Identités remarquables

Trois formules pour développer et factoriser sans erreur — à connaître par cœur en 3e.

1 L'idée

Une identité remarquable est une égalité algébrique vraie pour toutes les valeurs des variables. Elle relie une forme factorisée (un produit) à une forme développée (une somme). Les reconnaître permet de développer sans erreur et, surtout, de factoriser dans l'autre sens.

En 3e, on utilise trois identités. Dans chaque formule, $a$ et $b$ désignent n'importe quelle expression : un nombre, une variable, ou quelque chose de plus complexe comme $3x$.

2 Les trois identités

Carré d'une somme

$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Carré d'une différence

$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

Produit de conjugués

$(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$

3 Développer — trois situations

Carré d'une somme : $(x+4)^2$

Identifier $a = x$ et $b = 4$.

$(x+4)^2 = x^2 + 2 \times x \times 4 + 4^2 = x^2 + 8x + 16$

Carré d'une différence : $(3x-2)^2$

Identifier $a = 3x$ et $b = 2$.

$(3x-2)^2 = (3x)^2 - 2 \times 3x \times 2 + 2^2 = 9x^2 - 12x + 4$

Produit de conjugués : $(x+5)(x-5)$

Identifier $a = x$ et $b = 5$.

$(x+5)(x-5) = x^2 - 5^2 = x^2 - 25$

4 Factoriser — reconnaître la forme

Différence de carrés : $x^2 - 49$

Écrire $x^2 - 49 = x^2 - 7^2$ : on identifie $a = x$, $b = 7$.

$x^2 - 49 = (x-7)(x+7)$

Carré d'une différence : $x^2 - 10x + 25$

Vérifier : $25 = 5^2$ et double produit $2 \times x \times 5 = 10x$ — la forme est bien $(x-5)^2$.

$x^2 - 10x + 25 = (x-5)^2$

Méthode — factoriser avec une identité remarquable

Deux termes avec un signe $-$ : tenter $A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)$.
Trois termes : identifier $A$ et $B$ tels que le premier terme soit $A^2$, le dernier $B^2$, et vérifier que le terme du milieu vaut exactement $2AB$.
Conclure : $(A+B)^2$ si le signe central est $+$, $(A-B)^2$ si c'est $-$.
Toujours vérifier en redéveloppant mentalement le résultat.

Erreurs fréquentes

$(a+b)^2 \neq a^2 + b^2$ : le terme $2ab$ est obligatoire — on ne peut pas «distribuer» le carré.
$(a-b)^2 \neq a^2 - b^2$ : la forme $a^2 - b^2$ est un produit de conjugués, pas un carré.
Si $a = 3x$, alors $a^2 = (3x)^2 = 9x^2$, et non $3x^2$.
$a^2 + b^2$ ne se factorise pas en 3e.