Identités remarquables

Les 3 prérequis à avoir en tête

Avant les formules, trois réflexes de base qui vont tout débloquer.

1. Un carré, c'est une multiplication. $A^2$ veut dire $A \times A$. Donc $(x+4)^2 = (x+4)(x+4)$. Ce n'est pas $x^2 + 4^2$ : tu ne peux pas «faire entrer» le carré dans la parenthèse.

2. Développer, c'est enlever les parenthèses en multipliant chaque morceau par chaque morceau. Une identité remarquable, c'est juste un raccourci pour aller plus vite et sans erreur de signe.

3. Quand il y a un coefficient, il passe aussi au carré. Si $a = 3x$, alors $a^2 = (3x)^2 = 3x \times 3x = 9x^2$, et surtout pas $3x^2$. Le $3$ compte lui aussi.

L'essentiel + les 3 formules à connaître

Une identité remarquable est une égalité toujours vraie, quelle que soit la valeur des lettres. Elle te donne directement le résultat d'un carré ou d'un produit spécial, sans avoir à tout redistribuer. Tu dois juste reconnaître le «moule» et remplacer.

Dans les trois formules, $a$ et $b$ peuvent être n'importe quoi : un nombre, une lettre, ou une expression comme $3x$. Voici les trois à connaître par cœur :

Carré d'une somme : $\;(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Carré d'une différence : $\;(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Produit de conjugués : $\;(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$

Le petit dessin ci-dessous montre pourquoi $(a+b)^2$ vaut $a^2 + 2ab + b^2$ : le grand carré de côté $a+b$ se découpe en un carré $a^2$, un carré $b^2$, et deux rectangles $ab$ (d'où le $2ab$).

Un exemple fait en entier

On développe $(x+4)^2$, pas à pas.

Étape 1. On repère le moule : c'est un carré d'une somme, donc $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Étape 2. On identifie $a = x$ et $b = 4$.

Étape 3. On remplace dans la formule : $\;a^2 = x^2$, puis $2ab = 2 \times x \times 4 = 8x$, puis $b^2 = 4^2 = 16$.

Étape 4. On assemble : $\;(x+4)^2 = x^2 + 8x + 16$.

Et c'est fini. Le seul terme qu'on oublie souvent, c'est le $8x$ du milieu : garde-le à l'œil et tu as déjà l'essentiel du contrôle.

Définition et les trois identités

Une identité remarquable est une égalité algébrique vraie pour toutes les valeurs des variables. Elle relie une forme factorisée (un produit) à une forme développée (une somme). Les reconnaître permet de développer sans erreur et, surtout, de factoriser dans l'autre sens.

En 3e, on en utilise trois. Dans chaque formule, $a$ et $b$ désignent n'importe quelle expression : un nombre, une variable, ou quelque chose de plus complexe comme $3x$.

Carré d'une somme : $\;(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Carré d'une différence : $\;(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. On note que seul le signe du terme du milieu change par rapport à la somme.

Produit de conjugués : $\;(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$. Ici le terme du milieu disparaît : le $-ab$ et le $+ab$ se compensent.

La figure éclaire la première : un carré de côté $a+b$ se partage en $a^2$, deux rectangles $ab$, et $b^2$.

Premier sens : développer

Développer, c'est passer du produit (à gauche) à la somme (à droite). Méthode : on repère le moule, on identifie $a$ et $b$, on remplace, on calcule chaque terme.

Carré d'une somme. Développons $(x+4)^2$.

On pose $a = x$ et $b = 4$.

$(x+4)^2 = x^2 + 2 \times x \times 4 + 4^2 = x^2 + 8x + 16$.

Carré d'une différence. Développons $(3x-2)^2$.

On pose $a = 3x$ et $b = 2$. Attention : $a^2 = (3x)^2 = 9x^2$.

$(3x-2)^2 = (3x)^2 - 2 \times 3x \times 2 + 2^2 = 9x^2 - 12x + 4$.

Produit de conjugués. Développons $(x+5)(x-5)$.

On pose $a = x$ et $b = 5$.

$(x+5)(x-5) = x^2 - 5^2 = x^2 - 25$.

Second sens : factoriser

Factoriser, c'est l'inverse : partir de la somme et retrouver le produit. C'est le sens le plus utile (et le plus demandé). Méthode :

1. Deux termes séparés par un $-$ ? On tente la différence de carrés $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$.

2. Trois termes ? On cherche $A$ et $B$ tels que le premier terme soit $A^2$, le dernier soit $B^2$, puis on vérifie que le terme du milieu vaut exactement $2AB$.

3. On conclut : $(A+B)^2$ si le signe du milieu est $+$, $(A-B)^2$ si c'est $-$.

Exemple — différence de carrés. Factorisons $x^2 - 49$.

On écrit $x^2 - 49 = x^2 - 7^2$, donc $A = x$ et $B = 7$.

