Contrôle bientôt et tu découvres le mot « transformation » à la dernière minute ? Respire. Une transformation, c'est juste une machine qui prend un point et le pose ailleurs, en suivant une règle bien précise. En dix minutes tu tiens l'essentiel, promis.
Les prérequis, en 30 secondes
Trois-quatre mots à avoir en tête avant de démarrer :
- Repère du plan : un point se note $M(x\,;\,y)$, avec $x$ l'abscisse (position horizontale) et $y$ l'ordonnée (position verticale).
- Vecteur $\vec u\binom{a}{b}$ : une flèche de déplacement, $a$ vers la droite et $b$ vers le haut.
- Milieu de $[MM']$ : le point pile au centre du segment.
- Médiatrice d'un segment : la droite perpendiculaire au segment qui passe par son milieu.
- Image : $M'$ (« M prime ») est l'image de $M$ par la transformation.
L'essentiel + les formules clés
Une transformation déplace chaque point selon une règle. Les quatre du programme sont des isométries : elles gardent les longueurs, les angles et les aires. Résultat : la figure image est superposable à la figure de départ.
Axe $(Ox)$ : $(x\,;\,y)\mapsto(x\,;\,-y)$
Centre $O(0\,;\,0)$ : $(x\,;\,y)\mapsto(-x\,;\,-y)$
$\vec u\binom{a}{b}$ : $(x\,;\,y)\mapsto(x+a\,;\,y+b)$
À retenir : la symétrie axiale retourne la figure (image miroir) ; les trois autres la conservent à l'endroit. Et petite astuce : une symétrie centrale, c'est exactement une rotation d'un demi-tour ($180°$).
Un exemple entièrement traité
On cherche l'image de $M(3\,;\,-2)$ par la symétrie d'axe $(Ox)$.
L'axe $(Ox)$ est horizontal : il sert de miroir. On garde l'abscisse et on change le signe de l'ordonnée.
Abscisse : $x' = 3$.
Ordonnée : $y' = -(-2) = 2$.
Donc $M(3\,;\,-2) \longrightarrow M'(3\,;\,2)$.
Vérification : le milieu de $[MM']$ a pour ordonnée $\frac{-2+2}{2}=0$ ; il est bien posé sur l'axe $(Ox)$. C'est cohérent.
Sur le schéma, $M$ et son image $M'$ sont à la même distance de l'axe, de part et d'autre, et le segment $[MM']$ coupe l'axe à angle droit.
Ah, ça te revient : tu l'as bien croisée, cette notion. On la remet au propre, dans l'ordre, avec les définitions exactes et un exemple par transformation. Rien laissé au hasard.
Une transformation, une isométrie
Une transformation du plan associe à tout point $M$ un unique point image $M'$. Les quatre transformations du programme de 3e sont des isométries.
- les distances et les longueurs ;
- les angles ;
- les aires ;
- et donc aussi l'alignement, le parallélisme et les milieux.
Conséquence : deux figures isométriques sont superposables. Pour la translation, la rotation et la symétrie centrale, on superpose par simple déplacement ; pour la symétrie axiale, il faut retourner la figure (comme dans un miroir).
Les quatre transformations, définitions propres
- Symétrie axiale d'axe $(Ox)$ : $(x\,;\,y)\mapsto(x\,;\,-y)$ ; d'axe $(Oy)$ : $(x\,;\,y)\mapsto(-x\,;\,y)$.
- Symétrie axiale d'axe vertical $x=k$ : $x'=2k-x$ et $y'=y$.
- Symétrie centrale de centre $\Omega(a\,;\,b)$ : $x'=2a-x$ et $y'=2b-y$.
- Translation de vecteur $\vec u\binom{a}{b}$ : $x'=x+a$ et $y'=y+b$.
- Rotation : par un angle quelconque, on la construit à la règle et au compas ($OM=OM'$, angle $\alpha$) ; seul le cas $180°$ (la symétrie centrale) se calcule directement en coordonnées.
Un exemple par transformation
Image de $M(3\,;\,-2)$ : on garde l'abscisse, on change le signe de l'ordonnée.
$M(3\,;\,-2) \longrightarrow M'(3\,;\,2)$.
$O$ milieu de $[MM']$ donne $M'_x = 2\times 0 - 3 = -3$ et $M'_y = 2\times 0 - (-2) = 2$.
