Homothéties

Prérequis : ce que tu dois absolument avoir en tête

1. Multiplication de nombres relatifs — Quand on multiplie par un nombre positif, les distances s'allongent ou se réduisent, mais les points restent du même côté par rapport au centre. Quand on multiplie par un nombre négatif, on change de côté par rapport au centre. Exemple : sur une droite, si tu pars du point O et que tu vas à droite pour placer M, multiplier par un nombre négatif te fait repartir à gauche pour placer M'.

2. Proportionnalité et coefficient multiplicateur — Si tu sais que chaque longueur est multipliée par un même nombre k (le rapport), alors toutes les longueurs suivent cette règle. C'est de la proportionnalité : on passe d'une longueur d'origine à une longueur image en multipliant par k (en valeur absolue si on veut une distance positive).

3. Symétrie centrale — La symétrie centrale de centre O transforme un point M en un point M' tel que O est le milieu de [MM']. C'est exactement une homothétie de centre O et de rapport -1. Oui, tu lis bien : une symétrie centrale est un cas particulier d'homothétie.

4. Aire d'un agrandissement ou d'une réduction — Tu as déjà vu que si tu multiplies toutes les longueurs d'une figure par 2, l'aire est multipliée par 4 (c'est-à-dire 2 au carré). On généralise : si les longueurs sont multipliées par k, l'aire est multipliée par k².

Qu'est-ce qu'une homothétie ? L'essentiel pour être fonctionnel

Une homothétie est une transformation géométrique qui agrandit ou réduit une figure à partir d'un point fixe appelé centre. On note k le rapport d'homothétie (un nombre relatif non nul).

Pour placer un point image M' à partir d'un point M :

• On trace la droite (OM).
• On calcule la distance OM' = |k| × OM (si k est négatif, on prend sa valeur absolue pour la distance).
• Si k > 0, M et M' sont du même côté de O.
• Si k < 0, M et M' sont de part et d'autre de O (O est entre M et M').

Propriétés à retenir pour les calculs :

• Longueurs : A'B' = |k| × AB. On utilise la valeur absolue de k car une longueur est toujours positive.
• Aires : Aire' = k² × Aire. Le k² est toujours positif, donc pas de problème de signe.

Reconnaître le rapport k

Pour trouver k, on regarde le signe (même côté ? k positif ; côté opposé ? k négatif) et on divise la distance image par la distance d'origine : |k| = OM' ÷ OM.

Définition et propriétés fondamentales

Définition : Une homothétie de centre O et de rapport k (k ≠ 0) est une transformation qui, à tout point M, associe un point M' tel que : O, M et M' sont alignés, et OM' = k × OM (en distance algébrique : si k > 0, OM' et OM ont le même sens ; si k < 0, ils sont de sens contraires).

Propriétés à connaître par cœur :

• Si |k| > 1, la figure est agrandie.
• Si 0 < |k| < 1, la figure est réduite.
• Si k = 1, chaque point est sa propre image (la transformation ne change rien).
• Si k = -1, l'homothétie est une symétrie centrale de centre O.
• Pour deux points A et B et leurs images A' et B' : A'B' = |k| × AB (longueurs proportionnelles).
• Si (AB) ne passe pas par O, alors (A'B') est parallèle à (AB).
• Les aires sont multipliées par k² : Aire' = k² × Aire.

Méthode de construction pas-à-pas

Construire l'image M' d'un point M par une homothétie de centre O et de rapport k.

1. Tracer la droite (OM).
2. Mesurer la distance OM.
3. Calculer OM' = |k| × OM.
4. Si k > 0 : reporter cette distance à partir de O, dans la même direction que M.
5. Si k < 0 : reporter cette distance à partir de O, dans la direction opposée à M (O est entre M et M').

Pour un triangle, on répète l'opération pour chaque sommet.

Erreurs à ne pas commettre

- Confondre k et |k| pour les longueurs : la longueur A'B' est toujours égale à |k| × AB (positive).
- Oublier que l'aire est multipliée par k², pas par k. Exemple : k = -3 donne un coefficient multiplicateur d'aire de 9, pas -9.
- Oublier de changer de côté quand k est négatif.

Sens direct et réciproque

Sens direct (calculer) : On sait que la figure est obtenue par homothétie (ou on te donne le rapport et le centre). Tu utilises les formules A'B' = |k| × AB et Aire' = k² × Aire pour trouver des valeurs.

Sens « réciproque » (prouver une homothétie) : On te donne une configuration avec des points alignés et des droites parallèles. Tu peux alors affirmer qu'il existe une homothétie (ou une translation) transformant une figure en une autre. En pratique en 3e, on te demandera souvent de justifier qu'une transformation est une homothétie en montrant que les droites reliant les sommets homologues sont concourantes et que les côtés sont parallèles.

Composée d'homothéties

Quand on applique une homothétie de centre O et de rapport k₁, puis une seconde homothétie de même centre O et de rapport k₂, l'effet global est une homothétie de centre O et de rapport k₁ × k₂. En 3e, cela reste une extension de la proportionnalité : si on agrandit par 2 puis par 3, on agrandit par 6.

Pour le lycée, tu pourras étudier les homothéties de centres différents (leur composée peut être une translation ou une autre homothétie selon les rapports).

Homothétie dans l'espace

Dans l'espace, une homothétie de centre O et de rapport k transforme un point M de l'espace en M' tel que O, M, M' alignés et OM' = k × OM. Les volumes sont alors multipliés par |k|³ (et non plus k² comme pour les aires). Un cube de côté 2 multiplié par k = 3 aura un côté de 6 et un volume multiplié par 27. Ce sera au programme de seconde.