Contrôle bientôt, et le mot PGCD te regarde comme un inconnu dans le métro ? Respire. En quelques minutes tu auras l'essentiel : ce que ça veut dire, la seule formule à retenir, et un exemple fait de A à Z. Promis, c'est plus court que la liste des ingrédients d'un paquet de gâteaux.
Deux prérequis et l'idée en une phrase
Avant tout, deux mots à connaître.
Un diviseur de $12$, c'est un nombre qui tombe juste dans $12$ (reste $0$) : $1,2,3,4,6,12$ sont les diviseurs de $12$.
Un diviseur commun à deux nombres, c'est un nombre qui les divise tous les deux.
L'idée en une phrase : le PGCD de $a$ et $b$ (Plus Grand Commun Diviseur) est le plus grand nombre qui divise à la fois $a$ et $b$. On s'en sert pour simplifier une fraction le plus possible.
Une fraction est irréductible quand on ne peut plus la simplifier : son numérateur et son dénominateur n'ont plus aucun diviseur commun à part $1$, autrement dit $\text{PGCD}=1$.
La formule clé et un exemple fait en entier
La seule formule à mémoriser :
$\dfrac{a}{b} = \dfrac{a \div d}{b \div d}$ avec $d = \text{PGCD}(a,b)$.
Autrement dit : on divise le haut et le bas par le PGCD, et la fraction devient irréductible d'un coup.
Exemple : rendre $\dfrac{12}{18}$ irréductible.
Diviseurs de $12$ : $1,2,3,4,6,12$.
Diviseurs de $18$ : $1,2,3,6,9,18$.
Diviseurs communs : $1,2,3,6$. Le plus grand est $6$, donc $\text{PGCD}(12,18)=6$.
On divise en haut et en bas par $6$ : $\dfrac{12}{18}=\dfrac{12 \div 6}{18 \div 6}=\dfrac{2}{3}$.
On vérifie : $2$ et $3$ n'ont que $1$ comme diviseur commun, donc $\dfrac{2}{3}$ est bien irréductible. Terminé.
Bon, la brume se dissipe : les diviseurs, les fractions à simplifier, tu as déjà croisé tout ça. On remet au propre, dans l'ordre, avec les deux méthodes officielles. Rien de neuf sous le soleil, juste bien rangé.
Les définitions au propre
Diviseur. Un entier $d$ divise $a$ (on note $d \mid a$) lorsque la division de $a$ par $d$ tombe juste, c'est-à-dire de reste nul.
PGCD. Le PGCD de deux entiers $a$ et $b$ est le plus grand entier $d$ qui les divise tous les deux. Écrit proprement : $d=\text{PGCD}(a,b)$ signifie que $d \mid a$, que $d \mid b$, et que $d$ est le plus grand entier vérifiant ces deux conditions.
Simplifier une fraction avec le PGCD : $\dfrac{a}{b}=\dfrac{a \div d}{b \div d}$ avec $d=\text{PGCD}(a,b)$.
Fraction irréductible. La fraction $\dfrac{a}{b}$ est irréductible lorsque $\text{PGCD}(a,b)=1$ : plus aucun diviseur commun autre que $1$, donc plus rien à simplifier.
Méthode 1 — la liste des diviseurs (petits nombres)
Quand $a$ et $b$ sont petits, on liste et on compare.
1. Lister tous les diviseurs de $a$.
2. Lister tous les diviseurs de $b$.
3. Repérer les diviseurs communs aux deux listes.
4. Le PGCD est le plus grand d'entre eux.
Exemple — $\text{PGCD}(12,18)$.
Diviseurs de $12$ : $\{1;2;3;4;6;12\}$.
Diviseurs de $18$ : $\{1;2;3;6;9;18\}$.
Communs aux deux : $\{1;2;3;6\}$. Le plus grand est $6$.
Conclusion : $\text{PGCD}(12,18)=6$.
Méthode 2 — l'algorithme d'Euclide (grands nombres)
Lister les diviseurs de $84$ ou de $360$, non merci. Pour les grands nombres on utilise l'algorithme d'Euclide, fondé sur des divisions euclidiennes successives.
1. Faire la division euclidienne de $a$ par $b$ : $a = q \times b + r$.
2. Recommencer avec $b$ et le reste $r$ : on calcule $\text{PGCD}(b,r)$.
3. Répéter jusqu'à obtenir un reste nul.
4. Le PGCD est le dernier reste non nul.
Exemple — $\text{PGCD}(84,36)$.
$84 = 2 \times 36 + 12$, donc $\text{PGCD}(84,36)=\text{PGCD}(36,12)$.
$36 = 3 \times 12 + 0$ : le reste est nul, on s'arrête.
Le dernier reste non nul est $12$, donc $\text{PGCD}(84,36)=12$.
Maintenant on met les mains dans le cambouis, ensemble. Je rédige, je commente chaque ligne comme si j'étais assise à côté de toi. Toi tu lis, tu hoches la tête, et au troisième exemple tu me diras « attends, laisse-moi faire ».
