Tu n’as jamais vu cette notion mais tu as un contrôle dans deux jours ? Pas de panique, on va apprendre l’essentiel en un temps record. D’abord, assure-toi de savoir calculer des carrés et des cubes (par exemple $3^2=9$, $3^3=27$) et connaître $\pi \approx 3{,}14$. C’est tout ce qu’il te faut ! On y va.
Qu’est-ce qu’une sphère et une boule ?
Une sphère de centre $O$ et de rayon $r$ est l’ensemble des points de l’espace situés à la distance $r$ de $O$. Imagine la peau d’un ballon : c’est la surface. La boule est le solide plein délimité par cette sphère (l’intérieur du ballon).
On mesure deux choses :
- l’aire (ou surface) de la sphère, en $\text{cm}^2$, $\text{m}^2$…
- le volume de la boule, en $\text{cm}^3$, $\text{m}^3$…
Si on te donne le diamètre $d$ au lieu du rayon, souviens-toi que $r = \dfrac{d}{2}$.
Les formules à connaître par cœur
Aire d’une sphère : $A = 4\pi r^2$
Volume d’une boule : $V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$
$r$ est le rayon. Dans les deux cas, on ne fait qu’élever $r$ à la puissance 2 ou 3, et multiplier par $4\pi$ ou $\dfrac{4}{3}\pi$.
Premiers calculs — méthode express
On va appliquer directement pour une sphère de rayon $r = 5$ cm.
1) Calculer $r^2 = 5^2 = 25$
2) $A = 4\pi \times 25 = 100\pi \approx 314{,}2 \text{ cm}^2$
3) Calculer $r^3 = 5^3 = 125$
4) $V = \dfrac{4}{3}\pi \times 125 = \dfrac{500\pi}{3} \approx 523{,}6 \text{ cm}^3$
Astuce : toujours écrire la valeur exacte avec $\pi$, puis l’arrondi.
À toi de jouer
1. Complète les définitions :
Une sphère de centre $O$ et de rayon $r$ est l’ensemble des points situés à une distance $\underline{\hspace{1.1em}}$ de $O$. La $\underline{\hspace{1.1em}}$ est le solide plein délimité par la sphère. L’aire se mesure en $\underline{\hspace{1.1em}}$ (par exemple $\text{cm}^2$), le volume en $\underline{\hspace{1.1em}}$ (par exemple $\text{cm}^3$). Si le diamètre $d$ est donné, le rayon $r = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{2}$.
Corrigé
Une sphère de centre $O$ et de rayon $r$ est l’ensemble des points situés à une distance $r$ de $O$. La boule est le solide plein délimité par la sphère. L’aire se mesure en unités de surface (par exemple $\text{cm}^2$), le volume en unités de volume (par exemple $\text{cm}^3$). Si le diamètre $d$ est donné, le rayon $r = \dfrac{d}{2}$.
2. Associe chaque formule à la bonne grandeur :
$4\pi r^2$ $\rightarrow$ $\underline{\hspace{1.1em}}$ (aire / volume)
$\dfrac{4}{3}\pi r^3$ $\rightarrow$ $\underline{\hspace{1.1em}}$ (aire / volume)
Corrigé
$4\pi r^2$ $\rightarrow$ aire
$\dfrac{4}{3}\pi r^3$ $\rightarrow$ volume
3. Complète le calcul pour une sphère de rayon $r = 3$ cm :
$r^2 = 3^2 = \underline{\hspace{1.1em}}$
$A = 4\pi \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}} \pi \text{ cm}^2$
$r^3 = 3^3 = \underline{\hspace{1.1em}}$
$V = \dfrac{4}{3}\pi \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}} \pi \text{ cm}^3$
Arrondis à $0{,}1$ près : $A \approx \underline{\hspace{1.1em}} \text{ cm}^2$, $V \approx \underline{\hspace{1.1em}} \text{ cm}^3$ (prends $\pi \approx 3{,}14$).
Corrigé
On applique les formules pour une sphère de rayon $r = 3$ cm.
