Pas de panique. Tu as un contrôle sur les transformations du plan et tu n'as jamais mis les pieds dans ce chapitre ? On va reprendre depuis le début, mais vite fait bien fait. On commence par les prérequis indispensables : coordonnées d'un point, milieu d'un segment, et vecteurs. Ensuite, on attaque l'essentiel des quatre transformations pour que tu sois fonctionnel rapidement.
Prérequis 1 : Coordonnées d'un point et milieu
Dans un repère, un point se repère par deux nombres : son abscisse $x$ (horizontale) et son ordonnée $y$ (verticale). On note $M(x\,;\,y)$.
Le milieu $I$ d'un segment $[AB]$ a pour coordonnées la moyenne de celles de $A$ et $B$ : $I\left(\dfrac{x_A+x_B}{2}\,;\,\dfrac{y_A+y_B}{2}\right)$.
Prérequis 2 : Vecteurs
Un vecteur $\vec{u}$ est un déplacement : il a une direction, un sens et une longueur. On le note $\vec{u}\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$.
Si $\overrightarrow{MM'} = \vec{u}$, alors pour passer de $M$ à $M'$, on ajoute $a$ à l'abscisse et $b$ à l'ordonnée : $M'(x_M + a\,;\,y_M + b)$.
Les quatre transformations en un clin d'oeil
Une transformation associe à un point $M$ un point image $M'$. Les quatre au programme sont des isométries : elles conservent longueurs, angles, aires. Deux figures isométriques sont superposables.
Symétrie axiale (axe $d$) : $d$ est la médiatrice de $[MM']$ (effet miroir, retourne la figure).
Symétrie centrale (centre $O$) : $O$ est le milieu de $[MM']$ (demi-tour autour de $O$).
Translation (vecteur $\vec{u}$) : $\overrightarrow{MM'} = \vec{u}$ (glissement, pas de retournement).
Rotation (centre $O$, angle $\alpha$) : $OM=OM'$ et $\widehat{MOM'} = \alpha$ (tourne autour de $O$).
À toi de jouer
1. On va reconnaître les transformations. Complète avec le nom de la transformation. a) $A(2\,;\,3)$ et $A'(2\,;\,-3)$. L'abscisse ne change pas, l'ordonnée change de signe. C'est une symétrie axiale d'axe $\underline{\hspace{1.1em}}$. b) $A(2\,;\,3)$ et $A'(-2\,;\,-3)$. Le milieu de $[AA']$ est $(0\,;\,0)$. C'est une symétrie $\underline{\hspace{1.1em}}$ de centre $\underline{\hspace{1.1em}}$. c) $A(1\,;\,4)$ et $A'(6\,;\,4)$. $\overrightarrow{AA'} = \begin{pmatrix}\underline{\hspace{1.1em}}\\\underline{\hspace{1.1em}}\end{pmatrix}$. C'est une $\underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
a) L'abscisse ne change pas, l'ordonnée change de signe. C'est une symétrie axiale d'axe $(Ox)$ (la droite $y=0$). b) Le milieu de $[AA']$ est $(0\,;\,0)$. C'est une symétrie centrale de centre $O(0\,;\,0)$. c) $\overrightarrow{AA'} = \begin{pmatrix}5\\0\end{pmatrix}$. C'est une translation de vecteur $\vec{u}\begin{pmatrix}5\\0\end{pmatrix}$.
2. On calcule des images par symétrie centrale de centre $O(1\,;\,2)$. Complète. Pour $A(3\,;\,5)$ : $A'_x = 2 \times \underline{\hspace{1.1em}} - 3 = \underline{\hspace{1.1em}}$, $A'_y = 2 \times \underline{\hspace{1.1em}} - 5 = \underline{\hspace{1.1em}}$. Donc $A'(\underline{\hspace{1.1em}}\,;\,\underline{\hspace{1.1em}})$. Pour $B(0\,;\,-1)$ : $B'_x = 2 \times 1 - \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$, $B'_y = 2 \times 2 - (\underline{\hspace{1.1em}}) = \underline{\hspace{1.1em}}$. Donc $B'(\underline{\hspace{1.1em}}\,;\,\underline{\hspace{1.1em}})$.
Ah oui, c'est ça ! Les transformations, ces machins qui déplacent les points sans les déformer. Tu te souviens des symétries vues au collège ? On va structurer tout ça proprement, avec la méthode pas-à-pas pour identifier et calculer des images. On reste sur des applications directes, rien de tordu.
