Mathématiques · 3e

Puissances de 10, notation scientifique

J'ai pas vu ça mais j'ai contrôleÇa me dit un truc en faitOn s'échauffeOn sécurise le contrôleOn préshot l'année prochaine

Pas de panique ! Même si tu n'as jamais vu les puissances de 10, on va te donner l'essentiel pour être prêt pour ton contrôle. On part de zéro, on révise les bases des puissances, puis on passe à la notation scientifique.

Prérequis : les puissances d'un nombre (vu en 4e)

Une puissance sert à écrire une multiplication répétée.
Si $n$ est un entier positif : $a^n = \underbrace{a \times a \times \cdots \times a}_{n\text{ facteurs}}$
Exemples : $2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8$ ; $5^2 = 25$.
Cas particuliers : $a^0 = 1$ (si $a
eq 0$), et $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$.
Exemple : $2^{-3} = \dfrac{1}{2^3} = \dfrac{1}{8}$.

Les puissances de 10

Pour la base 10, c'est pareil : $10^n$ (n chiffres) vaut un '1' suivi de n zéros si n>0. Si n<0, c'est un '0,' suivi de n-1 zéros puis 1.

$10^1 = 10$
$10^2 = 100$
$10^3 = 1\,000$
$10^0 = 1$
$10^{-1} = \dfrac{1}{10} = 0,1$
$10^{-2} = \dfrac{1}{100} = 0,01$
$10^{-3} = 0,001$

La notation scientifique, késako ?

Un nombre est écrit en notation scientifique quand il est de la forme :

$a \times 10^n$

avec $1 \leq a < 10$ et $n$ entier relatif (positif, négatif ou nul).

Exemples :
$4\,700 = 4,7 \times 10^3$
$0,0053 = 5,3 \times 10^{-3}$
$89 = 8,9 \times 10^1$
$0,000\,01 = 1 \times 10^{-5}$

À toi de jouer

1. Complète les égalités suivantes avec le nombre décimal correspondant :
a) $10^2 = \underline{\hspace{1.1em}}$
b) $10^{-1} = \underline{\hspace{1.1em}}$
c) $10^5 = \underline{\hspace{1.1em}}$
d) $10^{-3} = \underline{\hspace{1.1em}}$
e) $10^0 = \underline{\hspace{1.1em}}$

Corrigé

a) $10^2 = 100$
b) $10^{-1} = 0,1$
c) $10^5 = 100\,000$
d) $10^{-3} = 0,001$
e) $10^0 = 1$

2. Complète pour mettre ces grands nombres en notation scientifique :
a) $3\,000 = 3 \times 10^{\underline{\hspace{1.1em}}}$
b) $45\,000 = 4,5 \times 10^{\underline{\hspace{1.1em}}}$
c) $912\,000 = 9,12 \times 10^{\underline{\hspace{1.1em}}}$
d) $5\,600\,000 = 5,6 \times 10^{\underline{\hspace{1.1em}}}$

Corrigé

a) $3\,000 = 3 \times 10^{3}$
b) $45\,000 = 4,5 \times 10^{4}$
c) $912\,000 = 9,12 \times 10^{5}$
d) $5\,600\,000 = 5,6 \times 10^{6}$

3. Fais la même chose pour ces petits nombres :
a) $0,004 = 4 \times 10^{\underline{\hspace{1.1em}}}$
b) $0,0007 = 7 \times 10^{\underline{\hspace{1.1em}}}$
c) $0,000\,025 = 2,5 \times 10^{\underline{\hspace{1.1em}}}$
d) $0,000\,000\,9 = 9 \times 10^{\underline{\hspace{1.1em}}}$

Corrigé

a) $0,004 = 4 \times 10^{-3}$
b) $0,0007 = 7 \times 10^{-4}$
c) $0,000\,025 = 2,5 \times 10^{-5}$
d) $0,000\,000\,9 = 9 \times 10^{-7}$

Ah, ça te revient ! Ces histoires de puissances, tu les as déjà croisées. On va remettre tout ça en ordre avec les propriétés et une méthode claire pour ne plus se tromper.

Propriétés des puissances de 10

Quand on multiplie ou divise des puissances de 10, on applique ces règles :

Produit : $10^a \times 10^b = 10^{a+b}$
Quotient : $\dfrac{10^a}{10^b} = 10^{a-b}$

Exemple : $10^3 \times 10^{-5} = 10^{3+(-5)} = 10^{-2}$

Méthode pour écrire un nombre en notation scientifique

Suis ces étapes :

Repère le premier chiffre non nul du nombre.
Place la virgule juste après ce chiffre, cela donne $a$ (compris entre 1 et 10 exclu).
Compte le nombre de rangs dont tu as déplacé la virgule : c'est ton exposant $n$.
Si la virgule est déplacée vers la gauche (grand nombre), $n$ est positif ; si vers la droite (petit nombre), $n$ est négatif.

