Tu es en panique parce que le contrôle arrive et tu n'as jamais entendu parler d'angles inscrits ? Pas de souci, on va te faire comprendre l'essentiel en un temps record. Accroche-toi, on démarre de zéro.
Les prérequis qu'il te faut
Pour travailler sur les angles inscrits, tu dois maîtriser quelques bases du programme officiel : effectuer des calculs simples (multiplier et diviser par 2), manipuler des nombres décimaux (les mesures d'angles sont souvent en degrés, parfois avec des décimales), vérifier la cohérence d'un résultat (par exemple, un angle dans un triangle ne peut pas dépasser 180°). Ces compétences correspondent aux attendus « Pratiquer le calcul exact ou approché », « Somme, différence, produit, quotient de nombres décimaux » et « Vérifier la vraisemblance d'un résultat ».
Angles au centre et angles inscrits : c'est quoi ?
Regarde un cercle de centre O. Prends deux points A et B sur le cercle. L'angle $\widehat{AOB}$ s'appelle un angle au centre (son sommet est le centre O). L'angle $\widehat{ACB}$ s'appelle un angle inscrit (son sommet C est sur le cercle, et pas n'importe où : il est sur l'arc opposé à l'arc AB qu'on considère). Les deux angles interceptent le même arc $\overset{\frown}{AB}$.
La relation magique
Quand un angle au centre et un angle inscrit interceptent le même arc, on a toujours : $\widehat{ACB} = \dfrac{1}{2}\,\widehat{AOB}$ (l'angle inscrit vaut la moitié de l'angle au centre). Ou en sens inverse : $\widehat{AOB} = 2 \times \widehat{ACB}$. Pour le contrôle, c'est la seule formule à connaître : si tu vois un angle au centre, l'angle inscrit correspondant est sa moitié, et inversement.
À toi de jouer
1. Complète avec le bon mot. La figure t'aide. L'angle $\widehat{AOB}$ est un angle au ______ car son sommet est le ______ du cercle. L'angle $\widehat{ACB}$ est un angle ______ car son sommet C se trouve sur le ______. Ces deux angles interceptent le même ______ $\overset{\frown}{AB}$.
Corrigé
L'angle $\widehat{AOB}$ est un angle au centre car son sommet est le centre du cercle. L'angle $\widehat{ACB}$ est un angle inscrit car son sommet C se trouve sur le cercle. Ces deux angles interceptent le même arc $\overset{\frown}{AB}$.
2. En utilisant la relation, complète. La figure montre O centre du cercle, avec $\widehat{AOB}=80°$. Calcule $\widehat{ACB}$ (C sur le grand arc). $\widehat{ACB} = \dfrac{\widehat{AOB}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}°}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}°$
Ah oui, les angles inscrits ! Tu te souviens maintenant que c'est la moitié de l'angle au centre. On va consolider ça avec la méthode pas à pas et les autres propriétés que tu dois absolument connaître pour le contrôle (angles qui interceptent le même arc, angle dans un demi-cercle).
Rappel express
1. Relation fondamentale : $\widehat{ACB} = \frac{1}{2}\,\widehat{AOB}$ (angle inscrit = moitié de l'angle au centre correspondant). 2. Angles inscrits, même arc : Si C et D sont deux points du cercle du même côté de [AB], alors $\widehat{ACB} = \widehat{ADB}$. 3. Angle dans un demi-cercle : Si [AB] est un diamètre, alors $\widehat{ACB} = 90°$ (car $\widehat{AOB}=180°$).
Méthode en 3 étapes
1. Identifier le type d'angle : sommet en O → angle au centre ; sommet sur le cercle → angle inscrit. 2. Repérer l'arc intercepté commun aux deux angles ou à plusieurs angles. 3. Appliquer la relation : angle inscrit = $\frac{1}{2}$ angle au centre, ou égalité entre angles inscrits interceptant le même arc, ou 90° si demi-cercle.
Erreurs à ne pas commettre
Confondre l'angle au centre (sommet en O) et l'angle inscrit (sommet sur le cercle).
