Fonctions linéaires et affines

Ce qu'il faut savoir avant de commencer

Pas de panique : une fonction affine, c'est juste une règle de calcul qui transforme un nombre en un autre. Avant le contrôle, assure-toi d'avoir sous la main quatre petites choses.

• Calculer avec les nombres relatifs (les négatifs) : $3 \times (-1) = -3$.
• Respecter les priorités opératoires : on multiplie avant d'additionner.
• Résoudre une équation simple du type $3x = 9$, donc $x = 3$.
• Lire un point dans un repère : d'abord son abscisse (horizontale), puis son ordonnée (verticale).

L'essentiel tient en une phrase : une fonction affine s'écrit $f(x) = ax + b$, et sa représentation graphique est toujours une droite. Le nombre $a$ donne l'inclinaison (la pente), le nombre $b$ dit à quelle hauteur la droite coupe l'axe vertical.

Le cas spécial à retenir : si $b = 0$, on a $f(x) = ax$, c'est une fonction linéaire, et sa droite passe pile par l'origine $O$.

Un exemple fait du début à la fin

On prend $f(x) = 3x - 2$. Ici $a = 3$ et $b = -2$. « Calculer l'image de $4$ » veut simplement dire : remplace $x$ par $4$ et calcule.

$f(4) = 3 \times 4 - 2$

$f(4) = 12 - 2$

$f(4) = 10$

Et voilà : l'image de $4$ par $f$ est $10$. Même recette avec un nombre négatif, attention aux signes :

$f(-1) = 3 \times (-1) - 2 = -3 - 2 = -5$

Retiens le geste le plus rentable de la leçon : si on te demande de « calculer $f(\text{un nombre})$ », tu remplaces $x$ par ce nombre et tu calcules, point.

Les définitions, au propre

Reprenons dans l'ordre, avec les mots exacts que le professeur attend.

Fonction affine. C'est une fonction de la forme $f(x) = ax + b$, où $a$ et $b$ sont deux nombres réels fixés. Sa représentation graphique est une droite.

Coefficient directeur. C'est le nombre $a$. Il mesure la pente : quand $x$ augmente de $1$, $f(x)$ augmente de $a$ (et si $a$ est négatif, $f(x)$ diminue).

Ordonnée à l'origine. C'est le nombre $b$, c'est-à-dire $f(0)$ : l'endroit où la droite coupe l'axe des ordonnées.

Fonction linéaire. C'est le cas particulier où $b = 0$ : $f(x) = ax$. Sa droite passe obligatoirement par l'origine $O(0\,;\,0)$. Toute fonction linéaire est donc affine, mais l'inverse est faux.

Coefficient directeur, variations, vocabulaire

Si tu connais deux points de la droite, $(x_1\,;\,f(x_1))$ et $(x_2\,;\,f(x_2))$ avec $x_1 \neq x_2$, le coefficient directeur se calcule par :

$a = \dfrac{f(x_2) - f(x_1)}{x_2 - x_1}$

Le signe de $a$ donne le sens de variation : si $a \gt 0$, la fonction est croissante (la droite monte) ; si $a \lt 0$, elle est décroissante (la droite descend).

Petit récap du vocabulaire, à ne pas confondre : l'image de $x$ est $f(x)$ — on part de $x$, on obtient $f(x)$ ; un antécédent de $k$ est un nombre $x$ tel que $f(x) = k$ — on part de $k$, on remonte à $x$.

Deux exemples déjà traités

Exemple A — une image. Soit $f(x) = 3x - 2$.

$f(4) = 3 \times 4 - 2 = 12 - 2 = 10$

$f(-1) = 3 \times (-1) - 2 = -3 - 2 = -5$

Exemple B — un antécédent. Quel est l'antécédent de $7$ par la même fonction $f(x) = 3x - 2$ ? On cherche le $x$ tel que $f(x) = 7$, donc on résout l'équation :

$3x - 2 = 7$

$3x = 7 + 2 = 9$

$x = \dfrac{9}{3} = 3$

L'antécédent de $7$ est $3$. On vérifie : $f(3) = 3 \times 3 - 2 = 7$. Parfait.

Ensemble : retrouver l'expression f(x) = ax + b

On te dit qu'une fonction affine vérifie $f(1) = 5$ et $f(3) = 11$, et on te demande son expression. On le fait ensemble, étape par étape.

Étape 1 — le coefficient directeur. On dispose de deux points : $(1\,;\,5)$ et $(3\,;\,11)$. On applique la formule du coefficient directeur.

$a = \dfrac{11 - 5}{3 - 1} = \dfrac{6}{2} = 3$

Étape 2 — l'ordonnée à l'origine. On sait maintenant que $f(x) = 3x + b$. On utilise un point connu, par exemple $f(1) = 5$, et on remplace :

$3 \times 1 + b = 5$

$3 + b = 5$

$b = 5 - 3 = 2$

Étape 3 — la conclusion. Donc $f(x) = 3x + 2$.

Étape 4 — on vérifie, toujours. $f(3) = 3 \times 3 + 2 = 9 + 2 = 11$. On retombe bien sur la valeur de départ : l'expression est correcte.

Ensemble : tracer la droite d'une fonction affine

On veut tracer la droite représentant $f(x) = 2x + 1$. Le principe : une droite est entièrement déterminée par deux points, il suffit d'en calculer deux, puis de les relier.

Étape 1 — premier point avec $x = 0$. C'est le plus rapide : $f(0) = 2 \times 0 + 1 = 1$. Premier point : $(0\,;\,1)$. Tu remarques que c'est exactement $b$.

