V VIDYALAYA · Soutien scolaire
Mathématiques3eFonctionsExercices + corrigé

Représentation graphique — Exercices

Lecture de courbe, tableau de valeurs, résolution graphique. Corrigé en fin de fiche.
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1Lecture directe/ 4 pts

La courbe $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ définie sur $[-3\,;\,5]$ passe par les points $A(-3\,;\,4)$, $B(0\,;\,-2)$, $C(3\,;\,-1)$ et $D(5\,;\,4)$. Elle coupe l'axe des abscisses en $x = -1$ et en $x = 4$.

  1. Donne $f(0)$ et $f(-3)$.
  2. Quels sont les antécédents de $4$ par $f$ ?
  3. Résous graphiquement $f(x) = 0$.
  4. Pour quelles valeurs de $x$ a-t-on $f(x) \lt 0$ ?
2Tableau de valeurs et tracé/ 4 pts

Soit $g$ la fonction définie sur $[-2\,;\,2]$ par $g(x) = x^2 - 1$.

  1. Complète le tableau de valeurs pour $x \in \{-2\,;\,-1\,;\,0\,;\,1\,;\,2\}$.
  2. Place les cinq points dans un repère orthogonal (unité : 2 cm) et trace la courbe $\mathcal{C}_g$ à main levée.
  3. Lis graphiquement les solutions de $g(x) = 0$.
3Résolution graphique d'inéquations/ 4 pts

La courbe $\mathcal{C}_h$ de la fonction $h$ définie sur $[-4\,;\,4]$ coupe la droite $y = 2$ aux abscisses $x = -2$ et $x = 3$. $\mathcal{C}_h$ est au-dessus de cette droite sur $[-4\,;\,-2]$ et sur $[3\,;\,4]$, et en dessous sur $[-2\,;\,3]$.

  1. Résous $h(x) = 2$.
  2. Résous $h(x) \gt 2$.
  3. Résous $h(x) \le 2$.
4Problème — Température journalière/ 4 pts

La température (en °C) d'une ville est modélisée par une fonction $T$ définie sur $[0\,;\,24]$ (heures depuis minuit). La courbe passe par $P_1(0\,;\,8)$, $P_2(6\,;\,4)$, $P_3(14\,;\,26)$ et $P_4(24\,;\,10)$. Elle atteint son minimum en $t = 6$ et son maximum en $t = 14$, et coupe la droite $y = 20$ aux abscisses $t = 11$ et $t = 17$.

  1. Quelle était la température à minuit ($t = 0$) et à 14h ?
  2. À quelle heure la température était-elle minimale ? Quelle valeur ?
  3. Résous $T(t) = 20$ et interprète le résultat dans le contexte.
  4. Durant combien d'heures consécutives la température a-t-elle dépassé 20 °C ?
Corrigé détaillé
1Lecture directe
a) \(B(0\,;\,-2) \in \mathcal{C}_f \Rightarrow f(0) = -2. \quad A(-3\,;\,4) \in \mathcal{C}_f \Rightarrow f(-3) = 4.\) \(f(0) = -2 \quad \text{et} \quad f(-3) = 4\)
b) \(\text{Droite } y = 4 : \text{ les points de } \mathcal{C}_f \text{ d'ordonnée } 4 \text{ sont } A(-3\,;\,4) \text{ et } D(5\,;\,4).\) \(\text{Les antécédents de } 4 \text{ sont } {-3} \text{ et } 5.\)
c) \(f(x) = 0 \iff \mathcal{C}_f \text{ coupe l'axe des abscisses, aux abscisses indiquées dans l'énoncé.}\) \(x = -1 \quad \text{ou} \quad x = 4\)
d) \(f(x) \lt 0 \iff \mathcal{C}_f \text{ est en dessous de l'axe des abscisses, entre les deux zéros. Vérif. : } f(0) = -2 \lt 0 \checkmark\) \(x \in ]{-1}\,;\,4[\)
2Tableau de valeurs et tracé
a) \(g(-2) = (-2)^2 - 1 = 3,\quad g(-1) = 1-1 = 0,\quad g(0) = 0-1 = -1,\quad g(1) = 1-1 = 0,\quad g(2) = 4-1 = 3.\) \(3 \quad ; \quad 0 \quad ; \quad -1 \quad ; \quad 0 \quad ; \quad 3\)
b) \(\text{Points à placer : } (-2\,;\,3),\ (-1\,;\,0),\ (0\,;\,-1),\ (1\,;\,0),\ (2\,;\,3). \text{ La courbe est une parabole, sommet en } (0\,;\,-1).\) \(\text{(tracé vérifié par l'enseignant)}\)
c) \(g(x) = 0 \iff x^2 - 1 = 0. \text{ Les intersections de } \mathcal{C}_g \text{ avec l'axe des abscisses sont en } x = -1 \text{ et } x = 1.\) \(x = -1 \quad \text{ou} \quad x = 1\)
3Résolution graphique d'inéquations
a) \(h(x) = 2 \iff \mathcal{C}_h \text{ coupe la droite } y = 2.\) \(x = -2 \quad \text{ou} \quad x = 3\)
b) \(h(x) \gt 2 \iff \mathcal{C}_h \text{ strictement au-dessus de } y = 2 : \text{ sur } [-4\,;\,-2[ \text{ et sur } ]3\,;\,4].\) \(x \in [-4\,;\,-2[\,\cup\,]3\,;\,4]\)
c) \(h(x) \le 2 \iff \mathcal{C}_h \text{ en dessous ou sur la droite } y = 2 \text{ : sur } [-2\,;\,3] \text{ (bornes incluses car } h(-2) = h(3) = 2\text{).}\) \(x \in [-2\,;\,3]\)
4Problème — Température
a) \(P_1(0\,;\,8) \in \mathcal{C}_T \Rightarrow T(0) = 8\,°\text{C}. \quad P_3(14\,;\,26) \in \mathcal{C}_T \Rightarrow T(14) = 26\,°\text{C}.\) \(T(0) = 8\,°\text{C} \quad \text{et} \quad T(14) = 26\,°\text{C}\)
b) \(\text{Le minimum est atteint en } t = 6 : \text{ le point } P_2(6\,;\,4) \in \mathcal{C}_T.\) \(\text{Température minimale : } 4\,°\text{C à 6h du matin.}\)
c) \(T(t) = 20 \Rightarrow \mathcal{C}_T \text{ coupe la droite } y = 20 \text{ en } t = 11 \text{ et } t = 17.\) \(\text{La température atteint 20\,°C à 11h et à 17h.}\)
d) \(T(t) \gt 20 \text{ pour } t \in ]11\,;\,17[. \quad \text{Durée : } 17 - 11 = 6.\) \(\text{La température dépasse 20\,°C pendant 6 heures consécutives.}\)