Les quatre transformations et leurs propriétés
Une isométrie conserve les distances, les angles, les longueurs et les aires. Voici les quatre à connaître :
Transformation
Élément caractéristique
Propriété
Orientation
Symétrie axiale
Axe $d$
$d$ médiatrice de $[MM']$
Inversée (miroir)
Symétrie centrale
Centre $O$
$O$ milieu de $[MM']$
Conservée (demi-tour = rotation 180°)
Translation
Vecteur $\vec{u}$
$\overrightarrow{MM'} = \vec{u}$
Conservée
Rotation
Centre $O$, angle $\alpha$
$OM=OM'$, $\widehat{MOM'}=\alpha$
Conservée
Méthode : calculer des images par les coordonnées
Symétrie axiale d'axe $(Ox)$ : $M(x\,;\,y) \rightarrow M'(x\,;\,-y)$ (on change le signe de $y$). Symétrie axiale d'axe $x = k$ : $M(x\,;\,y) \rightarrow M'(2k - x\,;\,y)$. Symétrie centrale de centre $O(a\,;\,b)$ : $M(x\,;\,y) \rightarrow M'(2a - x\,;\,2b - y)$. Translation de vecteur $\vec{u}\begin{pmatrix}a\\b\end{pmatrix}$ : $M(x\,;\,y) \rightarrow M'(x+a\,;\,y+b)$.
Méthode : identifier une transformation
1. Regarde si l'orientation est inversée (effet miroir) : si oui, c'est une symétrie axiale. 2. Si l'orientation est conservée et qu'il existe un point $O$ milieu de tous les segments $[MM']$ : symétrie centrale. 3. Si tous les vecteurs $\overrightarrow{MM'}$ sont égaux : translation. 4. Si toutes les distances au centre $O$ sont égales et que la figure tourne d'un angle $\alpha$ : rotation.
À toi de jouer
1. Identifie la transformation qui envoie $A$ sur $A'$ et donne son élément caractéristique. Complète. a) $A(3\,;\,4)$ et $A'(3\,;\,-4)$ : symétrie $\underline{\hspace{1.1em}}$ d'axe $\underline{\hspace{1.1em}}$. b) $A(3\,;\,4)$ et $A'(-3\,;\,-4)$ : symétrie $\underline{\hspace{1.1em}}$ de centre $\underline{\hspace{1.1em}}$. c) $A(2\,;\,5)$ et $A'(7\,;\,5)$ : $\overrightarrow{AA'} = \begin{pmatrix}\underline{\hspace{1.1em}}\\\underline{\hspace{1.1em}}\end{pmatrix}$, translation de vecteur $\underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
a) Symétrie axiale d'axe $(Ox)$ (la droite $y=0$). b) Symétrie centrale de centre $O(0\,;\,0)$. c) $\overrightarrow{AA'} = \begin{pmatrix}5\\0\end{pmatrix}$, translation de vecteur $\vec{u}\begin{pmatrix}5\\0\end{pmatrix}$.
2. Symétrie centrale de centre $O(2\,;\,-1)$. Calcule les images en complétant. a) $A(4\,;\,3)$ : $A'_x = 2 \times \underline{\hspace{1.1em}} - 4 = \underline{\hspace{1.1em}}$, $A'_y = 2 \times (\underline{\hspace{1.1em}}) - 3 = \underline{\hspace{1.1em}}$. $A'(\underline{\hspace{1.1em}}\,;\,\underline{\hspace{1.1em}})$. b) $B(-2\,;\,0)$ : $B'_x = \underline{\hspace{1.1em}}$, $B'_y = \underline{\hspace{1.1em}}$. $B'(\underline{\hspace{1.1em}}\,;\,\underline{\hspace{1.1em}})$.
3. Symétrie axiale d'axe $x = 4$. Complète l'image de $A(1\,;\,-3)$. $A'_x = 2 \times \underline{\hspace{1.1em}} - 1 = \underline{\hspace{1.1em}}$, $A'_y = \underline{\hspace{1.1em}}$. Donc $A'(\underline{\hspace{1.1em}}\,;\,\underline{\hspace{1.1em}})$. Vérifie : le milieu de $[AA']$ a pour abscisse $\dfrac{1+\underline{\hspace{1.1em}}}{2} = \underline{\hspace{1.1em}}$, c'est bien l'axe.
