antécédent de } {-9} \text{ est } {-3}.$

2Sens de variation et tracé

a) $a = -1 \lt 0$ $g \text{ est décroissante (coefficient directeur strictement négatif).}$

b) $g(0) = -0 + 4 = 4 \qquad g(2) = -2 + 4 = 2 \qquad g(4) = -4 + 4 = 0$ $g(0) = 4 \;,\quad g(2) = 2 \;,\quad g(4) = 0$

c) $\text{Placer } A(0\,;\,4) \text{ et } B(4\,;\,0) \text{ dans le repère, puis tracer la droite } (AB).$ $\text{Droite décroissante coupant l'axe des ordonnées en } (0\,;\,4) \text{ et l'axe des abscisses en } (4\,;\,0).$

3Trouver l'expression algébrique

a) $A(0\,;\,-1) \Rightarrow b = -1 \qquad a = \dfrac{5 - (-1)}{2 - 0} = \dfrac{6}{2} = 3$ $f(x) = 3x - 1$

b) $a = \dfrac{1 - 7}{4 - 1} = \dfrac{-6}{3} = -2 \qquad b = 7 - (-2) \times 1 = 7 + 2 = 9$ $f(x) = -2x + 9$

4Problème — tarif de taxi

a) $\text{Coût} = \text{prise en charge} + \text{tarif kilométrique} = 3 + 2 \times x$ $C(x) = 2x + 3$

b) $C(8) = 2 \times 8 + 3 = 16 + 3 = 19$ $\text{Un trajet de 8 km coûte } 19 \text{ €.}$

c) $2x + 3 = 25 \Rightarrow 2x = 22 \Rightarrow x = 11$ $\text{Le trajet coûte 25 € pour } 11 \text{ km.}$

5Intersection de deux droites

a) $f(0) = -1 \quad f(1) = 2 \quad f(2) = 5 \qquad g(0) = 7 \quad g(1) = 6 \quad g(2) = 5$ $f(0)=-1,\; f(1)=2,\; f(2)=5 \quad \text{et} \quad g(0)=7,\; g(1)=6,\; g(2)=5$

b) $3x - 1 = -x + 7 \Rightarrow 4x = 8 \Rightarrow x = 2 \qquad \text{Vérif. : } f(2) = 5 = g(2) \checkmark$ $x = 2$

c) $f(2) = 5 = g(2) \Rightarrow \text{les deux droites se coupent au point } (2\,;\,5)$ $x = 2 \text{ est l'abscisse du point d'intersection des droites de } f \text{ et de } g.$