Équations et inéquations du premier degré

Prérequis : les équations du premier degré (rappel 4e)

Une équation est une égalité avec une inconnue (souvent notée $x$).
Exemple : $2x + 3 = 11$
Résoudre, c'est trouver la valeur de $x$ qui rend l'égalité vraie.
On utilise deux règles d'or :

• Isoler $x$ : passer les constantes de l'autre côté en faisant l'opération inverse. $2x + 3 = 11$ devient $2x = 11 - 3 = 8$.
• Diviser par le coefficient devant $x$ : $2x = 8$ donne $x = \frac{8}{2} = 4$.

La solution est un nombre. On peut toujours vérifier en le remplaçant dans l'équation de départ : $2 \times 4 + 3 = 8 + 3 = 11$, c'est bon.

Et maintenant, les inéquations

Une inéquation ressemble à une équation, mais au lieu d'un signe $=$, on a un signe d'inégalité :

• $\lt$ : strictement inférieur
• $\le$ : inférieur ou égal
• $\gt$ : strictement supérieur
• $\ge$ : supérieur ou égal

Exemple : $3x - 4 \gt 2$
Résoudre, c'est trouver toutes les valeurs de $x$ qui rendent l'inégalité vraie — un ensemble, un intervalle.
La méthode est presque la même que pour les équations, avec UNE règle en plus : si on divise (ou multiplie) par un nombre négatif, on inverse le sens de l'inégalité.
Exemple : $-2x \ge -4$ → on divise par $-2$ (négatif) → $x \le 2$ (le $\ge$ devient $\le$).

À la fin, on représente les solutions sur une droite graduée : point plein si $\le$ ou $\ge$, point creux (un petit rond vide) si $\lt$ ou $\gt$.

Méthode pas à pas — équations

Pour résoudre une équation du premier degré :

1. Développer les parenthèses si nécessaire (distribuer).
2. Regrouper tous les termes en $x$ d'un côté du signe $=$.
3. Regrouper toutes les constantes de l'autre côté.
4. Diviser les deux membres par le coefficient devant $x$.
5. Vérifier en remplaçant la solution trouvée dans l'équation de départ.

Méthode pas à pas — inéquations

Mêmes étapes 1 à 4 que pour les équations, mais avec une vigilance :

• À l'étape 4, si le coefficient devant $x$ est négatif, on inverse le sens de l'inégalité.
  $\lt$ devient $\gt$, $\le$ devient $\ge$, et inversement.
• Étape 5 : on représente l'ensemble solution sur une droite graduée.
  Point plein si l'inégalité est large ($\le$ ou $\ge$).
  Point creux (rond vide) si l'inégalité est stricte ($\lt$ ou $\gt$).

Sens direct et réciproque — deux façons de voir la même relation

En géométrie, tu utilises le théorème de Pythagore dans deux sens :

• Sens direct : tu sais que le triangle est rectangle → l'égalité $a^2 + b^2 = c^2$ est vraie. Tu t'en sers pour calculer une longueur.
• Réciproque : tu veux prouver que le triangle est rectangle → tu vérifies si $a^2 + b^2 = c^2$. Si oui, il est rectangle.

Ici, c'est pareil : résoudre une équation, c'est trouver la valeur qui rend l'égalité vraie (sens direct). Vérifier qu'un nombre est solution d'une inéquation, c'est tester s'il appartient à l'intervalle (sens réciproque).

Équation produit nul

Une équation produit nul est de la forme $(ax + b)(cx + d) = 0$.
Propriété : un produit est nul si et seulement si l'un de ses facteurs est nul.
Donc $(ax + b)(cx + d) = 0$ équivaut à $ax + b = 0$ ou $cx + d = 0$.
On résout chaque équation du premier degré séparément, et on obtient deux solutions.

Système de deux équations

Un système est un ensemble de deux équations à deux inconnues (souvent $x$ et $y$) que l'on cherche à résoudre simultanément.
Exemple : $\begin{cases} 2x + y = 7 \\ x - y = 2 \end{cases}$
Deux méthodes au programme de seconde : substitution (on exprime une inconnue en fonction de l'autre) et combinaison (on additionne ou soustrait les équations pour éliminer une inconnue).