Tu n'as jamais mis les pieds dans ce chapitre et le contrôle approche ? Pas de panique. On va partir des deux seuls prérequis dont on a besoin — les graduations et le repérage de points dans un repère — pour construire l'essentiel en accéléré. L'objectif : que tu saches lire une courbe et répondre aux questions de base d'ici vingt minutes. On y va ensemble, tout est à trous, tu ne peux pas te tromper.
Un repère du plan, c'est deux axes gradués qui se croisent. L'axe horizontal s'appelle l'axe des abscisses, l'axe vertical l'axe des ordonnées. Chaque point du plan est repéré par deux nombres qu'on écrit entre parenthèses, séparés par un point-virgule : (abscisse ; ordonnée). L'abscisse se lit sur l'axe horizontal, l'ordonnée sur l'axe vertical. Exemple : le point $A(3 ; 2)$ a pour abscisse $3$ et pour ordonnée $2$, ce qui signifie qu'on se décale de $3$ unités vers la droite puis de $2$ unités vers le haut depuis l'origine.
Une fonction $f$ transforme un nombre $x$ en un autre nombre $f(x)$, qu'on appelle l'image de $x$ par $f$. La courbe représentative $\mathcal{C}_f$ regroupe tous les points de coordonnées $(x ; f(x))$. Autrement dit, sur la courbe, l'ordonnée d'un point est TOUJOURS l'image de son abscisse.
Pour lire l'image d'un nombre $a$ : on repère la valeur $a$ sur l'axe des abscisses, on monte (ou descend) verticalement jusqu'à toucher la courbe, et on lit l'ordonnée correspondante sur l'axe vertical. Cette ordonnée est $f(a)$.
Pour lire le ou les antécédents d'un nombre $b$ : on trace (ou imagine) une droite horizontale à la hauteur $y = b$. Toutes les intersections de cette droite avec la courbe donnent des points ; leurs abscisses sont les antécédents de $b$. Un nombre peut avoir zéro, un ou plusieurs antécédents.
Zéros de f : ce sont les antécédents de $0$, c'est-à-dire les abscisses des points où la courbe traverse (ou touche) l'axe des abscisses. Résoudre graphiquement $f(x) = 0$, c'est donc lire ces abscisses.
f(x) positif / négatif (le signe) : si la courbe est au-dessus de l'axe des abscisses, les images sont positives. Si elle est en dessous, les images sont négatives.
Résoudre f(x) = k graphiquement : on trace la droite horizontale $y = k$, on lit les abscisses des intersections avec la courbe.
Résoudre f(x) > k graphiquement : on regarde sur quel(s) intervalle(s) de l'axe des abscisses la courbe est au-dessus de la droite $y = k$. On donne la réponse sous forme d'intervalles. Même logique pour $f(x) < k$ avec la courbe en dessous.
Ah, tu as déjà entendu parler de courbe représentative, d'image, d'antécédent ? Parfait, ça va revenir très vite. Ici on remet tout en ordre avec le cours structuré et une méthode en deux étapes pour ne plus jamais confondre image et antécédent. On lit la courbe ensemble, puis tu appliques la méthode sur des exercices guidés. À la fin, tu sauras lire n'importe quelle information graphique.
La courbe représentative $\mathcal{C}_f$ d'une fonction $f$ est l'ensemble de tous les points de coordonnées $(x ; f(x))$ pour les valeurs de $x$ où $f$ est définie. Dit plus simplement : pour chaque $x$ qu'on met dans la machine $f$, on obtient un résultat $f(x)$, et on place le point $(x ; f(x))$ dans le repère. Reliés, ces points forment la courbe.
Propriété fondamentale : Un point $M(a ; b)$ appartient à la courbe $\mathcal{C}_f$ si et seulement si $f(a) = b$. L'ordonnée est TOUJOURS l'image de l'abscisse.
Vocabulaire clé :
Étape 1 — Lire une image $f(a)$ : repérer la valeur $a$ sur l'axe horizontal. Suivre la verticale (vers le haut ou le bas) jusqu'à rencontrer la courbe. Lire l'ordonnée sur l'axe vertical. C'est $f(a)$. Ce qu'on lit à la fin, c'est toujours sur l'axe vertical.
