Sections de solides

Prérequis 1 – Les solides à connaître

Voici les solides que l'on va croiser dans ce chapitre :

• Cube : toutes les faces sont des carrés identiques.
• Pavé droit : toutes les faces sont des rectangles (les faces opposées sont identiques).
• Prisme droit : deux bases parallèles superposables (triangles, hexagones… sur les schémas) et des faces latérales rectangulaires.
• Cylindre : deux bases circulaires parallèles et une surface latérale courbe.
• Pyramide : une base polygonale et des faces latérales triangulaires qui se rejoignent en un sommet.
• Cône : une base circulaire et une surface latérale qui se termine par un sommet.
• Sphère : l'ensemble des points situés à une même distance du centre.

Prérequis 2 – Plan parallèle à une face ou à une base

Couper un solide par un plan, c'est imaginer qu'on tranche le solide avec une lame parfaitement plate que l'on place dans une certaine direction. Le mot parallèle à une face ou parallèle aux bases signifie que le plan de coupe est orienté exactement comme cette face ou ces bases. Par exemple, dans un cube, un plan parallèle à une face donnera une section qui est un carré de mêmes dimensions que la face.

Prérequis 3 – Théorème de Thalès (mini-rappel)

Dans une configuration avec deux droites sécantes et des parallèles, Thalès permet de calculer des longueurs. Pour les pyramides et les cônes coupés par un plan parallèle à la base, on retrouve une situation de Thalès entre le sommet, le plan de coupe et la base. Les dimensions de la section sont proportionnelles à celles de la base, le coefficient de proportionnalité (rapport k) se calcule avec les distances depuis le sommet. On détaillera cela au palier suivant.

L'essentiel en un clin d'œil

• Cube / Pavé droit : plan parallèle à une face → section identique à la face (un carré pour le cube, un rectangle pour le pavé).
• Prisme droit / Cylindre : plan parallèle aux bases → section de même forme et de mêmes dimensions que la base (triangle, disque…).
• Pyramide / Cône : plan parallèle à la base → section de même forme que la base mais plus petite (carré réduit, disque de rayon plus petit). On calculera la taille à l'aide de Thalès.
• Sphère : tout plan qui coupe la sphère donne un disque (un cercle plein).

Cours – Les deux familles de sections

1. Prisme droit et cylindre
Lorsque le plan est parallèle aux bases, la section est exactement la même figure que la base, avec les mêmes dimensions.
Exemple : un prisme à base triangulaire donne une section triangulaire de mêmes côtés qu'à la base ; un cylindre donne un disque de même rayon que les bases.

2. Pyramide et cône
Lorsque le plan est parallèle à la base, la section est une réduction de la base : même forme, mais dimensions plus petites.
Pour les calculer, on utilise le coefficient de réduction k : $$k = \frac{d}{H}$$ où H est la hauteur du solide (distance sommet–base) et d est la distance du sommet au plan de coupe (voir schéma).

Propriétés
- Si la base a une longueur L, la section a la longueur $\ell = k \times L$.
- Si la base a un rayon R, la section a un rayon $r = k \times R$.
- L'aire de la section est $\mathcal{A}_{\text{section}} = k^2 \times \mathcal{A}_{\text{base}}$.

Méthode pas à pas pour une pyramide ou un cône

1. Repère la hauteur totale $H$ du solide (distance sommet–base).
2. Calcule la distance $d$ entre le sommet et le plan de coupe.
   Si l'énoncé donne la distance $h$ entre la base et le plan, alors $d = H - h$.
3. Calcule le rapport $k = \dfrac{d}{H}$ (toujours $0 < k < 1$).
4. Multiplie chaque dimension de la base par $k$ pour obtenir les dimensions de la section :
   $\ell = k \times L$ ou $r = k \times R$.
5. Si on demande l'aire de la section, utilise $k^2$ : $\mathcal{A}_{\text{section}} = k^2 \times \mathcal{A}_{\text{base}}$.

Section d'une sphère – le retour de Pythagore

On reprend le schéma du palier précédent. Une sphère de centre O et de rayon $R$ est coupée par un plan situé à une distance $d$ de O. Le rayon $r$ du cercle de section s'obtient toujours par $$r = \sqrt{R^2 - d^2}$$ L'aire du disque est $\pi (R^2 - d^2)$.

Et les volumes ? Coefficient $k^3$

Lors d'une réduction de rapport $k$ (comme pour une section de pyramide ou de cône) :
- les longueurs sont multipliées par $k$ ;
- les aires sont multipliées par $k^2$ ;
- les volumes sont multipliés par $k^3$.
Par exemple, si on remplit la petite pyramide (celle au-dessus de la section) d'eau, le volume d'eau représente $k^3$ fois le volume de la grande pyramide. Utile pour des problèmes de remplissage !