Mathématiques · 3e

Trigonométrie : sinus, cosinus, tangente

J'ai pas vu ça mais j'ai contrôleÇa me dit un truc en faitOn s'échauffeOn sécurise le contrôleOn préshot l'année prochaine

Pas de panique, on repart de zéro. D'abord, on réveille le <strong>cosinus</strong> de 4<sup>e</sup>. Ensuite, on ajoute sinus et tangente. Suis le guide : les côtés, les rapports, et tu pourras déjà parler trigo.

Le cosinus, tu connais déjà

En 4^e, tu as appris que dans un triangle rectangle, le cosinus d'un angle aigu est le rapport de la longueur du côté adjacent à l'angle sur la longueur de l'hypoténuse.

Exemple : dans le triangle ABC ci-dessous, rectangle en C, pour l'angle A, le côté adjacent est AC et l'hypoténuse est AB. Donc
$\cos(\widehat{A}) = \dfrac{AC}{AB}$.

Les trois rapports trigonométriques

En 3^e, on ajoute deux autres rapports : le sinus et la tangente. Voilà les définitions, valables pour tout angle aigu non droit dans un triangle rectangle :

Sinus : $\sin(\widehat{A}) = \dfrac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}}$
Cosinus : $\cos(\widehat{A}) = \dfrac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}$
Tangente : $\tan(\widehat{A}) = \dfrac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}}$

Pour un angle aigu donné, le côté opposé est le côté qui ne touche pas l'angle (sauf par l'hypoténuse) ; le côté adjacent est l'autre côté qui forme l'angle, hors hypoténuse.
Petit truc : l'hypoténuse est toujours le plus grand côté, en face de l'angle droit.

À toi de jouer

1. On considère le triangle ABC rectangle en C représenté ci-dessous.
Pour l'angle $\widehat{B}$ :
- l'hypoténuse est $\underline{\hspace{1.1em}}$ (c'est le côté le plus long, en face de l'angle droit) ;
- le côté opposé à $\widehat{B}$ est $\underline{\hspace{1.1em}}$ ;
- le côté adjacent à $\widehat{B}$ est $\underline{\hspace{1.1em}}$.

Corrigé

- l'hypoténuse est $AB$ ;
- le côté opposé à $\widehat{B}$ est $AC$ ;
- le côté adjacent à $\widehat{B}$ est $BC$.

2. Complète les égalités pour l'angle $\widehat{B}$ :
$\sin(\widehat{B}) = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
$\cos(\widehat{B}) = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
$\tan(\widehat{B}) = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$

Corrigé

$\sin(\widehat{B}) = \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{8}{10} = 0{,}8$
$\cos(\widehat{B}) = \dfrac{BC}{AB} = \dfrac{6}{10} = 0{,}6$
$\tan(\widehat{B}) = \dfrac{AC}{BC} = \dfrac{8}{6} = \dfrac{4}{3} \approx 1{,}33$

3. Même chose pour l'angle $\widehat{A}$ :
$\sin(\widehat{A}) = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
$\cos(\widehat{A}) = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
$\tan(\widehat{A}) = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$

Corrigé

$\sin(\widehat{A}) = \dfrac{BC}{AB} = \dfrac{6}{10} = 0{,}6$
$\cos(\widehat{A}) = \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{8}{10} = 0{,}8$
$\tan(\widehat{A}) = \dfrac{BC}{AC} = \dfrac{6}{8} = \dfrac{3}{4} = 0{,}75$

Tu te rappelles des formules ? Parfait. Maintenant, on va apprendre à s’en servir pour calculer un côté ou un angle. La méthode en 4 étapes, tes pas, et c’est gagné.

Méthode : calculer un côté inconnu

Voici la marche à suivre, illustrée avec un exemple.

Exemple : Triangle ABC rectangle en C. On donne $\widehat{B}=30°$ et AB = 10 cm. On cherche AC.

