Équations et inéquations du premier degré

Trouver la valeur inconnue d'une égalité, ou l'ensemble des solutions d'une inégalité.

1 L'idée

Une équation du premier degré est une égalité de la forme $ax + b = c$ (avec $a \neq 0$). Résoudre l'équation, c'est trouver la valeur de $x$ qui vérifie l'égalité : on appelle cette valeur la solution.

Une inéquation du premier degré est une inégalité du type $ax + b \lt c$, $ax + b \le c$, $ax + b \gt c$ ou $ax + b \ge c$. Sa solution est un ensemble de valeurs, que l'on représente sur une droite numérique.

2 Règles fondamentales

Passer un terme

$ax + b = c \implies ax = c - b$

Diviser (coefficient > 0)

$ax = k \implies x = \dfrac{k}{a} \quad (a \gt 0)$

Diviser par un négatif

$ax \ge k,\ a \lt 0 \implies x \le \dfrac{k}{a}$

3 Exemples résolus

Exemple A — équation

Résoudre $3x - 5 = 7$.

$3x = 7 + 5 = 12$

$x = \dfrac{12}{3} = 4$

Vérification : $3 \times 4 - 5 = 12 - 5 = 7$ ✓

Exemple B — inéquation

Résoudre $-2x + 3 \ge 1$.

$-2x \ge 1 - 3 = -2$

On divise par $-2 \lt 0$ : le sens s'inverse.

$x \le \dfrac{-2}{-2} = 1$

Méthode — résoudre pas à pas

Développer les parenthèses si nécessaire.
Regrouper tous les termes en $x$ d'un même côté par addition ou soustraction.
Regrouper toutes les constantes de l'autre côté.
Diviser les deux membres par le coefficient de $x$.
Inéquation seulement : si ce coefficient est négatif, inverser le sens de l'inégalité.
Pour une inéquation, représenter la solution sur une droite numérique (point plein si $\le$ ou $\ge$, point creux si $\lt$ ou $\gt$).

Erreurs fréquentes

Oublier d'inverser le signe lors d'une division (ou multiplication) par un nombre négatif dans une inéquation.
Erreur de signe en passant un terme : $3x - 5 = 7 \Rightarrow 3x = 7 - 5$ est faux ; il faut $3x = 7 + 5 = 12$.
Confondre solution d'une équation (une valeur unique) et solution d'une inéquation (un intervalle).
Oublier de vérifier la solution dans l'équation de départ.