Trigonométrie dans le triangle rectangle

Le vocabulaire indispensable (les 3 côtés)

D'abord, les prérequis. Tout se passe dans un triangle rectangle : un triangle qui a un angle droit (90°). Les deux autres angles sont aigus (plus petits que 90°) — ce sont eux qui nous intéressent.

On choisit un angle aigu, appelons-le $\widehat{A}$. Vu depuis cet angle, les trois côtés ont un nom :

Hypoténuse : le côté en face de l'angle droit. C'est toujours le plus long, et il ne change jamais de nom.
Côté opposé à $\widehat{A}$ : le côté qui est en face de $\widehat{A}$ (il ne le touche pas).
Côté adjacent à $\widehat{A}$ : le côté qui touche $\widehat{A}$ sans être l'hypoténuse.

Retiens surtout ceci : opposé et adjacent dépendent de l'angle choisi. Change d'angle aigu, et ils échangent leurs rôles. L'hypoténuse, elle, ne bouge pas.

Les trois formules (et le code SOH-CAH-TOA)

Il n'y a que trois rapports à connaître. Chacun est une fraction de deux côtés :

$\sin(\widehat{A}) = \dfrac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}$
$\cos(\widehat{A}) = \dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}$
$\tan(\widehat{A}) = \dfrac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}$

Pour ne jamais les confondre, un moyen mnémotechnique universel : SOH - CAH - TOA.
Sinus = Opposé / Hypoténuse
Cosinus = Adjacent / Hypoténuse
Tangente = Opposé / Adjacent

Sur la calculatrice, ces touches servent dans les deux sens : $\sin$, $\cos$, $\tan$ pour passer d'un angle à un rapport ; $\sin^{-1}$, $\cos^{-1}$, $\tan^{-1}$ pour remonter d'un rapport à l'angle. Et vérifie toujours que ta calculatrice est en mode DEG (degrés), pas en radians.

Un exemple déroulé en entier

Énoncé : dans un triangle $ABC$ rectangle en $C$, l'angle $\widehat{B} = 30^\circ$ et l'hypoténuse $AB = 10$ cm. On cherche la longueur $AC$.

1. L'angle droit est en $C$, donc l'hypoténuse est le côté d'en face : $AB = 10$ cm. C'est cohérent, c'est bien le côté qu'on nous donne.

2. Vu depuis $\widehat{B}$, le côté cherché $AC$ est en face de $\widehat{B}$ : c'est le côté opposé.

3. On a l'opposé (cherché) et l'hypoténuse (connue). Opposé + hypoténuse, c'est le sinus (le S de SOH).

4. On écrit la formule : $\sin(\widehat{B}) = \dfrac{AC}{AB}$, c'est-à-dire $\sin(30^\circ) = \dfrac{AC}{10}$.

5. L'inconnue $AC$ est en haut de la fraction, donc on multiplie : $AC = 10 \times \sin(30^\circ)$.

6. À la calculatrice (mode DEG), $\sin(30^\circ) = 0{,}5$, donc $AC = 10 \times 0{,}5 = 5$ cm.

Et voilà, une longueur trouvée à partir d'un angle et d'un côté. C'est exactement ce qu'on te demandera.

Le vocabulaire, proprement

On repose les définitions au propre. On travaille dans un triangle rectangle et on fixe un angle aigu de référence, noté $\widehat{A}$.

Hypoténuse : côté opposé à l'angle droit ; le plus long ; indépendant de l'angle choisi.
Côté opposé à $\widehat{A}$ : le côté qui fait face à $\widehat{A}$ et ne le touche pas.
Côté adjacent à $\widehat{A}$ : le côté qui forme l'angle $\widehat{A}$ avec l'hypoténuse (donc qui touche $\widehat{A}$, sans être l'hypoténuse).

Point de vigilance central : opposé et adjacent sont relatifs à l'angle. Sur la figure, si tu te places en $A$, le côté du bas est adjacent et le côté vertical est opposé ; si tu te places sur l'autre angle aigu, c'est l'inverse. Toujours te demander : « je regarde depuis quel angle ? »

Les trois rapports et comment choisir le bon

Les définitions officielles :

$\sin(\widehat{A}) = \dfrac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}$
$\cos(\widehat{A}) = \dfrac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}$
$\tan(\widehat{A}) = \dfrac{\text{opposé}}{\text{adjacent}}$

Comment choisir ? Regarde les deux côtés qui interviennent (celui que tu connais et celui que tu cherches) :

opposé et hypoténuse → sinus
adjacent et hypoténuse → cosinus
opposé et adjacent → tangente

