PGCD et fractions irréductibles — Exercices

De la liste de diviseurs à l'algorithme d'Euclide, jusqu'au problème concret. Corrigé en fin de fiche.

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1PGCD par liste de diviseurs/ 3 pts

Pour chaque paire d'entiers, liste leurs diviseurs et détermine le PGCD.

$\text{PGCD}(12,\,18)$
$\text{PGCD}(20,\,30)$
$\text{PGCD}(15,\,25)$

2Algorithme d'Euclide/ 4 pts

Utilise l'algorithme d'Euclide pour calculer les PGCD suivants. Détaille chaque étape de la division euclidienne.

$\text{PGCD}(84,\,36)$
$\text{PGCD}(105,\,70)$

3Simplifier des fractions/ 3 pts

Calcule le PGCD du numérateur et du dénominateur, puis réduis chaque fraction à sa forme irréductible.

$\dfrac{18}{24}$
$\dfrac{35}{49}$
$\dfrac{45}{60}$

4Irréductible ou non ?/ 4 pts

Détermine si chaque fraction est irréductible. Si elle ne l'est pas, donne sa forme irréductible.

$\dfrac{17}{51}$
$\dfrac{23}{37}$
$\dfrac{56}{91}$

5Problème de partage/ 4 pts

Une professeure dispose de $72$ feuilles et $48$ crayons à distribuer en groupes identiques, sans reste, en utilisant la totalité du matériel.

Quel est le nombre maximum de groupes qu'elle peut former ?
Combien chaque groupe reçoit-il de feuilles et de crayons ?

Corrigé détaillé

1PGCD par liste de diviseurs

a) $\text{Div}(12)=\{1;2;3;4;6;12\},\quad \text{Div}(18)=\{1;2;3;6;9;18\} \;\Rightarrow\; \text{communs : } 1,\,2,\,3,\,6$ $\text{PGCD}(12,18) = 6$

b) $\text{Div}(20)=\{1;2;4;5;10;20\},\quad \text{Div}(30)=\{1;2;3;5;6;10;15;30\} \;\Rightarrow\; \text{communs : } 1,\,2,\,5,\,10$ $\text{PGCD}(20,30) = 10$

c) $\text{Div}(15)=\{1;3;5;15\},\quad \text{Div}(25)=\{1;5;25\} \;\Rightarrow\; \text{communs : } 1,\,5$ $\text{PGCD}(15,25) = 5$

2Algorithme d'Euclide

a) $84 = 2 \times 36 + 12 \;\Rightarrow\; 36 = 3 \times 12 + 0$ $\text{PGCD}(84,36) = 12$

b) $105 = 1 \times 70 + 35 \;\Rightarrow\; 70 = 2 \times 35 + 0$ $\text{PGCD}(105,70) = 35$

3Simplifier des fractions

a) $\text{PGCD}(18,24)=6 \;\Rightarrow\; \dfrac{18}{24} = \dfrac{18 \div 6}{24 \div 6} = \dfrac{3}{4}$ $\dfrac{3}{4}$

b) $\text{PGCD}(35,49)=7 \;\Rightarrow\; \dfrac{35}{49} = \dfrac{35 \div 7}{49 \div 7} = \dfrac{5}{7}$ $\dfrac{5}{7}$

c) $\text{PGCD}(45,60)=15 \;\Rightarrow\; \dfrac{45}{60} = \dfrac{45 \div 15}{60 \div 15} = \dfrac{3}{4}$ $\dfrac{3}{4}$

4Irréductible ou non ?

a) $51 = 3 \times 17 + 0 \;\Rightarrow\; \text{PGCD}(17,51)=17 \neq 1 \;\Rightarrow\; \dfrac{17}{51}=\dfrac{17\div17}{51\div17}$ $\dfrac{1}{3} \quad \text{(non irréductible, simplifiée par 17)}$

b) $37=1\times23+14,\;23=1\times14+9,\;14=1\times9+5,\;9=1\times5+4,\;5=1\times4+1,\;4=4\times1+0$ $\text{PGCD}(23,37)=1 \;\Rightarrow\; \dfrac{23}{37} \text{ est irréductible}$

c) $91=1\times56+35,\;56=1\times35+21,\;35=1\times21+14,\;21=1\times14+7,\;14=2\times7+0 \;\Rightarrow\; \text{PGCD}=7$ $\dfrac{56}{91}=\dfrac{8}{13} \quad \text{(non irréductible, simplifiée par 7)}$

5Problème de partage

Étape 1 $\text{Nombre max de groupes} = \text{PGCD}(72,48). \quad 72 = 1 \times 48 + 24, \quad 48 = 2 \times 24 + 0$ $\text{PGCD}(72,48) = 24 \text{ groupes au maximum}$

Étape 2 $\text{Feuilles par groupe : } 72 \div 24 = 3. \quad \text{Crayons par groupe : } 48 \div 24 = 2$ $\text{Chaque groupe reçoit } 3 \text{ feuilles et } 2 \text{ crayons.}$