Hé, pas de panique, on va démarrer tout doucement. Tu as un contrôle bientôt et tu n'as jamais vu le PGCD ? On reprend les bases : tu sais déjà ce qu'est un diviseur, n'est-ce pas ? (un nombre qui divise exactement un autre). On va construire pas à pas la notion de PGCD et voir comment ça simplifie des fractions. Accroche-toi, on fait ça ensemble !

1. Diviseurs d'un nombre

Un diviseur d'un entier est un nombre qui le divise sans reste. Par exemple, les diviseurs de 12 sont 1, 2, 3, 4, 6, 12.
La liste des diviseurs s'obtient en testant les nombres inférieurs ou égaux à la moitié (puis le nombre lui-même).

2. Définition du PGCD

Le PGCD (Plus Grand Commun Diviseur) de deux nombres a et b est le plus grand diviseur commun à a et à b.
Exemple : pour 12 et 18, les diviseurs communs sont 1, 2, 3, 6. Le plus grand est 6, donc PGCD(12,18)=6.

3. Simplification d'une fraction

Pour rendre une fraction irréductible (ne plus pouvoir la simplifier), on divise le numérateur et le dénominateur par leur PGCD. Ainsi, la fraction obtenue est simplifiée au maximum.
Exemple : $\frac{12}{18} = \frac{12 \div 6}{18 \div 6} = \frac{2}{3}$.

À toi de jouer

1. Trouvons ensemble le PGCD de 8 et 12.
a) Liste les diviseurs de 8 : $\underline{\hspace{1.1em}}$ (écris tous les entiers qui divisent 8).
b) Liste les diviseurs de 12 : $\underline{\hspace{1.1em}}$
c) Entoure les diviseurs communs : $\underline{\hspace{1.1em}}$
d) Le plus grand diviseur commun est $\underline{\hspace{1.1em}}$. Donc PGCD(8,12)=$\underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
a) Div(8)={1,2,4,8}
b) Div(12)={1,2,3,4,6,12}
c) Communs : 1,2,4
d) PGCD=4
2. À toi ! PGCD(9,15) ?
a) Div(9)=$\underline{\hspace{1.1em}}$
b) Div(15)=$\underline{\hspace{1.1em}}$
c) Communs : $\underline{\hspace{1.1em}}$
d) PGCD=$\underline{\hspace{1.1em}}$
Corrigé
a) Div(9)={1,3,9}
b) Div(15)={1,3,5,15}
c) Communs : 1,3
d) PGCD=3
3. Simplifie la fraction $\frac{9}{15}$ en utilisant le PGCD trouvé :
$\frac{9}{15} = \frac{9 \div \underline{\hspace{1.1em}}}{15 \div \underline{\hspace{1.1em}}} = \frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}}$
Corrigé
$\frac{9}{15} = \frac{9 \div 3}{15 \div 3} = \frac{3}{5}$

Ah oui, ça te revient ? On va maintenant se souvenir de la méthode systématique pour trouver le PGCD même avec de grands nombres : l'algorithme d'Euclide. Et on déroule pas à pas la simplification jusqu'à la fraction irréductible. Prêt ?

1. Rappel : liste des diviseurs

Pour de petits nombres, la méthode de la liste des diviseurs est efficace. Pour deux grands nombres, elle devient fastidieuse. On utilise alors l'algorithme d'Euclide.

2. Algorithme d'Euclide

On effectue des divisions euclidiennes successives :
a = b × q + r, 0 ≤ r < b.
Si r = 0, PGCD(a,b)=b.
Sinon, PGCD(a,b) = PGCD(b,r). On répète jusqu'à obtenir un reste nul. Le PGCD est le dernier reste non nul.
Exemple avec 84 et 36 :
84 = 2 × 36 + 12 → PGCD(84,36)=PGCD(36,12)
36 = 3 × 12 + 0 → PGCD(36,12)=12.

3. Simplification avec l'algorithme

Une fois le PGCD trouvé, on divise le numérateur et le dénominateur par ce nombre. On obtient une fraction irréductible si PGCD=1.

À toi de jouer

1. Complète l'algorithme d'Euclide pour PGCD(45,20) :
45 = $\underline{\hspace{1.1em}}$ × 20 + $\underline{\hspace{1.1em}}$
20 = $\underline{\hspace{1.1em}}$ × 5 + $\underline{\hspace{1.1em}}$
Le PGCD est $\underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
45 = 2 × 20 + 5
20 = 4 × 5 + 0
PGCD = 5
2. Simplifie $\frac{45}{20}$ en une étape : $\frac{45}{20} = \frac{45 \div \underline{\hspace{1.1em}}}{20 \div \underline{\hspace{1.1em}}} = \frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}}$.
Corrigé
$\frac{45}{20} = \frac{45 \div 5}{20 \div 5} = \frac{9}{4}$
3. Avec l'algorithme d'Euclide, trouve le PGCD de 56 et 21, puis simplifie la fraction correspondante. Complète :
56 = $\underline{\hspace{1.1em}}$ × 21 + $\underline{\hspace{1.1em}}$
21 = $\underline{\hspace{1.1em}}$ × 14 + $\underline{\hspace{1.1em}}$
14 = $\underline{\hspace{1.1em}}$ × 7 + $\underline{\hspace{1.1em}}$
PGCD = $\underline{\hspace{1.1em}}$
Donc $\frac{56}{21} = \frac{56 \div \underline{\hspace{1.1em}}}{21 \div \underline{\hspace{1.1em}}} = \frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}}$.
Corrigé
56 = 2 × 21 + 14
21 = 1 × 14 + 7
14 = 2 × 7 + 0
PGCD = 7
$\frac{56}{21} = \frac{56 \div 7}{21 \div 7} = \frac{8}{3}$

