Notion de fonction, image, antécédent

Une fonction associe à chaque nombre exactement un résultat — savoir lire et calculer images et antécédents.

1 L'idée

Une fonction $f$ est une règle qui associe à chaque nombre $x$ d'un ensemble de départ exactement un nombre, noté $f(x)$, dans un ensemble d'arrivée.

On note $f : x \mapsto \ldots$ (lire « $f$ associe à $x$… »). La valeur $f(x)$ s'obtient en remplaçant $x$ par le nombre choisi dans l'expression de $f$.

Exemple : pour $f : x \mapsto 2x + 3$, on calcule $f(4) = 2 \times 4 + 3 = 11$.

2 Vocabulaire et notation

Image

$f(a) = b \Rightarrow b \text{ est l'image de } a \text{ par } f$

Antécédent

$f(a) = b \Rightarrow a \text{ est un antécédent de } b \text{ par } f$

Notation

$f : x \mapsto 2x + 3$

3 Calcul d'image et recherche d'antécédent

Calcul d'une image

Soit $f : x \mapsto 2x + 3$. Calculer $f(4)$.

$f(4) = 2 \times 4 + 3 = 8 + 3 = 11$.

L'image de $4$ par $f$ est $11$.

Recherche d'un antécédent

Soit $f : x \mapsto 2x + 3$. Trouver l'antécédent de $9$.

On résout l'équation $f(x) = 9$, soit $2x + 3 = 9$.

$2x = 6$, donc $x = 3$.

$3$ est l'antécédent de $9$ par $f$.

Méthode — Lire image et antécédent sur un graphique

Un nombre peut avoir plusieurs antécédents (ou aucun), mais il possède toujours au plus une image par une fonction.

Image de $a$ : depuis $a$ sur l'axe des abscisses, monter verticalement jusqu'à la courbe, puis lire la valeur sur l'axe des ordonnées.
Antécédent de $b$ : depuis $b$ sur l'axe des ordonnées, aller horizontalement jusqu'à la courbe, puis lire la valeur sur l'axe des abscisses.

Erreurs fréquentes

Confondre image et antécédent : $f(3) = 7$ signifie que l'image de $3$ est $7$, et que $3$ est un antécédent de $7$ — pas l'inverse.
Remplacer $x$ de façon incomplète : pour $f(x) = 3x - 5$, on a $f(a+1) = 3(a+1) - 5$, pas $3a + 1 - 5$.
Sur le graphique, partir de l'axe des abscisses pour chercher un antécédent — il faut partir des ordonnées.
Croire qu'un nombre possède toujours au moins un antécédent : certaines valeurs peuvent n'en avoir aucun.