$x^2 - 49 = (x-7)(x+7)$.

Exemple — carré d'une différence. Factorisons $x^2 - 10x + 25$.

On vérifie : $25 = 5^2$ et le double produit $2 \times x \times 5 = 10x$ correspond bien au terme du milieu.

$x^2 - 10x + 25 = (x-5)^2$.

On développe un carré ensemble

Objectif : développer $(2x+5)^2$. On y va ligne par ligne.

Ligne 1. Je reconnais un carré d'une somme. Le moule est $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Ligne 2. J'identifie : $a = 2x$ et $b = 5$. Je note bien que $a$ contient le coefficient $2$.

Ligne 3. Je calcule le carré du premier : $a^2 = (2x)^2 = 4x^2$. (Le $2$ passe au carré, pas seulement le $x$.)

Ligne 4. Je calcule le double produit : $2ab = 2 \times 2x \times 5 = 20x$.

Ligne 5. Je calcule le carré du second : $b^2 = 5^2 = 25$.

Ligne 6. J'assemble : $(2x+5)^2 = 4x^2 + 20x + 25$.

Le schéma ci-dessous résume ces trois morceaux : carré du premier, double produit, carré du second. C'est toujours ce trio.

On développe un produit de conjugués

Objectif : développer $(4x-3)(4x+3)$. Repère le piège d'abord : les deux parenthèses ont les mêmes termes, avec un $-$ dans l'une et un $+$ dans l'autre. Ce sont des conjugués.

Ligne 1. Le moule est $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$.

Ligne 2. J'identifie : $a = 4x$ et $b = 3$.

Ligne 3. Je calcule $a^2 = (4x)^2 = 16x^2$.

Ligne 4. Je calcule $b^2 = 3^2 = 9$.

Ligne 5. J'écris le résultat : $(4x-3)(4x+3) = 16x^2 - 9$.

Remarque au passage : il n'y a pas de terme en $x$ au milieu. C'est normal, c'est toute la magie des conjugués : le $-12x$ et le $+12x$ s'annulent.

On factorise ensemble

La factorisation, c'est le sens qui rapporte le plus de points. On en fait deux ensemble.

Cas A — une différence de carrés : $9x^2 - 25$.

Ligne 1. Deux termes, séparés par un $-$ : je pense «différence de carrés».

Ligne 2. J'écris chaque terme comme un carré : $9x^2 = (3x)^2$ et $25 = 5^2$. Donc $9x^2 - 25 = (3x)^2 - 5^2$.

Ligne 3. J'applique $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$ avec $A = 3x$ et $B = 5$ : $\;9x^2 - 25 = (3x-5)(3x+5)$.

Cas B — un carré caché : $x^2 + 6x + 9$.

Ligne 1. Trois termes, tout en $+$ : je teste le carré d'une somme.

Ligne 2. Premier terme $x^2 = A^2$ donc $A = x$ ; dernier terme $9 = 3^2$ donc $B = 3$.

Ligne 3. Je vérifie le milieu : $2AB = 2 \times x \times 3 = 6x$. C'est exactement le terme central, parfait.

Ligne 4. Je conclus : $x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2$.

Le réflexe qui sauve : après avoir factorisé, redéveloppe mentalement pour vérifier que tu retombes bien sur le départ.

Les subtilités et ce que le correcteur attend

Choisir la bonne identité. Le premier réflexe, c'est de compter les termes. Deux termes avec un $-$ : différence de carrés. Trois termes : un carré (somme ou différence selon le signe du milieu). Le schéma ci-contre résume ce choix.

Ce que le correcteur veut voir. Une étape de calcul sautée, c'est une étape non comptée. Écris l'identification de $a$ et $b$, fais apparaître le double produit $2ab$ en toutes lettres avant de le simplifier, et n'écris jamais le résultat final «d'un coup» sans ligne intermédiaire.

Les pièges classiques (ceux qui reviennent à chaque contrôle) :

• $(a+b)^2 \neq a^2 + b^2$ : le terme $2ab$ est obligatoire, on ne «distribue» jamais un carré.

• $(a-b)^2 \neq a^2 - b^2$ : à gauche c'est un carré, à droite une différence de carrés. Deux choses différentes.

• Si $a = 3x$, alors $a^2 = (3x)^2 = 9x^2$, jamais $3x^2$ : le coefficient passe aussi au carré.

• $a^2 + b^2$ (somme de deux carrés) ne se factorise pas en 3e. Si tu tombes dessus, tu laisses tel quel.

Problème type 1 — le calcul astucieux

Les identités marchent aussi avec des nombres seuls (rappelle-toi : $a$ et $b$ peuvent être des nombres). Le brevet adore ça : «calcule sans calculatrice».

Calcul de $101^2$.

J'écris $101 = 100 + 1$, donc $101^2 = (100+1)^2$.

