Programmes de calcul : tester et prouver

Du test sur des valeurs particulières à la preuve universelle par le calcul littéral.

1 L'idée

Un programme de calcul est une suite d'instructions appliquées à un nombre de départ. Tester consiste à appliquer ces instructions à des valeurs numériques particulières pour formuler une conjecture. Mais un test, même répété cent fois, ne constitue pas une preuve. Prouver qu'une propriété est vraie pour tout nombre exige de désigner ce nombre par une lettre $x$, d'écrire l'expression littérale du résultat, puis de la développer et de la réduire.

2 Traduire un programme en expression littérale

Chaque instruction devient une opération algébrique :

« Choisir un nombre » → $x$
« Ajouter 5 » → $x+5$
« Multiplier le résultat par 3 » → $(x+5)\times 3$
« Soustraire le double du nombre de départ » → $(x+5)\times 3 - 2x$

On développe ensuite et on réduit pour obtenir une expression simple.

3 Exemple complet

Programme P : choisir un nombre, ajouter 5, multiplier par 3, soustraire le triple du nombre de départ.

Test $x = 4$ : $(4+5)\times 3 - 3\times 4 = 27-12 = 15$.

Test $x = -2$ : $(-2+5)\times 3 - 3\times(-2) = 9+6 = 15$.

Conjecture : le résultat semble toujours valoir $15$.

Preuve : $(x+5)\times 3 - 3x = 3x+15-3x = 15$.

Conclusion : le programme P donne toujours $15$, quel que soit $x$.

Méthode — tester puis prouver

Appliquer le programme à 2 ou 3 valeurs numériques (dont un entier négatif si possible).
Formuler la conjecture : « le résultat est toujours … ».
Désigner le nombre de départ par $x$ et écrire l'expression littérale instruction par instruction.
Développer et réduire (distribuer la multiplication, puis regrouper les termes semblables).
Si l'expression simplifiée confirme la conjecture, celle-ci est prouvée pour tout $x$.

Erreurs fréquentes

Parenthèses oubliées : « multiplier le résultat par 3 » donne $(x+5)\times 3$, non $x+5\times 3$.
Confondre tester et prouver : vérifier pour $x = 2$ ne prouve rien pour tous les entiers.
Mauvaise lecture : « retrancher le double du nombre de départ » signifie $-2x$, pas $-2$ fois le résultat intermédiaire.
Signe moins devant une parenthèse : $-(x+3) = -x-3$, et non $-x+3$.