Tu n'as jamais mis les pieds dans ce chapitre et le contrôle approche ? Pas de panique. On va partir des deux seuls prérequis dont on a besoin — les graduations et le repérage de points dans un repère — pour construire l'essentiel en accéléré. L'objectif : que tu saches lire une courbe et répondre aux questions de base d'ici vingt minutes. On y va ensemble, tout est à trous, tu ne peux pas te tromper.
Prérequis — Se repérer dans un plan gradué
Un repère du plan, c'est deux axes gradués qui se croisent. L'axe horizontal s'appelle l'axe des abscisses, l'axe vertical l'axe des ordonnées. Chaque point du plan est repéré par deux nombres qu'on écrit entre parenthèses, séparés par un point-virgule : (abscisse ; ordonnée). L'abscisse se lit sur l'axe horizontal, l'ordonnée sur l'axe vertical. Exemple : le point $A(3 ; 2)$ a pour abscisse $3$ et pour ordonnée $2$, ce qui signifie qu'on se décale de $3$ unités vers la droite puis de $2$ unités vers le haut depuis l'origine.
L'essentiel — Courbe représentative, image, antécédent
Une fonction $f$ transforme un nombre $x$ en un autre nombre $f(x)$, qu'on appelle l'image de $x$ par $f$. La courbe représentative $\mathcal{C}_f$ regroupe tous les points de coordonnées $(x ; f(x))$. Autrement dit, sur la courbe, l'ordonnée d'un point est TOUJOURS l'image de son abscisse.
Pour lire l'image d'un nombre $a$ : on repère la valeur $a$ sur l'axe des abscisses, on monte (ou descend) verticalement jusqu'à toucher la courbe, et on lit l'ordonnée correspondante sur l'axe vertical. Cette ordonnée est $f(a)$.
Pour lire le ou les antécédents d'un nombre $b$ : on trace (ou imagine) une droite horizontale à la hauteur $y = b$. Toutes les intersections de cette droite avec la courbe donnent des points ; leurs abscisses sont les antécédents de $b$. Un nombre peut avoir zéro, un ou plusieurs antécédents.
Vocabulaire éclair — f(x) = 0, signe, résolution graphique
Zéros de f : ce sont les antécédents de $0$, c'est-à-dire les abscisses des points où la courbe traverse (ou touche) l'axe des abscisses. Résoudre graphiquement $f(x) = 0$, c'est donc lire ces abscisses.
f(x) positif / négatif (le signe) : si la courbe est au-dessus de l'axe des abscisses, les images sont positives. Si elle est en dessous, les images sont négatives.
Résoudre f(x) = k graphiquement : on trace la droite horizontale $y = k$, on lit les abscisses des intersections avec la courbe.
Résoudre f(x) > k graphiquement : on regarde sur quel(s) intervalle(s) de l'axe des abscisses la courbe est au-dessus de la droite $y = k$. On donne la réponse sous forme d'intervalles. Même logique pour $f(x) < k$ avec la courbe en dessous.
À toi de jouer
a) Le point $A$ a pour coordonnées ($-4$ ; $\underline{\hspace{1.1em}}$). Son abscisse est $-4$, son ordonnée est $\underline{\hspace{1.1em}}$. On en déduit que l'image de $-4$ par $f$ est $\underline{\hspace{1.1em}}$. Autrement dit, $f(\underline{\hspace{1.1em}}) = \underline{\hspace{1.1em}}$.
b) $C(\underline{\hspace{1.1em}} ; 1) \in \mathcal{C}_f$, donc $f(1) = \underline{\hspace{1.1em}}$.
c) $D$ est sur la courbe et a pour ordonnée $0$, donc $f(3) = \underline{\hspace{1.1em}}$. Cela signifie que $3$ est un $\underline{\hspace{1.1em}}$ de $0$ par $f$ (autrement dit, $3$ est un zéro de $f$).
