Trigonométrie dans le triangle rectangle

Sinus, cosinus et tangente : relier angles et longueurs dans tout triangle rectangle.

1 L'idée

Dans un triangle rectangle, les rapports entre les longueurs des côtés ne dépendent que des angles. Pour un angle aigu $\widehat{A}$, on nomme les trois côtés :

Hypoténuse : le côté opposé à l'angle droit (le plus long) ;
Côté opposé à $\widehat{A}$ : le côté en face de l'angle, sans toucher $\widehat{A}$ ;
Côté adjacent à $\widehat{A}$ : l'autre côté qui forme l'angle (hors hypoténuse).

Ces trois rapports permettent de calculer un côté inconnu ou de déterminer la mesure d'un angle.

2 Les trois rapports trigonométriques

Sinus

$\sin(\widehat{A}) = \dfrac{\text{côté opposé}}{\text{hypoténuse}}$

Cosinus

$\cos(\widehat{A}) = \dfrac{\text{côté adjacent}}{\text{hypoténuse}}$

Tangente

$\tan(\widehat{A}) = \dfrac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}}$

3 Lire et utiliser les rapports

Triangle ABC rectangle en C — AB = 5 cm, BC = 3 cm, AC = 4 cm

Pour $\widehat{B}$ : côté opposé $= AC = 4$, côté adjacent $= BC = 3$, hypoténuse $= AB = 5$.

$\sin(\widehat{B}) = \dfrac{4}{5} = 0{,}8 \;\;; \;\; \cos(\widehat{B}) = \dfrac{3}{5} = 0{,}6 \;\;; \;\; \tan(\widehat{B}) = \dfrac{4}{3} \approx 1{,}33$

Calculer un côté — angle B = 30°, hypoténuse AB = 10 cm, chercher AC

On cherche AC (opposé à $\widehat{B}$). On connaît l'hypoténuse → on choisit $\sin$.

$\sin(30°) = \dfrac{AC}{AB}$ donc $AC = 10 \times \sin(30°) = 10 \times 0{,}5 = 5$ cm.

Méthode — quatre étapes

Repérer l'angle droit → identifier l'hypoténuse (côté en face).
Choisir l'angle aigu concerné → nommer : opposé, adjacent, hypoténuse.
Choisir sin, cos ou tan selon les deux côtés impliqués (le connu et l'inconnu).
Si l'inconnu est au numérateur : multiplier. Si au dénominateur : diviser. Pour un angle inconnu : utiliser $\sin^{-1}$, $\cos^{-1}$ ou $\tan^{-1}$ à la calculatrice.

Erreurs fréquentes

Confondre côté opposé et côté adjacent : toujours se placer du point de vue de l'angle choisi.
Inverser le rapport : $\sin(\widehat{A}) = \dfrac{\text{opposé}}{\text{hypoténuse}}$, jamais $\dfrac{\text{hypoténuse}}{\text{opposé}}$.
Calculatrice réglée en radians : vérifier le mode DEG avant tout calcul.
Appliquer sin, cos ou tan à l'angle droit lui-même : ces rapports ne concernent que les angles aigus.