Corrigé
$A'_x = 2 \times 4 - 1 = 7$, $A'_y = -3$. Donc $A'(7\,;\,-3)$. Milieu : $\dfrac{1+7}{2} = 4$, c'est bien l'axe $x=4$.
On muscle la mécanique. Cinq exercices quasi identiques pour que le calcul d'images devienne un réflexe. Tu vas enchaîner les translations, symétries centrales et axiales. Mêmes méthodes, nombres différents. Prêt ?
On passe au niveau attendu pour le contrôle. Ici, on mélange identification, calculs, et un petit problème avec Pythagore pour vérifier que tu as bien compris que les isométries conservent les longueurs. Pas de trous, c'est toi qui joues maintenant.
À toi de jouer
1. Identifie la transformation qui envoie $A$ sur $A'$ et précise ses éléments caractéristiques (axe, centre ou vecteur). a) $A(4\,;\,-1)$ et $A'(4\,;\,1)$. b) $A(4\,;\,-1)$ et $A'(-4\,;\,1)$. c) $A(-3\,;\,2)$ et $A'(2\,;\,2)$. d) $A(5\,;\,0)$ et $A'(0\,;\,5)$, sachant que le centre est $O(2{,}5\,;\,2{,}5)$.
Corrigé
a) Symétrie axiale d'axe $(Ox)$ (la droite $y=0$). b) Symétrie centrale de centre $O(0\,;\,0)$. c) $\overrightarrow{AA'} = \begin{pmatrix}5\\0\end{pmatrix}$, translation de vecteur $\vec{u}\begin{pmatrix}5\\0\end{pmatrix}$. d) Milieu de $[AA'] = (2{,}5\,;\,2{,}5) = O$, symétrie centrale de centre $O(2{,}5\,;\,2{,}5)$.
2. Le point $O(2\,;\,-3)$ est le centre de symétrie. Calcule les coordonnées de l'image de chaque point. a) $A(5\,;\,1)$ b) $B(-1\,;\,4)$ c) $C(2\,;\,-3)$
Corrigé
a) $A'_x = 2 \times 2 - 5 = -1$, $A'_y = 2 \times (-3) - 1 = -7$. $A'(-1\,;\,-7)$. b) $B'_x = 2 \times 2 - (-1) = 5$, $B'_y = 2 \times (-3) - 4 = -10$. $B'(5\,;\,-10)$. c) $C = O$, donc $C' = C = O(2\,;\,-3)$.
3. On donne le vecteur $\vec{u}\begin{pmatrix}-3\\4\end{pmatrix}$. a) Calcule l'image de $M(2\,;\,-5)$ par la translation de vecteur $\vec{u}$. b) Calcule l'image de $N(0\,;\,1)$. c) Le point $P'(-1\,;\,6)$ est l'image d'un point $P$. Trouve les coordonnées de $P$.
4. L'axe de symétrie est la droite $d$ d'équation $x = 2$. a) Calcule l'image de $A(-1\,;\,4)$ par la symétrie d'axe $d$. b) Vérifie que $d$ est bien la médiatrice de $[AA']$. c) Calcule l'image de $B(2\,;\,-5)$ et justifie brièvement.
Corrigé
a) $A'_x = 2 \times 2 - (-1) = 5$, $A'_y = 4$. $A'(5\,;\,4)$. b) Milieu de $[AA']$ : $x_m = \dfrac{-1+5}{2} = 2$, c'est l'axe $x=2$. L'axe est vertical, $[AA']$ est horizontal, donc perpendiculaires. $d$ est bien la médiatrice. c) $B$ est sur l'axe ($x=2$), donc il est son propre symétrique : $B' = B(2\,;\,-5)$.
5. Le triangle $ABC$ a pour sommets $A(0\,;\,0)$, $B(6\,;\,0)$ et $C(6\,;\,8)$. a) On le translate par le vecteur $\vec{u}\begin{pmatrix}-2\\3\end{pmatrix}$ pour obtenir $A'B'C'$. Calcule les coordonnées de $A'$, $B'$ et $C'$. b) Calcule le périmètre du triangle $ABC$ (il est rectangle en $B$, utilise Pythagore pour $AC$). c) Sans calcul supplémentaire, donne le périmètre de $A'B'C'$. Justifie.