Maintenant, on va faire des gammes. Cinq fractions à simplifier le plus vite possible. On te donne le PGCD, il ne te reste qu'à diviser. Allez, on enchaîne !

À toi de jouer

1. PGCD(10,15)=5
Simplifie : $\frac{10}{15} = \frac{10 \div \underline{\hspace{1.1em}}}{15 \div \underline{\hspace{1.1em}}} = \frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}}$
Corrigé
$\frac{10}{15} = \frac{10 \div 5}{15 \div 5} = \frac{2}{3}$
2. PGCD(12,18)=6
Simplifie : $\frac{12}{18} = \frac{12 \div \underline{\hspace{1.1em}}}{18 \div \underline{\hspace{1.1em}}} = \frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}}$
Corrigé
$\frac{12}{18} = \frac{12 \div 6}{18 \div 6} = \frac{2}{3}$
3. PGCD(14,21)=7
Simplifie : $\frac{14}{21} = \frac{14 \div \underline{\hspace{1.1em}}}{21 \div \underline{\hspace{1.1em}}} = \frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}}$
Corrigé
$\frac{14}{21} = \frac{14 \div 7}{21 \div 7} = \frac{2}{3}$
4. PGCD(18,30)=6
Simplifie : $\frac{18}{30} = \frac{18 \div \underline{\hspace{1.1em}}}{30 \div \underline{\hspace{1.1em}}} = \frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}}$
Corrigé
$\frac{18}{30} = \frac{18 \div 6}{30 \div 6} = \frac{3}{5}$
5. PGCD(25,35)=5
Simplifie : $\frac{25}{35} = \frac{25 \div \underline{\hspace{1.1em}}}{35 \div \underline{\hspace{1.1em}}} = \frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}}$
Corrigé
$\frac{25}{35} = \frac{25 \div 5}{35 \div 5} = \frac{5}{7}$

C'est le moment de se frotter à des exercices type brevet. Variés, parfois avec une petite difficulté, mais tu es prêt. On combine tout : liste, Euclide, simplifier, problème concret. À toi de jouer !

Rappel méthodes

Deux méthodes :
- Liste des diviseurs : pour des nombres raisonnables.
- Algorithme d'Euclide : suite de divisions euclidiennes, on remplace (a,b) par (b, reste) jusqu'à reste nul.
Simplification : $\frac{a}{b} = \frac{a \div d}{b \div d}$ avec $d = \text{PGCD}(a,b)$.
Fraction irréductible si $d=1$.