Hypoténuse : AB (le côté en face de l'angle droit).
Côtés : pour $\widehat{B}$, AC est le côté opposé ; BC est le côté adjacent.
Formule : on connaît l'hypoténuse AB, on cherche l'opposé AC → c'est le sinus. $\sin(\widehat{B}) = \dfrac{AC}{AB}$.
Résolution : on isole l'inconnue. Si elle est au numérateur, on multiplie : $AC = AB \times \sin(30°) = 10 \times 0{,}5 = 5$ cm.

En résumé : on repère hypoténuse, opposé, adjacent pour l'angle choisi, on choisit sin/cos/tan selon le couple (connu, inconnu), on écrit la formule, on résout (multiplication si l'inconnu est au numérateur, division si au dénominateur).

Méthode : calculer un angle inconnu

Quand on connaît deux longueurs, on peut retrouver l'angle aigu correspondant avec les touches $\sin^{-1}$, $\cos^{-1}$, $\tan^{-1}$ de la calculatrice (vérifie qu'elle est en mode DEG).

Exemple : Triangle DEF rectangle en F, avec DF = 8 cm et DE = 10 cm. Calcule $\widehat{D}$.
Étapes : hypoténuse = DE ; pour $\widehat{D}$, adjacent = DF. On choisit $\cos : \cos(\widehat{D}) = \dfrac{DF}{DE} = \dfrac{8}{10} = 0{,}8$. Donc $\widehat{D} = \cos^{-1}(0{,}8) \approx 37°$.

À toi de jouer

1. Dans le triangle PQR rectangle en R, on a $\widehat{P}=40°$ et PQ = 12 cm.
Étape 1 : Repère l'hypoténuse : c'est $\underline{\hspace{1.1em}}$.
Étape 2 : Pour l'angle $\widehat{P}$, quel côté connaît-on ? $\underline{\hspace{1.1em}}$. Quel côté cherche-t-on ? $\underline{\hspace{1.1em}}$ (c'est le côté ... à $\widehat{P}$).
Étape 3 : On choisit la formule : $\underline{\hspace{1.1em}}(\widehat{P}) = \dfrac{\text{côté }\underline{\hspace{1.1em}}}{\text{côté }\underline{\hspace{1.1em}}}$, donc ici $\underline{\hspace{1.1em}}(40°) = \dfrac{QR}{PQ}$.
Étape 4 : On résout : QR = PQ × $\underline{\hspace{1.1em}}(40°) = 12 \times \underline{\hspace{1.1em}} \approx \underline{\hspace{1.1em}}$ cm (arrondir au dixième).

Corrigé

Étape 1 : PQ
Étape 2 : connu : PQ (l'hypoténuse) ; cherché : QR (le côté opposé)
Étape 3 : sin ; opposé ; hypoténuse ; sin
Étape 4 : sin ; 0{,}643 ; 7{,}7 (12 × sin40° ≈ 12 × 0,6428 = 7,7136 → 7,7 cm)

2. On reprend le même triangle PQR. Calcule PR (arrondir au dixième).
Étape 1 : Hypoténuse : $\underline{\hspace{1.1em}}$.
Étape 2 : On connaît $\underline{\hspace{1.1em}}$, on cherche $\underline{\hspace{1.1em}}$ (c'est le côté adjacent à $\widehat{P}$).
Étape 3 : $\underline{\hspace{1.1em}}(\widehat{P}) = \dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}} \Rightarrow \underline{\hspace{1.1em}}(40°) = \dfrac{PR}{PQ}$
Étape 4 : PR = PQ × $\underline{\hspace{1.1em}}(40°) = 12 \times \underline{\hspace{1.1em}} \approx \underline{\hspace{1.1em}}$ cm.