On le voit bien avec un exemple : $0,0047$ → premier chiffre non nul = 4, virgule déplacée de 3 rangs vers la droite → $n = -3$, $a = 4,7$ → $4,7 \times 10^{-3}$.

À toi de jouer

1. Calcule en utilisant les propriétés, puis donne la valeur décimale :
a) $10^2 \times 10^4 = 10^{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
b) $10^3 \times 10^{-6} = 10^{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
c) $\dfrac{10^8}{10^5} = 10^{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
d) $\dfrac{10^2}{10^{-3}} = 10^{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$

Corrigé

a) $10^{2+4} = 10^{6} = 1\,000\,000$
b) $10^{3+(-6)} = 10^{-3} = 0,001$
c) $10^{8-5} = 10^{3} = 1\,000$
d) $10^{2-(-3)} = 10^{5} = 100\,000$

2. Pour le nombre $0,000\,56$, complète le raisonnement :
Le premier chiffre non nul est … donc on place la virgule après ce chiffre : $a = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Pour passer de $0,000\,56$ à $5,6$, on décale la virgule de $\underline{\hspace{1.1em}}$ rangs vers la $\underline{\hspace{1.1em}}$.
L'exposant $n$ vaut donc $\underline{\hspace{1.1em}}$.
En notation scientifique : $0,000\,56 = \underline{\hspace{1.1em}} \times 10^{\underline{\hspace{1.1em}}}$.

Corrigé

Le premier chiffre non nul est 5 donc $a = 5,6$. On décale la virgule de 4 rangs vers la droite. $n = -4$. $0,000\,56 = 5,6 \times 10^{-4}$.

3. $(4 \times 10^3) \times (2 \times 10^{-1})$
On regroupe les nombres et les puissances : $(4 \times 2) \times (10^{\underline{\hspace{1.1em}}} \times 10^{\underline{\hspace{1.1em}}}) = \underline{\hspace{1.1em}} \times 10^{\underline{\hspace{1.1em}}}$
Mais attention, il faut vérifier que $a$ est bien compris entre 1 et 10. Ici, $a = \underline{\hspace{1.1em}}$, c'est parfait. Résultat : $\underline{\hspace{1.1em}} \times 10^{\underline{\hspace{1.1em}}}$

Corrigé

$(4 \times 2) \times (10^3 \times 10^{-1}) = 8 \times 10^{3+(-1)} = 8 \times 10^2$. $a=8$ (entre 1 et 10), donc $8 \times 10^2$.

Allez, on chauffe les neurones ! Voici 5 mini-exos quasi identiques pour que la notation scientifique devienne un réflexe.

À toi de jouer

1. 1. $2\,700 = \underline{\hspace{1.1em}} \times 10^{\underline{\hspace{1.1em}}}$

Corrigé

$2\,700 = 2,7 \times 10^3$

2. 2. $0,0035 = \underline{\hspace{1.1em}} \times 10^{\underline{\hspace{1.1em}}}$

Corrigé

$0,0035 = 3,5 \times 10^{-3}$

3. 3. $540\,000 = \underline{\hspace{1.1em}} \times 10^{\underline{\hspace{1.1em}}}$

Corrigé

$540\,000 = 5,4 \times 10^5$

4. 4. $0,000\,081 = \underline{\hspace{1.1em}} \times 10^{\underline{\hspace{1.1em}}}$

Corrigé

$0,000\,081 = 8,1 \times 10^{-5}$

5. 5. $7\,020\,000 = \underline{\hspace{1.1em}} \times 10^{\underline{\hspace{1.1em}}}$

Corrigé

$7\,020\,000 = 7,02 \times 10^6$

C'est l'heure de vérifier que tu maîtrises pour le contrôle. Plus de cases à trous cette fois, tu te débrouilles comme un grand. Exercices variés, un peu plus costauds.

À toi de jouer

1. 1. Écrire chaque nombre en notation scientifique :
a) $45\,200\,000$
b) $0,000\,000\,759$
c) $438,2$
d) $0,09$

Corrigé

a) $4,52 \times 10^7$
b) $7,59 \times 10^{-7}$
c) $4,382 \times 10^2$
d) $9 \times 10^{-2}$

2. 2. Effectuer les calculs suivants et donner le résultat en notation scientifique :
a) $(5 \times 10^7) \times (3 \times 10^{-4})$
b) $\dfrac{9 \times 10^5}{3 \times 10^{-2}}$
c) $0,000\,12 \times 500\,000$ (pense à tout mettre en notation scientifique d'abord)

Corrigé

a) $15 \times 10^{7-4} = 15 \times 10^3 = 1,5 \times 10^4$
b) $\dfrac{9}{3} \times 10^{5-(-2)} = 3 \times 10^7$
c) $1,2 \times 10^{-4} \times 5 \times 10^5 = 6 \times 10^{-4+5} = 6 \times 10^1$

3. 3. Un virus de la grippe mesure environ $1,2 \times 10^{-7}$ m. Un cheveu humain mesure environ $8 \times 10^{-5}$ m. Combien de virus pourrait-on aligner côte à côte dans l'épaisseur d'un cheveu ? Donne le résultat en écriture décimale puis en notation scientifique.