$M(3\,;\,-2) \longrightarrow M'(-3\,;\,2)$ : on change les deux signes.
On ajoute les composantes : $M'_x = 1+4 = 5$ et $M'_y = 5+(-1) = 4$.
$M(1\,;\,5) \longrightarrow M'(5\,;\,4)$.
On enfile les baskets et on s'échauffe ensemble. Trois exemples, et je rédige chaque ligne comme au tableau : tu regardes, tu copies le réflexe. On n'invente rien de nouveau, on soigne juste la méthode.
Exemple 1 : un axe qui n'est pas (Ox)
On cherche l'image de $M(5\,;\,1)$.
L'axe $x=2$ est une droite verticale. Pour un axe vertical $x=k$ : l'ordonnée ne bouge pas, et $x'=2k-x$.
Ici $k=2$, donc $x' = 2\times 2 - 5 = 4-5 = -1$.
Et $y' = 1$ (inchangé).
Donc $M(5\,;\,1) \longrightarrow M'(-1\,;\,1)$.
Contrôle : le milieu de $[MM']$ a pour abscisse $\frac{5+(-1)}{2}=2$ ; il est bien sur l'axe $x=2$. Parfait.
Le piège serait d'écrire $x'=-x=-5$ : ça, ce serait l'axe $(Oy)$, pas l'axe $x=2$.
Exemple 2 : un centre qui n'est pas l'origine
On cherche l'image de $A(4\,;\,-2)$.
$\Omega$ est le milieu de $[AA']$, d'où les formules $x'=2a-x$ et $y'=2b-y$ avec $\Omega(a\,;\,b)=(1\,;\,3)$.
$x' = 2\times 1 - 4 = 2-4 = -2$.
$y' = 2\times 3 - (-2) = 6+2 = 8$.
Donc $A(4\,;\,-2) \longrightarrow A'(-2\,;\,8)$.
Contrôle : le milieu de $[AA']$ est $\left(\frac{4+(-2)}{2}\,;\,\frac{-2+8}{2}\right)=(1\,;\,3)=\Omega$. C'est bon.
Le schéma ci-dessous illustre le « demi-tour » : $P$, $O$ et $P'$ sont alignés, et $O$ est au milieu.
Exemple 3 : la translation, dans les deux sens
On cherche l'image de $B(6\,;\,1)$.
On ajoute les composantes du vecteur : $x'=6+(-3)=3$ et $y'=1+2=3$.
Donc $B(6\,;\,1) \longrightarrow B'(3\,;\,3)$.
Si on te donne $B$ et son image $B'$ et qu'on demande le vecteur, tu soustrais : $\overrightarrow{BB'}\binom{x_{B'}-x_B}{y_{B'}-y_B}=\binom{3-6}{3-1}=\binom{-3}{2}$. On retrouve bien $\vec u$.
Niveau brevet, maintenant. On règle les subtilités, on voit exactement ce que le correcteur coche, on désamorce les pièges où tout le monde tombe, et on résout deux problèmes complets.
Ce que le correcteur attend, et les pièges à éviter
- Donner le nom de la transformation et ses éléments caractéristiques : l'axe (symétrie axiale), le centre (symétrie centrale), le vecteur (translation), le centre + l'angle + le sens (rotation). Une réponse sans l'élément ne rapporte pas tous les points.
- Points fixes : un point posé sur l'axe, ou confondu avec le centre, est sa propre image ($M'=M$). À signaler quand c'est utile.
- Orientation : translation, rotation et symétrie centrale conservent l'orientation ; la symétrie axiale la renverse. C'est souvent ça qui permet de trancher entre une symétrie axiale et les autres.
- Justifier avec les bonnes propriétés : égalité de longueurs, milieu d'un segment, vecteurs égaux.
- Symétrie axiale d'axe $x=k$ : c'est $x'=2k-x$, pas $x'=-x$ (les deux ne coïncident que si $k=0$).
- Symétrie centrale de centre $\Omega(a\,;\,b)$ : c'est $x'=2a-x$ et $y'=2b-y$. Le centre n'est pas forcément l'origine.
- Un point sur l'axe (symétrie axiale) ou confondu avec le centre (symétrie centrale) reste à sa place : $M'=M$.
- Ne pas confondre translation (tous les $\overrightarrow{MM'}$ sont égaux) et symétrie centrale (les $\overrightarrow{MM'}$ sont tous différents et passent par le centre).