J'applique $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ avec $a = 100$ et $b = 1$ :

$101^2 = 100^2 + 2 \times 100 \times 1 + 1^2 = 10000 + 200 + 1 = 10201$.

Calcul de $102 \times 98$.

Je remarque que $102 = 100 + 2$ et $98 = 100 - 2$ : ce sont des conjugués.

J'applique $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ avec $a = 100$ et $b = 2$ :

$102 \times 98 = 100^2 - 2^2 = 10000 - 4 = 9996$.

Ce que le correcteur attend : que tu montres l'écriture $100 \pm$ quelque chose, puis la formule appliquée, avant de donner le nombre final. Le résultat seul ne suffit pas.

Problème type 2 — développer, réduire, factoriser

Un grand classique : une expression qui mélange deux identités. On note $A = (2x+3)^2 - (x-1)(x+1)$.

1. Je développe le premier morceau $(2x+3)^2$ avec $a = 2x$, $b = 3$ :

$(2x+3)^2 = (2x)^2 + 2 \times 2x \times 3 + 3^2 = 4x^2 + 12x + 9$.

2. Je développe le second morceau $(x-1)(x+1)$, un produit de conjugués avec $a = x$, $b = 1$ :

$(x-1)(x+1) = x^2 - 1$.

3. Je remplace, en gardant la parenthèse pour ne pas me tromper de signe :

$A = (4x^2 + 12x + 9) - (x^2 - 1)$.

4. J'enlève la parenthèse : le $-$ change les deux signes de $x^2 - 1$ :

$A = 4x^2 + 12x + 9 - x^2 + 1$.

5. Je réduis (je regroupe les $x^2$, puis la constante) :

$A = 3x^2 + 12x + 10$.

Le piège numéro un ici, c'est le signe : oublier de changer le $-1$ en $+1$ à l'étape 4 fait perdre le résultat. Garde la parenthèse jusqu'au dernier moment, c'est ta ceinture de sécurité.

Pourquoi c'est vrai — la démonstration

Une identité n'est pas un tour de magie à apprendre bêtement : elle se démontre. Prouvons $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ avec la double distributivité.

$(a+b)^2 = (a+b)(a+b)$.

Je distribue chaque terme de la première parenthèse sur la seconde :

$(a+b)(a+b) = a \times a + a \times b + b \times a + b \times b$.

$= a^2 + ab + ab + b^2$.

Les deux termes du milieu sont identiques, je les regroupe :

$= a^2 + 2ab + b^2$. C'est bien la formule.

La différence de carrés se voit aussi géométriquement : dans un carré de côté $a$, on retire un petit carré de côté $b$ dans un coin. La surface restante, en forme de L, vaut $a^2 - b^2$ ; en la recoupant et la réarrangeant, on obtient un rectangle de dimensions $(a+b)$ et $(a-b)$. C'est la figure ci-dessous.

Où ça resservira — les ponts vers la suite

Ces trois formules ne sont pas un chapitre isolé : elles reviennent partout au lycée.

Résoudre des équations (2de). Pour résoudre $x^2 - 9 = 0$, on factorise : $x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$, donc un produit est nul quand l'un de ses facteurs est nul, d'où $x = 3$ ou $x = -3$. Sans factorisation, on ne sait pas résoudre ; l'identité remarquable est la clé.

Les fonctions polynômes. Développer et factoriser des expressions du type $ax^2 + bx + c$ sera ton pain quotidien : passer d'une forme à l'autre selon ce qu'on cherche (les racines, le sommet, le signe).

La forme canonique et le discriminant (1re). On apprendra à transformer n'importe quel trinôme en un carré + une constante. Le carré d'une somme que tu connais est exactement l'outil de cette transformation, appelée «complétion du carré».

Un avant-goût — la complétion du carré

Voici la technique du lycée qui utilise directement ce que tu sais déjà. L'idée : forcer une expression à ressembler à un carré d'une somme.

Regarde $x^2 + 6x$. Ce n'est pas un carré... mais presque. Si c'était $x^2 + 6x + 9$, ce serait $(x+3)^2$. Il manque juste le $9$.

Alors on l'ajoute et on le retire aussitôt, pour ne rien changer :

$x^2 + 6x = x^2 + 6x + 9 - 9 = (x+3)^2 - 9$.

On vient de réécrire une expression compliquée sous la forme «un carré moins un nombre». C'est puissant : par exemple, ça permet de résoudre $x^2 + 6x = 0$ en écrivant $(x+3)^2 = 9$, donc $x + 3 = 3$ ou $x + 3 = -3$.

Tu n'as pas à savoir faire ça au brevet. Mais retiens l'idée : le jour où ton prof de 2de parlera de «compléter le carré», tu sauras que ce n'est rien d'autre que ton $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ lu à l'envers. Tu auras un temps d'avance.