V VIDYALAYA · Soutien scolaire
Mathématiques3eOrganisation et gestion de donneesExercices + corrigé

Probabilités et arbre de probabilités — Exercices

Du calcul direct à l'arbre à deux épreuves, avec ou sans remise. Corrigé en fin de fiche.
⏱ ~30 min✎ Calculatrice autorisée
1Calcul direct/ 4 pts
On tire au hasard une carte dans un jeu de 32 cartes (4 couleurs : cœur, carreau, trèfle, pique ; 8 valeurs par couleur, dont 1 As par couleur). Calculer les probabilités suivantes.
  1. Obtenir une carte de cœur.
  2. Obtenir un As.
  3. Obtenir l'As de cœur.
  4. Ne pas obtenir de carreau (utiliser l'événement contraire).
2Événement contraire/ 3 pts
On lance un dé équilibré à 6 faces numérotées de 1 à 6.
  1. Calculer $P$(obtenir un nombre strictement supérieur à 4).
  2. En déduire $P$(obtenir un nombre inférieur ou égal à 4).
  3. Calculer $P$(obtenir un nombre pair), puis $P$(obtenir un nombre impair) à l'aide de l'événement contraire.
3Arbre — tirage avec remise/ 5 pts
Une boîte contient 4 billes rouges (R) et 1 bille verte (V). On tire une bille au hasard, on note sa couleur, on la remet dans la boîte, puis on en tire une seconde.
  1. Construire l'arbre de probabilités en plaçant toutes les probabilités sur les branches.
  2. Calculer $P$(les deux billes sont rouges).
  3. Calculer $P$(les deux billes sont de la même couleur).
  4. Calculer $P$(obtenir au moins une bille verte) à l'aide de l'événement contraire.
4Arbre — tirage sans remise/ 5 pts
Une urne contient 3 boules blanches (B) et 2 boules noires (N). On tire deux boules successivement sans remise.
  1. Construire l'arbre de probabilités en indiquant toutes les probabilités sur les branches.
  2. Calculer $P$(les deux boules sont blanches).
  3. Calculer $P$(les deux boules sont de couleurs différentes).
  4. Vérifier que la somme des probabilités de tous les chemins de l'arbre est égale à 1.
5Problème — réussite à un contrôle/ 5 pts
Dans une classe de 3e, 60 % des élèves ont révisé leurs mathématiques. Parmi ceux qui ont révisé, 80 % réussissent le contrôle. Parmi ceux qui n'ont pas révisé, 30 % réussissent quand même.
  1. Représenter la situation par un arbre de probabilités à deux niveaux.
  2. Calculer la probabilité qu'un élève choisi au hasard ait révisé et réussi.
  3. Calculer la probabilité qu'un élève choisi au hasard réussisse le contrôle (tous cas confondus).
  4. Un élève a réussi le contrôle. Calculer la probabilité qu'il n'ait pas révisé. (Raisonner sur 100 élèves, sans formule de Bayes.)
Corrigé détaillé
1Calcul direct
a) \(\text{Cartes de cœur : 8 sur 32.} \quad P(\text{cœur}) =\) \(\dfrac{8}{32} = \dfrac{1}{4}\)
b) \(\text{As : 4 sur 32.} \quad P(\text{As}) =\) \(\dfrac{4}{32} = \dfrac{1}{8}\)
c) \(\text{As de cœur : 1 sur 32.} \quad P(\text{As de cœur}) =\) \(\dfrac{1}{32}\)
d) \(P(\text{carreau}) = \dfrac{8}{32} = \dfrac{1}{4} \quad \Rightarrow \quad P(\overline{\text{carreau}}) = 1 - \dfrac{1}{4} =\) \(\dfrac{3}{4}\)
2Événement contraire
a) \(\text{Issues favorables : }\{5\,;\,6\}\text{, soit 2 sur 6.} \quad P(\text{strictement sup. à 4}) =\) \(\dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}\)
b) \(P(\le 4) = 1 - P(\gt 4) = 1 - \dfrac{1}{3} =\) \(\dfrac{2}{3}\)
c) \(\text{Nombres pairs : }\{2\,;\,4\,;\,6\}\text{, soit 3 sur 6.}\quad P(\text{pair}) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2} \;\Rightarrow\; P(\text{impair}) = 1 - \dfrac{1}{2} =\) \(\dfrac{1}{2}\)
3Arbre — tirage avec remise
a) \(P(R)=\dfrac{4}{5},\; P(V)=\dfrac{1}{5}.\quad \text{Remise : mêmes probabilités au 2e tirage.}\quad \dfrac{4}{5}+\dfrac{1}{5}=1\;\checkmark\) \(\text{4 chemins : RR, RV, VR, VV.}\)
b) \(P(RR) = \dfrac{4}{5} \times \dfrac{4}{5} =\) \(\dfrac{16}{25}\)
c) \(P(\text{même couleur}) = P(RR) + P(VV) = \dfrac{16}{25} + \dfrac{1}{5}\times\dfrac{1}{5} = \dfrac{16}{25} + \dfrac{1}{25} =\) \(\dfrac{17}{25}\)
d) \(P(\text{au moins une verte}) = 1 - P(\text{aucune verte}) = 1 - P(RR) = 1 - \dfrac{16}{25} =\) \(\dfrac{9}{25}\)
4Arbre — tirage sans remise
a) \(P(B_1)=\dfrac{3}{5},\; P(N_1)=\dfrac{2}{5}.\quad \text{Si }B_1:\; P(B_2)=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2},\; P(N_2)=\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2}.\quad \text{Si }N_1:\; P(B_2)=\dfrac{3}{4},\; P(N_2)=\dfrac{1}{4}.\) \(\text{4 chemins : BB, BN, NB, NN.}\)
b) \(P(BB) = \dfrac{3}{5} \times \dfrac{2}{4} = \dfrac{6}{20} =\) \(\dfrac{3}{10}\)
c) \(P(\text{diff.}) = P(BN) + P(NB) = \dfrac{3}{5}\times\dfrac{2}{4} + \dfrac{2}{5}\times\dfrac{3}{4} = \dfrac{6}{20}+\dfrac{6}{20} =\) \(\dfrac{12}{20} = \dfrac{3}{5}\)
d) \(P(NN)=\dfrac{2}{5}\times\dfrac{1}{4}=\dfrac{2}{20}.\quad \dfrac{6}{20}+\dfrac{6}{20}+\dfrac{6}{20}+\dfrac{2}{20} = \dfrac{20}{20} =\) \(1\;\checkmark\)
5Problème — réussite à un contrôle
a) \(\text{Niveau 1 : Révisé }(R),\; P(R)=0{,}6 \;;\; \text{Non révisé }(\bar{R}),\; P(\bar{R})=0{,}4.\quad \text{Niveau 2 : Succès / Échec.}\) \(\text{4 chemins terminaux.}\)
b) \(P(R \cap \text{Succ.}) = 0{,}6 \times 0{,}8 =\) \(0{,}48\)
c) \(P(\text{Succ.}) = P(R\cap\text{Succ.}) + P(\bar{R}\cap\text{Succ.}) = 0{,}48 + 0{,}4\times 0{,}3 = 0{,}48 + 0{,}12 =\) \(0{,}60\)
d) \(\text{Sur 100 élèves : 60 réussissent, dont }40\times 0{,}3 = 12\text{ sans révision.}\quad P(\bar{R}\mid\text{Succ.})=\dfrac{12}{60} =\) \(\dfrac{1}{5} = 0{,}2\)