Panique à bord ? Respire. « Représentation graphique d'une fonction », ça sonne costaud, mais en vrai tu sais déjà lire une carte au trésor : tu pars d'un nombre, tu suis les pointillés, tu lis où tu tombes. C'est exactement ça. En dix minutes tu as l'essentiel pour le contrôle.
Les prérequis + l'essentiel en clair
Ce qu'il faut déjà savoir (rien de neuf) : un repère a deux axes gradués, l'axe horizontal (les abscisses) et l'axe vertical (les ordonnées) ; un point se note $(\text{abscisse}\,;\,\text{ordonnée})$, l'abscisse toujours en premier ; et tu sais repérer une valeur sur un axe.
Maintenant l'idée neuve, en une phrase : une fonction $f$ est une machine qui prend un nombre $x$ et lui renvoie un seul nombre, noté $f(x)$ et appelé l'image de $x$.
La courbe représentative $\mathcal{C}_f$ est simplement la collection de tous les points $(x\,;\,f(x))$ : pour chaque $x$, on place le point à la hauteur de son image. Lire la courbe, c'est lire ces hauteurs.
Traduction : sur la courbe, l'ordonnée d'un point est l'image de son abscisse.
- On repère le nombre sur l'axe horizontal.
- On monte (ou on descend) verticalement jusqu'à toucher la courbe.
- On lit l'ordonnée du point : c'est l'image.
Un exemple entièrement traité
On veut lire $f(3)$ sur la courbe ci-dessous.
Et voilà : pas de calcul, juste de la lecture soignée. Si tu sais faire ça, tu as déjà l'essentiel du contrôle.
Le brouillard se lève : tu as déjà croisé les fonctions, les images, les points dans un repère. On remet tout au propre, dans l'ordre, avec les mots exacts, ceux que ton prof veut voir sur la copie.
Les définitions au propre
Une fonction $f$ associe à chaque nombre $x$ de son ensemble de définition un unique nombre $f(x)$, appelé l'image de $x$ par $f$. Le mot qui compte est unique : un même $x$ ne peut pas avoir deux images.
La courbe représentative $\mathcal{C}_f$ de $f$ est l'ensemble des points du repère de coordonnées $(x\,;\,f(x))$, lorsque $x$ parcourt l'ensemble de définition.
Le lien fondamental fonctionne dans les deux sens :
Si le point $M(a\,;\,b)$ est sur la courbe, alors $f(a) = b$ ; et réciproquement. Autrement dit, sur $\mathcal{C}_f$, l'ordonnée est l'image de l'abscisse.
Image, antécédent, zéro : ne pas confondre
Image et antécédent sont les deux lectures d'une même égalité $f(a) = b$ :
- $b$ est l'image de $a$ (on part de $a$, on trouve $b$) ;
- $a$ est un antécédent de $b$ (on part de $b$, on remonte à $a$).
Un nombre a au plus une image, mais il peut avoir plusieurs antécédents (ou aucun). Un zéro de $f$ est un antécédent particulier : celui de $0$, là où la courbe traverse l'axe horizontal.
La méthode, dans les deux sens
- Partir de $a$ sur l'axe horizontal.
- Se déplacer verticalement jusqu'à la courbe.
- Lire l'ordonnée : c'est $f(a)$.
- Tracer la droite horizontale $y = b$.
- Repérer toutes les intersections de cette droite avec la courbe.
- Lire les abscisses de ces points : ce sont les antécédents.
Le réflexe : départ vertical pour une image, droite horizontale pour les antécédents. On résout d'ailleurs de la même façon une équation $f(x) = k$ : ses solutions sont exactement les antécédents de $k$.
Allez, on chauffe les doigts. On ne te lâche pas seul dans la nature : on fait deux ou trois lectures ensemble, ligne par ligne. Tu regardes comment on tourne, ensuite ce sera un jeu.
On lit une image ensemble
Objectif : trouver $f(3)$ sur la courbe ci-contre. On avance à voix haute.
Remarque : ici le point est sous l'axe, l'image est donc négative. On ne s'affole pas, une image peut être négative.
On cherche des antécédents ensemble
Cette fois on inverse le sens : on cherche les antécédents de 2, c'est-à-dire tous les $x$ tels que $f(x) = 2$.
Ne t'arrête pas au premier point ! Ici il y en a deux. Oublier une intersection, c'est oublier un antécédent (et perdre des points).
On résout f(x) = k ensemble
Bonne nouvelle : on vient déjà de le faire. Résoudre l'équation $f(x) = 2$, c'est exactement chercher les antécédents de $2$.
