Pas de panique. Tu n'as jamais entendu parler de probabilités en maths mais ton contrôle arrive. On va repartir de ce que tu sais déjà sans le savoir (la fréquence, le hasard) et te donner l'essentiel pour être fonctionnel rapidement.
Prérequis : expérience aléatoire et fréquence (4e)
Expérience aléatoire : une expérience dont on ne peut pas prévoir le résultat à l'avance. Exemples : lancer un dé, tirer une carte.
Fréquence : quand on répète l'expérience plusieurs fois, la fréquence d'un résultat est nombre d'apparitions / nombre total d'expériences. Elle se rapproche de la probabilité quand on répète beaucoup.
L'essentiel pour démarrer
Probabilité : un nombre entre 0 et 1 qui mesure la chance qu'un événement se produise. 0 = impossible, 1 = certain.
Équiprobabilité : si tous les résultats ont la même chance (dé équilibré, carte tirée au hasard), alors :
$$P(\text{événement}) = \dfrac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}}$$
Événement contraire : l'événement contraire de A, noté $\bar{A}$, est « A ne se produit pas ». On a $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$.
À toi de jouer
1. On lance un dé équilibré à 6 faces.
1. L'univers (tous les résultats possibles) est $\Omega = \{1; 2; 3; 4; 5; 6\}$. Combien y a-t-il de cas possibles ?
2. Soit A = « obtenir un nombre pair ».
a) Les cas favorables sont : \{$\underline{\hspace{1.1em}}$; $\underline{\hspace{1.1em}}$; $\underline{\hspace{1.1em}}$\}
b) Nombre de cas favorables = $\underline{\hspace{1.1em}}$
c) $P(A) = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
3. Événement contraire $\bar{A}$ = « $\underline{\hspace{1.1em}}$ »
$P(\bar{A}) = 1 - \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
Corrigé
1. 6 cas possibles.
2. a) {2; 4; 6}
b) Nombre de cas favorables = 3
c) P(A) = 3/6 = 1/2
3. $\bar{A}$ = « obtenir un nombre impair »
P($\bar{A}$) = 1 - 1/2 = 1/2
2. Un sac contient 4 jetons rouges (R) et 1 jeton vert (V). On tire un jeton au hasard.
1. Nombre de cas possibles : $\underline{\hspace{1.1em}}$
2. a) P(R) = $\dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}}$
b) P(V) = $\dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}}$
3. Vérifie que la somme de toutes les probabilités vaut 1 :
$\underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}} = 1$
Corrigé
1. 5 cas possibles.
2. a) P(R) = 4/5
b) P(V) = 1/5
3. 4/5 + 1/5 = 1
3. On tire une carte dans un jeu de 32 cartes (4 couleurs : cœur, carreau, trèfle, pique ; 8 cartes par couleur).
A = « la carte est un trèfle ».
Complète :
Nombre de trèfles = $\underline{\hspace{1.1em}}$ sur 32 cartes.
P(A) = $\dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
P($\bar{A}$) = 1 - $\underline{\hspace{1.1em}}$ = $\underline{\hspace{1.1em}}$
Corrigé
Nombre de trèfles = 8 sur 32. P(A) = 8/32 = 1/4. P($\bar{A}$) = 1 - 1/4 = 3/4.
Ah oui, les probas ! Le calcul de cas favorables/cas possibles, l'événement contraire... On va réactiver tout ça proprement et ajouter la méthode pour construire un arbre de probabilités.
Rappels structurés : calcul de probabilités
Expérience aléatoire, univers, événement : l'univers $\Omega$ est l'ensemble de toutes les issues. Un événement A est un sous-ensemble de $\Omega$.
Équiprobabilité : $P(A) = \dfrac{\text{cas favorables}}{\text{cas possibles}}$.
Propriétés : $0 \le P(A) \le 1$ ; $P(\Omega)=1$ ; $P(\varnothing)=0$ ; $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$.
