Tu n'as jamais posé les yeux sur ce chapitre et pourtant ton prof a annoncé un contrôle. Pas de panique, on va te faire comprendre l'essentiel en un rien de temps. Avant de plonger, on vérifie que tu maîtrises les trois prérequis sauveurs : 1. Calculer avec des nombres relatifs, des décimaux et des fractions sans trembler. 2. Substituer une valeur dans une expression (comme dans « si x = 3, alors 2x + 5 = ... »). 3. Résoudre une équation simple du genre 2x + 3 = 9. On t'a mis des exercices à trous pour que ce soit facile et rapide.
Prérequis express : calculs et équations
Pour démarrer, rappelons que :
Substituer, c'est remplacer chaque occurrence de la lettre par la valeur donnée.
Résoudre une équation comme $2x+3=9$, c'est isoler $x$ : on fait passer 3 de l'autre côté (en soustrayant 3), puis on divise par 2. Soit $2x=6$ puis $x=3$.
Qu'est-ce qu'une fonction, une image, un antécédent ?
Une fonction $f$ est une machine qui prend un nombre $x$, le transforme et donne exactement un résultat, noté $f(x)$ (lire « $f$ de $x$ »).
Exemple : si $f : x \mapsto 2x+3$, alors $f(4) = 2\times4+3 = 11$.
Image : le résultat obtenu. Ici 11 est l'image de 4 par $f$.
Antécédent : le nombre de départ. Ici 4 est un antécédent de 11 par $f$.
Pour trouver un antécédent, on résout $f(x) = \text{valeur donnée}$.
À toi de jouer
1. On considère $f : x \mapsto 4x - 7$. Complète la phrase : Pour calculer l'image de 2, on remplace $x$ par . On obtient $f(2) = 4 \times \underline{\hspace{1.1em}} - 7 = \underline{\hspace{1.1em}} - 7 = \underline{\hspace{1.1em}}$. L'image de 2 par $f$ est donc .
Corrigé
Pour calculer l'image de 2, on remplace $x$ par 2. On obtient $f(2) = 4 \times 2 - 7 = 8 - 7 = 1$. L'image de 2 par $f$ est donc 1.
2. Soit $g : x \mapsto -2x + 5$. On veut l'antécédent de 1. Complète : On résout $\underline{\hspace{1.1em}} x + 5 = 1$. Donc $\underline{\hspace{1.1em}} x = 1 - 5$, soit $\underline{\hspace{1.1em}} x = -4$. D'où $x = \frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{-2} = \underline{\hspace{1.1em}}$. L'antécédent de 1 est donc .
Corrigé
On résout $-2x + 5 = 1$. Donc $-2x = 1 - 5$, soit $-2x = -4$. D'où $x = \frac{-4}{-2} = 2$. L'antécédent de 1 est donc 2.
3. Avec $h(x) = 3x + 1$, complète le calcul de l'image de $-1$ : $h(\underline{\hspace{1.1em}}) = 3 \times (\underline{\hspace{1.1em}}) + 1 = \underline{\hspace{1.1em}} + 1 = \underline{\hspace{1.1em}}$. L'image de $-1$ est .
Corrigé
Avec $h(x) = 3x + 1$, complète le calcul de l'image de $-1$ : $h(-1) = 3 \times (-1) + 1 = -3 + 1 = -2$. L'image de $-1$ est -2.
Ah, oui, ces fameuses fonctions... Tu as déjà dû en entendre parler. On va reprendre le cours structuré, avec la méthode pas à pas, et des exercices d'application où on te tient encore la main. Tu vas voir, ça va revenir tout seul.
Rappel du cours : fonction, image, antécédent
Une fonction $f$ associe à chaque nombre $x$ d'un ensemble de départ exactement un nombre noté $f(x)$ dans l'ensemble d'arrivée. On note $f : x \mapsto \text{expression}$.
Vocabulaire :
Image : $b$ est l'image de $a \Leftrightarrow f(a) = b$.
Antécédent : $a$ est un antécédent de $b \Leftrightarrow f(a) = b$.
Méthode calcul : pour calculer une image, on remplace $x$ par la valeur. Pour chercher un antécédent, on pose et résout une équation $f(x) = b$.
Un même nombre peut avoir plusieurs antécédents, mais jamais plusieurs images par une fonction.