Corrigé
b) $C(\mathbf{1} ; 1) \in \mathcal{C}_f$, donc $f(1) = \mathbf{1}$.
c) $D$ est sur la courbe et a pour ordonnée $0$, donc $f(3) = \mathbf{0}$. Cela signifie que $3$ est un $\mathbf{antécédent}$ de $0$ par $f$ (autrement dit, $3$ est un zéro de $f$).
a) Sur l'axe des abscisses, on repère $x = 2$. On monte jusqu'à la courbe : le point de la courbe d'abscisse $2$ a pour ordonnée $\underline{\hspace{1.1em}}$. Donc $g(2) = \underline{\hspace{1.1em}}$. L'image de $2$ est $\underline{\hspace{1.1em}}$.
b) $g(-1) = \underline{\hspace{1.1em}}$ (lis l'ordonnée du point d'abscisse $-1$).
c) On veut les antécédents de $3$. On trace mentalement la droite horizontale $y = 3$. Elle coupe la courbe en deux points, dont les abscisses sont $\underline{\hspace{1.1em}}$ et $\underline{\hspace{1.1em}}$. Donc les antécédents de $3$ sont $\underline{\hspace{1.1em}}$ et $\underline{\hspace{1.1em}}$.
d) La courbe coupe l'axe des abscisses en $x = 0$ et en $x = \underline{\hspace{1.1em}}$, donc les zéros de $g$ sont $\underline{\hspace{1.1em}}$ et $\underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
b) $g(-1) = \mathbf{4}$ (environ).
c) La droite $y = 3$ coupe la courbe en $x \approx \mathbf{-0,5}$ et $x \approx \mathbf{3,2}$ (les valeurs exactes dépendent de la courbe tracée ; ici on observe les intersections). Les antécédents de $3$ sont donc environ $\mathbf{-0,5}$ et $\mathbf{3,2}$.
d) La courbe coupe l'axe en $x = 0$ et $x = \mathbf{4}$, donc les zéros de $g$ sont $\mathbf{0}$ et $\mathbf{4}$.
a) Résolvons graphiquement $h(x) = 0$. Les solutions sont les abscisses où $\mathcal{C}_h$ touche l'axe des abscisses : d'après l'énoncé, ce sont $\underline{\hspace{1.1em}}$ et $\underline{\hspace{1.1em}}$.
b) Pour $h(x) < 0$, on cherche où la courbe est $\underline{\hspace{1.1em}}$ de l'axe des abscisses. On voit que $h(0) = -2 < 0$ donc $0$ est dans la zone négative. $\mathcal{C}_h$ est sous l'axe entre les deux zéros, soit sur l'intervalle $\underline{\hspace{1.1em}}$ (attention aux crochets : les zéros exclus car $h(x) < 0$ strictement).
c) Résolvons $h(x) = 4$. On cherche les points de $\mathcal{C}_h$ d'ordonnée $4$. L'énoncé en donne un : $M(\underline{\hspace{1.1em}} ; 4)$. Existe-t-il un autre point ? On n'en a pas dans la liste, donc la seule solution lisible est $x = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
b) On cherche où la courbe est $\mathbf{en\ dessous}$ de l'axe. La zone négative est entre les zéros, donc sur l'intervalle $\mathbf{]-2 ; 5[}$ (crochets ouverts car strictement négatif).
c) Résolvons $h(x) = 4$. Le point $M$ a pour coordonnées $(-3 ; 4)$, donc une solution est $x = \mathbf{-3}$. D'après les points donnés, pas d'autre point d'ordonnée $4$, donc la seule solution lisible est $x = \mathbf{-3}$.
Ah, tu as déjà entendu parler de courbe représentative, d'image, d'antécédent ? Parfait, ça va revenir très vite. Ici on remet tout en ordre avec le cours structuré et une méthode en deux étapes pour ne plus jamais confondre image et antécédent. On lit la courbe ensemble, puis tu appliques la méthode sur des exercices guidés. À la fin, tu sauras lire n'importe quelle information graphique.
Cours — La courbe, mode d'emploi
La courbe représentative $\mathcal{C}_f$ d'une fonction $f$ est l'ensemble de tous les points de coordonnées $(x ; f(x))$ pour les valeurs de $x$ où $f$ est définie. Dit plus simplement : pour chaque $x$ qu'on met dans la machine $f$, on obtient un résultat $f(x)$, et on place le point $(x ; f(x))$ dans le repère. Reliés, ces points forment la courbe.
Propriété fondamentale : Un point $M(a ; b)$ appartient à la courbe $\mathcal{C}_f$ si et seulement si $f(a) = b$. L'ordonnée est TOUJOURS l'image de l'abscisse.
Vocabulaire clé :
- Image de $a$ = $f(a)$ = ordonnée du point d'abscisse $a$ sur $\mathcal{C}_f$.
