Trigonométrie — Exercices

Identifier les rapports, calculer côtés et angles, résoudre un problème concret.

⏱ ~30 min✎ Calculatrice autorisée

1Lire les rapports trigonométriques/ 4 pts

Le triangle ABC est rectangle en C. On donne AB = 13 cm, BC = 5 cm et AC = 12 cm.

Écrire $\sin(\widehat{B})$, $\cos(\widehat{B})$ et $\tan(\widehat{B})$ sous forme de fractions.
Écrire $\sin(\widehat{A})$, $\cos(\widehat{A})$ et $\tan(\widehat{A})$ sous forme de fractions.

2Calculer un côté manquant/ 4 pts

Le triangle PQR est rectangle en R. On donne $\widehat{P} = 42°$ et PQ = 15 cm.

Calculer QR (arrondir au centième de cm).
Calculer PR (arrondir au centième de cm).

3Calculer un angle/ 4 pts

Le triangle DEF est rectangle en F. On donne DE = 10 cm et DF = 8 cm.

Calculer EF à l'aide du théorème de Pythagore.
En déduire $\sin(\widehat{D})$, puis la mesure de l'angle $\widehat{D}$ (arrondir à $1°$).

4Problème concret — l'échelle/ 4 pts

Une échelle de 6 m est appuyée contre un mur vertical. Elle fait un angle de 65° avec le sol.

Calculer la hauteur $h$ à laquelle l'échelle touche le mur (arrondir au cm).
Calculer la distance $d$ entre le pied de l'échelle et le mur (arrondir au cm).

Corrigé détaillé

1Lire les rapports trigonométriques

Identification $\text{Angle droit en C} \Rightarrow \text{hypoténuse} = AB = 13 \text{ cm}$ $\text{Vérif. : } 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2 \checkmark$

a) Angle B $\text{Opp}(B) = AC = 12,\; \text{Adj}(B) = BC = 5,\; \text{Hyp} = 13$ $\sin(\widehat{B}) = \dfrac{12}{13},\quad \cos(\widehat{B}) = \dfrac{5}{13},\quad \tan(\widehat{B}) = \dfrac{12}{5}$

b) Angle A $\text{Opp}(A) = BC = 5,\; \text{Adj}(A) = AC = 12,\; \text{Hyp} = 13$ $\sin(\widehat{A}) = \dfrac{5}{13},\quad \cos(\widehat{A}) = \dfrac{12}{13},\quad \tan(\widehat{A}) = \dfrac{5}{12}$

2Calculer un côté manquant

a) QR $\sin(\widehat{P}) = \dfrac{QR}{PQ} \Rightarrow QR = 15 \times \sin(42°) = 15 \times 0{,}6691 \approx$ $QR \approx 10{,}04 \text{ cm}$

b) PR $\cos(\widehat{P}) = \dfrac{PR}{PQ} \Rightarrow PR = 15 \times \cos(42°) = 15 \times 0{,}7431 \approx$ $PR \approx 11{,}15 \text{ cm}$

Vérif. $10{,}04^2 + 11{,}15^2 \approx 100{,}80 + 124{,}32 = 225{,}12 \approx 225 = 15^2$ $\checkmark$

3Calculer un angle

a) EF $EF^2 = DE^2 - DF^2 = 10^2 - 8^2 = 100 - 64 = 36 \Rightarrow EF = \sqrt{36} =$ $EF = 6 \text{ cm}$

b) Angle D $\sin(\widehat{D}) = \dfrac{EF}{DE} = \dfrac{6}{10} = 0{,}6 \Rightarrow \widehat{D} = \sin^{-1}(0{,}6) \approx$ $\widehat{D} \approx 37°$

4Problème concret — l'échelle

Mise en place $\text{Hypoténuse = échelle = 6 m} \;; \; \text{angle au sol} = 65°$ $\text{Opp} = h \text{ (hauteur mur)} \;; \; \text{Adj} = d \text{ (distance au mur)}$

a) Hauteur h $\sin(65°) = \dfrac{h}{6} \Rightarrow h = 6 \times \sin(65°) = 6 \times 0{,}9063 \approx$ $h \approx 5{,}44 \text{ m}$

b) Distance d $\cos(65°) = \dfrac{d}{6} \Rightarrow d = 6 \times \cos(65°) = 6 \times 0{,}4226 \approx$ $d \approx 2{,}54 \text{ m}$

Vérif. $5{,}44^2 + 2{,}54^2 \approx 29{,}59 + 6{,}45 = 36{,}04 \approx 36 = 6^2$ $\checkmark$