Méthode pas-à-pas : arbre de probabilités (2 épreuves avec remise)
Exemple : urne avec 3 boules rouges (R) et 2 boules bleues (B). On tire une boule, on la remet, puis on en tire une seconde.
1. Identifier les épreuves successives et leurs issues. 1er tirage : R ou B. 2e tirage : R ou B.
2. Écrire les probabilités sur chaque branche. 1er tirage : P(R)=3/5, P(B)=2/5. Après remise, mêmes probabilités au 2e tirage.
3. Vérifier la somme des branches issues d'un même nœud = 1.
4. Probabilité d'un chemin = produit des probabilités le long du chemin.
5. Probabilité d'un événement composé de plusieurs chemins = somme des probabilités des chemins.
À toi de jouer
1. Une urne contient 5 boules rouges (R) et 3 boules vertes (V), indiscernables au toucher. On tire une boule, on la remet, puis on en tire une seconde.
a) Complète les probabilités sur l'arbre :
1er tirage : P(R) = $\underline{\hspace{1.1em}}$, P(V) = $\underline{\hspace{1.1em}}$
2e tirage après remise : branches identiques.
b) Chemin (R;R) : probabilité = $\underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
c) Chemin (V;V) : probabilité = $\underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
d) Calcul de P(les deux boules sont de la même couleur) :
On additionne les chemins (R;R) et (V;V) : $\underline{\hspace{1.1em}}$ + $\underline{\hspace{1.1em}}$ = $\underline{\hspace{1.1em}}$
Corrigé
a) 1er tirage : P(R)=5/8, P(V)=3/8. 2e tirage : idem.
b) (R;R) = 5/8 × 5/8 = 25/64.
c) (V;V) = 3/8 × 3/8 = 9/64.
d) Même couleur = 25/64 + 9/64 = 34/64 = 17/32.
2. On lance une pièce équilibrée deux fois de suite.
a) Univers au 1er lancer : {Pile, Face}.
P(Pile) = $\underline{\hspace{1.1em}}$, P(Face) = $\underline{\hspace{1.1em}}$
b) Complète l'arbre :
1er lancer : P = $\underline{\hspace{1.1em}}$, F = $\underline{\hspace{1.1em}}$
2e lancer : mêmes probabilités.
c) Probabilité d'obtenir deux Pile :
Chemin (P;P) = $\underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
d) Probabilité d'obtenir au moins un Face (utilise l'événement contraire) :
$\bar{A}$ = « aucun Face » = « deux Pile ».
P(au moins un Face) = 1 - $\underline{\hspace{1.1em}}$ = $\underline{\hspace{1.1em}}$
Corrigé
a) P(P)=1/2, P(F)=1/2.
b) Mêmes.
c) (P;P) = 1/2 × 1/2 = 1/4.
d) P(au moins un F) = 1 - 1/4 = 3/4.
3. Jeu de 32 cartes. On tire une carte.
a) P(cœur) = $\underline{\hspace{1.1em}}$ / $\underline{\hspace{1.1em}}$ = $\underline{\hspace{1.1em}}$
b) P(As) = $\underline{\hspace{1.1em}}$ / $\underline{\hspace{1.1em}}$ = $\underline{\hspace{1.1em}}$
c) P(As de cœur) = $\underline{\hspace{1.1em}}$ / $\underline{\hspace{1.1em}}$ = $\underline{\hspace{1.1em}}$
d) P(pas carreau) = 1 - P($\underline{\hspace{1.1em}}$) = $\underline{\hspace{1.1em}}$
Corrigé
a) 8/32 = 1/4.
b) 4/32 = 1/8.
c) 1/32.
d) P(carreau)=8/32=1/4 ; P(pas carreau) = 3/4.
Cinq petits exos quasi-identiques pour mécaniser le calcul de probabilités et la lecture d'arbre. Tu vas les faire les yeux fermés.
