V VIDYALAYA · Soutien scolaire
Mathématiques3eEspace et geometrieExercices + corrigé

Angles inscrits et angles au centre — Exercices

Application directe, demi-cercle, angles égaux, triangle inscrit, calcul malin. Corrigé en fin de fiche.
⏱ ~25 min✎ Calculatrice inutile
1Application directe/ 4 pts
O est le centre du cercle. Dans les cas a) et c), C est un point du grand arc AB. Calcule l'angle demandé.
  1. $\widehat{AOB} = 72°$. Calcule $\widehat{ACB}$.
  2. $\widehat{ACB} = 65°$. Calcule $\widehat{AOB}$.
  3. $\widehat{AOB} = 118°$. Calcule $\widehat{ACB}$.
  4. $\widehat{ACB} = 43°$. Calcule $\widehat{AOB}$.
2Angle dans un demi-cercle/ 3 pts
[AB] est un diamètre du cercle de centre O. C est un point du cercle distinct de A et B.
  1. Quelle est la valeur de $\widehat{ACB}$ ? Justifie.
  2. Si $\widehat{CAB} = 34°$, calcule $\widehat{CBA}$.
  3. Si $\widehat{CBA} = 58°$, calcule $\widehat{CAB}$.
3Angles inscrits dans le même arc/ 3 pts
A, B, C, D sont quatre points d'un cercle de centre O.
  1. C et D sont du même côté de [AB], et $\widehat{ACB} = 47°$. Calcule $\widehat{ADB}$ et justifie.
  2. L'angle au centre $\widehat{AOB} = 94°$. Calcule $\widehat{ACB}$ (C du même côté que D) et vérifie la cohérence avec a).
  3. Dans un autre cas, $\widehat{ACB} = 47°$ et $\widehat{ADB} = 133°$. D est-il du même côté que C par rapport à [AB] ? Justifie.
4Triangle inscrit dans un cercle/ 4 pts
Le triangle ABC est inscrit dans un cercle de centre O. On sait que $\widehat{BAC} = 55°$ et $\widehat{ABC} = 70°$.
  1. Calcule $\widehat{BCA}$.
  2. Calcule les angles au centre $\widehat{BOC}$, $\widehat{AOC}$ et $\widehat{AOB}$. Précise, pour chacun, quel angle inscrit tu utilises.
  3. Vérifie que la somme des trois angles au centre vaut 360°.
5Corde égale au rayon/ 4 pts
Dans un cercle de centre O et de rayon $r$, la corde [AB] vérifie $AB = r$.
  1. Quelle est la nature du triangle OAB ? Justifie.
  2. En déduire la mesure de $\widehat{AOB}$.
  3. Un point C est placé sur le grand arc AB. Calcule $\widehat{ACB}$.
  4. Quelle fraction du cercle représente le petit arc AB ?
Corrigé détaillé
1Application directe
a) \(\widehat{ACB} = \dfrac{\widehat{AOB}}{2} = \dfrac{72°}{2} =\) \(36°\)
b) \(\widehat{AOB} = 2 \times \widehat{ACB} = 2 \times 65° =\) \(130°\)
c) \(\widehat{ACB} = \dfrac{118°}{2} =\) \(59°\)
d) \(\widehat{AOB} = 2 \times 43° =\) \(86°\)
2Angle dans un demi-cercle
a) \(\text{[AB] diamètre} \Rightarrow \widehat{AOB} = 180°,\text{ donc } \widehat{ACB} = \dfrac{180°}{2} =\) \(90°\)
b) \(\widehat{CBA} = 180° - \widehat{ACB} - \widehat{CAB} = 180° - 90° - 34° =\) \(56°\)
c) \(\widehat{CAB} = 180° - 90° - 58° =\) \(32°\)
3Angles inscrits dans le même arc
a) \(\text{C et D du même côté : ils interceptent le même arc AB, donc }\widehat{ADB} = \widehat{ACB} =\) \(47°\)
b) \(\widehat{ACB} = \dfrac{\widehat{AOB}}{2} = \dfrac{94°}{2} =\) \(47° \text{ — cohérent avec a)}\)
c) \(\text{Si D même côté que C : }\widehat{ADB} = 47°.\text{ Or } 47° \neq 133°.\) \(\text{D est de l'autre côté de [AB].}\)
4Triangle inscrit dans un cercle
a) \(\widehat{BCA} = 180° - 55° - 70° =\) \(55°\)
b) BOC \(\widehat{BOC} = 2 \times \widehat{BAC} = 2 \times 55° =\) \(110°\)
b) AOC \(\widehat{AOC} = 2 \times \widehat{ABC} = 2 \times 70° =\) \(140°\)
b) AOB \(\widehat{AOB} = 2 \times \widehat{BCA} = 2 \times 55° =\) \(110°\)
c) \(110° + 140° + 110° =\) \(360° \checkmark\)
5Corde égale au rayon
a) \(OA = OB = r\text{ (rayons)},\; AB = r \Rightarrow OA = OB = AB.\) \(\text{Triangle OAB équilatéral}\)
b) \(\text{Triangle équilatéral} \Rightarrow \widehat{AOB} =\) \(60°\)
c) \(\widehat{ACB} = \dfrac{\widehat{AOB}}{2} = \dfrac{60°}{2} =\) \(30°\)
d) \(\dfrac{\text{arc AB (petit)}}{360°} = \dfrac{60°}{360°} =\) \(\dfrac{1}{6}\text{ du cercle}\)