Transformations du plan — Synthèse

Translation, rotation, symétries axiale et centrale : quatre isométries qui conservent distances et angles.

1 L'idée

Une transformation du plan associe à tout point $M$ un unique point image $M'$. Les quatre transformations du programme de 3e sont des isométries : elles conservent les distances, les angles, les longueurs et les aires. Deux figures isométriques sont superposables (on peut l'une sur l'autre par déplacement ou retournement).

2 Les quatre transformations

Symétrie axiale (axe d)

$d \text{ est la médiatrice de } [MM'] \; (d \perp [MM'] \text{ et } d \text{ passe par son milieu})$

Symétrie centrale (centre O)

$O \text{ est le milieu de } [MM']$

Translation (vecteur } \vec{u}\text{)}

$\overrightarrow{MM'} = \vec{u}$

Rotation (centre O, angle α)

$OM = OM' \text{ et } \widehat{MOM'} = \alpha$

3 Exemples avec coordonnées

Symétrie axiale d'axe (Ox) — l'axe des abscisses

L'axe est horizontal ; on conserve l'abscisse et on change le signe de l'ordonnée.

$M(3\,;\,-2) \longrightarrow M'(3\,;\,2)$.

Symétrie centrale de centre O(0 ; 0)

O milieu de $[MM']$ : $M'_x = 2 \times 0 - 3 = -3$ et $M'_y = 2 \times 0 - (-2) = 2$.

$M(3\,;\,-2) \longrightarrow M'(-3\,;\,2)$ (on change les deux signes).

Translation de vecteur $\vec{u}\begin{pmatrix}4\\-1\end{pmatrix}$

On ajoute les composantes : $M'_x = 1+4 = 5$ et $M'_y = 5+(-1) = 4$.

$M(1\,;\,5) \longrightarrow M'(5\,;\,4)$.

Identifier la transformation — méthode

Repérer si la figure est retournée (orientation inversée) : c'est une symétrie axiale.
Si orientation conservée et un point fixe $O$ tel que $O$ milieu de $[MM']$ : symétrie centrale.
Si tous les vecteurs $\overrightarrow{MM'}$ sont égaux (même direction, sens, longueur) : translation.
Si toutes les distances au centre $O$ sont égales et la figure tourne d'un angle $\alpha$ : rotation.
Rappel : symétrie centrale = rotation de $180°$ autour du centre.

Erreurs fréquentes

$(a+b)^2 \neq a^2+b^2$ ne s'applique pas ici, mais attention : $\overrightarrow{MM'}=\vec{u}$ n'implique pas $M'=M+u$ composante par composante sans signe.
Pour la symétrie axiale d'axe $x = k$ : $M'_x = 2k - M_x$ (et non $M'_x = -M_x$).
Pour la symétrie centrale de centre $O(a\,;\,b)$ : $M'_x = 2a - M_x$ et $M'_y = 2b - M_y$ — le centre n'est pas forcément l'origine.
Un point situé sur l'axe (symétrie axiale) ou confondu avec le centre (symétrie centrale) est son propre image : $M' = M$.
Translation et rotation conservent l'orientation ; symétrie axiale la renverse (image « miroir »).