Lecture graphique : image et antécédent sur une courbe
Sur un graphique muni d'une courbe représentative :
Pour lire l'image de $a$ : on part de $a$ sur l'axe des abscisses, on monte (ou descend) verticalement jusqu'à la courbe, puis on lit la valeur sur l'axe des ordonnées.
Pour lire un antécédent de $b$ : on part de $b$ sur l'axe des ordonnées, on va horizontalement jusqu'à la courbe, puis on descend (ou monte) verticalement jusqu'à l'axe des abscisses pour lire la valeur.
À toi de jouer
1. Complète les phrases avec les mots « image » ou « antécédent ». Soit $f(x) = 5x - 2$. On a $f(3) = 13$. Donc 13 est l' de 3 par $f$, et 3 est un de 13 par $f$.
Corrigé
13 est l'image de 3 par $f$, et 3 est un antécédent de 13 par $f$.
2. Soit $g : x \mapsto -3x + 7$. Complète le calcul de l'image de $-2$ : $g(\underline{\hspace{1.1em}}) = \underline{\hspace{1.1em}} \times (\underline{\hspace{1.1em}}) + 7 = \underline{\hspace{1.1em}} + 7 = \underline{\hspace{1.1em}}$. L'image de $-2$ est donc .
Corrigé
Soit $g : x \mapsto -3x + 7$. Complète le calcul de l'image de $-2$ : $g(-2) = (-3) \times (-2) + 7 = 6 + 7 = 13$. L'image de $-2$ est donc 13.
3. Trouve l'antécédent de 8 par $h(x) = 2x - 4$. Complète la résolution : $2x - 4 = \underline{\hspace{1.1em}} \Rightarrow 2x = 8 + \underline{\hspace{1.1em}} \Rightarrow 2x = \underline{\hspace{1.1em}} \Rightarrow x = \underline{\hspace{1.1em}}$. L'antécédent est .
Corrigé
Trouve l'antécédent de 8 par $h(x) = 2x - 4$. Complète la résolution : $2x - 4 = 8 \Rightarrow 2x = 8 + 4 \Rightarrow 2x = 12 \Rightarrow x = 6$. L'antécédent est 6.
On muscle la mécanique : cinq mini-exercices quasi identiques pour que ça devienne un automatisme. Tu vas répéter la même tâche, juste avec des nombres différents. Aucune surprise, que de la réussite.
Rappels de calcul
Pour calculer une image, n'oublie pas : priorité à la multiplication. Exemple : pour $f(x) = 3x - 1$, on calcule $f(2) = 3\times2 - 1 = 6 - 1 = 5$.
Pour un antécédent, résous l'équation $f(x) = b$. Exemple : $3x - 1 = 11 \Rightarrow 3x = 12 \Rightarrow x=4$.
À toi de jouer
1. Soit $f(x) = 2x + 5$. Calcule l'image de 3 : $f(3) = \underline{\hspace{1.1em}}$
Corrigé
f(3) = 2*3 + 5 = 6 + 5 = 11.
2. Soit $f(x) = 2x + 5$. Calcule l'image de -1 : $f(-1) = \underline{\hspace{1.1em}}$
Corrigé
f(-1) = 2*(-1) + 5 = -2 + 5 = 3.
3. Soit $f(x) = 2x + 5$. Calcule l'image de 0 : $f(0) = \underline{\hspace{1.1em}}$
Corrigé
f(0) = 2*0 + 5 = 0 + 5 = 5.
4. Soit $g(x) = 4x - 1$. Trouve l'antécédent de 7 : résous $4x - 1 = \underline{\hspace{1.1em}} \Rightarrow x = \underline{\hspace{1.1em}}$
Corrigé
4x - 1 = 7 => 4x = 8 => x = 2.
5. Soit $g(x) = 4x - 1$. Trouve l'antécédent de -5 : résous $4x - 1 = \underline{\hspace{1.1em}} \Rightarrow x = \underline{\hspace{1.1em}}$
Corrigé
4x - 1 = -5 => 4x = -4 => x = -1.
Te voilà prêt pour des exercices du niveau de ton contrôle. Vrais problèmes, lecture graphique, et un peu de gymnastique entre image et antécédent. Tu peux maintenant voler de tes propres ailes.
