Sections de solides — Exercices

Reconnaître, décrire et calculer. Corrigé détaillé à la suite.

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1Reconnaître des sections/ 4 pts

Pour chacun des solides ci-dessous, indiquer la forme de la section produite par le plan décrit.

Un cube d'arête 5 cm, coupé par un plan parallèle à une face.
Un prisme droit à base triangulaire équilatérale de côté 4 cm, coupé par un plan parallèle aux bases.
Un cylindre de rayon 3 cm et de hauteur 8 cm, coupé par un plan parallèle aux bases.
Une sphère, coupée par un plan passant par son centre.

2Sections d'un pavé droit/ 4 pts

Un pavé droit a pour dimensions : longueur 10 cm, largeur 6 cm, hauteur 4 cm.

Un plan parallèle aux faces de dimensions $10 \times 6$ cm coupe le pavé. Donner la forme et les dimensions de la section.
Un plan parallèle aux faces de dimensions $10 \times 4$ cm coupe le pavé. Donner la forme et les dimensions de la section.
Calculer l'aire de la section obtenue en b).
Un plan parallèle aux faces de dimensions $6 \times 4$ cm coupe le pavé. Donner la forme, les dimensions, puis calculer l'aire de cette section.

3Section d'une pyramide/ 5 pts

Une pyramide à base carrée a un côté de base de 8 cm et une hauteur de 12 cm. Un plan parallèle à la base coupe la pyramide à 4 cm de la base.

Calculer la distance $d$ du sommet au plan de coupe.
Calculer le rapport de similitude $k = \dfrac{d}{H}$.
Calculer le côté $\ell$ du carré formant la section.
Calculer l'aire de cette section. Donner le résultat sous forme de fraction, puis en valeur approchée au centième.

4Cône et section — problème/ 5 pts

Un cône a une hauteur de 15 cm et un rayon de base de 9 cm. Un plan parallèle à la base coupe le cône à 10 cm du sommet.

Calculer le rapport $k = \dfrac{d}{H}$.
Calculer le rayon $r$ de la section circulaire.
Calculer l'aire de la section en cm², arrondie au dixième. (Prendre $\pi \approx 3{,}14$.)
Vérification : retrouver ce résultat en utilisant la formule $\mathcal{A}_{\text{section}} = k^2 \times \mathcal{A}_{\text{base}}$.

Corrigé détaillé

1Reconnaître des sections

a) $\text{Cube, plan } \parallel \text{ à une face}$ $\text{Carré de côté 5 cm}$

b) $\text{Prisme à base triangulaire, plan } \parallel \text{ aux bases}$ $\text{Triangle équilatéral de côté 4 cm}$

c) $\text{Cylindre, plan } \parallel \text{ aux bases}$ $\text{Disque de rayon 3 cm}$

d) $\text{Sphère, plan passant par le centre}$ $\text{Disque de rayon égal au rayon de la sphère}$

2Sections d'un pavé droit

a) $\text{Plan } \parallel \text{ à la face } 10 \times 6 \Rightarrow \text{section de mêmes dimensions}$ $\text{Rectangle } 10 \text{ cm} \times 6 \text{ cm}$

b) $\text{Plan } \parallel \text{ à la face } 10 \times 4 \Rightarrow \text{section de mêmes dimensions}$ $\text{Rectangle } 10 \text{ cm} \times 4 \text{ cm}$

c) $\mathcal{A} = 10 \times 4 =$ $40 \text{ cm}^2$

d) $\text{Rectangle } 6 \times 4 \text{ cm} \quad ; \quad \mathcal{A} = 6 \times 4 =$ $24 \text{ cm}^2$

3Section d'une pyramide

a) $d = H - h = 12 - 4 =$ $8 \text{ cm}$

b) $k = \dfrac{d}{H} = \dfrac{8}{12} =$ $\dfrac{2}{3}$

c) $\ell = k \times L = \dfrac{2}{3} \times 8 =$ $\dfrac{16}{3} \approx 5{,}33 \text{ cm}$

d) $\mathcal{A} = \ell^2 = \left(\dfrac{16}{3}\right)^2 = \dfrac{256}{9}$ $\dfrac{256}{9} \text{ cm}^2 \approx 28{,}44 \text{ cm}^2$

4Cône et section — problème

a) $k = \dfrac{d}{H} = \dfrac{10}{15} =$ $\dfrac{2}{3}$

b) $r = k \times R = \dfrac{2}{3} \times 9 =$ $6 \text{ cm}$

c) $\mathcal{A} = \pi \times r^2 = 3{,}14 \times 36 =$ $113{,}0 \text{ cm}^2$

Vérif. $\mathcal{A}_{\text{base}} = 3{,}14 \times 81 = 254{,}34 \text{ cm}^2 \quad k^2 = \dfrac{4}{9} \quad \dfrac{4}{9} \times 254{,}34 = \dfrac{1\,017{,}36}{9} \approx$ $113{,}0 \text{ cm}^2 \checkmark$