Sphère : aire et volume

Deux formules, un seul paramètre : le rayon. Surface et espace intérieur d'une sphère en quelques calculs.

1 L'idée

Une sphère de centre $O$ et de rayon $r$ est l'ensemble des points de l'espace situés à la distance $r$ de $O$. La boule est le solide plein qu'elle délimite.

On mesure deux choses :

l'aire (ou surface) : la mesure de la « peau » de la sphère, exprimée en cm², m²… ;
le volume : l'espace intérieur de la boule, exprimé en cm³, m³…

Les deux formules ne dépendent que du rayon $r$. Si l'on connaît le diamètre $d$, on pose $r = \dfrac{d}{2}$ avant d'appliquer une formule.

2 Les formules

Aire d'une sphère

$A = 4\pi r^2$

Volume d'une sphère

$V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$

3 Exemples calculés

Sphère de rayon 6 cm

$A = 4\pi \times 6^2 = 4\pi \times 36 = 144\pi \approx 452{,}4 \text{ cm}^2$

$V = \dfrac{4}{3}\pi \times 6^3 = \dfrac{4}{3}\pi \times 216 = 288\pi \approx 904{,}8 \text{ cm}^3$

Sphère de diamètre 10 cm

$r = \dfrac{10}{2} = 5 \text{ cm}$

$A = 4\pi \times 5^2 = 100\pi \approx 314{,}2 \text{ cm}^2$

$V = \dfrac{4}{3}\pi \times 5^3 = \dfrac{500\pi}{3} \approx 523{,}6 \text{ cm}^3$

Méthode — Calcul pas à pas

Identifier le rayon $r$. Si le diamètre $d$ est donné, calculer $r = \dfrac{d}{2}$.
Calculer $r^2$ puis appliquer $A = 4\pi r^2$.
Calculer $r^3$ puis appliquer $V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$.
Écrire la valeur exacte (avec $\pi$), puis arrondir si demandé.

Erreurs fréquentes

Prendre le diamètre pour le rayon : si $d = 8$ cm, alors $r = 4$ cm, pas $r = 8$ cm.
Confondre les exposants : l'aire utilise $r^2$, le volume utilise $r^3$.
Oublier le facteur $\dfrac{4}{3}$ dans le volume : $V = \dfrac{4}{3}\pi r^3$, pas $\pi r^3$.
Mélanger les unités : $r$ en cm $\Rightarrow$ $A$ en cm², $V$ en cm³.