Étape 1 — Carré et cube du rayon
$r^2 = 3^2 = 9$
$r^3 = 3^3 = 27$
Étape 2 — Aire de la sphère
$A = 4\pi \times 9 = 36\pi \text{ cm}^2$
Étape 3 — Volume de la sphère
$V = \dfrac{4}{3}\pi \times 27 = \dfrac{4 \times 27}{3}\pi = \dfrac{108}{3}\pi = 36\pi \text{ cm}^3$
Étape 4 — Approximations avec $\pi \approx 3{,}14$
$A \approx 36 \times 3{,}14 = 113{,}04 \approx 113{,}0 \text{ cm}^2$
$V \approx 36 \times 3{,}14 = 113{,}04 \approx 113{,}0 \text{ cm}^3$
Remarque : $36 \times 3{,}14 = 113{,}04$, ce qui s'arrondit à $113{,}0$ au dixième près, et non à $113{,}1$.
Oui, tu as vu ça l’an dernier ou en début d’année ! L’aire c’est la surface de la peau, le volume c’est ce qu’il y a à l’intérieur. On va revoir proprement la marche à suivre pour ne plus se tromper. Allez, on réactive !
La méthode en 4 étapes
Étape 1 : Identifie le rayon $r$. Si on te donne le diamètre $d$, calcule $r = \dfrac{d}{2}$.
Étape 2 : Pour l’aire, calcule $r^2$, puis $A = 4\pi r^2$.
Étape 3 : Pour le volume, calcule $r^3$, puis $V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$.
Étape 4 : Écris la valeur exacte (avec $\pi$) et l’arrondi demandé. Vérifie les unités : $r$ en cm donne $A$ en cm² et $V$ en cm³.
Erreurs fréquentes :
- Prendre le diamètre pour le rayon : si $d=8$ cm, alors $r=4$ cm, pas 8 !
- Confondre $r^2$ et $r^3$ : l’aire utilise le carré, le volume le cube.
- Oublier $\dfrac{4}{3}$ dans le volume : ce n’est pas juste $\pi r^3$.
À toi de jouer
1. Complète le calcul pour une sphère de diamètre $d = 10$ cm :
Rayon $r = \dfrac{d}{2} = \dfrac{10}{2} = \underline{\hspace{1.1em}}$ cm.
Aire : calcule $r^2 = \underline{\hspace{1.1em}}$, puis $A = 4\pi \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}\pi \text{ cm}^2$.
Volume : calcule $r^3 = \underline{\hspace{1.1em}}$, puis $V = \dfrac{4}{3}\pi \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}\pi \text{ cm}^3$.
Arrondis à $0{,}1$ près : $A \approx \underline{\hspace{1.1em}} \text{ cm}^2$, $V \approx \underline{\hspace{1.1em}} \text{ cm}^3$.
Corrigé
Rayon $r = 5$ cm. $r^2 = 25$ ; $A = 4\pi \times 25 = 100\pi \text{ cm}^2$ ; $r^3 = 125$ ; $V = \dfrac{4}{3}\pi \times 125 = \dfrac{500}{3}\pi \text{ cm}^3$ ; $A \approx 314{,}2 \text{ cm}^2$ ; $V \approx 523{,}6 \text{ cm}^3$.
2. Même exercice pour $r = 4$ cm :
$r^2 = \underline{\hspace{1.1em}}$
$A = 4\pi \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}\pi \text{ cm}^2$
$r^3 = \underline{\hspace{1.1em}}$
$V = \dfrac{4}{3}\pi \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}\pi \text{ cm}^3$
Arrondis : $A \approx \underline{\hspace{1.1em}} \text{ cm}^2$, $V \approx \underline{\hspace{1.1em}} \text{ cm}^3$ ($\pi \approx 3{,}14$).
Corrigé
Pour $r = 4$ cm :
$r^2 = 16$
$A = 4\pi \times 16 = 64\pi \text{ cm}^2$
$r^3 = 64$
$V = \dfrac{4}{3}\pi \times 64 = \dfrac{256}{3}\pi \text{ cm}^3$
Valeurs approchées avec $\pi \approx 3{,}14$ :
$A \approx 64 \times 3{,}14 = 200{,}96 \approx 201{,}0 \text{ cm}^2$
$V \approx \dfrac{256}{3} \times 3{,}14 = \dfrac{803{,}84}{3} \approx 267{,}9 \text{ cm}^3$
3. Calcule l’aire et le volume d’une sphère de diamètre $16$ cm. Déroule toutes les étapes.
Corrigé
Rayon $r = 8$ cm.
$A = 4\pi \times 8^2 = 4\pi \times 64 = 256\pi \text{ cm}^2 \approx 804{,}2 \text{ cm}^2$.