Exemple de lecture. Triangle $ABC$ rectangle en $C$, avec $AB = 5$, $BC = 3$, $AC = 4$. Plaçons-nous en $\widehat{B}$ : l'opposé est $AC = 4$, l'adjacent est $BC = 3$, l'hypoténuse est $AB = 5$. Alors :

$\sin(\widehat{B}) = \dfrac{4}{5} = 0{,}8$
$\cos(\widehat{B}) = \dfrac{3}{5} = 0{,}6$
$\tan(\widehat{B}) = \dfrac{4}{3} \approx 1{,}33$

Les trois situations à savoir gérer

À partir de la formule, trois cas selon ce qui est inconnu. La méthode est toujours la même : écrire l'égalité, puis isoler l'inconnue.

Cas 1 — un côté inconnu, en haut de la fraction (on multiplie). Angle $40^\circ$, hypoténuse $= 9$ cm, on cherche le côté opposé $x$.
$\sin(40^\circ) = \dfrac{x}{9}$ donc $x = 9 \times \sin(40^\circ) \approx 9 \times 0{,}643 \approx 5{,}8$ cm.

Cas 2 — un côté inconnu, en bas de la fraction (on divise). Angle $25^\circ$, côté opposé $= 6$ cm, on cherche l'hypoténuse $y$.
$\sin(25^\circ) = \dfrac{6}{y}$ donc $y = \dfrac{6}{\sin(25^\circ)} \approx \dfrac{6}{0{,}423} \approx 14{,}2$ cm.

Cas 3 — un angle inconnu (on utilise la touche inverse). On connaît opposé $= 4$ et hypoténuse $= 5$.
$\sin(\widehat{A}) = \dfrac{4}{5} = 0{,}8$ donc $\widehat{A} = \sin^{-1}(0{,}8) \approx 53^\circ$.

Rien de plus : dès que tu sais dans quel cas tu es, le geste est automatique.

Exemple 1 — calculer un côté (l'inconnue est en haut)

On le fait ensemble. Triangle $ABC$ rectangle en $B$ ; angle $\widehat{A} = 35^\circ$ ; hypoténuse $AC = 12$ cm. On cherche $AB$.

Ligne 1 — on se repère. L'angle droit est en $B$, donc l'hypoténuse est le côté opposé à $B$ : c'est $AC = 12$ cm. Bon réflexe, on confirme la donnée.

Ligne 2 — on nomme. Depuis $\widehat{A}$ : le côté $AB$ touche l'angle $A$ (et n'est pas l'hypoténuse), c'est donc l'adjacent.

Ligne 3 — on choisit. On a l'adjacent (cherché) et l'hypoténuse (connue) : adjacent + hypoténuse, c'est le cosinus (le C de CAH).

Ligne 4 — on écrit la formule. $\cos(\widehat{A}) = \dfrac{AB}{AC}$, soit $\cos(35^\circ) = \dfrac{AB}{12}$.

Ligne 5 — on isole. $AB$ est en haut, donc on multiplie : $AB = 12 \times \cos(35^\circ)$.

Ligne 6 — on calcule (DEG). $\cos(35^\circ) \approx 0{,}819$, donc $AB \approx 12 \times 0{,}819 \approx 9{,}8$ cm.

Ligne 7 — on conclut. Le côté $AB$ mesure environ $9{,}8$ cm. Une phrase de conclusion, le correcteur aime ça.

Exemple 2 — l'inconnue est en bas (on divise)

Deuxième ensemble, le cas qui piège : l'inconnue au dénominateur. Triangle $MNP$ rectangle en $N$ ; angle $\widehat{M} = 25^\circ$ ; le côté opposé à $\widehat{M}$ est $NP = 6$ cm. On cherche l'hypoténuse $MP$.

Ligne 1 — on nomme. Depuis $\widehat{M}$ : $NP$ est en face de $M$, c'est l'opposé ; $MP$ (en face de l'angle droit $N$) est l'hypoténuse.

Ligne 2 — on choisit. Opposé et hypoténuse : c'est le sinus.

Ligne 3 — on écrit. $\sin(\widehat{M}) = \dfrac{NP}{MP}$, soit $\sin(25^\circ) = \dfrac{6}{MP}$.

Ligne 4 — on isole. Cette fois l'inconnue $MP$ est en bas. On l'isole en divisant : $MP = \dfrac{6}{\sin(25^\circ)}$.