À retenir : « antécédents de $k$ » et « solutions de $f(x) = k$ » désignent la même chose, lue sur le graphique de la même manière.
Niveau contrôle maintenant. Ici on ne lit plus un simple point : on résout des équations et des inéquations à l'œil, et surtout on rédige comme le correcteur l'attend. On déblaie aussi les pièges où presque tout le monde tombe.
Problème type entièrement résolu
Énoncé. On donne la courbe $\mathcal{C}_f$ ci-contre. Résoudre graphiquement : (1) l'équation $f(x) = 1$, puis (2) l'inéquation $f(x) > 1$.
Ce que le correcteur attend + les pièges
- Une phrase de conclusion et un ensemble de solutions clairement noté ($S = \dots$).
- Les bons crochets : inégalité stricte $\Rightarrow$ crochet ouvert $]\;[$ ; inégalité large ($\leqslant$, $\geqslant$) $\Rightarrow$ crochet fermé $[\;]$.
- Montrer les traits de construction (la droite $y = k$, les pointillés) : le correcteur veut voir la méthode, pas seulement le résultat.
- Confondre équation et inéquation : $f(x) = k$ donne des points (des nombres isolés) ; $f(x) > k$ ou $f(x) < k$ donne des intervalles.
- Oublier des solutions : une équation $f(x) = b$ peut avoir $0$, $1$ ou plusieurs solutions. On lit toutes les intersections.
- Inverser abscisse et ordonnée : dans $(a\,;\,b)$, l'abscisse est toujours écrite en premier.
- Confondre image et antécédent : $f(2) = 5$ signifie que $2$ est un antécédent de $5$, et non l'inverse.
- Surinterpréter : une lecture graphique est approchée ; on donne les valeurs entières lisibles sur la graduation, sans inventer des décimales.
Tu maîtrises la lecture. On lève les yeux vers l'horizon : d'où vient cette courbe, pourquoi une verticale ne la coupe qu'une seule fois, et ce qui t'attend l'an prochain. Rien de tout ça n'est exigé au brevet, c'est juste pour prendre de l'avance.
D'où vient la courbe : du tableau de valeurs
Une courbe ne tombe pas du ciel. On choisit plusieurs valeurs de $x$, on calcule leurs images $f(x)$, ce qui donne des points $(x\,;\,f(x))$ ; on les place dans le repère, puis on les relie. Plus on prend de points, plus le tracé est fidèle.
Cas particulier que tu vois aussi en 3e : pour une fonction affine $f(x) = a x + b$, la courbe est une droite. Deux points suffisent alors à la tracer entièrement. C'est le pont direct avec la fiche Fonctions linéaires et affines.
Lire un graphique et calculer avec une formule, ce sont les deux faces d'une même fonction : la formule fabrique les points, la courbe les affiche.
Pourquoi une seule image ? Le test de la verticale
Souviens-toi : chaque $x$ possède une seule image. Conséquence graphique : une droite verticale d'équation $x = a$ ne peut couper la courbe qu'en un point au plus (sinon $a$ aurait deux images).
D'où le test de la droite verticale : un tracé représente une fonction si, et seulement si, toute verticale le coupe au plus une fois. Un cercle, par exemple, échoue à ce test : ce n'est pas la courbe d'une fonction.
Pour les droites horizontales, en revanche, tout est permis : selon la hauteur $k$, l'équation $f(x) = k$ peut avoir $0$, $1$ ou plusieurs solutions. C'est ce que montre la figure : on fait glisser la droite $y = k$ de haut en bas et on compte les rencontres.
Aperçu de la seconde
L'an prochain, la même courbe se met à parler encore plus :
- Sens de variation : quand la courbe monte, la fonction est croissante ; quand elle descend, décroissante. On lit tout ça directement sur le tracé.
- Extremums : le point le plus haut donne le maximum, le plus bas le minimum de la fonction sur un intervalle.
- Fonctions de référence : la fonction carré $x \mapsto x^2$ dessine une parabole, la fonction inverse $x \mapsto \tfrac{1}{x}$ une hyperbole. Tu apprendras à reconnaître ces formes au premier coup d'œil.
- Comparer deux courbes : résoudre $f(x) > g(x)$ revient à repérer où une courbe passe au-dessus de l'autre, exactement comme tu viens de le faire avec une droite horizontale.
Autrement dit, tout ce que tu construis maintenant, lire images, antécédents et intersections, reste la base de tout le lycée. Tu n'apprends pas une astuce jetable, tu poses des fondations.