Corrigé

Étape 1 : PQ
Étape 2 : connu : PQ (hypoténuse) ; cherché : PR (adjacent)
Étape 3 : cos ; cos
Étape 4 : cos ; 0{,}766 ; 9{,}2 (12 × cos40° ≈ 12 × 0,7660 = 9,192 → 9,2 cm)

3. Triangle DEF rectangle en F, avec DE = 15 cm et DF = 9 cm.
Étape 1 : L'hypoténuse est $\underline{\hspace{1.1em}}$ (côté opposé à l'angle droit).
Étape 2 : Pour $\widehat{D}$, le côté adjacent déjà connu est $\underline{\hspace{1.1em}}$, et l'hypoténuse est DE.
Étape 3 : On utilise $\underline{\hspace{1.1em}}(\widehat{D}) = \dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}} = \dfrac{DF}{DE} = \dfrac{9}{15} = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Étape 4 : Donc $\widehat{D} = \cos^{-1}(\underline{\hspace{1.1em}}) \approx \underline{\hspace{1.1em}}°$ (arrondir à 1°).

Corrigé

Étape 1 : DE
Étape 2 : DF
Étape 3 : cos ; 0{,}6
Étape 4 : 0{,}6 ; 53 (cos⁻¹(0,6) ≈ 53,13° → 53°)

Cinq exercices quasi identiques pour que ça devienne un réflexe. Prends ta calculette, c’est parti !

À toi de jouer

1. Triangle ABC rectangle en C. On donne $\widehat{B}=30°$ et AB = 8 cm.
Calcule AC (arrondir au dixième).
$\sin(30°) = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}}$ donc AC = $\underline{\hspace{1.1em}} \times \sin(30°) = \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ cm.

Corrigé

$\sin(30°) = \dfrac{AC}{AB}$ donc AC = $AB \times \sin(30°) = 8 \times 0{,}5 = 4$ cm.

2. Triangle DEF rectangle en F. On donne $\widehat{D}=45°$ et DE = 10 cm.
Calcule DF (arrondir au dixième).
$\cos(45°) = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}}$ donc DF = $\underline{\hspace{1.1em}} \times \cos(45°) = \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ cm.

Corrigé

$\cos(45°) = \dfrac{DF}{DE}$ donc DF = $DE \times \cos(45°) = 10 \times 0{,}7071... \approx 7{,}1$ cm.

3. Triangle GHI rectangle en I. On donne $\widehat{G}=60°$ et GH = 15 cm.
Calcule GI (arrondir au dixième).
$\cos(60°) = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}}$ donc GI = $\underline{\hspace{1.1em}} \times \cos(60°) = \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ cm.

Corrigé

$\cos(60°) = \dfrac{GI}{GH}$ donc GI = $GH \times \cos(60°) = 15 \times 0{,}5 = 7{,}5$ cm.

4. Triangle JKL rectangle en L. On donne $\widehat{J}=25°$ et JK = 12 cm.
Calcule KL (arrondir au dixième).
$\sin(25°) = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}}$ donc KL = $\underline{\hspace{1.1em}} \times \sin(25°) = \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} \approx \underline{\hspace{1.1em}}$ cm.

Corrigé

$\sin(25°) = \dfrac{KL}{JK}$ donc KL = $JK \times \sin(25°) = 12 \times 0{,}4226... \approx 5{,}1$ cm.

5. Triangle MNO rectangle en O. On donne $\widehat{M}=35°$ et MN = 20 cm.
Calcule NO (arrondir au dixième).
$\sin(35°) = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}}$ donc NO = $\underline{\hspace{1.1em}} \times \sin(35°) = \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} \approx \underline{\hspace{1.1em}}$ cm.

Corrigé

$\sin(35°) = \dfrac{NO}{MN}$ donc NO = $MN \times \sin(35°) = 20 \times 0{,}5736... \approx 11{,}5$ cm.

Maintenant, place aux exercices type brevet. Comme en contrôle, sans filet. Montre que tu maîtrises !

À toi de jouer

1. Le triangle ABC est rectangle en C. On donne AB = 13 cm, BC = 5 cm et AC = 12 cm.
Écrire $\sin(\widehat{B})$, $\cos(\widehat{B})$ et $\tan(\widehat{B})$ sous forme de fractions.
Écrire ensuite $\sin(\widehat{A})$, $\cos(\widehat{A})$ et $\tan(\widehat{A})$ sous forme de fractions.

