Sections de solides

Ce qu'il faut savoir avant

Trois choses suffisent pour démarrer.

1. Le vocabulaire des solides. Deux familles à distinguer. • Le cube, le pavé droit, le prisme droit et le cylindre ont deux bases parallèles et identiques : leur hauteur $H$ est la distance entre ces deux bases. • La pyramide et le cône ont une seule base et un sommet : leur hauteur $H$ est la distance du sommet à la base. (La sphère, elle, n'a ni base ni sommet : on la traitera à part.)

2. Les aires de base. Aire d'un carré de côté $c$ : $c^2$. Aire d'un rectangle : $\text{longueur} \times \text{largeur}$. Aire d'un disque de rayon $R$ : $\pi R^2$. C'est tout ce dont tu auras besoin ici.

3. L'idée de proportionnalité (Thalès). Si on réduit une figure en gardant sa forme, toutes ses longueurs sont multipliées par un même nombre. Ce nombre s'appelle le rapport. C'est la clé de toute la fiche.

L'idée + les formules clés

La section d'un solide par un plan, c'est la figure plate qu'on obtient en coupant le solide avec ce plan. On dit aussi une coupe.

Le cas de loin le plus fréquent : on coupe parallèlement à la base. Deux comportements à retenir :

• Pour un prisme droit ou un cylindre, la section a exactement la même taille que la base (une copie conforme).

• Pour une pyramide ou un cône, la section a la même forme que la base mais elle est plus petite. Pour trouver de combien, on calcule le rapport $k$ :

$d = H - h$ (distance du sommet au plan), puis $k = \dfrac{d}{H}$, avec $0 \lt k \lt 1$.

Chaque longueur de la base se transforme alors en $\ell = k \times L$, et l'aire en $\mathcal{A}_{\text{section}} = k^2 \times \mathcal{A}_{\text{base}}$.

Un exemple entièrement traité

Énoncé. Pyramide à base carrée de côté 6 cm, de hauteur 9 cm. On la coupe par un plan parallèle à la base, situé à 3 cm de la base. Quelle est la section ?

Étape 1 — distance du sommet au plan. La base est à 3 cm du plan, donc $d = H - h = 9 - 3 = 6$ cm.

Étape 2 — le rapport. $k = \dfrac{d}{H} = \dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}$.

Étape 3 — la longueur. Côté de la section : $\ell = k \times L = \dfrac{2}{3} \times 6 = 4$ cm.

Conclusion. La section est un carré de côté 4 cm, d'aire $4^2 = 16$ cm$^2$. (La figure montre la pyramide, la coupe, et les distances $d$ et $h$.)

Définition et vocabulaire

Définition. La section d'un solide par un plan est la figure plane obtenue à l'intersection du solide et de ce plan. C'est la surface que révèle la coupe.

Sa forme et ses dimensions dépendent de deux choses : le solide coupé, et la position du plan par rapport à ce solide. Un même solide, coupé de deux façons différentes, peut donner deux sections très différentes.

Deux mots à ne jamais confondre :

• Congrue (ou superposable) : même forme et mêmes dimensions que la base.

• Semblable : même forme mais dimensions réduites (proportionnelles). C'est ici qu'intervient le rapport $k$.

Chaque solide, sa section (plan parallèle à la base)

Voici les cas au programme, pour un plan parallèle à la (ou aux) base(s) :

• Cube / pavé droit, plan parallèle à une face : la section est un rectangle (un carré pour le cube), de mêmes dimensions que la face.

• Prisme droit, plan parallèle aux bases : la section est congrue à la base (même polygone, mêmes dimensions).

• Cylindre, plan parallèle aux bases : la section est un disque de rayon $R$, identique à la base.

• Pyramide, plan parallèle à la base : la section est semblable à la base, réduite dans le rapport $k$.

• Cône, plan parallèle à la base : la section est un disque de rayon $r = k \times R \lt R$.

• Sphère, tout plan qui la coupe : la section est un cercle (un disque pour la boule).

La ligne de partage est claire : prisme et cylindre → congru (taille conservée) ; pyramide et cône → semblable (taille réduite). La figure oppose les deux comportements.

Méthode pas-à-pas — pyramide et cône

C'est le seul cas qui demande un calcul. On procède toujours dans le même ordre.

1. Repérer la hauteur totale $H$ du solide.

2. Calculer $d$, la distance du sommet au plan. Le plus souvent l'énoncé donne $h$ = distance de la base au plan, et alors $d = H - h$.

