Fonctions linéaires et affines

Toute fonction affine est une droite — la pente et l'ordonnée à l'origine suffisent à tout construire.

1 L'idée

Une fonction affine est une fonction de la forme $f(x) = ax + b$, où $a$ et $b$ sont des réels donnés. Sa représentation graphique est une droite.

Le nombre $a$ est le coefficient directeur : il mesure la pente de la droite. Quand $x$ augmente de $1$, $f(x)$ augmente de $a$. Le nombre $b$ est l'ordonnée à l'origine : c'est la valeur $f(0)$, là où la droite coupe l'axe des ordonnées.

Cas particulier : si $b = 0$, on obtient $f(x) = ax$, appelée fonction linéaire. Sa droite passe obligatoirement par l'origine $O(0\,;\,0)$.

2 Définitions et propriétés

Fonction affine

$f(x) = ax + b \quad (a \text{ et } b \text{ réels})$

Fonction linéaire

$f(x) = ax \quad (b = 0 \text{, passe par } O)$

Coefficient directeur

$a = \dfrac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1} \quad (x_1 \neq x_2)$

Variations

$a \gt 0 \Rightarrow \text{croissante} \qquad a \lt 0 \Rightarrow \text{décroissante}$

3 Images, antécédents, expression algébrique

Exemple A — calculer une image

Soit $f(x) = 3x - 2$.

$f(4) = 3 \times 4 - 2 = 12 - 2 = 10$

$f(-1) = 3 \times (-1) - 2 = -3 - 2 = -5$

Exemple B — trouver un antécédent

Quel est l'antécédent de $7$ par $f(x) = 3x - 2$ ?

On résout $3x - 2 = 7 \Rightarrow 3x = 9 \Rightarrow x = 3$.

L'antécédent de $7$ est $3$.

Exemple C — trouver $a$ et $b$

Une fonction affine vérifie $f(1) = 5$ et $f(3) = 11$.

$a = \dfrac{11 - 5}{3 - 1} = \dfrac{6}{2} = 3$

$b = f(1) - a \times 1 = 5 - 3 = 2$, donc $f(x) = 3x + 2$.

Méthode — tracer la droite représentative

Calculer les coordonnées de deux points : prendre $x = 0$ (donne directement $b$) et une autre valeur entière commode.
Placer les deux points dans le repère.
Tracer la droite passant par ces deux points et lui donner un nom.
Pour une fonction linéaire $f(x) = ax$, l'un des deux points est toujours $O(0\,;\,0)$.

Erreurs fréquentes

Dans $f(x) = 2x + 3$, le coefficient directeur est $a = 2$ et l'ordonnée à l'origine est $b = 3$ : ne pas les inverser.
L'antécédent d'un nombre $k$ s'obtient en résolvant $f(x) = k$, pas en calculant $f(k)$.
La droite de $f(x) = ax + b$ ne passe par l'origine que si $b = 0$. Si $b \neq 0$, elle ne passe pas par $O$.