- Pour une rotation, préciser le sens : horaire (indirect) ou anti-horaire (direct).
Problème type 1 : identifier la transformation
On observe : $A(2\,;\,1)\to A'(6\,;\,3)$ et $B(-1\,;\,4)\to B'(3\,;\,6)$. Quelle est la transformation ?
On calcule le vecteur pour chaque point : $\overrightarrow{AA'}\binom{6-2}{3-1}=\binom{4}{2}$.
Puis $\overrightarrow{BB'}\binom{3-(-1)}{6-4}=\binom{4}{2}$.
Les deux vecteurs sont égaux : même direction, même sens, même longueur.
Conclusion : c'est une translation de vecteur $\vec u\binom{4}{2}$.
Rédaction attendue : « translation de vecteur $\binom{4}{2}$ » — le nom et l'élément. Sur le schéma, les deux flèches sont parallèles et de même longueur : la signature d'une translation.
Problème type 2 : un carré, deux transformations
$ABCD$ est un carré de centre $O$ (voir figure).
Les diagonales d'un carré se coupent en leur milieu, donc $O$ est le milieu de $[AC]$.
Par définition, la symétrie de centre $O$ envoie donc $A$ sur $C$ (et au passage $B$ sur $D$).
$O$ est le centre du carré, donc $OA=OB$ (les sommets sont à égale distance du centre).
L'angle $\widehat{AOB}$ vaut $90°$ (un quart de tour).
C'est donc la rotation de centre $O$ et d'angle $90°$, dans le sens qui va de $A$ vers $B$.
Remarque : la symétrie de centre $O$ de la question a) est exactement une rotation de $180°$.
Tu tiens ton contrôle ? Alors on prend un peu de hauteur : ce que deviennent ces transformations quand on les enchaîne, la cousine qui change la taille, et un avant-goût de ce qui t'attend l'an prochain.
Enchaîner deux transformations
Faire une transformation, puis une autre sur le résultat, s'appelle une composition. Souvent, l'enchaînement se ramène à une transformation plus simple.
- Tu le sais déjà : une symétrie de centre $O$ n'est autre qu'une rotation de $180°$ autour de $O$.
- Deux symétries axiales d'axes parallèles composées donnent une translation ; d'axes sécants, une rotation de centre le point d'intersection.
C'est logique côté orientation : la symétrie axiale renverse l'image, donc « miroir + miroir » la renverse deux fois... et la remet à l'endroit.
L'homothétie : la cousine qui change la taille
Les quatre transformations vues gardent les longueurs (ce sont des isométries). L'homothétie, elle, agrandit ou réduit la figure.
- L'image $M'$ vérifie $\overrightarrow{OM'}=k\,\overrightarrow{OM}$ ; les longueurs sont multipliées par $|k|$.
- Si $k>1$ : on agrandit. Si $0<k<1$ : on réduit. Si $k<0$ : on change aussi de côté par rapport au centre.
- La figure image garde la même forme (elle est semblable), mais pas la même taille : ce n'est pas une isométrie.
Tu la travailles en détail dans la fiche « Homothéties » — même famille d'idées, une propriété en plus.
Un pas vers la 2de (et une petite justification)
Soit $M'$ et $N'$ les images de $M$ et $N$ par la symétrie de centre $O$. Alors $\overrightarrow{OM'}=-\overrightarrow{OM}$ et $\overrightarrow{ON'}=-\overrightarrow{ON}$.
Avec la relation de Chasles : $\overrightarrow{M'N'}=\overrightarrow{ON'}-\overrightarrow{OM'}=-\overrightarrow{ON}+\overrightarrow{OM}=-\big(\overrightarrow{ON}-\overrightarrow{OM}\big)=-\overrightarrow{MN}$.
Les vecteurs $\overrightarrow{MN}$ et $\overrightarrow{M'N'}$ sont opposés : même longueur, sens contraire. Donc $MN=M'N'$ — la distance est conservée, la figure fait juste un demi-tour.
En 2de, tout se repère avec des coordonnées et des vecteurs, et les transformations s'écrivent avec des formules $(x\,;\,y)\mapsto(\dots)$. Plus tard, rotations et symétries se décrivent avec des outils plus puissants (nombres complexes, matrices). Tu poses les fondations dès maintenant.