Corrigé

Pour $\widehat{B}$ :
$\sin(\widehat{B}) = \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{12}{13}$
$\cos(\widehat{B}) = \dfrac{BC}{AB} = \dfrac{5}{13}$
$\tan(\widehat{B}) = \dfrac{AC}{BC} = \dfrac{12}{5}$
Pour $\widehat{A}$ :
$\sin(\widehat{A}) = \dfrac{BC}{AB} = \dfrac{5}{13}$
$\cos(\widehat{A}) = \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{12}{13}$
$\tan(\widehat{A}) = \dfrac{BC}{AC} = \dfrac{5}{12}$

2. Le triangle PQR est rectangle en R. On donne $\widehat{P} = 42°$ et PQ = 15 cm.
a) Calcule QR (arrondir au centième de cm).
b) Calcule PR (arrondir au centième de cm).

Corrigé

a) $\sin(\widehat{P}) = \dfrac{QR}{PQ}$ donc $QR = 15 \times \sin(42°) \approx 15 \times 0{,}6691 = 10{,}04$ cm.
b) $\cos(\widehat{P}) = \dfrac{PR}{PQ}$ donc $PR = 15 \times \cos(42°) \approx 15 \times 0{,}7431 = 11{,}15$ cm.

3. Le triangle DEF est rectangle en F. On donne DE = 10 cm et DF = 8 cm.
a) Calcule EF à l'aide du théorème de Pythagore.
b) Déduis-en $\sin(\widehat{D})$, puis la mesure de l'angle $\widehat{D}$ (arrondir à 1°).

Corrigé

a) Par Pythagore : $EF^2 = DE^2 - DF^2 = 10^2 - 8^2 = 100 - 64 = 36$, donc $EF = \sqrt{36} = 6$ cm.
b) $\sin(\widehat{D}) = \dfrac{EF}{DE} = \dfrac{6}{10} = 0{,}6$. Donc $\widehat{D} = \sin^{-1}(0{,}6) \approx 37°$.

4. Une échelle de 6 m est appuyée contre un mur vertical. Elle fait un angle de 65° avec le sol.
a) Calcule la hauteur $h$ à laquelle l'échelle touche le mur (arrondir au cm).
b) Calcule la distance $d$ entre le pied de l'échelle et le mur (arrondir au cm).

Corrigé

L'échelle, le mur et le sol forment un triangle rectangle où l'hypoténuse est l'échelle (6 m). L'angle au sol est 65°.
a) $\sin(65°) = \dfrac{h}{6}$ donc $h = 6 \times \sin(65°) \approx 6 \times 0{,}9063 = 5{,}44$ m, soit 544 cm.
b) $\cos(65°) = \dfrac{d}{6}$ donc $d = 6 \times \cos(65°) \approx 6 \times 0{,}4226 = 2{,}54$ m, soit 254 cm.

On pousse un peu plus loin : situations plus complexes, mélanges de techniques. De quoi briller au lycée !

À toi de jouer

1. Dans le triangle XYZ, les angles $\widehat{Y}$ et $\widehat{Z}$ mesurent respectivement 50° et 40°. On donne XY = 10 cm. La hauteur issue de X coupe [YZ] en H.
a) Dans le triangle XYH rectangle en H, calcule la longueur XH (au dixième).
b) Déduis-en la longueur XZ en utilisant le triangle XHZ.

Corrigé

a) Dans le triangle XYH rectangle en H, l'angle $\widehat{Y} = 50°$ et XY = 10 cm est l'hypoténuse. Le côté XH est le côté opposé à l'angle $\widehat{Y}$, donc :

$\sin(50°) = \dfrac{XH}{XY} = \dfrac{XH}{10}$

$XH = 10 \times \sin(50°) \approx 10 \times 0{,}766 \approx 7{,}66$ cm

Arrondi au dixième : $XH \approx 7{,}7$ cm.

b) Dans le triangle XHZ rectangle en H, l'angle $\widehat{Z} = 40°$ et XH $\approx$ 7,7 cm (résultat arrondi au dixième obtenu en a). Le côté XH est opposé à l'angle $\widehat{Z}$ et XZ est l'hypoténuse, donc :

$\sin(40°) = \dfrac{XH}{XZ} = \dfrac{7{,}7}{XZ}$

$XZ = \dfrac{7{,}7}{\sin(40°)} \approx \dfrac{7{,}7}{0{,}643} \approx 12{,}0$ cm.

