Homothéties

Ce qu'il faut savoir avant, et l'idée en une phrase

Avant de commencer, tu dois juste être à l'aise avec trois choses toutes simples :

• mesurer une longueur et la multiplier par un nombre ;
• reconnaître trois points alignés (sur une même droite) ;
• savoir ce qu'est un centre fixe (un point qui ne bouge pas).

L'idée en une phrase : une homothétie de centre O et de rapport $k$, c'est un zoom. Chaque point M part en ligne droite depuis O et se retrouve $k$ fois plus loin, en un point M'.

Si $k \gt 1$ : la figure grandit. Si $0 \lt k \lt 1$ : elle rétrécit. Si $k$ est négatif, l'image part de l'autre côté de O. Et le centre O, lui, ne bouge jamais.

Les formules clés à recopier sur ta feuille

Trois formules, et tu tiens presque tout le chapitre :

• Position du point image : $OM' = k \times OM$.
• Longueurs (côtés, segments) : $A'B' = |k| \times AB$ (on prend la valeur absolue de $k$, donc toujours un nombre positif).
• Aires : $\mathcal{A}' = k^2 \times \mathcal{A}$ (on met $k$ au carré).

Deux réflexes à garder en tête : le centre O est son propre image (O reste O), et deux droites qui se correspondent sont parallèles, donc $A'B' \parallel AB$.

Un exemple fait en entier

Prenons une homothétie de centre O et de rapport $k = 2$, avec un point M tel que $OM = 3$ cm.

Étape 1 — je place M' sur la droite (OM) : $OM' = k \times OM = 2 \times 3 = 6$ cm.

Étape 2 — comme $k = 2$ est positif, M' est du même côté que M par rapport à O (regarde la figure).

Étape 3 — si un segment mesure $AB = 5$ cm, alors son image mesure $A'B' = |k| \times AB = 2 \times 5 = 10$ cm, et $A'B' \parallel AB$.

Voilà, tu viens de faire ta première homothétie. Un zoom deux fois plus grand, rien de plus.

La définition propre

Une homothétie de centre O et de rapport $k$ (avec $k$ un nombre non nul) est la transformation qui, à tout point M, associe le point M' tel que :

• les points O, M et M' sont alignés ;
• $OM' = k \times OM$ en longueurs algébriques : M' est dans le même sens que M si $k \gt 0$, dans le sens contraire si $k \lt 0$.

Deux cas particuliers valent le coup d'être connus par cœur :

• $k = 1$ : chaque point reste sur place, c'est l'identité ;
• $k = -1$ : c'est la symétrie centrale de centre O.

Et dans tous les cas, le centre O est son propre image.

Les propriétés à connaître

Le rapport se lit directement sur deux points qui se correspondent : $\dfrac{OM'}{OM} = k$.

Une homothétie transforme une figure en une figure semblable (agrandie ou réduite, mais de même forme). D'où :

• les longueurs sont multipliées par $|k|$ : $A'B' = |k| \times AB$ ;
• les aires sont multipliées par $k^2$ : $\mathcal{A}' = k^2 \times \mathcal{A}$ ;
• selon la valeur de $|k|$ : $|k| \gt 1$ agrandit, $0 \lt |k| \lt 1$ réduit.

Ce qui est conservé : les angles, l'alignement, les milieux, et le parallélisme. En particulier, l'image d'une droite est une droite qui lui est parallèle : $A'B' \parallel AB$ (dès que (AB) ne passe pas par O).

La méthode pas à pas, avec les deux cas

Pour construire l'image d'un triangle ABC par l'homothétie de centre O et de rapport $k$ :

Étape 1 — repérer le centre O et le rapport $k$.

Étape 2 — pour chaque sommet, par exemple A, tracer la droite (OA).

Étape 3 — placer A' sur cette droite avec $OA' = k \times OA$. Ici il faut distinguer :

• si $k \gt 0$ : A' est du même côté que A par rapport à O ;
• si $k \lt 0$ : A' est du côté opposé, donc O se retrouve entre A et A'.