Oublier le facteur $\frac{1}{2}$ : $\widehat{ACB} eq \widehat{AOB}$.
Appliquer la propriété à des angles qui n'interceptent pas le même arc.
Croire que l'angle inscrit dans un demi-cercle dépend de la position de C : il vaut toujours 90°.
À toi de jouer
1. Dans la figure ci-dessous, O est le centre du cercle. L'angle au centre $\widehat{AOB}=120°$. Calcule $\widehat{ACB}$. Applique la méthode : 1) $\widehat{ACB}$ est un angle ______ (au centre / inscrit) car son sommet C est ______. 2) Il intercepte l'arc ______ (celui qui ne contient pas C). 3) Donc $\widehat{ACB} = \frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}°$.
Corrigé
$\widehat{ACB}$ est un angle inscrit car son sommet C est sur le cercle. Il intercepte l'arc AB. Donc $\widehat{ACB} = \frac{120°}{2} = 60°$.
2. Cas particulier : [AB] est un diamètre, donc $\widehat{AOB} = \underline{\hspace{1.1em}}°$. Ainsi, tout angle inscrit interceptant le même arc que ce diamètre, c'est-à-dire un demi-cercle, mesure $\dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}°}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}°$. Si de plus $\widehat{CAB}=30°$, alors dans le triangle ACB, la somme des angles vaut 180°, donc $\widehat{CBA} = 180° - \underline{\hspace{1.1em}}° - \underline{\hspace{1.1em}}° = \underline{\hspace{1.1em}}°$.
Corrigé
[AB] est un diamètre, donc $\widehat{AOB} = 180°$. Ainsi, tout angle inscrit … mesure $\dfrac{180°}{2} = 90°$. Si $\widehat{CAB}=30°$, alors $\widehat{CBA} = 180° - 90° - 30° = 60°$.
3. Deux angles inscrits $\widehat{ACB}$ et $\widehat{ADB}$ interceptent le même arc AB, avec C et D du même côté de [AB]. L'angle $\widehat{ACB}=37°$. Sans figure, calcule $\widehat{ADB}$. Explique brièvement.
Corrigé
Les angles inscrits qui interceptent le même arc sont égaux, donc $\widehat{ADB}=37°$.
Allez, on se fait les dents avec cinq petits calculs identiques pour que le réflexe devienne automatique. Aucun piège, que du bonheur.
À toi de jouer
1. On donne $\widehat{AOB}=70°$. Complète : $\widehat{ACB} = \dfrac{\widehat{AOB}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}°}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}°$
Corrigé
$\widehat{ACB} = \dfrac{70°}{2} = 35°$
2. On donne $\widehat{AOB}=96°$. Complète : $\widehat{ACB} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \dfrac{96°}{2} = \underline{\hspace{1.1em}}°$
Corrigé
$\widehat{ACB} = \dfrac{96°}{2} = 48°$
3. On donne $\widehat{AOB}=50°$. Complète : $\widehat{ACB} = \dfrac{\widehat{AOB}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}°}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}°$
Corrigé
$\widehat{ACB} = \dfrac{50°}{2} = 25°$
4. On donne $\widehat{AOB}=134°$. Complète : $\widehat{ACB} = \dfrac{\widehat{AOB}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}°}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}°$
Corrigé
$\widehat{ACB} = \dfrac{134°}{2} = 67°$
5. On donne $\widehat{AOB}=88°$. Complète : $\widehat{ACB} = \dfrac{\widehat{AOB}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}°}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}°$
Corrigé
$\widehat{ACB} = \dfrac{88°}{2} = 44°$
L'heure est grave : on simule le contrôle. Prends ton temps, raisonne, applique les propriétés sans te précipiter. Ces exercices sont exactement ce qui peut tomber.
À toi de jouer
1.Application directe (4 points). O est le centre du cercle. Dans chaque cas, calcule l'angle demandé. a) $\widehat{AOB}=88°$ ; C est un point du grand arc AB. Calcule $\widehat{ACB}$. b) $\widehat{ACB}=74°$ ; calcule $\widehat{AOB}$. c) $\widehat{AOB}=112°$ ; calcule $\widehat{ACB}$. d) $\widehat{ACB}=29°$ ; calcule $\widehat{AOB}$.