Ligne 5 — on calcule (DEG). $\sin(25^\circ) \approx 0{,}423$, donc $MP \approx \dfrac{6}{0{,}423} \approx 14{,}2$ cm.

Le réflexe à retenir : inconnue en haut on multiplie, inconnue en bas on divise. C'est tout ce qui change entre l'exemple 1 et celui-ci.

Exemple 3 — retrouver un angle

Dernier ensemble : cette fois on cherche un angle. On reprend le triangle $ABC$ rectangle en $C$ avec $AB = 5$, $BC = 3$, $AC = 4$. On cherche la mesure de $\widehat{B}$.

Ligne 1 — on nomme depuis $\widehat{B}$. Adjacent $= BC = 3$ ; hypoténuse $= AB = 5$ ; opposé $= AC = 4$. Ici deux côtés sont connus, on a le choix ; prenons l'adjacent et l'hypoténuse.

Ligne 2 — on choisit. Adjacent + hypoténuse : cosinus.

Ligne 3 — on écrit. $\cos(\widehat{B}) = \dfrac{BC}{AB} = \dfrac{3}{5} = 0{,}6$.

Ligne 4 — on remonte à l'angle. Pour passer du rapport à l'angle, on utilise la touche inverse : $\widehat{B} = \cos^{-1}(0{,}6)$.

Ligne 5 — on calcule (DEG). $\widehat{B} \approx 53^\circ$ (arrondi au degré).

Vérification maligne. Avec l'opposé et l'hypoténuse on aurait eu $\sin(\widehat{B}) = \dfrac{4}{5} = 0{,}8$, et $\sin^{-1}(0{,}8) \approx 53^\circ$ aussi : même angle, les deux chemins concordent.

Problème résolu 1 — l'échelle contre le mur

Énoncé type brevet. Une échelle de $4$ m est appuyée contre un mur vertical. Elle forme un angle de $70^\circ$ avec le sol horizontal. À quelle hauteur $h$ l'échelle touche-t-elle le mur ? (Arrondir au dixième.)

Étape 1 — modéliser. Le mur, le sol et l'échelle forment un triangle rectangle : l'angle droit est en bas, là où le mur rencontre le sol. L'échelle est l'hypoténuse ($4$ m), et la hauteur $h$ est le côté opposé à l'angle de $70^\circ$.

Étape 2 — choisir le rapport. On relie l'opposé ($h$) et l'hypoténuse ($4$) : c'est le sinus.

Étape 3 — écrire l'égalité. $\sin(70^\circ) = \dfrac{h}{4}$.

Étape 4 — isoler. $h$ est en haut : $h = 4 \times \sin(70^\circ)$.

Étape 5 — calculer (DEG). $\sin(70^\circ) \approx 0{,}940$, donc $h \approx 4 \times 0{,}940 \approx 3{,}8$ m.

Conclusion. L'échelle touche le mur à environ $3{,}8$ m de hauteur. Bonus : la distance entre le pied de l'échelle et le mur vaut $4 \times \cos(70^\circ) \approx 1{,}4$ m.

Problème résolu 2 — la hauteur d'un arbre

Énoncé. Pour mesurer un arbre, on se place à $15$ m de son pied et on vise son sommet : la ligne de visée fait un angle de $32^\circ$ avec l'horizontale. Quelle est la hauteur $h$ de l'arbre ? (Arrondir au dixième.)

Étape 1 — modéliser. Triangle rectangle : l'angle droit est au pied de l'arbre. La distance au sol ($15$ m) est le côté adjacent à l'angle de $32^\circ$, et la hauteur $h$ est le côté opposé.

Étape 2 — choisir. On relie l'opposé ($h$) et l'adjacent ($15$) : c'est la tangente (le T de TOA).

Étape 3 — écrire. $\tan(32^\circ) = \dfrac{h}{15}$.

Étape 4 — isoler. $h = 15 \times \tan(32^\circ)$.

Étape 5 — calculer (DEG). $\tan(32^\circ) \approx 0{,}625$, donc $h \approx 15 \times 0{,}625 \approx 9{,}4$ m.

Subtilité attendue. Si l'énoncé précise que l'observateur vise depuis une hauteur d'œil de $1{,}60$ m, il faut ajouter cette hauteur : l'arbre mesurerait alors $9{,}4 + 1{,}6 \approx 11$ m. Lis bien l'énoncé pour savoir s'il faut faire cet ajustement.