- Antécédent(s) de $b$ = les valeurs de $x$ telles que $f(x) = b$ = les abscisses des points de $\mathcal{C}_f$ ayant pour ordonnée $b$.
- Zéros de $f$ = les antécédents de $0$ = les abscisses des points où $\mathcal{C}_f$ coupe ou touche l'axe des abscisses.
Méthode en 2 étapes — Lire image et antécédent SANS se tromper
Étape 1 — Lire une image $f(a)$ : repérer la valeur $a$ sur l'axe horizontal. Suivre la verticale (vers le haut ou le bas) jusqu'à rencontrer la courbe. Lire l'ordonnée sur l'axe vertical. C'est $f(a)$. Ce qu'on lit à la fin, c'est toujours sur l'axe vertical.
Étape 2 — Lire un ou des antécédents de $b$ : repérer $b$ sur l'axe vertical. Tracer mentalement une droite horizontale à cette hauteur. Repérer tous les points où cette droite coupe la courbe. Lire leurs abscisses sur l'axe horizontal. Ce sont les antécédents de $b$. Il peut y en avoir aucun, un seul, ou plusieurs. Ce qu'on lit à la fin, c'est toujours sur l'axe horizontal.
Pour résoudre $f(x) = k$ : c'est la même chose que chercher les antécédents de $k$ : droite horizontale $y = k$ → abscisses des intersections.
Pour résoudre $f(x) > k$ (ou $<$, $\ge$, $\le$) : on repère la droite horizontale $y = k$, on regarde les intervalles de $x$ où la courbe est au-dessus de cette droite (pour $>$) ou en dessous (pour $<$), et on écrit ces intervalles.
À toi de jouer
a) Image de $3$ : sur l'axe horizontal, $x = 3$. On monte verticalement, on touche la courbe en un point. On lit son ordonnée sur l'axe vertical : environ $\underline{\hspace{1.1em}}$. Donc $f(3) = \underline{\hspace{1.1em}}$.
b) Image de $-2$ : $x = -2$, verticale, intersection avec $\mathcal{C}_f$, ordonnée ≈ $\underline{\hspace{1.1em}}$. Donc $f(-2) = \underline{\hspace{1.1em}}$.
c) Antécédents de $1$ : droite horizontale $y = 1$. Elle coupe $\mathcal{C}_f$ en trois points. Leurs abscisses (lues sur l'axe horizontal) sont environ $\underline{\hspace{1.1em}}$, $\underline{\hspace{1.1em}}$ et $\underline{\hspace{1.1em}}$.
d) $f(x) = -1$ : droite horizontale $y = -1$. Elle coupe la courbe en deux points d'abscisses $\underline{\hspace{1.1em}}$ et $\underline{\hspace{1.1em}}$. Ce sont les solutions.
Corrigé
b) Ordonnée lue ≈ $\mathbf{0,5}$. Donc $f(-2) \approx \mathbf{0,5}$.
c) Les abscisses lues sont environ $\mathbf{-3,8}$, $\mathbf{0}$ et $\mathbf{3,8}$.
d) Les abscisses sont environ $\mathbf{-0,8}$ et $\mathbf{2,4}$.
a) $g(0) = \underline{\hspace{1.1em}}$.
b) Les antécédents de $2$ par $g$ sont $\underline{\hspace{1.1em}}$, $\underline{\hspace{1.1em}}$ et $\underline{\hspace{1.1em}}$.
c) Les zéros de $g$ sont $\underline{\hspace{1.1em}}$ et $\underline{\hspace{1.1em}}$.
d) Pour résoudre $g(x) > 0$, on cherche où la courbe est au-dessus de l'axe des abscisses. Avec les zéros en $-3$ et $4$, et sachant que $g(0) = -4 < 0$, la courbe est sous l'axe entre les zéros. Elle est donc au-dessus de l'axe sur les intervalles $\underline{\hspace{1.1em}}$ et $\underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
b) Les antécédents de $2$ sont $\mathbf{-1}$, $\mathbf{2}$ et $\mathbf{5}$.
c) Les zéros sont $\mathbf{-3}$ et $\mathbf{4}$.
d) La courbe est au-dessus de l'axe sur $\mathbf{[-5 ; -3[}$ et $\mathbf{]4 ; 5]}$ (attention : aux zéros, $g(x)=0$ donc ils ne sont pas dans les intervalles pour $>0$ strict ; on peut aussi écrire $[-5 ; -3[ \cup ]4 ; 5]$).