Corrigé
a) $\widehat{ACB}= \frac{88°}{2}=44°$ b) $\widehat{AOB}=2 \times 74°=148°$ c) $\widehat{ACB}= \frac{112°}{2}=56°$ d) $\widehat{AOB}=2 \times 29°=58°$
2.Angle dans un demi-cercle (3 points). [AB] est un diamètre du cercle de centre O. C est un point du cercle distinct de A et B. a) Quelle est la valeur de $\widehat{ACB}$ ? Justifie. b) Si $\widehat{CAB}=44°$, calcule $\widehat{CBA}$. c) Si $\widehat{CBA}=62°$, calcule $\widehat{CAB}$.
Corrigé
a) $\widehat{ACB}=90°$ car l'angle inscrit intercepte un demi-cercle (diamètre). b) $\widehat{CBA}=180°-90°-44°=46°$ c) $\widehat{CAB}=180°-90°-62°=28°$
3.Angles inscrits dans le même arc (3 points). A, B, C, D sont quatre points d'un cercle de centre O. C et D sont du même côté de [AB], et $\widehat{ACB}=52°$. a) Calcule $\widehat{ADB}$ et justifie. b) L'angle au centre $\widehat{AOB}=104°$. Calcule $\widehat{ACB}$ (C du même côté que D) et vérifie la cohérence avec a). c) Dans un autre cas, $\widehat{ACB}=52°$ et $\widehat{ADB}=128°$. D est-il du même côté que C par rapport à [AB] ? Justifie.
Corrigé
a) Les angles inscrits interceptant le même arc AB sont égaux, donc $\widehat{ADB}=52°$. b) $\widehat{ACB}= \frac{\widehat{AOB}}{2}= \frac{104°}{2}=52°$, cohérent avec a). c) Si D est du même côté, $\widehat{ADB}=52°$. Or $52° eq 128°$, donc D est de l'autre côté de [AB]. (Les deux angles sont supplémentaires car ils interceptent le même arc mais des côtés opposés.)
4.Triangle inscrit dans un cercle (4 points). Le triangle ABC est inscrit dans un cercle de centre O. On sait que $\widehat{BAC}=60°$ et $\widehat{ABC}=50°$. a) Calcule $\widehat{BCA}$. b) Calcule les angles au centre $\widehat{BOC}$, $\widehat{AOC}$ et $\widehat{AOB}$. Précise, pour chacun, quel angle inscrit tu utilises. c) Vérifie que la somme des trois angles au centre vaut 360°.
Corrigé
a) $\widehat{BCA}=180°-60°-50°=70°$. b) $\widehat{BOC}=2 \times \widehat{BAC}=2 \times 60°=120°$ $\widehat{AOC}=2 \times \widehat{ABC}=2 \times 50°=100°$ $\widehat{AOB}=2 \times \widehat{BCA}=2 \times 70°=140°$ c) $120°+100°+140°=360°$.
Prêt à voir plus loin ? Ces exercices te préparent à l'ambiance du lycée : un peu plus de réflexion, de la réciproque, et des figures où il faut jongler avec plusieurs propriétés. Si tu y arrives, le contrôle sera une promenade de santé.
Pour aller plus loin : la réciproque de l'angle dans un demi-cercle
Tu sais que si un triangle a pour côté un diamètre d'un cercle et que son troisième sommet est sur le cercle, alors l'angle en ce sommet est droit. La réciproque dit : si un triangle rectangle est inscrit dans un cercle, alors son hypoténuse est un diamètre du cercle. Autrement dit, si $\widehat{ACB}=90°$ et A, B, C sont sur un même cercle, alors [AB] est un diamètre.
