Contrôle bientôt et tu n'as jamais entendu parler de « fonction, image, antécédent » ? Respire. Une fonction, ce n'est qu'une machine à transformer les nombres, et en une page tu auras de quoi t'en sortir dignement.
Ce que tu dois déjà savoir faire
Trois réflexes suffisent pour aborder cette notion sans stress :
- Remplacer une lettre par un nombre dans une expression. Par exemple, dans $2x + 3$, si $x = 4$, on écrit $2 \times 4 + 3$.
- Respecter les priorités : la multiplication passe avant l'addition. Donc $2 \times 4 + 3 = 8 + 3 = 11$, et surtout pas $2 \times 7$.
- Résoudre une petite équation du type $2x + 3 = 9$ : on isole $x$ étape par étape.
Si ces trois gestes te parlent, la suite va bien se passer.
L'essentiel : une machine à nombres
Une fonction $f$, c'est une règle qui prend un nombre $x$ et lui associe un seul résultat, noté $f(x)$ (on lit « $f$ de $x$ »).
On la note $f : x \mapsto 2x + 3$, ce qui se lit « $f$ associe à $x$ le nombre $2x + 3$ ». Tu mets un nombre dans la machine, elle en ressort un autre.
Les deux mots à retenir, à partir de l'égalité $f(a) = b$ :
- $b$ est l'image de $a$ (le résultat qui sort de la machine) ;
- $a$ est un antécédent de $b$ (le nombre qu'on avait mis dedans).
Un exemple fait en entier
Prenons $f : x \mapsto 2x + 3$ et calculons l'image de $4$, c'est-à-dire $f(4)$.
On remplace $x$ par $4$ : $f(4) = 2 \times 4 + 3$.
On calcule d'abord la multiplication : $2 \times 4 = 8$, donc $f(4) = 8 + 3$.
On termine l'addition : $f(4) = 11$.
Conclusion : l'image de $4$ par $f$ est $11$. Autrement dit, $4$ est un antécédent de $11$. Tu tiens déjà l'essentiel du contrôle.
« Ah oui, la machine à nombres, ça me revient ! » Parfait. On reprend tout au propre : les bonnes définitions, les bons mots, et les deux gestes que le prof adore te demander.
Définition et notation
Une fonction $f$ associe à chaque nombre $x$ d'un ensemble de départ exactement un nombre, noté $f(x)$, dans un ensemble d'arrivée. Le mot important est exactement un : jamais deux résultats pour un même $x$.
On note $f : x \mapsto \ldots$ (lire « $f$ associe à $x$ … »). Pour obtenir $f(x)$, on remplace $x$ par le nombre choisi dans l'expression de $f$.
Par exemple, avec $f : x \mapsto 2x + 3$, la lettre $x$ n'est qu'une place à remplir : $f(4) = 2 \times 4 + 3 = 11$.
Image et antécédent : le vocabulaire exact
Tout part d'une seule égalité. Si $f(a) = b$, alors :
- $b$ est l'image de $a$ par $f$ ;
- $a$ est un antécédent de $b$ par $f$.
Attention à la dissymétrie, c'est le cœur de la notion :
- un nombre possède au plus une image (une seule sortie possible) ;
- un nombre peut avoir plusieurs antécédents, un seul, ou aucun.
Sur le schéma, la flèche va du départ vers l'arrivée : $a \mapsto b$, autrement dit $b = f(a)$.
Les deux gestes à connaître
Calculer une image : on remplace. Pour trouver $f(4)$ avec $f : x \mapsto 2x + 3$ :
$f(4) = 2 \times 4 + 3 = 8 + 3 = 11$. L'image de $4$ est $11$.
Chercher un antécédent : on résout une équation. Pour trouver l'antécédent de $9$, on cherche le $x$ tel que $f(x) = 9$ :
$2x + 3 = 9$, donc $2x = 6$, donc $x = 3$.
L'antécédent de $9$ est $3$. Retiens le réflexe : image, on calcule ; antécédent, on résout.
On passe à la pratique, mais ensemble : je rédige chaque ligne comme au tableau, tu suis le fil. Le but n'est pas de réciter, c'est que le geste devienne automatique.
S'échauffer : calculer trois images de suite
On garde $f : x \mapsto 2x + 3$ et on calcule $f(4)$, $f(0)$ puis $f(-2)$.
Image de 4. On remplace $x$ par $4$ : $f(4) = 2 \times 4 + 3$.
$= 8 + 3 = 11$. L'image de $4$ est $11$.
Image de 0. On remplace $x$ par $0$ : $f(0) = 2 \times 0 + 3$.
$= 0 + 3 = 3$. L'image de $0$ est $3$ (c'est le « $+3$ » qui reste tout seul).
Image de −2. On remplace $x$ par $-2$, en gardant bien le signe : $f(-2) = 2 \times (-2) + 3$.
$= -4 + 3 = -1$. L'image de $-2$ est $-1$. Les parenthèses autour de $-2$ t'évitent l'erreur de signe.
Chercher un antécédent, pas à pas
Toujours avec $f : x \mapsto 2x + 3$, cherchons l'antécédent de $9$, puis celui de $3$.
Antécédent de 9. On écrit l'équation $f(x) = 9$, c'est-à-dire $2x + 3 = 9$.
On enlève $3$ des deux côtés : $2x = 9 - 3$, donc $2x = 6$.
On divise par $2$ : $x = \dfrac{6}{2} = 3$. L'antécédent de $9$ est $3$.
Antécédent de 3. On résout $2x + 3 = 3$, donc $2x = 0$, donc $x = 0$.
L'antécédent de $3$ est $0$ — ce qui colle avec le $f(0) = 3$ trouvé juste avant. Les deux gestes se répondent.