$x$ : $-3$ ; $-1$ ; $0$ ; $2$ ; $4$
$h(x)$ : $5$ ; $2$ ; $1$ ; $-2$ ; $0$
a) Place les cinq points correspondants dans le repère ci-dessous (à main levée), puis relie-les par une courbe régulière.
b) Graphiquement, détermine $h(2)$ : $\underline{\hspace{1.1em}}$.
c) Détermine le ou les antécédents de $2$ par $h$ : $\underline{\hspace{1.1em}}$.
d) Résous $h(x) = 0$ : $\underline{\hspace{1.1em}}$.
e) Sur quel intervalle a-t-on $h(x) < 0$ ? (Observe ta courbe.) $\underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
a) Les cinq points à placer sont : $(-3 ; 5)$, $(-1 ; 2)$, $(0 ; 1)$, $(2 ; -2)$ et $(4 ; 0)$. Tu les relies par une courbe régulière, globalement décroissante.
b) On lit directement dans le tableau : $h(2) = \mathbf{-2}$.
c) Chercher l'antécédent de $2$ revient à chercher $x$ tel que $h(x) = 2$. Le tableau donne $h(-1) = 2$, donc l'antécédent est $\mathbf{-1}$.
d) $h(x) = 0$ : le tableau indique $h(4) = 0$, d) Deux solutions : x ≈ 1 (entre 0 et 2) et x = 4..
e) On cherche les $x$ pour lesquels la courbe est strictement en dessous de l'axe des abscisses.
Le tableau donne $h(0) = 1 > 0$ et $h(2) = -2 < 0$ : la courbe coupe donc l'axe des abscisses en un point $a$ compris entre $0$ et $2$ (à lire sur ta courbe, environ $a \approx 1$).
Par ailleurs, $h(4) = 0$ : la courbe revient sur l'axe en $x = 4$. Comme l'inégalité est stricte, $x = 4$ est exclu.
Donc $h(x) < 0$ sur l'intervalle $\mathbf{]a\, ;\, 4[}$, où $a$ est le zéro de la courbe entre $0$ et $2$.
Erreur à éviter : écrire $]2 ; 4[$ serait faux, car $h(2) = -2 < 0$ : le point $x = 2$ vérifie bien $h(x) < 0$ et appartient donc à l'intervalle solution.
Cinq exercices, une seule consigne : lire graphiquement des images et des antécédents. Tout se ressemble, tout se répète. Le but est simple : ancrer le geste pour que ça devienne automatique. Après ça, tu ne te poseras même plus la question, tes yeux iront tout seuls de l'abscisse à la courbe, puis à l'ordonnée, et inversement.
À toi de jouer
a) L'image de $0$ par $f$ est $\underline{\hspace{1.1em}}$.
b) L'image de $3$ par $f$ est $\underline{\hspace{1.1em}}$.
c) Le ou les antécédents de $0$ par $f$ : $\underline{\hspace{1.1em}}$.
d) Le ou les antécédents de $4$ par $f$ : $\underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
b) $x=3$, on monte jusqu'à la courbe, ordonnée $\mathbf{4,5}$.
c) Les zéros de $f$ (antécédents de $0$) : la courbe coupe l'axe des abscisses en $x \approx \mathbf{1}$ et $x \approx \mathbf{4,5}$.
d) Antécédents de $4$ : droite $y=4$, intersections en $x \approx \mathbf{2}$ et $x \approx \mathbf{5}$.
a) L'image de $-1$ par $g$ est $\underline{\hspace{1.1em}}$.
b) L'image de $2$ par $g$ est $\underline{\hspace{1.1em}}$.
c) Le ou les antécédents de $2$ par $g$ : $\underline{\hspace{1.1em}}$.
d) Le ou les antécédents de $-2$ par $g$ : $\underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
b) $g(2) \approx \mathbf{2,5}$.
c) Antécédents de $2$ : droite $y=2$ coupe la courbe en $x \approx \mathbf{0,5}$ et $x \approx \mathbf{3}$.
d) Antécédents de $-2$ : droite $y=-2$ ne coupe pas la courbe visiblement, donc $\mathbf{aucun}$.
