V VIDYALAYA · Soutien scolaire
Mathématiques3eEspace et geometrieExercices + corrigé

Homothéties — Exercices

Identifier le rapport, calculer des longueurs et des aires, résoudre un problème concret. Corrigé en fin de fiche.
⏱ ~25 min✎ Règle et compas utiles
1Identifier le rapport/ 4 pts
Dans chaque cas, une homothétie de centre O transforme M en M'. Détermine le rapport $k$.
  1. $OM = 2$ cm, $OM' = 6$ cm ; M' est du même côté que M.
  2. $OM = 5$ cm, $OM' = 3$ cm ; M' est du même côté que M.
  3. $OM = 4$ cm, $OM' = 4$ cm ; M' est du côté opposé à M.
  4. $OM = 3$ cm, $OM' = 1{,}5$ cm ; M' est du côté opposé à M.
2Calculer des longueurs/ 3 pts
Une homothétie de centre O et de rapport $k$ transforme le triangle $ABC$ en $A'B'C'$. Calcule la longueur demandée.
  1. $k = 3$, $AB = 4$ cm. Calcule $A'B'$.
  2. $k = -\dfrac{2}{3}$, $BC = 9$ cm. Calcule $B'C'$.
  3. $k = \dfrac{3}{2}$, $A'C' = 6$ cm. Calcule $AC$.
3Calcul d'aire/ 3 pts
Une homothétie de rapport $k$ transforme le triangle $ABC$ (aire $\mathcal{A}$) en $A'B'C'$ (aire $\mathcal{A}'$). Réponds aux questions.
  1. $k = 2$, $\mathcal{A} = 5$ cm². Calcule $\mathcal{A}'$.
  2. $k = -3$, $\mathcal{A}' = 45$ cm². Calcule $\mathcal{A}$.
  3. $\mathcal{A} = 8$ cm², $\mathcal{A}' = 18$ cm². Détermine $|k|$.
4Droites parallèles et longueurs/ 3 pts

Une homothétie de centre O et de rapport $k = \dfrac{3}{2}$ transforme le triangle $ABC$ en $A'B'C'$. On donne $OA = 4$ cm, $AB = 6$ cm, $BC = 8$ cm.

  1. Calcule $OA'$.
  2. Que peut-on dire des droites $(A'B')$ et $(AB)$ ? Calcule $A'B'$.
  3. Calcule $B'C'$.
5Plan d'architecte/ 4 pts

Un architecte réalise un plan à l'échelle $\dfrac{1}{50}$ (homothétie de rapport $k = \dfrac{1}{50}$, de la réalité vers le plan). Sur ce plan, une pièce rectangulaire mesure $6$ cm de long et $4$ cm de large.

  1. Quelles sont les dimensions réelles de la pièce ? Donne le résultat en cm puis en m.
  2. Quelle est l'aire de la pièce sur le plan (en cm²) ?
  3. Quelle est l'aire réelle de la pièce en m² ? (Indication : utilise $\mathcal{A}_{\text{plan}} = k^2 \times \mathcal{A}_{\text{réelle}}$.)
Corrigé détaillé
1Identifier le rapport
a) \(\text{Même côté :}\quad k = +\dfrac{OM'}{OM} = +\dfrac{6}{2} =\) \(k = 3\)
b) \(\text{Même côté :}\quad k = +\dfrac{OM'}{OM} = +\dfrac{3}{5} =\) \(k = \dfrac{3}{5}\)
c) \(\text{Côté opposé :}\quad k = -\dfrac{OM'}{OM} = -\dfrac{4}{4} =\) \(k = -1\)
d) \(\text{Côté opposé :}\quad k = -\dfrac{OM'}{OM} = -\dfrac{1{,}5}{3} =\) \(k = -\dfrac{1}{2}\)
2Calculer des longueurs
a) \(A'B' = |k| \times AB = 3 \times 4 =\) \(12 \text{ cm}\)
b) \(B'C' = |k| \times BC = \dfrac{2}{3} \times 9 =\) \(6 \text{ cm}\)
c) \(A'C' = |k| \times AC \Rightarrow AC = \dfrac{A'C'}{|k|} = \dfrac{6}{\dfrac{3}{2}} = 6 \times \dfrac{2}{3} =\) \(4 \text{ cm}\)
3Calcul d'aire
a) \(\mathcal{A}' = k^2 \times \mathcal{A} = 2^2 \times 5 = 4 \times 5 =\) \(20 \text{ cm}^2\)
b) \(\mathcal{A}' = k^2 \times \mathcal{A} \Rightarrow \mathcal{A} = \dfrac{\mathcal{A}'}{k^2} = \dfrac{45}{(-3)^2} = \dfrac{45}{9} =\) \(5 \text{ cm}^2\)
c) \(k^2 = \dfrac{\mathcal{A}'}{\mathcal{A}} = \dfrac{18}{8} = \dfrac{9}{4} \Rightarrow |k| = \sqrt{\dfrac{9}{4}} =\) \(|k| = \dfrac{3}{2}\)
4Droites parallèles et longueurs
a) \(OA' = k \times OA = \dfrac{3}{2} \times 4 =\) \(6 \text{ cm}\)
b) \((A'B') \parallel (AB) \text{ (propriété de l'homothétie).} \quad A'B' = |k| \times AB = \dfrac{3}{2} \times 6 =\) \(9 \text{ cm}\)
c) \(B'C' = |k| \times BC = \dfrac{3}{2} \times 8 =\) \(12 \text{ cm}\)
5Plan d'architecte
a) \(\text{Longueur réelle} = 6 \times 50 = 300 \text{ cm} = 3 \text{ m} \quad;\quad \text{Largeur réelle} = 4 \times 50 = 200 \text{ cm} =\) \(3 \text{ m} \times 2 \text{ m}\)
b) \(\mathcal{A}_{\text{plan}} = 6 \times 4 =\) \(24 \text{ cm}^2\)
c) \(\mathcal{A}_{\text{plan}} = k^2 \times \mathcal{A}_{\text{réelle}} \Rightarrow \mathcal{A}_{\text{réelle}} = \dfrac{24}{\left(\dfrac{1}{50}\right)^2} = 24 \times 2500 = 60\,000 \text{ cm}^2 =\) \(6 \text{ m}^2\)