Corrigé
a) $A'(0-2\,;\,0+3) = (-2\,;\,3)$, $B'(6-2\,;\,0+3) = (4\,;\,3)$, $C'(6-2\,;\,8+3) = (4\,;\,11)$. b) $AB = 6$, $BC = 8$. Dans le triangle rectangle en $B$ : $AC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$, donc $AC = 10$. Périmètre $= 6 + 8 + 10 = 24$. c) La translation est une isométrie, elle conserve les longueurs. Le périmètre de $A'B'C'$ est donc aussi $24$.
Tu veux voir ce qui t'attend ? En seconde, on combine les transformations et on parle de composées. On va aussi toucher du doigt les homothéties, qui ne sont pas des isométries mais agrandissent ou réduisent. Prêt à prendre de l'avance ?
Composée de transformations
Appliquer une transformation, puis une autre, c'est faire une composée. Par exemple, une translation suivie d'une symétrie centrale. L'ordre compte !
Aperçu : l'homothétie
Une homothétie de centre $O$ et de rapport $k$ associe à $M$ le point $M'$ tel que $\overrightarrow{OM'} = k \cdot \overrightarrow{OM}$. Si $k>0$, $M'$ est sur la demi-droite $[OM)$ ; si $k<0$, $M'$ est de l'autre côté de $O$. Elle ne conserve pas les longueurs (sauf si $k=1$ ou $k=-1$), mais conserve les angles et l'alignement.
À toi de jouer
1. On applique une translation de vecteur $\vec{u}\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}$ puis une symétrie centrale de centre $O(0\,;\,0)$. a) Calcule l'image de $M(3\,;\,4)$ par la translation : $M_1(\underline{\hspace{1.1em}}\,;\,\underline{\hspace{1.1em}})$. b) Calcule l'image de $M_1$ par la symétrie centrale : $M'(\underline{\hspace{1.1em}}\,;\,\underline{\hspace{1.1em}})$. c) Quel est le vecteur $\overrightarrow{MM'}$ ?
Corrigé
a) $M_1(3+2\,;\,4+(-1)) = (5\,;\,3)$. b) Symétrie centrale de centre $O$ : $M'_x = -5$, $M'_y = -3$. $M'(-5\,;\,-3)$. c) $\overrightarrow{MM'} = \begin{pmatrix}-5-3\\-3-4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-8\\-7\end{pmatrix}$.
2. Homothétie de centre $O(1\,;\,2)$ et de rapport $k = 3$. a) Calcule les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{OA}$ avec $A(3\,;\,4)$ : $\overrightarrow{OA} = \begin{pmatrix}\underline{\hspace{1.1em}}\\\underline{\hspace{1.1em}}\end{pmatrix}$. b) $\overrightarrow{OA'} = 3 \cdot \overrightarrow{OA} = \begin{pmatrix}\underline{\hspace{1.1em}}\\\underline{\hspace{1.1em}}\end{pmatrix}$. c) Déduis-en les coordonnées de $A'$ : $A'_x = 1 + \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$, $A'_y = 2 + \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$. $A'(\underline{\hspace{1.1em}}\,;\,\underline{\hspace{1.1em}})$.
Corrigé
a) $\overrightarrow{OA} = \begin{pmatrix}3-1\\4-2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\2\end{pmatrix}$. b) $\overrightarrow{OA'} = \begin{pmatrix}6\\6\end{pmatrix}$. c) $A'_x = 1 + 6 = 7$, $A'_y = 2 + 6 = 8$. $A'(7\,;\,8)$.
3. Un triangle $ABC$ a pour sommets $A(0\,;\,0)$, $B(2\,;\,0)$, $C(0\,;\,1)$. On l'homothétie de centre $O(0\,;\,0)$ et de rapport $k = -2$. a) Calcule les images $A'$, $B'$, $C'$. b) Compare les aires de $ABC$ et $A'B'C'$. Que remarques-tu ?
Corrigé
a) $A'$ est confondu avec $O$ : $A'(0\,;\,0)$. $\overrightarrow{OB'} = -2 \cdot \overrightarrow{OB} = -2\begin{pmatrix}2\\0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-4\\0\end{pmatrix}$, $B'(-4\,;\,0)$. $\overrightarrow{OC'} = -2 \cdot \overrightarrow{OC} = -2\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\-2\end{pmatrix}$, $C'(0\,;\,-2)$. b) Aire de $ABC = \dfrac{2 \times 1}{2} = 1$. Aire de $A'B'C' = \dfrac{4 \times 2}{2} = 4$. L'aire est multipliée par $k^2 = 4$ (en valeur absolue).
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