3. Calculer le rapport de réduction $k = \dfrac{d}{H}$ (on trouve toujours $0 \lt k \lt 1$).

4. Multiplier chaque dimension de la base par $k$ : $\ell = k \times L$ pour un côté, $r = k \times R$ pour un rayon.

5. Pour l'aire, multiplier par $k^2$ : $\mathcal{A}_{\text{section}} = k^2 \times \mathcal{A}_{\text{base}}$.

Pourquoi $k$ se mesure depuis le sommet ? Parce que la section et la base sont deux « tranches » de la même pyramide vues depuis le sommet : plus on est près du sommet, plus la tranche est petite. Le rapport compare donc les distances au sommet, d'où $k = \dfrac{d}{H}$.

Exemple 1 — une pyramide (on le fait ensemble)

Énoncé. Pyramide à base carrée de côté 6 cm, hauteur 9 cm, coupée par un plan parallèle à la base à 3 cm de la base.

On regarde la coupe verticale (figure) : la pyramide devient un triangle, le plan devient un trait horizontal, et Thalès fait le reste.

Ligne 1. Le plan est à $h = 3$ cm de la base, donc du sommet il est à $d = H - h = 9 - 3 = 6$ cm. On mesure toujours depuis le sommet, jamais depuis la base.

Ligne 2. Rapport : $k = \dfrac{d}{H} = \dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}$. On simplifie la fraction, c'est plus propre et ça évite les erreurs.

Ligne 3. Côté de la section : $\ell = k \times L = \dfrac{2}{3} \times 6 = \dfrac{12}{3} = 4$ cm.

Ligne 4. C'est un carré, donc son aire vaut $\ell^2 = 4^2 = 16$ cm$^2$.

Vérification par $k^2$. $\mathcal{A}_{\text{section}} = k^2 \times \mathcal{A}_{\text{base}} = \left(\dfrac{2}{3}\right)^2 \times 6^2 = \dfrac{4}{9} \times 36 = 16$ cm$^2$. Les deux méthodes donnent 16 : c'est cohérent.

Exemple 2 — un cône (même méthode, avec des disques)

Énoncé. Cône de hauteur 12 cm et de rayon de base 8 cm. On le coupe par un plan parallèle à la base, à 9 cm de la base.

Ligne 1. Distance du sommet au plan : $d = H - h = 12 - 9 = 3$ cm.

Ligne 2. Rapport : $k = \dfrac{d}{H} = \dfrac{3}{12} = \dfrac{1}{4}$.

Ligne 3. Rayon de la section : $r = k \times R = \dfrac{1}{4} \times 8 = 2$ cm.

Ligne 4. La section est un disque de rayon 2 cm, d'aire $\pi r^2 = \pi \times 2^2 = 4\pi \approx 12{,}6$ cm$^2$.

Vérification par $k^2$. $\mathcal{A}_{\text{section}} = k^2 \times \pi R^2 = \dfrac{1}{16} \times \pi \times 8^2 = \dfrac{64\pi}{16} = 4\pi$ cm$^2$. Même résultat.

Exemple 3 — un prisme (le réflexe congru)

Énoncé. Prisme droit dont la base est un triangle de côtés 3 cm, 4 cm, 5 cm, et de hauteur 10 cm. On le coupe par un plan parallèle aux bases, à mi-hauteur.

Ligne 1. Réflexe : prisme + plan parallèle aux bases $\Rightarrow$ section congrue à la base. Aucune réduction.

Ligne 2. Donc pas de rapport $k$ à calculer : la position du plan (mi-hauteur, quart de hauteur, peu importe) ne change rien tant qu'il reste parallèle aux bases.

Ligne 3. La section est un triangle de côtés 3 cm, 4 cm et 5 cm, identique à la base.

À retenir. Ici la hauteur 10 cm est une information « piège » : elle ne sert à rien pour la section. Sur une pyramide, au contraire, elle aurait été indispensable.

Le piège du cylindre : disque ou rectangle ?

Attention à une idée fausse très répandue : « couper un cylindre donne toujours un disque ». Faux. Tout dépend de l'orientation du plan.

• Plan parallèle aux bases : la section est un disque de rayon $R$ (le même que la base).

• Plan contenant l'axe (donc perpendiculaire aux bases, passant par le centre) : la section est un rectangle de dimensions $2R \times H$. La largeur $2R$ est le diamètre, la longueur $H$ est la hauteur du cylindre.

Même solide, deux plans, deux sections totalement différentes. La figure montre les deux côte à côte. Le mot qui doit t'alerter dans un énoncé : « parallèle à la base » (disque) ou « passant par l'axe » (rectangle).

Problème type entièrement résolu

Énoncé. Une pyramide $SABCD$ a une base carrée $ABCD$ de côté 15 cm et une hauteur $SH = 20$ cm. Un plan parallèle à la base coupe la pyramide à 8 cm du sommet. Déterminer la nature et l'aire de la section.

Rédaction attendue.