a) L'image de $-3$ par $h$ est $\underline{\hspace{1.1em}}$.
b) L'image de $4$ par $h$ est $\underline{\hspace{1.1em}}$.
c) Le ou les antécédents de $1$ par $h$ : $\underline{\hspace{1.1em}}$.
d) Le ou les antécédents de $5$ par $h$ : $\underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
b) $h(4) \approx \mathbf{3}$.
c) Antécédents de $1$ : droite $y=1$ coupe la courbe en $x \approx \mathbf{-0,5}$ et $x \approx \mathbf{3,8}$.
d) Antécédents de $5$ : droite $y=5$ coupe la courbe en $x \approx \mathbf{1,5}$ (un seul point).
a) L'image de $2$ par $k$ est $\underline{\hspace{1.1em}}$.
b) L'image de $-2$ par $k$ est $\underline{\hspace{1.1em}}$.
c) Le ou les antécédents de $-1$ par $k$ : $\underline{\hspace{1.1em}}$.
d) Le ou les antécédents de $3$ par $k$ : $\underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
a) L'image de $1$ par $m$ est $\underline{\hspace{1.1em}}$.
b) L'image de $5$ par $m$ est $\underline{\hspace{1.1em}}$.
c) Le ou les antécédents de $4$ par $m$ : $\underline{\hspace{1.1em}}$.
d) Le ou les antécédents de $0$ par $m$ : $\underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
Tu maîtrises le B.A.-BA, bravo. Maintenant on passe au niveau attendu en contrôle de troisième : courbe, tableau de valeurs, inéquations graphiques, et un petit problème concret pour montrer que tu sais interpréter. Cette fois, c'est toi qui lis tout sans filet. Respire un bon coup, c'est à ta portée.
Rappel éclair — f(x) = k, f(x) > k, f(x) < k
Pour résoudre graphiquement une équation $f(x) = k$, on cherche les abscisses des points d'intersection de $\mathcal{C}_f$ avec la droite horizontale $y = k$.
Pour une inéquation $f(x) > k$, on regarde sur quels intervalles de l'axe des abscisses la courbe est strictement au-dessus de la droite $y = k$ ; on donne la réponse sous forme d'intervalles (crochets ouverts si l'inégalité est stricte).
Pour $f(x) \ge k$, on inclut les bornes où $f(x) = k$ (crochets fermés).
À toi de jouer
a) Détermine graphiquement l'image de $-4$ et l'image de $2$ par $f$.
b) Quels sont les antécédents de $3$ par $f$ ?
c) Résous graphiquement $f(x) = 0$.
d) Résous graphiquement $f(x) > 0$ (tu donneras les intervalles solutions).
Corrigé
b) Antécédents de $3$ : droite $y=3$ coupe la courbe en $x \approx \mathbf{-3,5}$, $x \approx \mathbf{0,2}$ et $x \approx \mathbf{4,5}$.
c) $f(x)=0$ : intersections avec l'axe des abscisses en $x \approx \mathbf{-2,8}$, $x \approx \mathbf{2,8}$ et $x \approx \mathbf{5,5}$.
d) $f(x) > 0$ : la courbe est au-dessus de l'axe sur $\mathbf{]-2,8 ; 2,8[ \cup ]5,5 ; 6]}$ (ajuster selon lecture précise).
a) Complète le tableau de valeurs (arrondis au dixième si besoin) :
$x$ : $-3$ ; $-2$ ; $-1$ ; $0$ ; $1$ ; $2$ ; $3$
$g(x)$ : $\underline{\hspace{1.1em}}$ ; $\underline{\hspace{1.1em}}$ ; $\underline{\hspace{1.1em}}$ ; $\underline{\hspace{1.1em}}$ ; $\underline{\hspace{1.1em}}$ ; $\underline{\hspace{1.1em}}$ ; $\underline{\hspace{1.1em}}$
b) Trace la courbe $\mathcal{C}_g$ dans un repère (unité : 1 cm).
c) Lis graphiquement les solutions de $g(x) = 0$.
d) Résous graphiquement $g(x) < 0$.
