Angles inscrits et angles au centre

Un angle inscrit vaut toujours la moitié de l'angle au centre qui intercepte le même arc.

1 L'idée

On considère un cercle de centre O et deux points A, B sur ce cercle.

Angle au centre $\widehat{AOB}$ : son sommet est le centre O ; ses côtés passent par A et par B.
Angle inscrit $\widehat{ACB}$ : son sommet C est sur le cercle ; ses côtés passent par A et par B.

Ces deux angles interceptent le même arc AB (l'arc ne contenant pas C). La relation entre leurs mesures est le résultat fondamental du chapitre.

2 Relations fondamentales

Angle inscrit / angle au centre

$\widehat{ACB} = \dfrac{1}{2}\,\widehat{AOB}$

Angles inscrits, même arc

$\widehat{ACB} = \widehat{ADB} \quad (\text{C et D du même côté de [AB]})$

Angle dans un demi-cercle

$\text{Si [AB] est un diamètre :}\quad \widehat{ACB} = 90°$

3 Exemples numériques

Trouver un angle inscrit

Données : $\widehat{AOB} = 84°$, C sur le grand arc.

$\widehat{ACB} = \dfrac{84°}{2} = 42°$

Trouver l'angle au centre

Données : $\widehat{ACB} = 53°$.

$\widehat{AOB} = 2 \times 53° = 106°$

Angle dans un demi-cercle

[AB] est un diamètre ; $\widehat{CAB} = 32°$.

$\widehat{ACB} = 90°$ (angle inscrit dans un demi-cercle).

$\widehat{CBA} = 180° - 90° - 32° = 58°$

Méthode — calculer un angle inscrit ou au centre

Identifier le type : sommet en O → angle au centre ; sommet sur le cercle → angle inscrit.
Repérer l'arc intercepté commun aux deux angles.
Appliquer : angle inscrit $= \dfrac{1}{2} \times$ angle au centre, ou l'inverse : angle au centre $= 2 \times$ angle inscrit.
Cas particulier : si [AB] est un diamètre, conclure directement $\widehat{ACB} = 90°$.

Erreurs fréquentes

Confondre les deux types : l'angle au centre a son sommet en O, pas sur le cercle.
Oublier le facteur $\dfrac{1}{2}$ : $\widehat{ACB} \neq \widehat{AOB}$.
Appliquer la propriété à deux angles n'interceptant pas le même arc.
Croire que l'angle inscrit dans un demi-cercle dépend de la position de C : il vaut toujours 90°.