Nature. La base est un carré et le plan est parallèle à la base : la section est un carré, semblable au carré $ABCD$.

Rapport. Ici l'énoncé donne directement la distance du sommet au plan : $d = 8$ cm. Donc $k = \dfrac{d}{H} = \dfrac{8}{20} = \dfrac{2}{5} = 0{,}4$.

Côté de la section. $\ell = k \times L = 0{,}4 \times 15 = 6$ cm.

Aire. C'est un carré de côté 6 cm, donc $\mathcal{A}_{\text{section}} = 6^2 = 36$ cm$^2$.

Contrôle par $k^2$. $\mathcal{A}_{\text{section}} = k^2 \times \mathcal{A}_{\text{base}} = (0{,}4)^2 \times 15^2 = 0{,}16 \times 225 = 36$ cm$^2$. Cohérent.

Conclusion. La section est un carré de côté 6 cm et d'aire 36 cm$^2$.

Ce que le correcteur attend, et les erreurs qui coûtent des points

Pour avoir tous les points, ta copie doit : nommer la nature de la section (carré, disque, rectangle…), justifier (parallèle à la base $\Rightarrow$ semblable / congrue), écrire le rapport $k$ puis les calculs, et donner l'unité (cm pour les longueurs, cm$^2$ pour les aires).

Les quatre erreurs classiques à éviter :

• Prendre $d = h$ (distance base–plan) au lieu de $d = H - h$ (distance sommet–plan). Le rapport se calcule depuis le sommet. Lis bien l'énoncé : donne-t-il $h$ ou $d$ ?

• Confondre prisme et pyramide : prisme $\Rightarrow$ section congrue (mêmes dimensions) ; pyramide $\Rightarrow$ section semblable (réduite).

• Croire qu'un cylindre donne toujours un disque : un plan par l'axe donne un rectangle $2R \times H$.

• Multiplier l'aire de la base par $k$ au lieu de $k^2$. Une aire est une longueur au carré : le facteur est donc $k^2$, jamais $k$.

Pourquoi ça marche : homothétie et Thalès

Quand tu coupes une pyramide parallèlement à sa base, la petite pyramide du haut (sommet + section) est en réalité l'image de la grande par une homothétie de centre $S$ (le sommet) et de rapport $k$.

Une homothétie, c'est un « zoom » depuis un point fixe : toutes les longueurs sont multipliées par le rapport $k$. C'est exactement la notion des homothéties que tu vois par ailleurs en 3e, appliquée dans l'espace.

Et le lien avec Thalès ? Dans la coupe verticale (le triangle de l'échauffement), la section est un segment parallèle à la base : le théorème de Thalès garantit alors que $\dfrac{\ell}{L} = \dfrac{d}{H} = k$. La formule $\ell = k \times L$ n'est donc pas une recette magique, c'est Thalès déguisé.

Et les volumes ? le fameux facteur k au cube

Tu sais déjà que les longueurs se multiplient par $k$ et les aires par $k^2$. Question naturelle : et les volumes ?

Réponse (au-delà du programme de 3e, mais juste comme ouverture) : ils se multiplient par $k^3$. La petite pyramide du haut a pour volume $V_{\text{haut}} = k^3 \times V_{\text{total}}$.

La logique est la même que pour les aires : une longueur compte pour $k^1$, une aire (longueur $\times$ longueur) pour $k^2$, un volume (longueur $\times$ longueur $\times$ longueur) pour $k^3$. On monte d'une puissance à chaque dimension.

Exemple éclair avec $k = \dfrac{2}{3}$ : longueurs $\times \dfrac{2}{3}$, aires $\times \dfrac{4}{9}$, volumes $\times \dfrac{8}{27}$. Retiens la règle « $k$, $k^2$, $k^3$ » : elle te suivra longtemps.

Là où tu recroiseras tout ça

• Le tronc de pyramide (ou de cône). La partie qui reste entre la base et la section — pense à un pot de fleurs ou à un abat-jour — s'appelle un tronc. Son volume vaut $V_{\text{total}} - V_{\text{haut}} = (1 - k^3)\,V_{\text{total}}$. Tu manipuleras ces objets au lycée.

• Des sections plus exotiques. On a coupé « bien à plat ». Un plan oblique donne d'autres figures : un plan par l'axe d'un cylindre donne déjà un rectangle ; incliné, un cône peut même révéler une ellipse. Couper un cube en biais peut donner un triangle, ou jusqu'à un hexagone.

• La géométrie dans l'espace au lycée. En seconde tu repositionneras tout ça avec des coordonnées et des vecteurs ; les notions de section, de plan sécant et d'agrandissement-réduction reviennent, mais outillées. Ce que tu construis ici est la première marche.