Corrigé
a) On calcule chaque valeur :
$g(-3) = (-3)^3 - 3 \times (-3) = -27 + 9 = \mathbf{-18}$
$g(-2) = (-2)^3 - 3 \times (-2) = -8 + 6 = \mathbf{-2}$
$g(-1) = (-1)^3 - 3 \times (-1) = -1 + 3 = \mathbf{2}$
$g(0) = 0$
$g(1) = 1 - 3 = \mathbf{-2}$
$g(2) = 8 - 6 = \mathbf{2}$
$g(3) = 27 - 9 = \mathbf{18}$
b) Tu places les sept points dans un repère (1 cm par unité) et tu les relies en une courbe régulière en forme de « S » (cubique).
c) La courbe coupe l'axe des abscisses là où $g(x) = 0$, c'est-à-dire aux points d'abscisse $x = 0$, $x \approx -1{,}7$ et $x \approx 1{,}7$.
On peut le vérifier : $x^3 - 3x = x(x^2 - 3) = 0$ donne $x = 0$, $x = -\sqrt{3} \approx -1{,}73$ ou $x = \sqrt{3} \approx 1{,}73$.
d) $g(x) < 0$ là où la courbe est en dessous de l'axe des abscisses. D'après le tableau de valeurs : $g(-3) = -18 < 0$, $g(-2) = -2 < 0$, $g(-1) = 2 > 0$, $g(1) = -2 < 0$, $g(2) = 2 > 0$.
La courbe est donc sous l'axe sur deux intervalles :
$[-3\,;\,-\sqrt{3}[\; \cup\; ]0\,;\,\sqrt{3}[$
(soit, graphiquement : $[-3\,;\,-1{,}7[\; \cup\; ]0\,;\,1{,}7[$)
Attention à ne pas confondre avec les intervalles où $g(x) > 0$ (courbe au-dessus de l'axe), qui sont $]-\sqrt{3}\,;\,0[\; \cup\; ]\sqrt{3}\,;\,3]$.
a) Détermine $h(-4)$ et $h(8)$.
b) Résous graphiquement $h(x) = 2$.
c) Résous graphiquement $h(x) \ge 2$ (écris les intervalles).
d) On sait que $h(x) = x^2 - 2x - 7$ sur $[-6 ; 8]$ (c'est la formule, mais on ne te demande que la lecture graphique ici). Vérifie par le calcul si les points $A$ et $B$ sont sur $\mathcal{C}_h$.
Corrigé
b) $h(x) = 2$ : les solutions sont les abscisses des intersections avec $y=2$, soit $\mathbf{-2}$, $\mathbf{3}$ et $\mathbf{7}$.
c) $h(x) \ge 2$ : courbe au-dessus de $y=2$ sur $\mathbf{[-6 ; -2] \cup [3 ; 7]}$.
d) Vérification : pour $A(-4 ; 5)$, $h(-4) = (-4)^2 -2(-4) -7 = 16 + 8 - 7 = 17$ et non 5. Il y a donc une incohérence : l'énoncé donne une courbe qui ne correspond pas à la formule $x^2 - 2x - 7$. Si on vérifie $B(0 ; -3)$, $h(0) = -7$ et non $-3$. Les points $A$ et $B$ ne sont pas sur la courbe de $x \mapsto x^2 - 2x - 7$. L'élève doit donc identifier que les points donnés ne correspondent pas à cette formule, ce qui peut être une erreur dans l'énoncé ou une occasion de distinguer représentation graphique et expression algébrique. On attend ici simplement qu'il fasse le calcul et constate la non-correspondance (ou qu'il ajuste selon la courbe réelle).
a) Quelle température faisait-il à 8 h ? Et à midi (12 h) ? (Lis graphiquement.)
b) À quelle(s) heure(s) la température a-t-elle atteint 22 °C ?
c) Sur quel intervalle de temps la température a-t-elle dépassé 22 °C ?
d) Quel est le maximum de température atteint ? À quelle heure ?
Corrigé
b) $T(t) = 22$ pour $t = \mathbf{13}$ h et $t = \mathbf{19}$ h (donc à 13 h et 19 h).
c) Température > 22 °C entre 13 h et 19 h, soit sur $\mathbf{]13 ; 19[}$ (soit 6 heures consécutives).
d) Maximum 28 °C atteint à 16 h.
Tu tiens la corde de la lecture graphique ? Alors on va voir un peu plus loin. Au lycée, on te demandera non seulement de lire une courbe, mais aussi de la construire à partir d'un tableau de variations ou d'en décrire les caractéristiques (croissance, extremums). On va aussi aborder la notion de courbe paramétrée ou d'aires sous la courbe en aperçu. Le but n'est pas de tout maîtriser, mais d'avoir une longueur d'avance.
