Transformations du plan — Exercices

Identifier, construire, calculer. Corrigé détaillé en fin de fiche.

⏱ ~30 min✎ Calculatrice autorisée

1Identifier la transformation/ 4 pts

Pour chaque situation, identifie la transformation qui envoie $A$ sur $A'$ et précise ses éléments caractéristiques (axe, centre ou vecteur).

$A(2\,;\,3)$ et $A'(2\,;\,-3)$.
$A(2\,;\,3)$ et $A'(-2\,;\,-3)$.
$A(1\,;\,4)$ et $A'(6\,;\,4)$.
$A(3\,;\,0)$ et $A'(0\,;\,3)$, sachant que le centre est $O(1{,}5\,;\,1{,}5)$.

2Symétrie centrale/ 3 pts

Le point $O(1\,;\,2)$ est le centre de symétrie. Calcule les coordonnées de l'image de chaque point.

$A(3\,;\,5)$
$B(0\,;\,-1)$
$C(1\,;\,2)$

3Translation/ 3 pts

On donne le vecteur $\vec{u}\begin{pmatrix}-2\\3\end{pmatrix}$. Calcule les images des points suivants par la translation de vecteur $\vec{u}$.

$M(4\,;\,1)$
$N(-1\,;\,-2)$
Le point $P'(1\,;\,4)$ est l'image d'un point $P$. Trouve les coordonnées de $P$.

4Symétrie axiale/ 3 pts

L'axe de symétrie est la droite $d$ d'équation $x = 3$.

Calcule l'image de $A(1\,;\,-2)$ par la symétrie d'axe $d$.
Vérifie que $d$ est bien la médiatrice de $[AA']$.
Calcule l'image de $B(3\,;\,7)$ et justifie brièvement.

5Problème — isométrie et périmètre/ 3 pts

Le triangle $ABC$ a pour sommets $A(0\,;\,0)$, $B(4\,;\,0)$ et $C(4\,;\,3)$. On le translate par le vecteur $\vec{u}\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}$ pour obtenir le triangle $A'B'C'$.

Calcule les coordonnées de $A'$, $B'$ et $C'$.
Calcule le périmètre du triangle $ABC$ (le triangle est rectangle en $B$ : utilise le théorème de Pythagore pour $AC$).
Sans calcul supplémentaire, donne le périmètre de $A'B'C'$. Justifie.

Corrigé détaillé

1Identifier la transformation

a) $A(2\,;\,3) \to A'(2\,;\,-3) : \text{l'abscisse est conservée, l'ordonnée change de signe.}$ $\text{Symétrie axiale d'axe } (Ox) \text{, i.e. la droite } y = 0$

b) $A(2\,;\,3) \to A'(-2\,;\,-3) : \text{milieu de } [AA'] = \left(\dfrac{2+(-2)}{2}\,;\,\dfrac{3+(-3)}{2}\right) = (0\,;\,0)$ $\text{Symétrie centrale de centre } O(0\,;\,0)$

c) $A(1\,;\,4) \to A'(6\,;\,4) : \overrightarrow{AA'} = \begin{pmatrix}6-1\\4-4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5\\0\end{pmatrix}$ $\text{Translation de vecteur } \vec{u}\begin{pmatrix}5\\0\end{pmatrix}$

d) $\text{Milieu de } [AA'] = \left(\dfrac{3+0}{2}\,;\,\dfrac{0+3}{2}\right) = (1{,}5\,;\,1{,}5) = O \;\checkmark$ $\text{Symétrie centrale de centre } O(1{,}5\,;\,1{,}5)$

2Symétrie centrale de centre O(1 ; 2)

a) $A'_x = 2 \times 1 - 3 = -1 \qquad A'_y = 2 \times 2 - 5 = -1$ $A'(-1\,;\,-1)$

b) $B'_x = 2 \times 1 - 0 = 2 \qquad B'_y = 2 \times 2 - (-1) = 5$ $B'(2\,;\,5)$

c) $C = O(1\,;\,2) \text{ : le centre est son propre symétrique.}$ $C' = C = O(1\,;\,2)$

3Translation de vecteur (-2 ; 3)

a) $M'_x = 4 + (-2) = 2 \qquad M'_y = 1 + 3 = 4$ $M'(2\,;\,4)$

b) $N'_x = -1 + (-2) = -3 \qquad N'_y = -2 + 3 = 1$ $N'(-3\,;\,1)$

c) $P'_x = P_x + (-2) \Rightarrow P_x = P'_x - (-2) = 1 + 2 = 3 \qquad P'_y = P_y + 3 \Rightarrow P_y = P'_y - 3 = 4 - 3 = 1$ $P(3\,;\,1)$

4Symétrie axiale d'axe x = 3

a) $\text{Axe vertical } x = 3 : \text{l'ordonnée est conservée.} \quad A'_x = 2 \times 3 - 1 = 5 \quad A'_y = -2$ $A'(5\,;\,-2)$

b) $\text{Milieu de } [AA'] : x_m = \dfrac{1+5}{2} = 3 \;\checkmark \quad \text{Les points } A(1\,;\,-2) \text{ et } A'(5\,;\,-2) \text{ ont la même ordonnée} \Rightarrow AA' \text{ est horizontal} \Rightarrow AA' \perp d \;\checkmark$ $d \text{ est bien perpendiculaire à } [AA'] \text{ et passe par son milieu : } d \text{ est la médiatrice de } [AA']$

c) $B_x = 3 = \text{valeur de l'axe} \Rightarrow B \text{ est sur } d \Rightarrow B \text{ est son propre image.}$ $B'(3\,;\,7) = B \text{ (point invariant : il est sur l'axe)}$

5Problème — isométrie et périmètre

a) $A'(0+1\,;\,0+2),\quad B'(4+1\,;\,0+2),\quad C'(4+1\,;\,3+2)$ $A'(1\,;\,2),\quad B'(5\,;\,2),\quad C'(5\,;\,5)$

b) $AB = 4 \quad BC = 3 \quad AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{4^2+3^2} = \sqrt{16+9} = \sqrt{25} = 5$ $\text{Périmètre de } ABC = 4 + 3 + 5 = 12$

c) $\text{Une translation est une isométrie : elle conserve toutes les distances.} \Rightarrow A'B' = AB = 4,\quad B'C' = BC = 3,\quad A'C' = AC = 5$ $\text{Périmètre de } A'B'C' = 12 \text{ (identique à celui de } ABC\text{)}$