Étape 4 — recommencer pour B et C, puis relier A', B', C'. Le triangle obtenu est semblable au triangle de départ.

Sur la figure, l'homothétie a pour centre O et pour rapport $k = 2$ : chaque sommet est deux fois plus loin de O, et le triangle A'B'C' est deux fois plus grand que ABC.

Exemple 1 — un agrandissement (k = 2)

Énoncé : homothétie de centre O, rapport $k = 2$, avec $OM = 3$ cm et un segment $AB = 5$ cm.

On cherche $OM'$ : par définition, $OM' = k \times OM$.

On remplace : $OM' = 2 \times 3 = 6$ cm.

Le rapport est positif, donc M' est du même côté que M : O ne se glisse pas entre eux.

On cherche la longueur image $A'B'$ : pour une longueur, on utilise la valeur absolue, $A'B' = |k| \times AB$.

On remplace : $A'B' = 2 \times 5 = 10$ cm, et on note que $A'B' \parallel AB$.

Bilan : tout est deux fois plus grand, rien n'a changé de côté. C'est le cas le plus simple.

Exemple 2 — un rapport négatif (k = -1/2)

Énoncé : homothétie de centre O, rapport $k = -\dfrac{1}{2}$, avec $OM = 4$ cm. On donne aussi un triangle d'aire $\mathcal{A}(ABC) = 12$ cm².

On calcule la position de M' : $OM' = k \times OM = -\dfrac{1}{2} \times 4 = -2$ cm.

Le résultat est négatif : cela veut dire que M' est à 2 cm de O, mais du côté opposé à M. Sur la figure, O est bien entre M et M'.

On calcule l'aire image. Attention, pour une aire on met le rapport au carré : $\mathcal{A}(A'B'C') = k^2 \times \mathcal{A}(ABC)$.

On remplace : $\mathcal{A}(A'B'C') = \left(-\dfrac{1}{2}\right)^2 \times 12 = \dfrac{1}{4} \times 12 = 3$ cm².

Bilan : comme $|k| = \dfrac{1}{2} \lt 1$, la figure est réduite, et le signe négatif l'a envoyée de l'autre côté de O.

Exemple 3 — retrouver le rapport

Énoncé : on sait que $OM = 4$ cm et que son image vérifie $OM' = 6$ cm, M et M' étant du même côté de O. Quel est le rapport $k$ ?

On part de la formule du rapport : $\dfrac{OM'}{OM} = k$.

On remplace : $k = \dfrac{6}{4} = \dfrac{3}{2} = 1{,}5$.

Le rapport est positif (même côté) et $|k| = 1{,}5 \gt 1$ : c'est bien un agrandissement, cohérent avec le fait que M' est plus loin que M.

Petit contrôle de bon sens : un segment $AB = 4$ cm deviendrait $A'B' = |k| \times AB = 1{,}5 \times 4 = 6$ cm. Tout est multiplié par $1{,}5$.

Les pièges classiques

Voici les quatre erreurs qui font perdre des points chaque année :

• Confondre position et longueur. $OM' = k \times OM$ est algébrique (le signe compte), mais pour une longueur on écrit $A'B' = |k| \times AB$ avec la valeur absolue.
• Oublier le carré pour l'aire. L'aire est multipliée par $k^2$, pas par $k$ : pour $k = 3$, l'aire est multipliée par $9$, pas par $3$.
• Oublier de changer de côté quand $k \lt 0$. Si $k$ est négatif, O est entre M et M'.
• Mettre un signe moins dans l'aire. $k^2$ est toujours positif : pour $k = -3$, on a $k^2 = 9$, jamais $-9$.

Un problème type entièrement résolu

Énoncé : un triangle ABC vérifie $AB = 4$ cm et $\mathcal{A}(ABC) = 6$ cm². On lui applique l'homothétie de centre O et de rapport $k = 3$. Calcule $A'B'$ et l'aire de A'B'C', puis dis comment sont les droites (AB) et (A'B').

