Programmes de calcul : tester et prouver

Les trois réflexes que tu as déjà

Avant de te lancer, trois outils que tu maîtrises sûrement déjà. Ce sont eux qui font tout le travail.

• Les priorités opératoires : on calcule d'abord ce qui est entre parenthèses, ensuite les multiplications et divisions, enfin les additions et soustractions.
• La distributivité (l'outil numéro un du chapitre) : $k(a+b)=k\times a+k\times b$. Par exemple $3(x+5)=3x+15$.
• Les nombres relatifs : surveille les signes, $-3\times(-2)=+6$, et attention au moins devant une parenthèse, $-(x+3)=-x-3$.
• Réduire : on regroupe les termes « en $x$ » ensemble et les nombres ensemble. Ainsi $3x-3x=0$.

L'essentiel en trois phrases

Un programme de calcul, c'est une suite d'instructions qu'on applique à un nombre de départ.

Tester, c'est essayer le programme avec des nombres précis (par exemple 4, puis $-2$). Ça donne une intuition : on formule une conjecture (« on dirait que ça donne toujours 15 »). Mais tester, même mille fois, ne prouve rien.

Prouver que le programme donne toujours le même résultat, c'est remplacer le nombre de départ par la lettre $x$, écrire tout le calcul, le développer puis le réduire. Si à la fin les $x$ disparaissent et qu'il ne reste qu'un nombre, alors c'est le résultat pour n'importe quel nombre de départ.

Formule clé, la distributivité : $k(a+b)=ka+kb$

Un exemple traité en entier

Programme P : choisir un nombre, ajouter 5, multiplier par 3, puis soustraire le triple du nombre de départ.

Je teste avec $x=4$ :

$(4+5)\times 3-3\times 4=9\times 3-12=27-12=15$

Je teste avec $x=-2$ :

$(-2+5)\times 3-3\times(-2)=3\times 3+6=9+6=15$

Conjecture : on dirait que le résultat vaut toujours 15.

Je prouve en remplaçant le nombre de départ par $x$ :

$(x+5)\times 3-3x=3x+15-3x=15$

Conclusion : quel que soit le nombre choisi, le programme P donne toujours 15.

Les mots justes

Programme de calcul : une suite d'instructions appliquées à un nombre de départ (le « nombre choisi »).

Tester : appliquer le programme à des valeurs numériques particulières. Cela permet de conjecturer un résultat, c'est-à-dire de faire une hypothèse plausible.

Un test n'est pas une preuve. Vérifier que ça marche pour $x=2$, puis $x=7$, puis $x=100$ ne garantit jamais que ça marche pour tous les nombres : il en reste une infinité qu'on n'a pas essayés.

Prouver : établir qu'une propriété est vraie pour tout nombre. On y parvient avec le calcul littéral : on nomme le nombre de départ $x$, on écrit l'expression du résultat, on la développe et on la réduit.

Traduire le programme en expression littérale

Chaque instruction se traduit par une opération. On lit le programme de gauche à droite et on écrit au fur et à mesure :

• « Choisir un nombre » $\rightarrow$ $x$
• « Ajouter 5 » $\rightarrow$ $x+5$
• « Multiplier le résultat par 3 » $\rightarrow$ $(x+5)\times 3$
• « Soustraire le double du nombre de départ » $\rightarrow$ $(x+5)\times 3-2x$

Le point délicat : « multiplier le résultat par 3 » agit sur tout ce qu'on a déjà obtenu, d'où les parenthèses $(x+5)\times 3$. Ensuite on développe avec la distributivité : $3(x+5)=3x+15$. La figure ci-dessous montre pourquoi, avec des aires : un rectangle de hauteur 3 et de largeur $x+5$ se découpe en deux morceaux, $3x$ et $15$.

La méthode, et les trois directions

La méthode, pas à pas :

1. Appliquer le programme à 2 ou 3 valeurs, dont un nombre négatif : c'est là qu'on se trompe le plus.
2. Formuler la conjecture : « le résultat est toujours… ».
3. Poser « Soit $x$ le nombre choisi » et écrire l'expression, instruction par instruction, avec les parenthèses.
4. Développer (distribuer), puis réduire (regrouper les termes semblables).
5. Comparer l'expression réduite à la conjecture, puis conclure par une phrase.

