Sections de solides

Couper un solide par un plan révèle une figure plane — savoir la reconnaître et en calculer les dimensions.

1 L'idée

La section d'un solide par un plan est la figure obtenue à l'intersection du solide et de ce plan. On l'appelle aussi coupe plane. Sa forme et ses dimensions dépendent de la position du plan par rapport au solide.

Pour les prismes et les cylindres, un plan parallèle aux bases donne une section de même forme et de mêmes dimensions que la base. Pour les pyramides et les cônes, un plan parallèle à la base donne une section semblable à la base, avec des dimensions réduites : on utilise le théorème de Thalès pour les calculer.

2 Sections à connaître selon le solide

Cube / Pavé droit

$\text{Plan } \parallel \text{ à une face} \Rightarrow \text{rectangle (carré si cube)}$

Prisme droit

$\text{Plan } \parallel \text{ aux bases} \Rightarrow \text{figure congrue à la base}$

Pyramide

$\text{Plan } \parallel \text{ à la base} \Rightarrow \text{figure semblable à la base}$

Cylindre

$\text{Plan } \parallel \text{ aux bases} \Rightarrow \text{disque de rayon } R$

Cône

$\text{Plan } \parallel \text{ à la base} \Rightarrow \text{disque de rayon } r \lt R$

Sphère

$\text{Tout plan sécant} \Rightarrow \text{disque}$

3 Rapport de similitude — pyramide et cône

Distance sommet–plan

$d = H - h \quad (h = \text{distance base–plan})$

Rapport k

$k = \dfrac{d}{H} \quad (0 \lt k \lt 1)$

Dimensions de la section

$\ell = k \times L \quad \text{ou} \quad r = k \times R$

Aire de la section

$\mathcal{A}_{\text{section}} = k^2 \times \mathcal{A}_{\text{base}}$

4 Exemple — Section d'une pyramide

Pyramide à base carrée, côté 6 cm, hauteur 9 cm. Plan parallèle à la base, à 3 cm de la base.

Distance du sommet au plan : $d = 9 - 3 = 6$ cm.

Rapport de similitude : $k = \dfrac{d}{H} = \dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}$.

Côté de la section : $\ell = \dfrac{2}{3} \times 6 = 4$ cm.

La section est un carré de côté 4 cm. Aire $= 4^2 = 16$ cm². Vérification : $k^2 \times 6^2 = \dfrac{4}{9} \times 36 = 16$ cm². $\checkmark$

Méthode — Dimensions d'une section de pyramide ou de cône

Repérer la hauteur totale $H$ du solide.
Calculer $d$, distance du sommet au plan : souvent $d = H - h$, où $h$ est la distance de la base au plan.
Calculer le rapport $k = \dfrac{d}{H}$.
Multiplier chaque dimension de la base par $k$ : $\ell = k \times L$ ou $r = k \times R$.
Calculer l'aire si nécessaire : $\mathcal{A}_{\text{section}} = k^2 \times \mathcal{A}_{\text{base}}$.

Erreurs fréquentes

Prendre $d = h$ (distance base–plan) au lieu de $d = H - h$ (distance sommet–plan). Le rapport $k$ se calcule depuis le sommet.
Confondre prisme et pyramide : la section d'un prisme parallèle aux bases est congrue à la base (mêmes dimensions) ; celle d'une pyramide est semblable (dimensions réduites).
Croire qu'un plan quelconque d'un cylindre donne toujours un disque : un plan contenant l'axe donne un rectangle de dimensions $2R \times H$.
Calculer l'aire de la section en multipliant l'aire de la base par $k$ : il faut multiplier par $k^2$, car les aires sont homogènes à des longueurs au carré.