Contrôle dans deux jours et tu découvres le chapitre maintenant ? Respire. Toute la notion tient dans une seule phrase, et tu vas la tenir avant la fin de ce palier.
Ce qu'il faut déjà savoir
Avant de te lancer, trois petites choses que tu connais déjà :
1) Un cercle a un centre, noté O ; tous les points du cercle sont à la même distance de O (le rayon).
2) Un angle se mesure en degrés, et dans un triangle la somme des trois angles fait toujours $180°$.
3) Un diamètre est un segment qui traverse le cercle en passant par le centre O.
Avec ce petit bagage, tu as tout le matériel. On y va.
L'essentiel en une phrase + la formule
On place sur un cercle deux points A et B. Il y a deux façons de « viser » le segment [AB] :
- depuis le centre O : c'est l'angle au centre $\widehat{AOB}$ ;
- depuis un point C posé sur le cercle : c'est l'angle inscrit $\widehat{ACB}$.
La phrase magique à retenir : l'angle inscrit vaut la moitié de l'angle au centre qui intercepte le même arc AB.
C'est tout. Une division par 2 dans un sens, une multiplication par 2 dans l'autre.
Un exemple, du début à la fin
Une division par 2, et c'est plié. Tu es déjà paré pour la question de base du contrôle.
Ah oui, le cercle, le point O au milieu, les angles qui se dévisagent... ça te revient. On remet tout au propre, bien rangé.
Le vocabulaire, au propre
On considère un cercle de centre O et deux points A et B situés dessus. Le segment [AB] découpe le cercle en deux morceaux appelés arcs : un petit arc et un grand arc.
Définition — angle au centre. Un angle au centre a son sommet au centre O du cercle ; ses deux côtés passent par A et par B. On le note $\widehat{AOB}$.
Définition — angle inscrit. Un angle inscrit a son sommet en un point C situé sur le cercle ; ses deux côtés passent aussi par A et par B. On le note $\widehat{ACB}$.
Le mot clé est « intercepter » : les deux angles ci-dessus interceptent le même arc AB, celui qui ne contient pas C. C'est précisément cette condition qui rend la propriété valable.
Les deux propriétés d'angles + la méthode
Deux propriétés forment le cœur du chapitre.
Propriété 1. Un angle inscrit est égal à la moitié de l'angle au centre qui intercepte le même arc. Autrement dit, l'angle au centre est le double de l'angle inscrit : $\widehat{AOB} = 2\,\widehat{ACB}$.
Propriété 2. Deux angles inscrits qui interceptent le même arc AB sont égaux : si C et D sont du même côté de [AB], alors $\widehat{ACB} = \widehat{ADB}$. C'est logique, puisqu'ils valent tous les deux la moitié du même angle au centre.
- Repérer le type d'angle : sommet en O, c'est un angle au centre ; sommet sur le cercle, c'est un angle inscrit.
- Vérifier l'arc : les deux angles doivent intercepter le même arc AB.
- Appliquer : inscrit $= \dfrac{1}{2}\times$ centre, ou centre $= 2\times$ inscrit.
Le cas particulier du demi-cercle
Quand [AB] est un diamètre, l'angle au centre $\widehat{AOB}$ est un angle plat : il vaut $180°$. L'angle inscrit qui intercepte ce diamètre vaut donc sa moitié.
Propriété 3. Si [AB] est un diamètre du cercle et C un point du cercle (distinct de A et B), alors le triangle ABC est rectangle en C : $\widehat{ACB} = 90°$. Et cela ne dépend pas de l'endroit où se trouve C sur le cercle.
Enfile ton survêtement mathématique : on refait les gestes ensemble, ligne par ligne, à voix haute. Ici tu ne fais rien tout seul, on avance côte à côte.
Échauffement 1 — de l'angle au centre vers l'inscrit
On y va tranquillement, je commente chaque ligne.
Échauffement 2 — de l'inscrit vers l'angle au centre
Inscrit vers centre : je multiplie par 2. Centre vers inscrit : je divise par 2. Le plus grand des deux est toujours l'angle au centre.
Échauffement 3 — le diamètre
Cap sur le contrôle. On quitte les exemples gentils pour les vrais problèmes de brevet, ceux où chaque ligne justifiée rapporte des points.
Les subtilités et les pièges du correcteur
Au contrôle, la bonne réponse ne suffit pas : il faut justifier. Voici ce que le correcteur attend et les pièges où tombe la moitié de la classe.
- Confondre les deux angles. L'angle au centre a son sommet en O ; l'angle inscrit a son sommet sur le cercle. Regarde toujours où est le sommet.
- Oublier le facteur $\dfrac{1}{2}$. $\widehat{ACB} \neq \widehat{AOB}$ : l'un est le double de l'autre, jamais son égal.
- Mauvais arc. La propriété n'est vraie que si les deux angles interceptent le même arc. Deux angles qui visent des arcs différents n'ont aucune raison d'être liés.