Méthode complète
Tu sais déjà tout ce qu'il faut. Souviens-toi :
Pour calculer une image, tu remplaces et tu calcules.
Pour déterminer un antécédent, tu poses et résous une équation.
Sur un graphique, l'image se lit depuis l'axe des abscisses, l'antécédent depuis l'axe des ordonnées.
À toi de jouer
1. Soit $f(x) = 3x - 5$. Calcule $f(0)$, $f(2)$, $f(-1)$ et $f(4)$.
Corrigé
f(0)=-5 ; f(2)=1 ; f(-1)=-8 ; f(4)=7.
2. Soit $g(x) = 2x + 6$. Trouve les antécédents de 0, de 10 et de -4.
Corrigé
0 -> x=-3 ; 10 -> x=2 ; -4 -> x=-5.
3. On considère la fonction $h$ représentée par la courbe ci-dessous. Donne l'image de 0 et l'image de 3. Donne un antécédent de 0 et un antécédent de 4.
Corrigé
Image de 0 : 1 (point B). Image de 3 : -2 (point C). Antécédent de 0 : 5 (point D). Antécédent de 4 : -2 (point A).
4. Une société de taxis calcule le prix (en euros) d'une course par la fonction $p : d \mapsto 1{,}5d + 2$, où $d$ est la distance parcourue en km. a) Calcule $p(8)$ et interprète. b) Calcule $p(0)$ et interprète. c) Un client a payé 20 €. Quelle distance a-t-il parcourue ? (trouve l'antécédent de 20).
Corrigé
a) p(8) = 1,5*8+2 = 14 € (prix pour 8 km). b) p(0) = 2 € (prise en charge). c) 1,5d+2=20 => 1,5d=18 => d=12 km.
5. Soit $f(x) = -x + 3$. a) Calcule l'image de 5. b) Trouve l'antécédent de 0. c) Quel est le nombre qui a pour image 1 ?
Corrigé
a) f(5) = -5+3 = -2. b) -x+3=0 => x=3. c) Cherche x tel que f(x)=1 => -x+3=1 => x=2.
En seconde, tu verras des fonctions plus variées : carré, inverse, et on te demandera de jongler avec des expressions plus riches. Pour te donner une avance, voici deux exercices qui dépassent un peu le cadre de la 3e, mais avec les mêmes réflexes : image, antécédent, et un soupçon de réflexion.
Ouverture : d'autres fonctions
Une fonction peut être définie par n'importe quelle expression. Par exemple, $f(x) = x^2 - 2$ est une fonction, tout comme $g(x) = \frac{1}{x}$ (pour $x eq 0$). Les méthodes restent identiques : on substitue pour l'image, on résout pour l'antécédent. Petit nouveau : il peut y avoir deux antécédents (ou aucun) pour une même image. Prépare-toi : l'an prochain, on travaille aussi avec la courbe pour visualiser tout ça !
À toi de jouer
1. Soit $f(x) = x^2 - 9$. a) Calcule l'image de 4. b) Détermine le ou les antécédents de 0. c) Détermine le ou les antécédents de 7.
Corrigé
a) f(4)=16-9=7. b) x^2-9=0 => x^2=9 => x=3 ou x=-3 (deux antécédents). c) x^2-9=7 => x^2=16 => x=4 ou x=-4.
2. Une fonction $g$ est définie par $g(x) = \frac{12}{x}$ pour $x eq 0$. a) Quelle est l'image de 3 ? b) Quel est l'antécédent de -1 ? c) Existe-t-il un antécédent de 0 ? Explique pourquoi.
Corrigé
a) g(3)=12/3=4. b) 12/x = -1 => x = -12. c) 12/x = 0 n'a pas de solution car une fraction n'est nulle que si son numérateur est nul (12 ne l'est pas). Donc 0 n'a pas d'antécédent.
3. Défi : On considère une machine qui élève un nombre au carré puis soustrait 4 fois ce nombre (fonction $h(x) = x^2 - 4x$). a) Calcule h(5). b) Trouve mentalement deux antécédents de 0. c) Vérifie que 0 et 4 conviennent.
Corrigé
a) 25-20=5. b) 0 et 4 car 0^2-4*0=0 et 16-16=0. c) On vérifie que h(0)=0 et h(4)=0.
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