Exemple 1 — le PGCD par la liste des diviseurs
Objectif : trouver $\text{PGCD}(24,36)$ puis simplifier $\dfrac{24}{36}$.
Ligne 1. On liste les diviseurs de $24$ : $1;2;3;4;6;8;12;24$. (On les trouve par paires : $1\times24$, $2\times12$, $3\times8$, $4\times6$.)
Ligne 2. On liste les diviseurs de $36$ : $1;2;3;4;6;9;12;18;36$. (Paires : $1\times36$, $2\times18$, $3\times12$, $4\times9$, $6\times6$.)
Ligne 3. On repère les communs : $1;2;3;4;6;12$. Le plus grand saute aux yeux : $12$.
Ligne 4. Donc $\text{PGCD}(24,36)=12$.
Ligne 5. On simplifie en divisant haut et bas par $12$ : $\dfrac{24}{36}=\dfrac{24\div12}{36\div12}=\dfrac{2}{3}$.
Ligne 6. Contrôle : $\text{PGCD}(2,3)=1$, la fraction est irréductible. Impeccable.
Exemple 2 — le PGCD par l'algorithme d'Euclide
Objectif : $\text{PGCD}(126,90)$ avec l'algorithme d'Euclide.
Ligne 1. Division de $126$ par $90$ : $126 = 1 \times 90 + 36$. Le reste $36$ n'est pas nul, on continue.
Ligne 2. On recommence avec $90$ et $36$ : $90 = 2 \times 36 + 18$. Reste $18$, pas nul, on continue.
Ligne 3. On recommence avec $36$ et $18$ : $36 = 2 \times 18 + 0$. Cette fois le reste est nul : stop.
Ligne 4. Le dernier reste non nul est $18$ (celui de la ligne 2). Donc $\text{PGCD}(126,90)=18$.
Astuce mémoire : à chaque ligne, le diviseur et le reste de l'ancienne ligne deviennent le nouveau dividende et le nouveau diviseur. On descend en escalier jusqu'au reste $0$.
Exemple 3 — simplifier une fraction (bientôt à toi)
Objectif : rendre $\dfrac{60}{84}$ irréductible. On ne connaît pas le PGCD de tête, on dégaine Euclide.
Ligne 1. $84 = 1 \times 60 + 24$. (On divise le plus grand par le plus petit.) Reste $24$.
Ligne 2. $60 = 2 \times 24 + 12$. Reste $12$.
Ligne 3. $24 = 2 \times 12 + 0$. Reste nul : stop.
Ligne 4. Dernier reste non nul : $12$, donc $\text{PGCD}(60,84)=12$.
Ligne 5. On simplifie : $\dfrac{60}{84}=\dfrac{60\div12}{84\div12}=\dfrac{5}{7}$.
Ligne 6. Vérification : $\text{PGCD}(5,7)=1$, donc $\dfrac{5}{7}$ est irréductible. Et voilà, tu viens de le faire avec moi.
Niveau brevet, maintenant. Le correcteur ne veut pas juste le bon résultat : il veut voir tes divisions euclidiennes posées, ta phrase de conclusion, et surtout la fraction VRAIMENT irréductible à la fin. On regarde les pièges, puis deux problèmes typiques résolus en entier.
Ce que le correcteur attend, et les pièges classiques
Ce qui rapporte les points :
1. Poser chaque division euclidienne en entier, sous la forme $a = q \times b + r$, sans sauter d'étape.
2. Écrire la phrase de conclusion : « le PGCD est le dernier reste non nul, donc $\text{PGCD}(a,b)=\ldots$ ».
3. Pour une fraction : montrer la division par le PGCD ET vérifier que le résultat est irréductible.
Piège 1 — diviser par un diviseur commun trop petit. Par exemple $\dfrac{60}{84}=\dfrac{30}{42}$ (on a divisé par $2$) : c'est exact, mais ce n'est pas fini ! Seule la division par le plus grand diviseur commun donne la forme irréductible en une seule étape.
Piège 2 — confondre PGCD et PPCM. Le PGCD divise $a$ et $b$ (il est donc inférieur ou égal à eux) ; le PPCM est le plus petit multiple commun (il est supérieur ou égal à eux). Si ton « PGCD » est plus grand que $a$ ou $b$, c'est forcément faux.
Piège 3 — prendre le dernier quotient. Dans Euclide, le PGCD est toujours le dernier reste non nul, jamais le dernier quotient.
Problème type 1 — les paquets identiques (le classique du brevet)
Énoncé. Un fleuriste dispose de $60$ roses rouges et $84$ roses blanches. Il veut composer le plus grand nombre possible de bouquets identiques, en utilisant toutes les fleurs. Combien de bouquets, et combien de roses de chaque couleur par bouquet ?
Étape 1 — traduire. Chaque bouquet a le même nombre de roses rouges et le même nombre de roses blanches, et on utilise tout : le nombre de bouquets doit donc diviser $60$ et diviser $84$. On veut le plus grand nombre de bouquets : c'est exactement $\text{PGCD}(60,84)$.
Étape 2 — calculer le PGCD (Euclide). $84 = 1 \times 60 + 24$.