À toi de jouer

1. Simplifie $\frac{48}{60}$ en utilisant l'algorithme d'Euclide :
60 = $\underline{\hspace{1.1em}}$ × 48 + $\underline{\hspace{1.1em}}$
48 = $\underline{\hspace{1.1em}}$ × 12 + $\underline{\hspace{1.1em}}$
PGCD = $\underline{\hspace{1.1em}}$
Donc $\frac{48}{60} = \frac{48 \div \underline{\hspace{1.1em}}}{60 \div \underline{\hspace{1.1em}}} = \frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}}$.
Corrigé
60 = 1 × 48 + 12
48 = 4 × 12 + 0
PGCD = 12
$\frac{48}{60} = \frac{48 \div 12}{60 \div 12} = \frac{4}{5}$
2. Détermine si les fractions suivantes sont irréductibles. Justifie en calculant le PGCD. Si elles ne le sont pas, donne la forme irréductible.
a) $\frac{21}{49}$
b) $\frac{13}{17}$
c) $\frac{56}{91}$
Corrigé
a) 49 = 2 × 21 + 7, 21 = 3 × 7 + 0 → PGCD(21,49)=7. Non irréductible. $\frac{21}{49} = \frac{21 \div 7}{49 \div 7} = \frac{3}{7}$.
b) 17 = 1 × 13 + 4, 13 = 3 × 4 + 1, 4 = 4 × 1 + 0 → PGCD(13,17)=1. Irréductible.
c) 91 = 1 × 56 + 35, 56 = 1 × 35 + 21, 35 = 1 × 21 + 14, 21 = 1 × 14 + 7, 14 = 2 × 7 + 0 → PGCD(56,91)=7. Donc $\frac{56}{91} = \frac{56 \div 7}{91 \div 7} = \frac{8}{13}$.
3. Un terrain rectangulaire de dimensions 210 m et 135 m doit être divisé en parcelles carrées identiques les plus grandes possibles.
a) Explique pourquoi le côté d'une parcelle est le PGCD(210,135).
b) Calcule ce PGCD avec l'algorithme d'Euclide :
210 = $\underline{\hspace{1.1em}}$ × 135 + $\underline{\hspace{1.1em}}$
135 = $\underline{\hspace{1.1em}}$ × 75 + $\underline{\hspace{1.1em}}$
75 = $\underline{\hspace{1.1em}}$ × 60 + $\underline{\hspace{1.1em}}$
60 = $\underline{\hspace{1.1em}}$ × 15 + $\underline{\hspace{1.1em}}$
Donc PGCD = $\underline{\hspace{1.1em}}$
c) Le côté de la parcelle carrée est donc $\underline{\hspace{1.1em}}$ m.
d) Combien de parcelles obtient-on en longueur ? en largeur ? au total ?
Corrigé
a) Le côté doit diviser exactement la longueur et la largeur pour paver sans perte ; il doit être le plus grand possible, donc le PGCD.
b) 210 = 1 × 135 + 75, 135 = 1 × 75 + 60, 75 = 1 × 60 + 15, 60 = 4 × 15 + 0. PGCD = 15
c) 15 m
d) Longueur : 210 ÷ 15 = 14 parcelles ; largeur : 135 ÷ 15 = 9 ; total 14 × 9 = 126 parcelles.
4. Un collège organise une sortie avec 90 élèves de 3ème et 72 élèves de 4ème. On veut former des groupes mixtes de même composition (même nombre de 3ème et même nombre de 4ème par groupe) en utilisant tous les élèves. Quel est le nombre maximum de groupes que l'on peut former ? Combien y aura-t-il de 3ème et de 4ème par groupe ?
Corrigé
Il s'agit du PGCD(90,72).
90 = 1 × 72 + 18
72 = 4 × 18 + 0
PGCD = 18
Nombre maximum de groupes : 18.
Par groupe : 90 ÷ 18 = 5 élèves de 3ème ; 72 ÷ 18 = 4 élèves de 4ème.

Curieux d'aller plus loin ? L'an prochain, tu verras peut-être la décomposition en facteurs premiers pour calculer le PGCD, et le lien avec le PPCM. On jette un coup d'oeil !

Nouveautés de l'an prochain

On peut aussi déterminer le PGCD en décomposant les nombres en produit de facteurs premiers.
Propriété (hors programme 3e) : $a \times b = \text{PGCD}(a,b) \times \text{PPCM}(a,b)$.
On pourra vérifier ces résultats et les utiliser pour d'autres calculs.

À toi de jouer

1. On prend a=12 et b=18.
a) PGCD(12,18) = $\underline{\hspace{1.1em}}$ (on l'a déjà vu)
b) PPCM(12,18) = le plus petit multiple commun :
multiples de 12 : 12, 24, 36, 48, ... ; de 18 : 18, 36, 54, ... → PPCM = $\underline{\hspace{1.1em}}$
c) Calcule : 12 × 18 = $\underline{\hspace{1.1em}}$
d) Calcule : PGCD × PPCM = $\underline{\hspace{1.1em}}$ × $\underline{\hspace{1.1em}}$ = $\underline{\hspace{1.1em}}$
Conclusion : a×b = PGCD×PPCM. (Cette propriété est vraie pour tous les entiers.)
Corrigé
a) PGCD(12,18)=6
b) PPCM=36
c) 12×18=216
d) 6×36=216. Conclusion : a×b = PGCD×PPCM.
2. Décompose 105 et 42 en produit de facteurs premiers (aide : 105 = 3 × 5 × 7, 42 = 2 × 3 × 7).
a) Facteurs premiers communs : $\underline{\hspace{1.1em}}$ et $\underline{\hspace{1.1em}}$
b) PGCD(105,42) = 3 × 7 = $\underline{\hspace{1.1em}}$
c) Simplifie $\frac{105}{42}$ : $\frac{105}{42} = \frac{105 \div \underline{\hspace{1.1em}}}{42 \div \underline{\hspace{1.1em}}} = \frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}}$.
Corrigé
a) facteurs communs : 3 et 7
b) PGCD(105,42)=3×7=21
c) $\frac{105}{42} = \frac{105 \div 21}{42 \div 21} = \frac{5}{2}$.
3. Défi : calcule le PGCD de 48, 64 et 80. Indication : tu peux décomposer chaque nombre en facteurs premiers, ou chercher le PGCD deux par deux, puis le PGCD du résultat avec le troisième.
Corrigé
Décomposition : 48 = 2⁴ × 3 ; 64 = 2⁶ ; 80 = 2⁴ × 5. Facteurs communs : uniquement 2⁴ = 16. Donc PGCD(48,64,80)=16.