$V = \dfrac{4}{3}\pi \times 8^3 = \dfrac{4}{3}\pi \times 512 = \dfrac{2048}{3}\pi \text{ cm}^3 \approx 2144{,}7 \text{ cm}^3$.
Maintenant, on va répéter le même calcul cinq fois de suite, avec des rayons différents. Simple, mécanique : tu vas voir, ça va rentrer tout seul. Prends ta calculatrice, on y va.
À toi de jouer
1. Soit une sphère de rayon $r = 2$ cm. $A = 4\pi \times 2^2 = \underline{\hspace{1.1em}}\pi \text{ cm}^2$ ; $V = \dfrac{4}{3}\pi \times 2^3 = \underline{\hspace{1.1em}}\pi \text{ cm}^3$.
Corrigé
$A = 16\pi \text{ cm}^2$ ; $V = \dfrac{32}{3}\pi \text{ cm}^3$.
2. Soit une sphère de rayon $r = 5$ cm. $A = 4\pi \times 5^2 = \underline{\hspace{1.1em}}\pi \text{ cm}^2$ ; $V = \dfrac{4}{3}\pi \times 5^3 = \underline{\hspace{1.1em}}\pi \text{ cm}^3$.
Corrigé
$A = 100\pi \text{ cm}^2$ ; $V = \dfrac{500}{3}\pi \text{ cm}^3$.
3. Soit une sphère de rayon $r = 3$ cm. $A = 4\pi \times 3^2 = \underline{\hspace{1.1em}}\pi \text{ cm}^2$ ; $V = \dfrac{4}{3}\pi \times 3^3 = \underline{\hspace{1.1em}}\pi \text{ cm}^3$.
Corrigé
$A = 36\pi \text{ cm}^2$ ; $V = 36\pi \text{ cm}^3$.
4. Soit une sphère de rayon $r = 10$ cm. $A = 4\pi \times 10^2 = \underline{\hspace{1.1em}}\pi \text{ cm}^2$ ; $V = \dfrac{4}{3}\pi \times 10^3 = \underline{\hspace{1.1em}}\pi \text{ cm}^3$.
Corrigé
$A = 400\pi \text{ cm}^2$ ; $V = \dfrac{4000}{3}\pi \text{ cm}^3$.
5. Soit une sphère de rayon $r = 1$ cm. $A = 4\pi \times 1^2 = \underline{\hspace{1.1em}}\pi \text{ cm}^2$ ; $V = \dfrac{4}{3}\pi \times 1^3 = \underline{\hspace{1.1em}}\pi \text{ cm}^3$.
Corrigé
$A = 4\pi \text{ cm}^2$ ; $V = \dfrac{4}{3}\pi \text{ cm}^3$.
Ça y est, on passe aux choses sérieuses : des exercices du type de ton contrôle, avec des problèmes et des raisonnements. Tu es prêt ? On ne te tient plus la main, à toi de jouer !
À toi de jouer
1. Calcule l’aire et le volume de chaque sphère. Donne d’abord la valeur exacte (avec $\pi$), puis une valeur approchée à $0{,}1$ près.
a) Sphère de rayon $r = 7$ cm.
b) Sphère de diamètre $d = 18$ cm.
Corrigé
a) $A = 4\pi \times 7^2 = 4\pi \times 49 = 196\pi \text{ cm}^2 \approx 615{,}8 \text{ cm}^2$ ; $V = \dfrac{4}{3}\pi \times 7^3 = \dfrac{4}{3}\pi \times 343 = \dfrac{1372}{3}\pi \text{ cm}^3 \approx 1436{,}8 \text{ cm}^3$.
b) $r = 9$ cm ; $A = 4\pi \times 9^2 = 4\pi \times 81 = 324\pi \text{ cm}^2 \approx 1017{,}9 \text{ cm}^2$ ; $V = \dfrac{4}{3}\pi \times 9^3 = \dfrac{4}{3}\pi \times 729 = 972\pi \text{ cm}^3 \approx 3053{,}6 \text{ cm}^3$.
2. Retrouve le rayon :
a) L’aire d’une sphère est $400\pi$ cm². Calcule son rayon.
b) Le volume d’une sphère est $972\pi$ cm³. Calcule son rayon.
