Équations et inéquations du premier degré

Les prérequis (rien de méchant)

Avant de te lancer, assure-toi de savoir calculer avec les nombres relatifs : additionner, soustraire, multiplier et diviser des nombres positifs et négatifs. C'est tout ce dont tu as besoin.

Souviens-toi aussi qu'une équation, c'est une égalité avec un signe $=$ et une lettre inconnue (souvent $x$). Ton objectif : trouver la valeur de $x$ qui rend l'égalité vraie. On appelle cette valeur la solution.

L'idée en deux mots et la règle d'or

Une équation du premier degré ressemble à $ax + b = c$ (avec $a \neq 0$). Imagine une balance : les deux plateaux sont à l'équilibre. Tant que tu fais exactement la même chose des deux côtés, la balance reste équilibrée.

Deux gestes suffisent pour isoler $x$ :

1) Passer un terme de l'autre côté en changeant son signe : $ax + b = c$ devient $ax = c - b$.

2) Diviser les deux côtés par le nombre devant $x$ : $ax = k$ devient $x = \dfrac{k}{a}$.

La règle d'or réservée aux inéquations (les $\lt$, $\le$, $\gt$, $\ge$) : si tu divises ou multiplies par un nombre négatif, tu inverses le sens de l'inégalité. Garde-la dans un coin de ta tête, on y revient plus loin.

Un exemple traité en entier

Résolvons $3x - 5 = 7$.

Étape 1 — je fais passer le $-5$ à droite (il devient $+5$) : $3x = 7 + 5$.

Étape 2 — je calcule le membre de droite : $3x = 12$.

Étape 3 — je divise les deux côtés par $3$ : $x = \dfrac{12}{3} = 4$.

Étape 4 — je vérifie en remplaçant $x$ par $4$ dans l'équation de départ : $3 \times 4 - 5 = 12 - 5 = 7$. C'est bien égal à $7$, donc la solution est $x = 4$.

Retiens ce réflexe : isoler, diviser, vérifier. Au contrôle, ça marche à tous les coups.

Les définitions, au propre

Une équation du premier degré à une inconnue est une égalité de la forme $ax + b = c$, où $a$, $b$, $c$ sont des nombres connus et $a \neq 0$. Résoudre l'équation, c'est trouver la valeur de $x$ qui rend l'égalité vraie : c'est la solution. Une équation du premier degré possède une seule solution.

Une inéquation du premier degré est une inégalité : $ax + b \lt c$, $ax + b \le c$, $ax + b \gt c$ ou $ax + b \ge c$. Sa solution n'est pas un seul nombre, mais un ensemble de valeurs (un intervalle) que l'on représente sur une droite numérique.

La différence à ne jamais perdre de vue : équation $\rightarrow$ une valeur unique ; inéquation $\rightarrow$ tout un intervalle.

La méthode pas à pas

Que ce soit pour une équation ou une inéquation, on suit le même chemin :

1. Développer les parenthèses s'il y en a.

2. Regrouper tous les termes en $x$ d'un même côté (par addition ou soustraction).

3. Regrouper toutes les constantes de l'autre côté.

4. Diviser les deux membres par le coefficient de $x$.

5. (inéquation seulement) Si ce coefficient est négatif, inverser le sens de l'inégalité.

6. (inéquation) Représenter la solution sur une droite numérique : point plein si $\le$ ou $\ge$ (la valeur est incluse), point creux si $\lt$ ou $\gt$ (la valeur est exclue).

Deux exemples traités

Exemple A — une équation. Résoudre $3x - 5 = 7$.

Je fais passer le $-5$ : $3x = 7 + 5$, donc $3x = 12$.

Je divise par $3$ : $x = \dfrac{12}{3} = 4$.

Vérification : $3 \times 4 - 5 = 7$. La solution est $x = 4$.

Exemple B — une inéquation. Résoudre $-2x + 3 \ge 1$.

Je fais passer le $+3$ : $-2x \ge 1 - 3$, donc $-2x \ge -2$.

Je divise par $-2$, qui est négatif : j'inverse le sens de l'inégalité. $x \le \dfrac{-2}{-2}$, donc $x \le 1$.

Les solutions sont tous les nombres inférieurs ou égaux à $1$. On les lit sur la droite numérique ci-dessous : point plein sur $1$, car $1$ est inclus.

Échauffement 1 — des x des deux côtés

On veut résoudre $5x + 4 = 2x + 19$. Ici il y a des $x$ à gauche et à droite : le premier réflexe est de les rassembler.

Je retire $2x$ des deux côtés pour ne garder des $x$ qu'à gauche : $5x - 2x + 4 = 19$, soit $3x + 4 = 19$.

Je fais passer le $+4$ à droite (il devient $-4$) : $3x = 19 - 4$, soit $3x = 15$.

Je divise par $3$ : $x = \dfrac{15}{3} = 5$.

Vérification : à gauche $5 \times 5 + 4 = 29$ ; à droite $2 \times 5 + 19 = 29$. Les deux membres valent $29$, donc $x = 5$.

Échauffement 2 — avec des parenthèses

On résout $2(x - 3) + 4 = 3x - 1$. La priorité, c'est de développer la parenthèse.

$2 \times x - 2 \times 3 = 2x - 6$, donc le membre de gauche devient $2x - 6 + 4 = 2x - 2$. L'équation s'écrit $2x - 2 = 3x - 1$.

Je rassemble les $x$ à gauche en retirant $3x$ des deux côtés : $2x - 3x - 2 = -1$, soit $-x - 2 = -1$.

Je fais passer le $-2$ (il devient $+2$) : $-x = -1 + 2$, soit $-x = 1$.

$-x = 1$ signifie $x = -1$ (je divise par $-1$).

