Sphère : aire et volume — Exercices

De l'application directe au raisonnement. Corrigé complet en fin de fiche.

⏱ ~25 min✎ Calculatrice autorisée

1Calcul direct/ 4 pts

Calcule l'aire et le volume de chaque sphère. Donne d'abord la valeur exacte (avec $\pi$), puis une valeur approchée à $0{,}1$ près.

Sphère de rayon $r = 5$ cm.
Sphère de diamètre $d = 12$ cm.

2Retrouver le rayon/ 4 pts

Calcule le rayon de chaque sphère à partir de la mesure donnée. Justifie chaque étape.

L'aire d'une sphère est $196\pi$ cm². Calcule son rayon.
Le volume d'une sphère est $288\pi$ cm³. Calcule son rayon.

3Problème — Château d'eau/ 4 pts

Un château d'eau a la forme d'une sphère de diamètre $4$ m.

Calcule le volume du réservoir en m³, arrondi à $0{,}1$ m³.
Sachant qu'un mètre cube équivaut à $1\,000$ litres, déduis la capacité du réservoir en litres.

4Calcul malin — Doubler le rayon/ 4 pts

On considère la sphère $A$ de rayon $3$ cm et la sphère $B$ de rayon $6$ cm (rayon double).

Calcule l'aire de chaque sphère, puis le rapport $\dfrac{A_B}{A_A}$.
Calcule le volume de chaque sphère, puis le rapport $\dfrac{V_B}{V_A}$.
Que se passe-t-il, en général, lorsqu'on double le rayon d'une sphère ?

Corrigé détaillé

1Calcul direct

a) Aire $A = 4\pi \times 5^2 = 4\pi \times 25 =$ $100\pi \approx 314{,}2 \text{ cm}^2$

a) Volume $V = \dfrac{4}{3}\pi \times 5^3 = \dfrac{4}{3}\pi \times 125 =$ $\dfrac{500\pi}{3} \approx 523{,}6 \text{ cm}^3$

b) Rayon $r = \dfrac{12}{2} =$ $6 \text{ cm}$

b) Aire $A = 4\pi \times 6^2 = 4\pi \times 36 =$ $144\pi \approx 452{,}4 \text{ cm}^2$

b) Volume $V = \dfrac{4}{3}\pi \times 6^3 = \dfrac{4}{3}\pi \times 216 =$ $288\pi \approx 904{,}8 \text{ cm}^3$

2Retrouver le rayon

a) $4\pi r^2 = 196\pi \Rightarrow r^2 = \dfrac{196\pi}{4\pi} = 49 \Rightarrow r =$ $7 \text{ cm}$

b) $\dfrac{4}{3}\pi r^3 = 288\pi \Rightarrow r^3 = 288 \times \dfrac{3}{4} = 216 \Rightarrow r =$ $6 \text{ cm}$

3Château d'eau

Rayon $r = \dfrac{4}{2} =$ $2 \text{ m}$

a) Volume $V = \dfrac{4}{3}\pi \times 2^3 = \dfrac{4}{3}\pi \times 8 = \dfrac{32\pi}{3} \approx$ $33{,}5 \text{ m}^3$

b) Capacité $33{,}5 \times 1\,000 =$ $33\,500 \text{ litres}$

4Doubler le rayon

a) Aires $A_A = 4\pi \times 3^2 = 36\pi \text{ cm}^2 \quad ; \quad A_B = 4\pi \times 6^2 = 144\pi \text{ cm}^2$ $\dfrac{A_B}{A_A} = \dfrac{144\pi}{36\pi} = 4$

b) Volumes $V_A = \dfrac{4}{3}\pi \times 3^3 = 36\pi \text{ cm}^3 \quad ; \quad V_B = \dfrac{4}{3}\pi \times 6^3 = 288\pi \text{ cm}^3$ $\dfrac{V_B}{V_A} = \dfrac{288\pi}{36\pi} = 8$

c) Conclusion $\text{Multiplier le rayon par } 2 \Rightarrow \text{aire multipliée par } 2^2 = 4 \text{ ; volume multiplié par } 2^3 =$ $8$