2. Depuis un point O au sol, un observateur vise le sommet d'une tour verticale. Avec des instruments, il mesure un angle d'élévation de 30° par rapport à l'horizontale. Il recule ensuite de 50 m (toujours dans l'axe). L'angle d'élévation n'est plus que de 20°.
Calcule la hauteur $h$ de la tour et sa distance initiale $d$ (arrondir au centième).

Corrigé

Soit $h$ la hauteur de la tour et $d$ la distance initiale du point O au pied de la tour.

D'après les angles d'élévation :
$\tan(30°) = \dfrac{h}{d}$ et $\tan(20°) = \dfrac{h}{d+50}$

On tire $h = d\tan(30°)$ et $h = (d+50)\tan(20°)$, ce qui donne :
$d\tan(30°) = (d+50)\tan(20°)$
$d\bigl(\tan(30°) - \tan(20°)\bigr) = 50\tan(20°)$
$d = \dfrac{50\tan(20°)}{\tan(30°) - \tan(20°)}$

Avec $\tan(30°) \approx 0{,}57735$ et $\tan(20°) \approx 0{,}36397$ :
$d = \dfrac{50 \times 0{,}36397}{0{,}57735 - 0{,}36397} = \dfrac{18{,}1985}{0{,}21338}$

Vérifions la division : $0{,}21338 \times 85{,}28 \approx 18{,}197$ et $0{,}21338 \times 85{,}29 \approx 18{,}199$, donc le quotient vaut bien $\approx 85{,}29$ et non $85{,}31$ comme indiqué dans la version précédente.

$d \approx 85{,}29$ m

On calcule ensuite la hauteur :
$h = d\tan(30°) \approx 85{,}29 \times 0{,}57735 \approx 49{,}24$ m

$h \approx 49{,}24$ m

La tour mesure environ $49{,}24$ m et la distance initiale est $d \approx 85{,}29$ m.

3. On considère un triangle équilatéral ABC de côté 1. La hauteur issue de A coupe [BC] en H.
a) Calcule la longueur AH (valeur exacte).
b) À l'aide du triangle ABH, donne les valeurs exactes de $\sin(30°)$, $\cos(30°)$ et $\tan(30°)$.
c) Toujours dans ABH, donne les valeurs exactes de $\sin(60°)$, $\cos(60°)$ et $\tan(60°)$.

Corrigé

a) ABC équilatéral, donc BH = HC = 0,5. Par Pythagore dans ABH : $AH^2 = AB^2 - BH^2 = 1^2 - 0{,}5^2 = 1 - 0{,}25 = 0{,}75 = \dfrac{3}{4}$. Donc $AH = \sqrt{\dfrac{3}{4}} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
b) Dans ABH rectangle en H, l'angle en B est 60°, donc $\widehat{BAH} = 30°$.
$\sin(30°) = \dfrac{BH}{AB} = \dfrac{0{,}5}{1} = \dfrac{1}{2}$ ; $\cos(30°) = \dfrac{AH}{AB} = \dfrac{\sqrt{3}/2}{1} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ; $\tan(30°) = \dfrac{BH}{AH} = \dfrac{0{,}5}{\sqrt{3}/2} = \dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}$.
c) $\sin(60°) = \dfrac{AH}{AB} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ ; $\cos(60°) = \dfrac{BH}{AB} = \dfrac{1}{2}$ ; $\tan(60°) = \dfrac{AH}{BH} = \dfrac{\sqrt{3}/2}{0{,}5} = \sqrt{3}$.