Vérification : à gauche $2(-1 - 3) + 4 = 2 \times (-4) + 4 = -4$ ; à droite $3 \times (-1) - 1 = -4$. Ça colle : $x = -1$.

Échauffement 3 — une inéquation (attention au sens)

On résout l'inéquation $-3x + 2 \lt 11$. Même méthode que pour une équation, avec la règle d'or qui rôde.

Je fais passer le $+2$ : $-3x \lt 11 - 2$, soit $-3x \lt 9$.

Je divise par $-3$. Comme $-3$ est négatif, j'inverse le sens : le $\lt$ devient $\gt$. $x \gt \dfrac{9}{-3}$, soit $x \gt -3$.

Les solutions sont tous les nombres strictement supérieurs à $-3$. Sur la droite numérique : point creux sur $-3$ (car $-3$ n'est pas solution) et flèche vers la droite.

Problème type 1 — comparer deux offres (inéquation)

Énoncé. Une salle de sport propose deux formules mensuelles. Formule A : $20$ € par mois, séances illimitées. Formule B : $8$ € par mois, plus $3$ € par séance. À partir de combien de séances dans le mois la formule A devient-elle plus avantageuse (moins chère) que la formule B ?

Choix de l'inconnue. J'appelle $n$ le nombre de séances dans le mois. $n$ est un nombre entier positif.

Mise en inéquation. Coût de A : $20$. Coût de B : $8 + 3n$. « A moins chère que B » se traduit par $20 \lt 8 + 3n$.

Je fais passer le $8$ : $20 - 8 \lt 3n$, soit $12 \lt 3n$.

Je divise par $3$ (positif, donc le sens ne change pas) : $\dfrac{12}{3} \lt n$, soit $4 \lt n$, c'est-à-dire $n \gt 4$.

Conclusion. Comme $n$ est un nombre entier de séances, $n \gt 4$ signifie $n \ge 5$. À partir de 5 séances par mois, la formule A est plus avantageuse.

Problème type 2 — géométrie (équation)

Énoncé. Un rectangle a une longueur qui dépasse sa largeur de $3$ cm. Son périmètre mesure $26$ cm. Quelles sont ses dimensions ?

Choix de l'inconnue. J'appelle $x$ la largeur en cm. La longueur vaut alors $x + 3$.

Mise en équation. Le périmètre d'un rectangle est $2 \times (\text{largeur} + \text{longueur})$, donc $2 \big( x + (x + 3) \big) = 26$.

Je simplifie l'intérieur : $x + x + 3 = 2x + 3$, donc $2(2x + 3) = 26$.

Je développe : $4x + 6 = 26$.

Je fais passer le $6$ : $4x = 20$, puis je divise par $4$ : $x = 5$.

Conclusion. La largeur vaut $5$ cm et la longueur $5 + 3 = 8$ cm. Vérification du périmètre : $2 \times (5 + 8) = 2 \times 13 = 26$ cm. C'est correct.

Ce que le correcteur attend (et les pièges)

Pour rafler tous les points :

1) Nommer l'inconnue par une phrase (« Soit $x$ la largeur... »). Sans ça, tu perds des points même avec le bon résultat.

2) Écrire l'équation ou l'inéquation qui traduit l'énoncé, avant de la résoudre.

3) Montrer les étapes de résolution, pas seulement le résultat final.

4) Conclure par une phrase qui répond à la question posée, avec les unités.

Les pièges classiques qui coûtent cher :

• Oublier d'inverser le sens de l'inégalité en divisant (ou multipliant) par un nombre négatif. C'est l'erreur numéro un des inéquations.

• Erreur de signe en passant un terme : de $3x - 5 = 7$ on obtient $3x = 7 + 5 = 12$, et surtout pas $3x = 7 - 5$.

• Confondre la solution d'une équation (une valeur unique) et celle d'une inéquation (tout un intervalle).

• Oublier de vérifier ta solution dans l'équation de départ, et oublier une contrainte comme « $n$ est un entier » dans un problème concret.

Pourquoi le sens s'inverse (la justification)

La règle « on inverse le sens quand on multiplie par un négatif » n'est pas un caprice de prof : elle vient de l'ordre des nombres. Prends $-2 \lt 3$, c'est vrai. Multiplie les deux membres par $-1$ : à gauche $2$, à droite $-3$. Or $2 \gt -3$. L'inégalité a bel et bien changé de sens.

Visuellement, multiplier par $-1$ revient à retourner la droite numérique comme un miroir autour de $0$ : ce qui était à gauche passe à droite. « Plus petit » devient donc « plus grand ». Voilà pourquoi, avec un facteur négatif, $\le$ devient $\ge$ et inversement.

Le lien avec les fonctions affines

L'an prochain, tu verras que $f(x) = ax + b$ est une fonction affine et que sa représentation graphique est une droite. Résoudre l'équation $ax + b = c$, c'est chercher l'antécédent de $c$ : la valeur de $x$ pour laquelle la droite atteint la hauteur $c$.

De même, résoudre l'inéquation $ax + b \lt c$ revient à repérer les $x$ pour lesquels la droite passe en dessous de la hauteur $c$. Ta résolution algébrique et la lecture graphique donnent exactement la même réponse : ce sont deux points de vue sur le même objet.

L'aperçu de l'année prochaine

Avec le premier degré en poche, plusieurs portes s'ouvrent :

• Le second degré : $ax^2 + bx + c = 0$, où l'inconnue est au carré ; il peut y avoir zéro, une ou deux solutions.

• La notation des intervalles : au lieu d'écrire $x \le 1$, on notera l'ensemble des solutions $\left] -\infty\,;\, 1 \right]$.

Tout cela repose sur les gestes que tu viens de solidifier. Le premier degré, c'est la fondation.