Trois directions possibles, selon ce qu'on veut montrer :

• Résultat constant : après réduction, les $x$ disparaissent, il ne reste qu'un nombre (le programme P donnait $15$).
• Résultat lié au nombre de départ : après réduction il reste une expression en $x$, par exemple $2x$ (« le résultat est le double du nombre choisi ») ou $2x+1$.
• Deux programmes égaux : on développe et on réduit chacun des deux programmes ; s'ils donnent la même expression réduite, ils donnent toujours le même résultat.

Exemple 1 — un résultat qui dépend du nombre

Programme : choisir un nombre, ajouter 3, multiplier par 2, soustraire 6.

On teste. Avec $x=5$ : $(5+3)\times 2-6=16-6=10$, et $10$ c'est le double de $5$. Avec $x=-1$ : $(-1+3)\times 2-6=4-6=-2$, le double de $-1$. On conjecture : le résultat est le double du nombre choisi.

On pose la lettre. Soit $x$ le nombre choisi. On écrit le programme en gardant les parenthèses au moment du « multiplier par 2 » :

$(x+3)\times 2-6$

On développe (le 2 multiplie $x$ et $3$) :

$(x+3)\times 2-6=2x+6-6$

On réduit ($+6-6=0$) :

$2x+6-6=2x$

On conclut. Pour tout nombre choisi, le résultat est $2x$, c'est-à-dire le double du nombre de départ. La conjecture est prouvée.

Exemple 2 — avec une division

Programme : choisir un nombre, le multiplier par 4, ajouter 8, diviser le tout par 4, puis soustraire le nombre de départ.

On teste. Avec $x=3$ : $3\times 4=12$, $12+8=20$, $20\div 4=5$, $5-3=2$. Avec $x=-4$ : $-4\times 4=-16$, $-16+8=-8$, $-8\div 4=-2$, $-2-(-4)=2$. Conjecture : le résultat est toujours 2.

On pose $x$ et on traduit. Le « diviser le tout par 4 » porte sur $4x+8$ en entier, d'où la barre de fraction :

$\dfrac{4x+8}{4}-x$

On simplifie la fraction (chaque terme du haut est divisé par 4) :

$\dfrac{4x+8}{4}=\dfrac{4x}{4}+\dfrac{8}{4}=x+2$

L'expression devient :

$(x+2)-x$

On réduit ($x-x=0$) :

$(x+2)-x=2$

On conclut. Quel que soit le nombre de départ, le résultat est 2. Prouvé.

Exemple 3 — comparer deux programmes

Programme A : choisir un nombre, ajouter 1, multiplier par 2.
Programme B : choisir un nombre, multiplier par 2, ajouter 2.

Léa affirme : « ces deux programmes donnent toujours le même résultat ». A-t-elle raison ? Un test ne suffira pas à le prouver : on développe les deux.

Programme A, avec $x$ : « ajouter 1 » donne $x+1$, « multiplier par 2 » donne $(x+1)\times 2$ :

$(x+1)\times 2=2x+2$

Programme B, avec $x$ : « multiplier par 2 » donne $2x$, « ajouter 2 » donne :

$2x+2$

On compare. Les deux expressions réduites sont identiques : $2x+2=2x+2$. Léa a raison, les deux programmes donnent toujours le même résultat.

Ce que le correcteur attend (et les pièges)

Au brevet, un exercice « programme de calcul » se joue en général en trois temps : calculer pour une valeur donnée, conjecturer, puis démontrer. C'est la démonstration qui rapporte le plus de points.

Ce que le correcteur veut voir :

• La phrase de départ : « Soit $x$ le nombre choisi. »
• L'expression écrite avec les parenthèses, fidèle au programme.
• Les étapes de développement puis de réduction visibles, pas seulement le résultat final.
• Une phrase de conclusion qui répond à la question posée.

Pièges classiques :

• Parenthèses oubliées : « multiplier le résultat par 3 » donne $(x+5)\times 3$, pas $x+5\times 3$.
• Confondre tester et prouver : vérifier pour $x=2$ ne démontre rien pour tous les nombres.
• Mauvaise lecture : « retrancher le double du nombre de départ » signifie $-2x$, et non « $-2$ fois le résultat précédent ».
• Signe moins devant une parenthèse : $-(x+3)=-x-3$, et surtout pas $-x+3$.

Problème type 1 — entièrement résolu

Énoncé. On considère le programme : choisir un nombre, lui ajouter 4, multiplier la somme par le nombre de départ, puis ajouter 4.

a) Que donne le programme pour $x=3$ ?