À toi de jouer
1.Réciproque du demi-cercle Un triangle DEF est inscrit dans un cercle de centre O. On sait que $\widehat{DFE}=90°$. a) Déduis que [DE] est un diamètre du cercle. Justifie en utilisant la réciproque. b) Calcule alors $\widehat{DOE}$. c) Sachant que $\widehat{DEF}=35°$, calcule tous les angles du triangle DEF et du triangle DOE.
Corrigé
a) On sait que $\widehat{DFE}=90°$ et que F est un point du cercle. D'après la réciproque du théorème de l'angle inscrit dans un demi-cercle : si un angle inscrit dans un cercle est droit, alors la corde qui lui correspond est un diamètre. Ici $\widehat{DFE}=90°$, donc [DE] est un diamètre du cercle.
b) Puisque [DE] est un diamètre du cercle de centre O, le point O est le milieu de [DE]. Les points D, O et E sont donc alignés, et $\widehat{DOE}=180°$ (angle plat).
c) Dans le triangle DEF : $\widehat{DFE}=90°$ (donné) $\widehat{DEF}=35°$ (donné) $\widehat{EDF}=180°-90°-35°=\mathbf{55°}$
Concernant le « triangle DOE » : puisque [DE] est un diamètre et que O est le centre du cercle, O est le milieu de [DE]. Les points D, O et E sont donc alignés : ils ne forment pas un triangle. On ne peut pas calculer les angles d'un triangle DOE, car ce triangle n'existe pas — D, O et E sont sur une même droite. La seule mesure angulaire disponible est $\widehat{DOE}=180°$, déjà établie en b).
2.Quadrilatère inscriptible ABCD est un quadrilatère inscrit dans un cercle. On donne $\widehat{BAC}=40°$ et $\widehat{DBC}=30°$. a) Identifie les arcs interceptés par ces deux angles. b) Calcule $\widehat{BDC}$ puis $\widehat{DAC}$. Explique pourquoi ces angles sont égaux aux angles donnés. c) Déduis-en $\widehat{BAD}$ et $\widehat{BCD}$. Vérifie que $\widehat{BAD} + \widehat{BCD} = 180°$. C'est une propriété générale des quadrilatères inscriptibles.
Corrigé
a) $\widehat{BAC}$ est un angle inscrit qui intercepte l'arc BC ne contenant pas A. $\widehat{DBC}$ est un angle inscrit qui intercepte l'arc DC ne contenant pas B.
b) $\widehat{BDC}$ intercepte le même arc BC que $\widehat{BAC}$ ; deux angles inscrits qui interceptent le même arc sont égaux, donc $\widehat{BDC} = 40°$. De même, $\widehat{DAC}$ intercepte le même arc DC que $\widehat{DBC}$, donc $\widehat{DAC} = 30°$. Ces égalités s'expliquent par le théorème des angles inscrits : deux angles inscrits dans un même cercle et interceptant le même arc ont la même mesure.
c) La diagonale AC est intérieure au quadrilatère convexe ABCD et partage l'angle $\widehat{BAD}$ en deux parties : $\widehat{BAD} = \widehat{BAC} + \widehat{DAC} = 40° + 30° = 70°$.
Pour calculer $\widehat{BCD}$ de façon indépendante, on passe par les mesures d'arcs. Un angle inscrit vaut la moitié de l'arc qu'il intercepte, donc l'arc intercepté vaut le double de l'angle : — Arc BC $= 2 \times \widehat{BAC} = 2 \times 40° = 80°$. — Arc DC $= 2 \times \widehat{DBC} = 2 \times 30° = 60°$. — Arc BCD (de B à D en passant par C) $= 80° + 60° = 140°$. — Arc BAD (de B à D en passant par A) $= 360° - 140° = 220°$. Or $\widehat{BCD}$ est un angle inscrit qui intercepte l'arc BAD (ne contenant pas C), donc : $\widehat{BCD} = \dfrac{220°}{2} = 110°$.
Vérification : $\widehat{BAD} + \widehat{BCD} = 70° + 110° = 180°$ $\checkmark$. Les angles opposés d'un quadrilatère inscrit dans un cercle sont bien supplémentaires.
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