Étape 1 — la longueur image. On utilise $A'B' = |k| \times AB = 3 \times 4 = 12$ cm.

Étape 2 — l'aire image. On utilise $\mathcal{A}(A'B'C') = k^2 \times \mathcal{A}(ABC) = 3^2 \times 6 = 9 \times 6 = 54$ cm².

Étape 3 — la position des droites. Comme (AB) ne passe pas par O, l'image (A'B') lui est parallèle : $A'B' \parallel AB$.

Étape 4 — la construction. Depuis O, on trace les demi-droites [OA), [OB), [OC), et on place chaque image trois fois plus loin ($OA' = 3 \times OA$, et de même pour B et C), du même côté puisque $k \gt 0$. On relie A', B', C'.

Conclusion : $A'B' = 12$ cm, $\mathcal{A}(A'B'C') = 54$ cm², et $A'B' \parallel AB$.

Ce que le correcteur attend

Pour avoir tous les points, ta copie doit montrer :

• la bonne formule citée avant le calcul ($A'B' = |k| \times AB$ pour une longueur, $\mathcal{A}' = k^2 \times \mathcal{A}$ pour une aire) ;
• le calcul écrit en entier, avec la valeur remplacée puis le résultat ;
• les unités : cm pour une longueur, cm² pour une aire ;
• une phrase de conclusion qui répond à la question, en précisant le parallélisme quand on te le demande.

Exemple de rédaction attendue : « D'après la propriété, $A'B' = |k| \times AB = 3 \times 4 = 12$ cm. Les droites (AB) et (A'B') sont parallèles. »

L'homothétie dans la famille des transformations

L'homothétie n'est pas seule. Elle fait partie des transformations du plan, aux côtés des translations, des symétries et des rotations. Tu en connais déjà un cas caché : la symétrie centrale de centre O n'est rien d'autre que l'homothétie de rapport $k = -1$.

Comme elle conserve les angles et le parallélisme, l'homothétie est un exemple de similitude : elle change la taille mais garde la forme. C'est exactement l'idée derrière les figures semblables et le théorème de Thalès, où l'on compare aussi des rapports de longueurs.

Autre passerelle : le rapport $k$ joue le même rôle que le coefficient d'une fonction linéaire $x \mapsto k x$. Multiplier une longueur par $k$, c'est de la proportionnalité pure.

Pourquoi l'aire est multipliée par k au carré

La formule $\mathcal{A}' = k^2 \times \mathcal{A}$ n'est pas tombée du ciel. Voici l'idée :

Une aire se calcule toujours à partir de deux longueurs (par exemple base × hauteur pour un rectangle, ou base × hauteur ÷ 2 pour un triangle).

Or l'homothétie multiplie chaque longueur par $|k|$. Donc la base devient $|k|$ fois plus grande, et la hauteur aussi.

Le produit des deux est alors multiplié par $|k| \times |k| = k^2$. D'où l'aire multipliée par $k^2$.

Sur la figure : quand le côté double ($k = 2$), le grand carré se remplit de $4$ petits carrés. Aire multipliée par $4 = 2^2$. La même logique explique tout.

Un aperçu de l'an prochain

Au lycée, tu réécriras l'homothétie avec des vecteurs : la relation $OM' = k \times OM$ devient $\vec{OM'} = k\,\vec{OM}$, ce qui est plus court et gère le sens tout seul.

Tu verras aussi qu'on peut composer les transformations : enchaîner deux homothéties, ou une homothétie et une translation, donne encore une transformation connue.

Et en passant à l'espace (les volumes), la logique du carré devient celle du cube : les longueurs sont multipliées par $|k|$, les aires par $k^2$, et les volumes par $|k|^3$. Un agrandissement de rapport $2$ rend une longueur double, une surface quadruple, et un volume huit fois plus grand.