PGCD et fractions irréductibles

Trouver le plus grand diviseur commun pour simplifier une fraction jusqu'à sa forme irréductible.

1 L'idée

Le PGCD (Plus Grand Commun Diviseur) de deux entiers $a$ et $b$ est le plus grand entier qui divise à la fois $a$ et $b$. Il permet de simplifier une fraction en divisant le numérateur et le dénominateur par ce PGCD.

Une fraction $\dfrac{a}{b}$ est irréductible lorsque $\text{PGCD}(a,b)=1$ : numérateur et dénominateur n'ont plus aucun diviseur commun autre que $1$.

2 Définitions et propriété clé

PGCD

$d = \text{PGCD}(a,b) \iff d \mid a \;\text{ et }\; d \mid b \;\text{ et }\; d \text{ est le plus grand tel entier}$

Simplification

$\dfrac{a}{b} = \dfrac{a \div d}{b \div d} \quad \text{avec } d = \text{PGCD}(a,b)$

Fraction irréductible

$\dfrac{a}{b} \text{ est irréductible} \iff \text{PGCD}(a,b) = 1$

Méthode 1 — Liste des diviseurs (petits nombres)

Exemple : $\text{PGCD}(12,18)$. Div$(12)=\{1;2;3;4;6;12\}$, Div$(18)=\{1;2;3;6;9;18\}$. Le plus grand diviseur commun est $6$, donc $\text{PGCD}(12,18)=6$.

Lister tous les diviseurs de $a$.
Lister tous les diviseurs de $b$.
Repérer les diviseurs communs aux deux listes.
Le PGCD est le plus grand d'entre eux.

Méthode 2 — Algorithme d'Euclide (grands nombres)

Exemple : $\text{PGCD}(84,36)$.
$84 = 2 \times 36 + 12$ donc $\text{PGCD}(84,36)=\text{PGCD}(36,12)$.
$36 = 3 \times 12 + 0$ — reste nul, donc $\text{PGCD}(84,36)=12$.

Effectuer la division euclidienne de $a$ par $b$ : $a = q \times b + r$.
Remplacer : calculer ensuite $\text{PGCD}(b,\,r)$.
Répéter jusqu'à obtenir un reste nul.
Le PGCD est le dernier reste non nul.

5 Simplifier une fraction avec l'algorithme d'Euclide

Simplifier $\dfrac{60}{84}$

$84 = 1 \times 60 + 24$, puis $60 = 2 \times 24 + 12$, puis $24 = 2 \times 12 + 0$.

Dernier reste non nul : $12$, donc $\text{PGCD}(60,84)=12$.

$\dfrac{60}{84} = \dfrac{60 \div 12}{84 \div 12} = \dfrac{5}{7}$.

V��rification : $\text{PGCD}(5,7)=1$, la fraction $\dfrac{5}{7}$ est bien irréductible.

Erreurs fréquentes

Diviser par un diviseur commun quelconque ne garantit pas la forme irréductible : seule la division par le plus grand diviseur commun le garantit en une étape.
Ne pas confondre PGCD et PPCM : le PGCD divise $a$ et $b$ ; le PPCM est le plus petit multiple commun de $a$ et $b$.
Dans l'algorithme d'Euclide, le PGCD est le dernier reste non nul, et non le dernier quotient.