Homothéties

Agrandir ou réduire une figure depuis un centre fixe — définition, construction et propriétés fondamentales.

1 L'idée

Une homothétie de centre O et de rapport $k$ (nombre non nul) transforme tout point M en un point M' vérifiant :

O, M et M' sont alignés ;
$OM' = k \times OM$ (longueurs algébriques : même sens que $OM$ si $k \gt 0$, sens contraire si $k \lt 0$).

Si $|k| \gt 1$ : agrandissement. Si $0 \lt |k| \lt 1$ : réduction. Le centre O est son propre image. Cas particuliers : $k = 1$ donne l'identité ; $k = -1$ donne la symétrie centrale de centre O.

2 Définition et propriétés

Rapport

$\dfrac{OM'}{OM} = k$

Longueurs

$A'B' = |k| \times AB$

Aires

$\mathcal{A}' = k^2 \times \mathcal{A}$

Parallélisme

$A'B' \parallel AB \text{ si (AB) ne passe pas par O}$

3 Exemples numériques

Exemple A — rapport $k = 2$

Centre O, rapport $k = 2$, avec $OM = 3$ cm.

$OM' = 2 \times 3 = 6$ cm ; M' est du même côté que M par rapport à O.

Si $AB = 5$ cm, alors $A'B' = 2 \times 5 = 10$ cm et $A'B' \parallel AB$.

Exemple B — rapport $k = -\dfrac{1}{2}$

Centre O, rapport $k = -\dfrac{1}{2}$, avec $OM = 4$ cm.

$OM' = -\dfrac{1}{2} \times 4 = -2$ cm : M' est à 2 cm de O, du côté opposé à M.

Si $\mathcal{A}(ABC) = 12$ cm², alors $\mathcal{A}(A'B'C') = \left(-\dfrac{1}{2}\right)^2 \times 12 = \dfrac{1}{4} \times 12 = 3$ cm².

Méthode — construire l'image d'un triangle

Repérer le centre O et le rapport k.
Pour chaque sommet M : tracer la droite (OM).
Placer M' sur cette droite tel que $OM' = k \times OM$ : du même côté si $k \gt 0$, côté opposé si $k \lt 0$.
Relier A', B', C' — le triangle image est semblable au triangle original.

Erreurs fréquentes

$OM' = k \times OM$ est algébrique ; pour les longueurs on écrit $A'B' = |k| \times AB$ (valeur absolue de k).
L'aire est multipliée par $k^2$, pas par $k$ : pour $k = 3$, l'aire est multipliée par 9.
Si $k \lt 0$, O est entre M et M' : ne pas oublier de changer de côté.
Ne pas confondre k et $|k|$ dans un calcul d'aire : $k = -3 \Rightarrow k^2 = 9$, pas $-9$.