Étape 2 — deuxième point avec une valeur commode. Prenons $x = 2$ : $f(2) = 2 \times 2 + 1 = 5$. Deuxième point : $(2\,;\,5)$.

Étape 3 — on place et on relie. On place $(0\,;\,1)$ et $(2\,;\,5)$ dans le repère, on trace la droite qui passe par ces deux points, et on lui donne un nom, par exemple $(d)$.

Astuce de vérification : reprends le coefficient directeur $a = 2$ comme un escalier. À partir d'un point de la droite, avance de $1$ vers la droite et monte de $2$ : tu dois retomber pile sur la droite.

Un problème concret entièrement résolu

Voici un grand classique du brevet, avec deux formules d'abonnement à comparer.

Une salle d'escalade propose deux formules. Formule A : $5$ € par séance, sans abonnement. Formule B : un abonnement de $12$ € puis $3$ € par séance. On note $x$ le nombre de séances.

1) Exprimer le prix de chaque formule.

Formule A : le prix est proportionnel au nombre de séances, c'est une fonction linéaire : $A(x) = 5x$.

Formule B : un montant fixe plus une part variable, c'est une fonction affine : $B(x) = 3x + 12$.

2) Calculer le prix pour $6$ séances.

$A(6) = 5 \times 6 = 30$ € et $B(6) = 3 \times 6 + 12 = 18 + 12 = 30$ €. Pour $6$ séances, les deux formules coûtent pareil : $30$ €.

3) À partir de combien de séances la formule B est-elle plus avantageuse ? On cherche les valeurs de $x$ pour lesquelles $B(x) \lt A(x)$, donc on résout l'inéquation :

$3x + 12 \lt 5x$

$12 \lt 5x - 3x$

$12 \lt 2x$

$6 \lt x$, c'est-à-dire $x \gt 6$.

Conclusion. Dès $7$ séances (le premier entier strictement supérieur à $6$), la formule B revient moins cher. À exactement $6$ séances, les deux se valent, ce qui correspond au point où les deux droites se croisent.

Ce que le correcteur attend et les pièges classiques

La rédaction qui rapporte les points. Le correcteur veut voir : la mise en équation (poser $A(x)$ et $B(x)$), les calculs intermédiaires écrits ligne par ligne, et une phrase de conclusion qui répond à la question posée, avec l'unité. Un bon résultat sans phrase de réponse perd des points.

Piège 1 — confondre image et antécédent. « L'antécédent de $k$ » se trouve en résolvant $f(x) = k$, jamais en calculant $f(k)$. Calculer $f(7)$ quand on te demande l'antécédent de $7$ est l'erreur la plus punie.

Piège 2 — inverser $a$ et $b$. Dans $f(x) = 2x + 3$, le coefficient directeur est $a = 2$ et l'ordonnée à l'origine est $b = 3$. On ne les échange pas.

Piège 3 — croire que toute droite passe par l'origine. La droite de $f(x) = ax + b$ ne passe par $O$ que si $b = 0$. Dès que $b \neq 0$, elle coupe l'axe des ordonnées ailleurs, exactement au point $(0\,;\,b)$.

Piège 4 — le sens d'une inéquation. Ici on n'a divisé que par $2 \gt 0$, donc le sens de l'inégalité ne change pas. Souviens-toi de la règle : diviser (ou multiplier) une inéquation par un nombre négatif inverse le sens de l'inégalité.

Pourquoi c'est toujours une droite (l'idée de la preuve)

On admet en 3e que la représentation d'une fonction affine est une droite, mais on peut comprendre pourquoi. L'idée : le coefficient directeur $a$ mesure de combien monte la courbe quand on avance de $1$. Pour une fonction affine, ce « pas » est toujours le même, quel que soit l'endroit où l'on se trouve.

Vérifie-le : entre $x$ et $x + 1$, l'augmentation vaut

$f(x+1) - f(x) = \big(a(x+1) + b\big) - \big(ax + b\big) = a$

Le résultat ne dépend pas de $x$ : l'accroissement est constant, égal à $a$. Or une courbe qui monte toujours de la même quantité à chaque pas, c'est exactement... une droite. C'est ça, la signature d'une fonction affine.

Les ponts vers d'autres notions

Fonction linéaire et proportionnalité. Une fonction linéaire $f(x) = ax$ est exactement une situation de proportionnalité : $a$ est le coefficient de proportionnalité, et le graphique est une droite passant par l'origine. Tu retrouves ici les tableaux de proportionnalité des années précédentes, vus sous un autre angle.

Deux droites qui se croisent, c'est un système. Dans le problème des deux formules, le point où les droites se coupent, $(6\,;\,30)$, est la solution commune de $A(x) = B(x)$. Résoudre deux équations en même temps s'appelle résoudre un système : c'est aussi au programme de 3e, et l'intersection de deux droites en est l'illustration graphique.

L'année prochaine, en seconde

En seconde, $f(x) = ax + b$ devient l'équation d'une droite $y = ax + b$ en géométrie : tu apprendras à retrouver $a$ et $b$ à partir de deux points avec exactement la formule d'aujourd'hui, et à reconnaître quand deux droites sont parallèles (même coefficient directeur $a$).

Tu croiseras aussi d'autres familles de fonctions qui, elles, ne sont pas des droites : la fonction carré $x \mapsto x^2$ (dont la courbe est une parabole) ou la fonction inverse $x \mapsto \dfrac{1}{x}$. La fonction affine restera le modèle le plus simple, celui auquel on compare tout le reste. Autant la tenir solidement dès maintenant.