Ce que le correcteur attend (et les pièges)

Au brevet, la démarche compte autant que le résultat. Pour chaque calcul trigonométrique, le correcteur veut voir :

1. l'égalité littérale écrite AVANT les nombres (par exemple $\cos(\widehat{A}) = \dfrac{AB}{AC}$), qui prouve que tu as choisi le bon rapport ;
2. l'égalité avec les valeurs remplacées ;
3. l'isolation de l'inconnue (multiplier ou diviser) ;
4. la valeur numérique avec l'unité et un arrondi correct ;
5. une phrase de conclusion.

Les pièges classiques, ceux qui coûtent des points bêtement :

• Confondre opposé et adjacent : replace-toi toujours du point de vue de l'angle utilisé.
• Inverser le rapport : $\sin(\widehat{A}) = \dfrac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}$, jamais l'hypoténuse divisée par l'opposé.
• Calculatrice en radians : vérifie le mode DEG avant tout calcul, sinon tous tes résultats sont faux.
• Appliquer sin, cos ou tan à l'angle droit : ces rapports ne concernent que les angles aigus.
• Arrondir trop tôt : garde les valeurs non arrondies dans les calculs intermédiaires, n'arrondis qu'à la toute fin.

Pourquoi ça marche (l'idée de la démonstration)

Une question légitime : pourquoi $\sin(30^\circ)$ vaut toujours $0{,}5$, quelle que soit la taille du triangle ? Parce que le rapport ne dépend que de l'angle, pas des dimensions.

L'idée : prends un triangle rectangle avec un angle $\widehat{A}$, puis agrandis-le d'un facteur $k$ (un zoom). Tous les côtés sont multipliés par $k$. Le rapport opposé sur hypoténuse devient $\dfrac{k \times \text{opposé}}{k \times \text{hypoténuse}}$ : le $k$ se simplifie, le rapport ne change pas.

Autrement dit, deux triangles rectangles qui ont le même angle aigu sont semblables (l'un est un agrandissement de l'autre, c'est le théorème de Thalès en action) : leurs rapports de côtés sont identiques. Voilà pourquoi $\sin$, $\cos$ et $\tan$ ne dépendent que de l'angle — et pourquoi une simple touche de calculatrice suffit à les donner.

Les relations cachées entre sinus et cosinus

Trois relations que tu croiseras bientôt, et qui découlent directement de ce que tu sais déjà.

La relation fondamentale : $\cos^2(\widehat{A}) + \sin^2(\widehat{A}) = 1$. C'est le théorème de Pythagore déguisé. Vérifions avec notre triangle $3$-$4$-$5$ où $\cos(\widehat{B}) = 0{,}6$ et $\sin(\widehat{B}) = 0{,}8$ : $0{,}6^2 + 0{,}8^2 = 0{,}36 + 0{,}64 = 1$. Impeccable.

Le lien avec la tangente : $\tan(\widehat{A}) = \dfrac{\sin(\widehat{A})}{\cos(\widehat{A})}$. Vérification : $\dfrac{0{,}8}{0{,}6} = \dfrac{4}{3} \approx 1{,}33$, exactement la tangente trouvée plus haut.

Les angles complémentaires : dans un triangle rectangle, les deux angles aigus ont pour somme $90^\circ$. Le sinus de l'un est le cosinus de l'autre : $\sin(90^\circ - x) = \cos(x)$. C'est pour ça que sinus et cosinus se ressemblent tant.

L'an prochain — valeurs remarquables et cercle trigo

Un avant-goût de la suite (hors programme du brevet, pour les curieux).

Les angles remarquables. Certains angles ont des valeurs exactes qu'on apprend par cœur au lycée :

$\sin(30^\circ) = \dfrac{1}{2} \quad \sin(45^\circ) = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \quad \sin(60^\circ) = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$
$\cos(30^\circ) = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \quad \cos(45^\circ) = \dfrac{\sqrt{2}}{2} \quad \cos(60^\circ) = \dfrac{1}{2}$
$\tan(45^\circ) = 1$

Le cercle trigonométrique. En seconde, on place l'angle dans un cercle de rayon $1$ : l'abscisse du point donne $\cos$, l'ordonnée donne $\sin$. Ce dessin étend $\sin$ et $\cos$ à des angles au-delà de $90^\circ$ (et même négatifs), ce que le triangle rectangle, lui, ne permet pas.

Encore après. Au lycée tu verras aussi les radians (une autre unité d'angle), la loi des sinus qui marche dans n'importe quel triangle (plus seulement les rectangles), et les fonctions sinus et cosinus. Tout part de ces trois petits rapports que tu maîtrises déjà.