Étape 2 — Lire un ou des antécédents de $b$ : repérer $b$ sur l'axe vertical. Tracer mentalement une droite horizontale à cette hauteur. Repérer tous les points où cette droite coupe la courbe. Lire leurs abscisses sur l'axe horizontal. Ce sont les antécédents de $b$. Il peut y en avoir aucun, un seul, ou plusieurs. Ce qu'on lit à la fin, c'est toujours sur l'axe horizontal.
Pour résoudre $f(x) = k$ : c'est la même chose que chercher les antécédents de $k$ : droite horizontale $y = k$ → abscisses des intersections.
Pour résoudre $f(x) > k$ (ou $<$, $\ge$, $\le$) : on repère la droite horizontale $y = k$, on regarde les intervalles de $x$ où la courbe est au-dessus de cette droite (pour $>$) ou en dessous (pour $<$), et on écrit ces intervalles.
a) Les cinq points à placer sont : $(-3 ; 5)$, $(-1 ; 2)$, $(0 ; 1)$, $(2 ; -2)$ et $(4 ; 0)$. Tu les relies par une courbe régulière, globalement décroissante.
b) On lit directement dans le tableau : $h(2) = \mathbf{-2}$.
c) Chercher l'antécédent de $2$ revient à chercher $x$ tel que $h(x) = 2$. Le tableau donne $h(-1) = 2$, donc l'antécédent est $\mathbf{-1}$.
d) $h(x) = 0$ : le tableau indique $h(4) = 0$, donc la solution est $x = \mathbf{4}$.
e) On cherche les $x$ pour lesquels la courbe est strictement en dessous de l'axe des abscisses.
Le tableau donne $h(0) = 1 > 0$ et $h(2) = -2 < 0$ : la courbe coupe donc l'axe des abscisses en un point $a$ compris entre $0$ et $2$ (à lire sur ta courbe, environ $a \approx 1$).
Par ailleurs, $h(4) = 0$ : la courbe revient sur l'axe en $x = 4$. Comme l'inégalité est stricte, $x = 4$ est exclu.
Donc $h(x) < 0$ sur l'intervalle $\mathbf{]a\, ;\, 4[}$, où $a$ est le zéro de la courbe entre $0$ et $2$.
Erreur à éviter : écrire $]2 ; 4[$ serait faux, car $h(2) = -2 < 0$ : le point $x = 2$ vérifie bien $h(x) < 0$ et appartient donc à l'intervalle solution.
Cinq exercices, une seule consigne : lire graphiquement des images et des antécédents. Tout se ressemble, tout se répète. Le but est simple : ancrer le geste pour que ça devienne automatique. Après ça, tu ne te poseras même plus la question, tes yeux iront tout seuls de l'abscisse à la courbe, puis à l'ordonnée, et inversement.
Tu maîtrises le B.A.-BA, bravo. Maintenant on passe au niveau attendu en contrôle de troisième : courbe, tableau de valeurs, inéquations graphiques, et un petit problème concret pour montrer que tu sais interpréter. Cette fois, c'est toi qui lis tout sans filet. Respire un bon coup, c'est à ta portée.
Pour résoudre graphiquement une équation $f(x) = k$, on cherche les abscisses des points d'intersection de $\mathcal{C}_f$ avec la droite horizontale $y = k$.
Pour une inéquation $f(x) > k$, on regarde sur quels intervalles de l'axe des abscisses la courbe est strictement au-dessus de la droite $y = k$ ; on donne la réponse sous forme d'intervalles (crochets ouverts si l'inégalité est stricte).
Pour $f(x) \ge k$, on inclut les bornes où $f(x) = k$ (crochets fermés).
a) On calcule chaque valeur :
$g(-3) = (-3)^3 - 3 \times (-3) = -27 + 9 = \mathbf{-18}$
$g(-2) = (-2)^3 - 3 \times (-2) = -8 + 6 = \mathbf{-2}$
$g(-1) = (-1)^3 - 3 \times (-1) = -1 + 3 = \mathbf{2}$
$g(0) = 0$
$g(1) = 1 - 3 = \mathbf{-2}$
$g(2) = 8 - 6 = \mathbf{2}$
$g(3) = 27 - 9 = \mathbf{18}$
b) Tu places les sept points dans un repère (1 cm par unité) et tu les relies en une courbe régulière en forme de « S » (cubique).
c) La courbe coupe l'axe des abscisses là où $g(x) = 0$, c'est-à-dire aux points d'abscisse $x = 0$, $x \approx -1{,}7$ et $x \approx 1{,}7$.
