Représentation graphique d'une fonction

Lire une courbe, c'est exploiter le lien entre chaque nombre et son image dans le repère.

1 L'idée

Une fonction $f$ associe à chaque nombre $x$ de son ensemble de définition un unique nombre noté $f(x)$, appelé l'image de $x$ par $f$. La courbe représentative $\mathcal{C}_f$ est l'ensemble des points du repère de coordonnées $(x\,;\,f(x))$.

Réciproquement, si un point $M(a\,;\,b)$ appartient à $\mathcal{C}_f$, alors $f(a) = b$ : l'ordonnée est toujours l'image de l'abscisse.

2 Vocabulaire fondamental

Image

$M(a\,;\,b) \in \mathcal{C}_f \iff f(a) = b$

Antécédent

$f(x) = b \Rightarrow x \text{ est un antécédent de } b \text{ par } f$

Zéros de f

$f(x_0) = 0 \iff \mathcal{C}_f \text{ coupe l'axe des abscisses en } x_0$

3 Lire image et antécédents

Image de 3

On repère $x = 3$ sur l'axe horizontal, on monte jusqu'à $\mathcal{C}_f$, on lit l'ordonnée.

Si la courbe passe par $(3\,;\,-1)$, on conclut $f(3) = -1$.

Antécédents de 2

On trace la droite horizontale $y = 2$ et on lit les abscisses des intersections avec $\mathcal{C}_f$.

Si les intersections sont en $x = -1$ et $x = 4$, alors les antécédents de $2$ par $f$ sont $-1$ et $4$.

Méthode — Résoudre f(x) = k ou f(x) > k graphiquement

$f(x) = k$ : tracer la droite $y = k$, relever les abscisses des intersections avec $\mathcal{C}_f$. Ce sont les solutions.
$f(x) \gt k$ : repérer les portions de $\mathcal{C}_f$ situées au-dessus de la droite $y = k$ ; lire les intervalles correspondants sur l'axe des abscisses.
$f(x) \lt k$ : même démarche avec les portions de $\mathcal{C}_f$ situées en dessous de $y = k$.

Erreurs fréquentes

Inverser abscisse et ordonnée : dans le point $(a\,;\,b)$, l'abscisse est toujours en premier.
Confondre image et antécédent : $f(2) = 5$ signifie que $2$ est un antécédent de $5$, et non l'inverse.
Oublier des solutions : une équation $f(x) = b$ peut avoir $0$, $1$ ou plusieurs solutions — lire toutes les intersections.