À toi de jouer
1. Un dé équilibré à 6 faces. Calcule P(obtenir un nombre supérieur ou égal à 5).
Cas favorables : {$\underline{\hspace{1.1em}}$ ; $\underline{\hspace{1.1em}}$}. Cas possibles : $\underline{\hspace{1.1em}}$.
P = $\underline{\hspace{1.1em}}$ / $\underline{\hspace{1.1em}}$ = $\underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
Cas favorables : {5 ; 6}. Cas possibles : 6. P = 2/6 = 1/3.
2. Un dé équilibré à 6 faces. Calcule P(obtenir un nombre strictement inférieur à 3).
Cas favorables : {$\underline{\hspace{1.1em}}$ ; $\underline{\hspace{1.1em}}$}. Cas possibles : $\underline{\hspace{1.1em}}$.
P = $\underline{\hspace{1.1em}}$ / $\underline{\hspace{1.1em}}$ = $\underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
Cas favorables : {1 ; 2}. Cas possibles : 6. P = 2/6 = 1/3.
3. Un dé équilibré à 6 faces. Calcule P(obtenir un multiple de 3).
Cas favorables : {$\underline{\hspace{1.1em}}$ ; $\underline{\hspace{1.1em}}$}. Cas possibles : $\underline{\hspace{1.1em}}$.
P = $\underline{\hspace{1.1em}}$ / $\underline{\hspace{1.1em}}$ = $\underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
Cas favorables : {3 ; 6}. Cas possibles : 6. P = 2/6 = 1/3.
4. Urne avec 6 rouges et 4 bleues. Tirage avec remise de deux boules. On note les probabilités sur l'arbre. Calcule la probabilité du chemin (R puis B).
P(R) = $\underline{\hspace{1.1em}}$, P(B) = $\underline{\hspace{1.1em}}$.
Chemin : $\underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
P(R)=6/10=3/5 ; P(B)=4/10=2/5. Chemin = 3/5 × 2/5 = 6/25.
5. Même urne, tirage avec remise. Calcule la probabilité du chemin (B puis B).
P(B) = $\underline{\hspace{1.1em}}$.
Chemin : $\underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
P(B)=2/5. Chemin = 2/5 × 2/5 = 4/25.
Des exercices type contrôle ou brevet. On mixe calcul direct, événement contraire, arbre avec et sans remise. Tu vas gérer.
À toi de jouer
1. On tire une carte dans un jeu de 32 cartes.
a) Calcule la probabilité d'obtenir une figure (Valet, Dame, Roi). Il y a 3 figures par couleur.
b) Déduis-en la probabilité de ne pas obtenir de figure.
c) On tire deux cartes successivement sans remise. Construis un arbre pour les deux premiers tirages en te limitant aux événements « F = figure » et « $ar{F}$ = pas figure », et indique les probabilités sur les branches du 2e tirage après un 1er tirage F.
d) Calcule la probabilité de tirer deux figures.
Corrigé
a) Nombre de figures : 3 × 4 = 12. P(figure) = 12/32 = 3/8.
b) P(pas figure) = 1 - 3/8 = 5/8.
c) Arbre 1er tirage : F (3/8), $ar{F}$ (5/8). 2e tirage après F : il reste 31 cartes dont 11 figures et 20 non-figures. Branches issues de F : F' (11/31), $ar{F}$' (20/31). Issues de $ar{F}$ : il reste 12 figures et 19 non-figures.
d) P(FF) = 3/8 × 11/31 = 33/248.
2. Une urne contient 2 boules blanches (B) et 3 boules noires (N). On tire deux boules sans remise.
a) Construis l'arbre de probabilités complet avec toutes les probabilités.
b) Calcule P(deux boules blanches).
c) Calcule P(deux boules de même couleur).
d) Vérifie que la somme des probabilités de tous les chemins est 1.