Corrigé
a) $4\pi r^2 = 400\pi \Rightarrow r^2 = \dfrac{400\pi}{4\pi} = 100 \Rightarrow r = 10$ cm.
b) $\dfrac{4}{3}\pi r^3 = 972\pi \Rightarrow r^3 = 972 \times \dfrac{3}{4} = 729 \Rightarrow r = 9$ cm.
3. Un château d’eau a la forme d’une sphère de diamètre $6$ m. Calcule le volume du réservoir en m³, arrondi à $0{,}1$ m³. Puis déduis sa capacité en litres (1 m³ = 1 000 L).
Corrigé
Rayon $r = 3$ m. $V = \dfrac{4}{3}\pi \times 3^3 = \dfrac{4}{3}\pi \times 27 = 36\pi \text{ m}^3 \approx 113{,}1 \text{ m}^3$. Capacité $= 113{,}1 \times 1000 = 113 100$ litres.
4. On double le rayon : sphère A de rayon $2$ cm, sphère B de rayon $4$ cm.
a) Calcule l’aire de chaque sphère, puis le rapport $\dfrac{A_B}{A_A}$.
b) Calcule le volume de chaque sphère, puis le rapport $\dfrac{V_B}{V_A}$.
c) Généralise : que se passe-t-il lorsqu’on double le rayon ?
Corrigé
a) $A_A = 4\pi \times 2^2 = 16\pi \text{ cm}^2$ ; $A_B = 4\pi \times 4^2 = 64\pi \text{ cm}^2$ ; rapport $= 4$.
b) $V_A = \dfrac{4}{3}\pi \times 2^3 = \dfrac{32}{3}\pi \text{ cm}^3$ ; $V_B = \dfrac{4}{3}\pi \times 4^3 = \dfrac{256}{3}\pi \text{ cm}^3$ ; rapport $= 8$.
c) L’aire est multipliée par $4$ (soit $2^2$), le volume par $8$ (soit $2^3$).
Tu maîtrises le programme ? Parfait. On va maintenant jeter un œil à ce qu’on pourrait te demander l’an prochain ou en approfondissement. Deux exercices pour voir plus loin, avec des sphères dans des cubes et un rayon terrestre. Prêt pour le défi ?
À toi de jouer
1. Un cube a une arête de $10$ cm. On y inscrit une sphère, c’est-à-dire que la sphère touche toutes les faces du cube.
a) Quel est le rayon de cette sphère ?
b) Calcule le volume de la sphère en $\text{cm}^3$ (valeur exacte avec $\pi$).
c) Calcule le volume du cube. Quelle fraction du volume du cube la sphère occupe-t-elle ? (Arrondis le pourcentage à l’unité.)
Corrigé
a) Le rayon est la moitié de l’arête : $r = 5$ cm.
b) $V_{\text{sphère}} = \dfrac{4}{3}\pi \times 5^3 = \dfrac{500}{3}\pi \text{ cm}^3$.
c) $V_{\text{cube}} = 10^3 = 1000 \text{ cm}^3$. Fraction = $\dfrac{500\pi/3}{1000} = \dfrac{\pi}{6} \approx 0{,}5236$, soit $52\%$ (arrondi à l’unité).
2. Le volume de la Terre est d’environ $1{,}08321 \times 10^{12}$ km³. En considérant la Terre comme une sphère parfaite, calcule son rayon au km près. Utilise la formule $V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$ et la racine cubique.
Corrigé
$r^3 = \dfrac{3V}{4\pi} = \dfrac{3 \times 1{,}08321\cdot10^{12}}{4\pi} = \dfrac{3{,}24963\cdot10^{12}}{12{,}56637} \approx 2{,}586\cdot10^{11}$.
$r = \sqrt[3]{2{,}586\cdot10^{11}} \approx 6371$ km.
3. Une boule de pétanque a un diamètre extérieur de $8$ cm et une épaisseur de métal de $5$ mm. Calcule le volume de métal utilisé pour fabriquer cette boule. Donne la valeur exacte en $\text{cm}^3$ (avec $\pi$), puis l’arrondi à $0{,}1$ cm³.
Corrigé
Rayon extérieur $R = 4$ cm. Rayon intérieur $r = 4 - 0{,}5 = 3{,}5$ cm. Volume du métal = $\dfrac{4}{3}\pi (R^3 - r^3) = \dfrac{4}{3}\pi (64 - 42{,}875) = \dfrac{4}{3}\pi \times 21{,}125 = \dfrac{84{,}5}{3}\pi \approx 88{,}5 \text{ cm}^3$.