$3+4=7$, puis $7\times 3=21$, puis $21+4=25$. On obtient 25.

b) Montrer que le résultat est toujours $(x+2)^2$.

Soit $x$ le nombre choisi. On traduit : « ajouter 4 » donne $x+4$ ; « multiplier par le nombre de départ » donne $(x+4)\times x$ ; « ajouter 4 » donne :

$x(x+4)+4$

On développe, $x(x+4)=x^2+4x$, donc l'expression vaut :

$x(x+4)+4=x^2+4x+4$

Or, par l'identité remarquable $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$, on a $(x+2)^2=x^2+4x+4$. Les deux expressions sont donc égales :

$x^2+4x+4=(x+2)^2$

Conclusion. Pour tout nombre choisi, le résultat du programme est $(x+2)^2$. On vérifie au passage que pour $x=3$ on retrouve bien $(3+2)^2=25$.

Problème type 2 — qui a raison ?

Énoncé. Deux élèves proposent chacun un programme.

Programme de Sam : choisir un nombre, le multiplier par 5, ajouter 10, puis prendre la moitié du résultat.
Programme de Nour : choisir un nombre, ajouter 2, puis multiplier par $2{,}5$.

Nour affirme que les deux programmes donnent toujours le même résultat. A-t-elle raison ?

Un test pour se faire une idée. Avec $x=4$ : Sam donne $4\times 5=20$, $20+10=30$, moitié $=15$ ; Nour donne $4+2=6$, $6\times 2{,}5=15$. Même résultat… mais un test ne prouve rien. On démontre.

Programme de Sam, avec $x$ : « prendre la moitié » revient à diviser par 2, sur tout le résultat obtenu :

$\dfrac{5x+10}{2}=\dfrac{5x}{2}+\dfrac{10}{2}=2{,}5x+5$

Programme de Nour, avec $x$ :

$(x+2)\times 2{,}5=2{,}5x+5$

On compare. Les deux formes réduites valent $2{,}5x+5$ : elles sont égales pour tout $x$. Nour a raison, les deux programmes donnent toujours le même résultat.

Un programme, c'est une fonction

Un programme de calcul prend un nombre en entrée et renvoie un nombre en sortie : c'est exactement l'idée d'une fonction. Le programme P (« toujours 15 ») est une fonction constante ; le programme « donne le double » est la fonction qui à $x$ associe $2x$.

En classe de seconde, tu écriras cela avec la notation $f(x)$ : par exemple $f(x)=2x+1$, ou encore $f:x\mapsto 2x+1$. « Tester le programme pour $x=3$ » deviendra « calculer $f(3)$ ». Et la preuve par le calcul littéral que tu fais ici, c'est déjà déterminer l'expression réduite d'une fonction.

Quand le carré s'en mêle : les identités remarquables

Beaucoup de programmes font apparaître un carré. Pour les prouver, les identités remarquables (vues en 3e) sont l'outil idéal :

$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2 \qquad (a-b)^2=a^2-2ab+b^2 \qquad (a+b)(a-b)=a^2-b^2$

On l'a déjà utilisé plus haut : le programme « ajouter 4, multiplier par le nombre de départ, ajouter 4 » se réduit en $x^2+4x+4$, qu'on reconnaît comme $(x+2)^2$. Savoir passer d'une forme développée à une forme factorisée permet de prouver des conjectures qui, sinon, paraissent mystérieuses.

Pourquoi une lettre prouve pour tous les nombres

Pourquoi remplacer le nombre par la lettre $x$ suffit-il à prouver la propriété pour tous les nombres, alors que cent tests ne suffisent pas ? Parce que la lettre $x$ ne désigne aucun nombre en particulier : elle les représente tous à la fois. Et les règles qu'on applique (distributivité, réduction) sont vraies pour n'importe quel nombre. Donc l'égalité obtenue, comme $(x+5)\times 3-3x=15$, reste vraie quel que soit le nombre remplacé par $x$ : c'est une identité.

C'est une première rencontre avec deux idées majeures des maths à venir :

• La différence entre une équation, vraie seulement pour certaines valeurs qu'on cherche (par exemple $2x+1=7$ n'est vraie que pour $x=3$), et une identité, vraie pour toutes les valeurs.
• L'idée de démonstration : passer du « ça marche sur mes exemples » au « ça marche forcément, et voici pourquoi ». C'est le cœur du raisonnement mathématique que tu approfondiras au lycée.