Corrigé
a) 1er tirage : B=2/5, N=3/5. 2e tirage : après B (reste 1B,3N) : B=1/4, N=3/4 ; après N (reste 2B,2N) : B=2/4=1/2, N=2/4=1/2.
b) P(BB) = 2/5 × 1/4 = 2/20 = 1/10.
c) P(NN) = 3/5 × 1/2 = 3/10. Même couleur = BB + NN = 1/10 + 3/10 = 4/10 = 2/5.
d) Somme = P(BB)+P(BN)+P(NB)+P(NN) = 2/20 + 6/20 + 6/20 + 6/20 = 20/20 = 1.
3. Dans une classe, 60% des élèves aiment les maths. Parmi ceux qui aiment les maths, 70% aiment la physique. Parmi ceux qui n'aiment pas les maths, 20% aiment la physique.
a) Représente la situation par un arbre pondéré (M = aime les maths, $ar{M}$ = n'aime pas les maths ; P = aime la physique).
b) Calcule la probabilité qu'un élève aime les maths et la physique.
c) Calcule la probabilité qu'un élève aime la physique.
d) On interroge un élève qui aime la physique. Quelle est la probabilité qu'il n'aime pas les maths ? Raisonne sur 100 élèves.
Corrigé
a) Arbre : M (0,6) -> P (0,7), $ar{P}$ (0,3) ; $ar{M}$ (0,4) -> P (0,2), $ar{P}$ (0,8).
b) 0,6 × 0,7 = 0,42.
c) P(P) = 0,42 + 0,4 × 0,2 = 0,42 + 0,08 = 0,50.
d) Sur 100 élèves, 50 aiment la physique, dont 8 venant de $ar{M}$. Probabilité = 8/50 = 0,16.
On anticipe la 2de : probabilités conditionnelles avec notation formelle, et un petit problème de dé truqué pour évaluer la vraisemblance.
Ouverture : probabilité conditionnelle (2de)
La probabilité de B sachant A, notée $P_A(B)$, est la probabilité que B se réalise sachant que A est déjà réalisé. Dans un arbre, ce sont les probabilités des branches du 2e niveau. Pour un arbre sans remise, $P_A(B)$ dépend du résultat de la 1re épreuve. La formule du cours de 2de : $P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)$.
À toi de jouer
1. Une urne contient 3 boules rouges et 2 vertes. On tire deux boules sans remise.
a) Calcule $P(\text{rouge au 1er tirage})$ et note cette probabilité $P(R_1)$.
b) Calcule $P_{R_1}(R_2)$ (probabilité que la 2e soit rouge sachant que la 1re est rouge).
c) Déduis-en la probabilité que les deux soient rouges avec la formule de 2de.
d) Compare avec la méthode du chemin d'arbre vue en 3e.
Corrigé
a) P(R_1) = 3/5.
b) P_{R_1}(R_2) = 2/4 = 1/2 (il reste 2 rouges sur 4).
c) P(R_1 ∩ R_2) = 3/5 × 1/2 = 3/10.
d) Même résultat qu'avec l'arbre : 3/5 × 2/4 = 6/20 = 3/10.
2. On lance un dé à 6 faces. On soupçonne qu'il est truqué en faveur du 6. On le lance 100 fois et on obtient 25 fois la face 6.
a) Quelle est la probabilité théorique d'obtenir 6 avec un dé équilibré ?
b) Si le dé était équilibré, combien de fois environ obtiendrait-on 6 sur 100 lancers ?
c) Penses-tu que le dé soit truqué ? Justifie en comparant la fréquence observée à la probabilité théorique.
Corrigé
a) Probabilité théorique = 1/6 ≈ 0,1667.
b) Environ 100 × 1/6 ≈ 16,7, soit environ 17 fois.
c) Fréquence observée = 25/100 = 0,25. L'écart est grand par rapport à 1/6, on peut raisonnablement penser que le dé est truqué. Une analyse statistique plus poussée (simulation, intervalle de fluctuation) confirmerait en 2de.