Le piège du remplacement : f(a+1)
Changeons de fonction pour muscler le remplacement : $f : x \mapsto 3x - 5$. Que vaut $f(a+1)$ ?
La règle est de remplacer tout le $x$ par $(a+1)$, parenthèses comprises : $f(a+1) = 3 \times (a+1) - 5$.
On développe : $3 \times (a+1) = 3a + 3$, donc $f(a+1) = 3a + 3 - 5$.
On réduit : $f(a+1) = 3a - 2$.
À ne pas faire : écrire $3a + 1 - 5$ en oubliant de multiplier le $1$ par $3$. Le $3$ s'applique à tout ce qui est dans la parenthèse.
Niveau brevet. Ici on ne te demande pas que des calculs : lecture de graphiques, tableaux de valeurs, et le correcteur guette la petite phrase de conclusion. On blinde tout ça.
Lire une image et un antécédent sur un graphique
La règle de lecture ne change jamais :
- Image de $a$ : on part de $a$ sur l'axe des abscisses (horizontal), on monte verticalement jusqu'à la courbe, puis on lit l'ordonnée (axe vertical).
- Antécédent de $b$ : on part de $b$ sur l'axe des ordonnées (vertical), on se déplace horizontalement jusqu'à la courbe, puis on lit l'abscisse.
Exemple lu sur la courbe ci-contre. On cherche les antécédents de $3$. On part de $3$ sur l'axe vertical, on trace l'horizontale : elle coupe la courbe en deux points.
En redescendant sur l'axe horizontal, on lit $x = 1$ et $x = 5$.
Conclusion : $3$ possède deux antécédents, $1$ et $5$. C'est normal : un nombre peut avoir plusieurs antécédents, alors qu'il n'aurait jamais plus d'une image.
Lire dans un tableau de valeurs
Un tableau de valeurs donne des images déjà calculées. Voici celui de $f : x \mapsto 2x + 3$ :
| $x$ | $-2$ | $-1$ | $0$ | $1$ | $2$ | $3$ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $f(x)$ | $-1$ | $1$ | $3$ | $5$ | $7$ | $9$ |
Image de 2 ? On cherche $2$ sur la ligne du haut, on lit juste dessous : l'image de $2$ est $7$.
Antécédent de 9 ? On cherche $9$ sur la ligne du bas, on lit juste au-dessus : l'antécédent de $9$ est $3$.
Antécédent de 3 ? On repère $3$ en bas, on lit au-dessus : l'antécédent de $3$ est $0$. On lit le tableau dans un sens pour l'image, dans l'autre pour l'antécédent.
Ce que le correcteur attend et les pièges classiques
Rédaction gagnante. Après ton calcul, écris toujours la phrase qui répond : « l'image de $4$ est $11$ » ou « l'antécédent de $9$ est $3$ ». Un résultat posé tout seul, sans phrase, coûte des points.
Les pièges à éviter :
- Confondre image et antécédent. $f(3) = 7$ signifie que l'image de $3$ est $7$, et donc que $3$ est un antécédent de $7$ — pas l'inverse.
- Remplacer à moitié. Pour $f : x \mapsto 3x - 5$, on a $f(a+1) = 3(a+1) - 5$, et non $3a + 1 - 5$.
- Se tromper d'axe sur un graphique. Pour un antécédent, on part de l'axe des ordonnées, pas des abscisses.
- Croire qu'un antécédent existe toujours. Certaines valeurs n'ont aucun antécédent : il faut alors le dire clairement.
Contrôle en poche ? On regarde plus loin. La notion de fonction, c'est la colonne vertébrale des maths jusqu'au bac — voici où le fil te mène.
La suite immédiate : fonctions linéaires et affines
Ta fonction $f : x \mapsto 2x + 3$ appartient à une famille très étudiée en 3e : les fonctions affines, de la forme $f : x \mapsto ax + b$.
Quand $b = 0$, comme dans $f : x \mapsto 2x$, on parle de fonction linéaire : elle traduit une situation de proportionnalité.
Leur point commun : leur représentation graphique est une droite. Pour ces fonctions-là, chercher une image ou un antécédent redevient un simple calcul avec $ax + b$ — exactement le geste que tu viens de maîtriser.
Pourquoi « au plus une image » ? Le test de la droite verticale
La règle « à chaque $x$, un seul $f(x)$ » n'est pas un caprice : c'est la définition même d'une fonction. Une courbe représente une fonction seulement si chaque valeur de $x$ donne un unique point.
D'où une astuce visuelle, le test de la droite verticale : on trace une droite verticale et on compte combien de fois elle coupe la courbe.
- Elle coupe en un seul point partout $\Rightarrow$ c'est bien une fonction (un seul résultat par $x$).
- Elle coupe en deux points quelque part $\Rightarrow$ ce n'est pas une fonction (deux images pour un même $x$).
En revanche, une droite horizontale, elle, peut couper la courbe plusieurs fois : c'est justement pour ça qu'un nombre peut avoir plusieurs antécédents.
L'année prochaine et au-delà
En seconde, la notion s'élargit :
- on précise l'ensemble de définition : la liste des $x$ pour lesquels $f(x)$ existe (certains nombres seront exclus) ;
- on rencontre d'autres fonctions de référence, comme la fonction carré $x \mapsto x^2$ (où $9$ a deux antécédents : $3$ et $-3$) ou la fonction inverse $x \mapsto \dfrac{1}{x}$ ;
- on étudie le sens de variation (quand $f$ monte, quand elle descend) et on apprend à résoudre $f(x) = k$ directement sur le graphique.
Tout cela repose sur les mots que tu connais désormais : image, antécédent, courbe. Tu tiens la base ; le reste n'est que de nouveaux étages posés sur ces fondations.