Corrigé

Nombre de virus = $\dfrac{8 \times 10^{-5}}{1,2 \times 10^{-7}} = \dfrac{8}{1,2} \times 10^{-5+7} = \dfrac{20}{3} \times 10^2 \approx 6,666... \times 10^2 = 666,6...$
En arrondissant, environ $667$ virus. En notation scientifique : $6,67 \times 10^2$ (arrondi raisonnable).

4. 4. La distance Terre-Lune est d'environ 384 400 km.
a) Exprime cette distance en mètres puis en notation scientifique.
b) La vitesse de la lumière est $3 \times 10^8$ m/s. En utilisant $t = \dfrac{d}{v}$, calcule le temps mis par la lumière pour aller de la Lune à la Terre. Donne-le en secondes, en notation scientifique.
c) Convertis ce temps en minutes (arrondi au centième si besoin).

Corrigé

a) 384 400 km = 384 400 000 m = $3,844 \times 10^8$ m.
b) $t = \dfrac{3,844 \times 10^8}{3 \times 10^8} = \dfrac{3,844}{3} \times 10^{8-8} \approx 1,2813 \times 10^0 = 1,2813$ s. En notation scientifique : $1,28 \times 10^0$ s (ou $1,28$ s).
c) $1,2813 / 60 \approx 0,02136$, donc arrondi au centième : $0,02$ min.

5. 5. Vrai ou faux (justifie) : 'L'écriture $25 \times 10^4$ est une notation scientifique.'

Corrigé

Faux : en notation scientifique, le nombre $a$ doit être compris entre 1 et 10 (exclu), or $25 \geq 10$. La notation scientifique correcte est $2,5 \times 10^5$.

Prêt pour le lycée ? On va voir comment les scientifiques utilisent les puissances de 10 pour comparer des masses, des tailles, et jongler avec les ordres de grandeur. Ouvre bien les yeux !

À toi de jouer

1. La masse du Soleil est d'environ $1,989 \times 10^{30}$ kg. La masse de la Terre est d'environ $5,972 \times 10^{24}$ kg. Combien de fois le Soleil est-il plus massif que la Terre ? Arrondis à l'unité.

Corrigé

On cherche le rapport entre la masse du Soleil et la masse de la Terre :

$\text{Rapport} = \dfrac{1{,}989 \times 10^{30}}{5{,}972 \times 10^{24}} = \dfrac{1{,}989}{5{,}972} \times 10^{30-24} = \dfrac{1{,}989}{5{,}972} \times 10^{6}$

Calcul de la division :
$\dfrac{1{,}989}{5{,}972} \approx 0{,}333\,054$

D'où : $0{,}333\,054 \times 10^{6} = 333\,054$

Le Soleil est environ $333\,054$ fois plus massif que la Terre.

Remarque : l'erreur du corrigé initial vient d'un arrondi prématuré : $\dfrac{1{,}989}{5{,}972}$ vaut $0{,}333\,054\ldots$, et non $0{,}3331$. Arrondir à $0{,}3331$ avant de multiplier par $10^6$ introduit une surestimation de $46$ unités dans le résultat final.

2. En informatique, on utilise les puissances de 10 pour mesurer la capacité de stockage.
1 Go (gigaoctet) = $10^9$ octets
1 To (téraoctet) = $10^{12}$ octets
a) Un disque dur a une capacité de 2 To. Exprime cette capacité en octets, en notation scientifique.
b) Une photo numérique occupe environ 4 Mo (mégaoctet). Sachant que 1 Mo = $10^6$ octets, combien de photos peut-on stocker sur ce disque dur ? Donne le résultat en notation scientifique.

Corrigé

a) $2 \times 10^{12}$ octets.
b) Nombre de photos = $\dfrac{2 \times 10^{12}}{4 \times 10^6} = \dfrac{1}{2} \times 10^{12-6} = 0,5 \times 10^{6} = 5 \times 10^5$ photos.

3. En chimie, une mole d'atomes contient $6,022 \times 10^{23}$ atomes (nombre d'Avogadro).
a) Combien d'atomes dans $0,001$ mole ? dans $1\,000$ moles ? (en notation scientifique)
b) Si l'on dispose de $1,2044 \times 10^{24}$ atomes de carbone, à combien de moles cela correspond-il ?

Corrigé

a) Dans $0,001$ mole : $0,001 \times 6,022 \times 10^{23} = 6,022 \times 10^{20}$ atomes.
Dans $1\,000$ moles : $1\,000 \times 6,022 \times 10^{23} = 6,022 \times 10^{26}$ atomes.
b) $\dfrac{1,2044 \times 10^{24}}{6,022 \times 10^{23}} = 0,2 \times 10^1 = 2$ moles.