Au-delà — De la lecture à l'interprétation
En seconde, on te parlera de variations d'une fonction (croissante, décroissante) et de tableau de variations. La courbe permet de visualiser ces variations : quand la courbe monte, la fonction est croissante ; quand elle descend, elle est décroissante.
On aborde aussi les notions de maximum et minimum (locaux ou globaux) : ce sont les points les plus hauts ou les plus bas de la courbe sur un intervalle.
Plus tard, on utilisera la courbe pour résoudre des équations plus complexes ($f(x) = g(x)$ en cherchant les intersections de deux courbes) et même pour estimer des aires (intégrales). Mais chaque chose en son temps.
À toi de jouer
a) Décris les variations de $f$ : sur quel(s) intervalle(s) $f$ est-elle croissante ? Décroissante ?
b) Donne le maximum et le minimum de $f$ sur $[-4 ; 5]$ (valeurs approchées).
c) Résous graphiquement $f(x) = g(x)$ où $g$ est une autre fonction dont on sait que sa courbe passe par $( -3 ; 0)$ et $(4 ; 2)$. On te donne le tracé de $\mathcal{C}_g$ ci-dessous. Lis les abscisses des intersections des deux courbes.
Corrigé
b) Maximum ≈ 4 (atteint en $x=-1$), minimum ≈ 0,5 (atteint en $x=3$).
c) Les courbes se croisent en deux points visibles : $x \approx \mathbf{-2,5}$ et $x \approx \mathbf{4,2}$.
a) Estime cette aire en comptant les carreaux (chaque carreau = 1 unité d'aire).
b) Si $h(x) = x^2$, que vaudrait l'aire exacte ? (Tu peux chercher sur internet le lien avec les intégrales, mais le but ici est juste de manipuler la courbe.)
Corrigé
b) Pour $h(x) = x^2$, l'aire sous la courbe entre $x=0$ et $x=4$ vaut $\int_0^4 x^2 dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_0^4 = \frac{64}{3} \approx 21,33$ unités d'aire. (Ceci est une anticipation du calcul intégral.)
$x$ : -4 ; -1 ; 2 ; 5
$f(x)$ : 3 (décroît) -2 (croît) 4 (décroît) 0
a) Trace une allure possible de la courbe de $f$ respectant ces variations.
b) Combien de solutions peut avoir l'équation $f(x) = 1$ ? Justifie à l'aide de ta courbe.
c) Donne un encadrement de la (ou des) solution(s) de $f(x) = 1$.
Corrigé
a) On trace une courbe passant par $(-4\,;\,3)$, descendant jusqu'à $(-1\,;\,-2)$, remontant jusqu'à $(2\,;\,4)$ puis redescendant jusqu'à $(5\,;\,0)$. On relie ces points de façon continue et régulière en respectant le sens de variation sur chaque intervalle.
b) L'équation $f(x)=1$ admet exactement 3 solutions.
— Sur $[-4\,;\,-1]$ : $f$ est décroissante de $3$ à $-2$. Comme $-2 < 1 < 3$, la courbe coupe la droite $y=1$ exactement une fois sur cet intervalle.
— Sur $[-1\,;\,2]$ : $f$ est croissante de $-2$ à $4$. Comme $-2 < 1 < 4$, la courbe coupe la droite $y=1$ exactement une fois sur cet intervalle.
— Sur $[2\,;\,5]$ : $f$ est décroissante de $4$ à $0$. Comme $0 < 1 < 4$, la courbe coupe la droite $y=1$ exactement une fois sur cet intervalle.
Sur chaque intervalle de monotonie, $f$ prend la valeur $1$ une fois et une seule car $1$ est strictement encadrée par les valeurs aux extrémités. Il y a donc exactement 3 solutions, sans aucun « si ».
c) D'après ta courbe (les valeurs ci-dessous dépendent de ton dessin) :
— $x_1 \in [-3\,;\,-2{,}5]$ (solution dans $[-4\,;\,-1]$) ;
— $x_2 \in [0\,;\,0{,}5]$ (solution dans $[-1\,;\,2]$) ;
— $x_3 \in [4{,}5\,;\,5]$ (solution dans $[2\,;\,5]$).