- Le demi-cercle « qui bouge ». Si [AB] est un diamètre, $\widehat{ACB} = 90°$ quelle que soit la position de C sur le cercle. Ça ne dépend pas de C.
- Le nom de la propriété utilisée (« angle inscrit et angle au centre », ou « angle inscrit dans un demi-cercle »).
- La relation posée avant le calcul : par exemple $\widehat{ACB} = \dfrac{1}{2}\,\widehat{AOB}$.
- Une phrase de conclusion qui répond précisément à la question posée.
Problème type 1 — plusieurs angles sur le même arc
Sans calcul supplémentaire, tu peux affirmer que tous les points du grand arc « voient » [AB] sous le même angle de $55°$. C'est exactement l'idée de la propriété 2.
Problème type 2 — le diamètre déguisé
Ne va pas chercher $\widehat{ACB}$ « à partir des autres angles » comme s'il était inconnu : ici, c'est le diamètre qui te donne directement $90°$. C'est une donnée de départ, pas ton résultat final.
Le niveau attendu est acquis ? Alors offrons-nous le luxe de comprendre pourquoi tout cela marche, et jetons un œil par-dessus la clôture, du côté du lycée.
Pourquoi la formule est vraie
Jusqu'ici tu as appliqué la formule $\widehat{ACB} = \dfrac{1}{2}\,\widehat{AOB}$. Voyons d'où elle sort : l'idée est astucieuse et n'utilise que des choses que tu connais déjà.
Le décor. Depuis le point inscrit C, on trace la droite (CO) ; elle recoupe le cercle en un point D. Le segment [CD] est alors un diamètre (il passe par O). On se place dans le cas où la demi-droite [CO) tombe entre A et B.
Idée n°1 — des triangles isocèles. Comme O est le centre, $OA = OC$ (deux rayons). Le triangle OAC est donc isocèle en O, ce qui donne deux angles à la base égaux : $\widehat{OCA} = \widehat{OAC}$. Notons $x$ cette valeur.
Idée n°2 — la somme des angles. Dans le triangle OAC : $\widehat{AOC} = 180° - 2x$. Or $\widehat{AOD}$ et $\widehat{AOC}$ sont supplémentaires (C, O, D sont alignés), donc $\widehat{AOD} = 180° - \widehat{AOC} = 2x = 2\,\widehat{OCA}$.
Idée n°3 — on recommence avec B. De la même façon, $OB = OC$ rend le triangle OBC isocèle, et l'on obtient $\widehat{BOD} = 2\,\widehat{OCB}$.
On additionne. $\widehat{AOB} = \widehat{AOD} + \widehat{BOD} = 2\,\widehat{OCA} + 2\,\widehat{OCB} = 2\,(\widehat{OCA} + \widehat{OCB}) = 2\,\widehat{ACB}$.
Donc $\widehat{ACB} = \dfrac{1}{2}\,\widehat{AOB}$. La formule n'est plus magique : c'est une simple conséquence des triangles isocèles et de la somme des angles d'un triangle.
Les cousins de la propriété
La propriété du demi-cercle a une descendance directe que tu croiseras souvent.
Triangle rectangle et cercle circonscrit. On vient de le voir : si [AB] est un diamètre, le triangle ABC est rectangle en C. La réciproque est vraie aussi, et très utile : si un triangle ABC est rectangle en C, alors il est inscrit dans le cercle de diamètre son hypoténuse [AB], et le centre de ce cercle est le milieu de [AB].
Conséquence — la médiane. Ce milieu O de l'hypoténuse est à la même distance de A, de B et de C (ce sont trois rayons : $OA = OB = OC$). Autrement dit, dans un triangle rectangle, la médiane issue de l'angle droit mesure la moitié de l'hypoténuse : $OC = \dfrac{1}{2}\,AB$. Une propriété qui semble tomber du ciel... alors qu'elle n'est que notre chapitre déguisé.
Un œil vers le lycée
Deux ouvertures pour l'an prochain, à lire pour le plaisir.
Le quadrilatère inscriptible. Prends quatre points A, B, C, D sur un même cercle : ils forment un quadrilatère « inscrit ». En additionnant deux angles inscrits, on montre que les angles opposés sont supplémentaires : $\widehat{A} + \widehat{C} = 180°$ (et de même $\widehat{B} + \widehat{D} = 180°$). L'idée : chaque angle vaut la moitié de l'arc qu'il intercepte, et les deux arcs réunis forment le cercle entier, soit $360°$ ; leur moitié fait donc $180°$.
La loi des sinus. Au lycée, l'angle inscrit se prolonge en une formule qui relie les côtés d'un triangle, ses angles et le rayon $R$ de son cercle circonscrit : $\dfrac{a}{\sin \widehat{A}} = 2R$. Le facteur $2$ que tu vois ici est un lointain écho du « fois deux » entre angle inscrit et angle au centre.
Même décor, mêmes objets : un cercle, des angles, et ce facteur $2$ qui ne te lâchera plus.