$60 = 2 \times 24 + 12$.
$24 = 2 \times 12 + 0$.
Dernier reste non nul : $12$, donc $\text{PGCD}(60,84)=12$.
Étape 3 — répartir. On fait donc $12$ bouquets. Roses rouges par bouquet : $60 \div 12 = 5$. Roses blanches par bouquet : $84 \div 12 = 7$.
Étape 4 — conclure. Le fleuriste peut faire $12$ bouquets identiques, chacun avec $5$ roses rouges et $7$ roses blanches. (On retrouve $\dfrac{60}{84}=\dfrac{5}{7}$ : $5$ pour $7$, la « recette » d'un bouquet.)
Problème type 2 — reconnaître une fraction déjà irréductible
Énoncé. La fraction $\dfrac{45}{77}$ est-elle irréductible ? Justifier.
Méthode. Elle est irréductible si et seulement si $\text{PGCD}(45,77)=1$. On calcule ce PGCD avec Euclide.
$77 = 1 \times 45 + 32$.
$45 = 1 \times 32 + 13$.
$32 = 2 \times 13 + 6$.
$13 = 2 \times 6 + 1$.
$6 = 6 \times 1 + 0$.
Conclusion. Le dernier reste non nul est $1$, donc $\text{PGCD}(45,77)=1$. La fraction $\dfrac{45}{77}$ est bien irréductible : impossible de la simplifier, même si ni $45$ ni $77$ n'ont l'air « ronds ».
Ce qu'attend le correcteur : toutes les lignes d'Euclide posées, et une conclusion qui relie explicitement « PGCD $=1$ » à « irréductible ». Sauter les étapes coûte des points, même avec le bon « oui ».
Tu maîtrises ? On ouvre la fenêtre sur la suite. Pourquoi la magie d'Euclide fonctionne, un cousin du PGCD appelé PPCM, et un mot savant qui reviendra au lycée. Rien à réviser ici : juste de quoi frimer un peu.
Pourquoi l'algorithme d'Euclide marche (l'idée de la preuve)
On a répété « le PGCD est le dernier reste non nul » sans dire pourquoi. Voici l'idée.
Le cœur de l'algorithme tient dans une seule égalité : si $a = q \times b + r$, alors $\text{PGCD}(a,b) = \text{PGCD}(b,r)$.
Pourquoi ? Un nombre qui divise à la fois $a$ et $b$ divise aussi $r = a - q \times b$ (c'est une différence de multiples de ce nombre). Donc tout diviseur commun de $a$ et $b$ est aussi un diviseur commun de $b$ et $r$.
Et réciproquement : un diviseur commun de $b$ et $r$ divise $a = q \times b + r$. Les deux couples $(a,b)$ et $(b,r)$ ont donc exactement les mêmes diviseurs communs — donc le même plus grand : le même PGCD.
À chaque étape on remplace un couple par un couple plus petit sans changer le PGCD. Comme les restes diminuent, on tombe forcément un jour sur un reste $0$ ; l'étape juste avant livre le PGCD. C'est ça, la « descente » d'Euclide.
Le cousin du PGCD : le PPCM
Le PGCD a un jumeau : le PPCM (Plus Petit Commun Multiple), le plus petit nombre présent à la fois dans la table de $a$ et dans la table de $b$.
Exemple avec $12$ et $18$ : les multiples de $12$ sont $12,24,36,48,\ldots$ ; ceux de $18$ sont $18,36,54,\ldots$ ; le premier commun est $36$, donc $\text{PPCM}(12,18)=36$.
Ils sont reliés par une jolie relation : $\text{PGCD}(a,b) \times \text{PPCM}(a,b) = a \times b$.
Vérifions : $\text{PGCD}(12,18) \times \text{PPCM}(12,18) = 6 \times 36 = 216$, et $12 \times 18 = 216$. Ça colle.
Le PPCM sert surtout à additionner des fractions (trouver un dénominateur commun) : c'est le PGCD vu de l'autre côté du miroir.
Un mot pour le lycée : premiers entre eux, et Bézout
Quand $\text{PGCD}(a,b)=1$, on dit que $a$ et $b$ sont premiers entre eux. C'est exactement la condition « $\dfrac{a}{b}$ est irréductible », mais dite avec le vocabulaire des grands.
Au lycée (spécialité mathématiques), tu croiseras le théorème de Bézout : pour deux entiers $a$ et $b$, il existe deux entiers $u$ et $v$ tels que $a \times u + b \times v = \text{PGCD}(a,b)$. Avec des nombres premiers entre eux, on peut donc écrire $a \times u + b \times v = 1$.
Ce petit résultat est la porte d'entrée de l'arithmétique moderne : il sert à résoudre des équations à solutions entières et il est au cœur des codes secrets (cryptographie) qui protègent tes messages. Le PGCD que tu calcules aujourd'hui, c'est déjà de la cryptographie en herbe.
Retiens surtout : la même idée de « division euclidienne, puis on recommence avec le reste » resservira partout. Tu ne réapprends pas, tu recycles.