On peut le vérifier : $x^3 - 3x = x(x^2 - 3) = 0$ donne $x = 0$, $x = -\sqrt{3} \approx -1{,}73$ ou $x = \sqrt{3} \approx 1{,}73$.
d) $g(x) < 0$ là où la courbe est en dessous de l'axe des abscisses. D'après le tableau de valeurs : $g(-3) = -18 < 0$, $g(-2) = -2 < 0$, $g(-1) = 2 > 0$, $g(1) = -2 < 0$, $g(2) = 2 > 0$.
La courbe est donc sous l'axe sur deux intervalles :
$[-3\,;\,-\sqrt{3}[\; \cup\; ]0\,;\,\sqrt{3}[$
(soit, graphiquement : $[-3\,;\,-1{,}7[\; \cup\; ]0\,;\,1{,}7[$)
Attention à ne pas confondre avec les intervalles où $g(x) > 0$ (courbe au-dessus de l'axe), qui sont $]-\sqrt{3}\,;\,0[\; \cup\; ]\sqrt{3}\,;\,3]$.
Tu tiens la corde de la lecture graphique ? Alors on va voir un peu plus loin. Au lycée, on te demandera non seulement de lire une courbe, mais aussi de la construire à partir d'un tableau de variations ou d'en décrire les caractéristiques (croissance, extremums). On va aussi aborder la notion de courbe paramétrée ou d'aires sous la courbe en aperçu. Le but n'est pas de tout maîtriser, mais d'avoir une longueur d'avance.
En seconde, on te parlera de variations d'une fonction (croissante, décroissante) et de tableau de variations. La courbe permet de visualiser ces variations : quand la courbe monte, la fonction est croissante ; quand elle descend, elle est décroissante.
On aborde aussi les notions de maximum et minimum (locaux ou globaux) : ce sont les points les plus hauts ou les plus bas de la courbe sur un intervalle.
Plus tard, on utilisera la courbe pour résoudre des équations plus complexes ($f(x) = g(x)$ en cherchant les intersections de deux courbes) et même pour estimer des aires (intégrales). Mais chaque chose en son temps.
a) On trace une courbe passant par $(-4\,;\,3)$, descendant jusqu'à $(-1\,;\,-2)$, remontant jusqu'à $(2\,;\,4)$ puis redescendant jusqu'à $(5\,;\,0)$. On relie ces points de façon continue et régulière en respectant le sens de variation sur chaque intervalle.
b) L'équation $f(x)=1$ admet exactement 3 solutions.
— Sur $[-4\,;\,-1]$ : $f$ est décroissante de $3$ à $-2$. Comme $-2 < 1 < 3$, la courbe coupe la droite $y=1$ exactement une fois sur cet intervalle.
— Sur $[-1\,;\,2]$ : $f$ est croissante de $-2$ à $4$. Comme $-2 < 1 < 4$, la courbe coupe la droite $y=1$ exactement une fois sur cet intervalle.
— Sur $[2\,;\,5]$ : $f$ est décroissante de $4$ à $0$. Comme $0 < 1 < 4$, la courbe coupe la droite $y=1$ exactement une fois sur cet intervalle.
Sur chaque intervalle de monotonie, $f$ prend la valeur $1$ une fois et une seule car $1$ est strictement encadrée par les valeurs aux extrémités. Il y a donc exactement 3 solutions, sans aucun « si ».
c) D'après ta courbe (les valeurs ci-dessous dépendent de ton dessin) :
— $x_1 \in [-3\,;\,-2{,}5]$ (solution dans $[-4\,;\,-1]$) ;
— $x_2 \in [0\,;\,0{,}5]$ (solution dans $[-1\,;\,2]$) ;
— $x_3 \in [4{,}5\,;\,5]$ (solution dans $[2\,;\,5]$).
Fiche gratuite créée par Vidyalaya, association d'éducation populaire — soutien scolaire, FLE & DELF, libre et gratuit pour tous.
Tu bloques encore ? Écris-nous, on t'aide gratuitement : contact@vidyalaya.fr.
Fiche librement réutilisable sous licence CC BY-SA 4.0 — copiez, imprimez, adaptez, en citant Vidyalaya et en conservant la même licence.