Puissances de 10 et notation scientifique

Ce qu'il faut savoir avant (2 minutes)

Avant de parler de notation scientifique, trois réflexes à avoir en tête.

Une puissance, c'est une multiplication répétée. $10^4$ veut dire « quatre fois le facteur 10 » : $10^4 = 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10\,000$.

Multiplier par 10, c'est décaler la virgule d'un rang vers la droite ; diviser par 10, c'est la décaler d'un rang vers la gauche. Par exemple $3{,}5 \times 10 = 35$ et $3{,}5 \div 10 = 0{,}35$.

Un exposant négatif, ça divise. $10^{-2} = \dfrac{1}{100} = 0{,}01$.

L'essentiel et la formule clé

La notation scientifique sert à écrire les très grands et les très petits nombres sans aligner des paquets de zéros. On écrit le nombre sous la forme :

$a \times 10^n$, avec $1 \leq a \lt 10$ (un seul chiffre non nul avant la virgule) et $n$ un entier relatif.

Deux repères pour deviner l'exposant $n$ :

• nombre grand (plus grand que 10) : exposant positif, $n \gt 0$ ;
• nombre petit (entre 0 et 1) : exposant négatif, $n \lt 0$.

La recette : je place la virgule juste après le premier chiffre non nul, puis je compte de combien de rangs je l'ai déplacée. Ce nombre de rangs donne l'exposant.

Un exemple fait en entier

Écrivons $47\,000$ en notation scientifique.

Premier chiffre non nul : le 4. Je place la virgule juste après : cela donne $a = 4{,}7$.

Je compte les rangs entre l'ancienne position de la virgule (sous-entendue à la fin, après le dernier 0) et la nouvelle (après le 4) : il y en a 4.

Le nombre est grand, donc l'exposant est positif : $n = 4$.

Résultat : $47\,000 = 4{,}7 \times 10^4$.

Vérification : $4{,}7 \times 10\,000 = 47\,000$. C'est bon.

Les puissances de 10, au propre

Une puissance de 10 d'exposant entier positif est un produit de facteurs 10 :

$10^n = \underbrace{10 \times \cdots \times 10}_{n \text{ facteurs}}$ pour $n \geq 1$.

Concrètement, $10^n$ s'écrit « 1 suivi de $n$ zéros » : $10^3 = 1\,000$, $10^6 = 1\,000\,000$.

Deux cas à retenir absolument :

• Exposant nul : $10^0 = 1$.
• Exposant négatif : $10^{-n} = \dfrac{1}{10^n}$ pour $n \geq 1$. Par exemple $10^{-3} = \dfrac{1}{1\,000} = 0{,}001$.

Les règles de calcul (produit et quotient)

Pour multiplier ou diviser des puissances de 10, on ne touche pas au 10 : on agit seulement sur les exposants.

Produit : $10^a \times 10^b = 10^{a+b}$ (on additionne les exposants).

Quotient : $10^a \div 10^b = 10^{a-b}$ (on soustrait les exposants).

Exemples : $10^5 \times 10^{-2} = 10^{5+(-2)} = 10^3$, et $10^7 \div 10^4 = 10^{7-4} = 10^3$.

Ces règles fonctionnent aussi avec des exposants négatifs, à condition de respecter soigneusement les signes.

La notation scientifique, méthode complète

Un nombre est en notation scientifique lorsqu'il s'écrit :

$a \times 10^n$ avec $1 \leq a \lt 10$ et $n \in \mathbb{Z}$.

Autrement dit, $a$ possède exactement un chiffre non nul avant la virgule. La méthode, pas à pas :

• Repérer le premier chiffre significatif (le premier chiffre non nul en partant de la gauche).
• Placer la virgule juste après ce chiffre : on obtient $a$, avec $1 \leq a \lt 10$.
• Compter le nombre de rangs de décalage de la virgule : c'est la valeur de l'exposant $n$.
• Choisir le signe : grand nombre (virgule déplacée vers la gauche) donne $n \gt 0$ ; petit nombre (virgule déplacée vers la droite) donne $n \lt 0$.

Deux directions, deux exemples : grand nombre, $47\,000 = 4{,}7 \times 10^4$ ; petit nombre, $0{,}0053 = 5{,}3 \times 10^{-3}$.

On écrit un grand nombre ensemble : 47 000

On veut $47\,000$ en notation scientifique. On y va ensemble, tranquillement.

Ligne 1. Je cherche le premier chiffre non nul : c'est le 4, tout à gauche.

Ligne 2. Je pose la virgule juste après le 4 : j'obtiens $a = 4{,}7$. Je vérifie : $1 \leq 4{,}7 \lt 10$, parfait, $a$ est bien entre 1 et 10.

Ligne 3. Je compte les rangs. Dans $47\,000$ la virgule est sous-entendue à la fin ($47\,000{,}0$). Pour l'amener juste après le 4, je la déplace de 4 rangs vers la gauche.

Ligne 4. Le nombre est grand (bien plus que 10), donc l'exposant est positif : $n = +4$.

Ligne 5. J'écris le résultat : $47\,000 = 4{,}7 \times 10^4$.

Ligne 6. Contrôle : $4{,}7 \times 10^4 = 4{,}7 \times 10\,000 = 47\,000$. On retombe sur nos pieds.

On écrit un petit nombre ensemble : 0,0053

Même méthode, mais cette fois le nombre est tout petit. C'est le signe de l'exposant qui va changer.

Ligne 1. Premier chiffre non nul de $0{,}0053$ : ni le 0 des unités, ni les deux 0 juste après la virgule ne comptent. Le premier chiffre non nul est le 5.

Ligne 2. Je place la virgule juste après le 5 : $a = 5{,}3$. Vérification : $1 \leq 5{,}3 \lt 10$, c'est bon.

Ligne 3. Je compte le décalage, de la place initiale de la virgule (après le 0 des unités) jusqu'après le 5 : elle avance de 3 rangs vers la droite.

Ligne 4. Le nombre est petit (entre 0 et 1), donc l'exposant est négatif : $n = -3$.

Ligne 5. Résultat : $0{,}0053 = 5{,}3 \times 10^{-3}$.

Ligne 6. Contrôle : $5{,}3 \times 10^{-3} = 5{,}3 \times 0{,}001 = 0{,}0053$. Nickel.

On calcule avec les puissances : (3 × 10⁴) × (2 × 10³)

Ici on multiplie deux nombres déjà écrits avec des puissances de 10. Le secret : ranger avant de calculer.

Ligne 1. J'écris le produit : $(3 \times 10^4) \times (2 \times 10^3)$.

Ligne 2. Je réorganise : les nombres d'un côté, les puissances de 10 de l'autre. $= (3 \times 2) \times (10^4 \times 10^3)$.

Ligne 3. Je calcule les nombres : $3 \times 2 = 6$.

Ligne 4. J'applique la règle du produit sur les puissances (j'additionne les exposants) : $10^4 \times 10^3 = 10^{4+3} = 10^7$.

Ligne 5. Je rassemble : $= 6 \times 10^7$.

Ligne 6. Dernier réflexe : est-ce bien de la notation scientifique ? Le nombre $6$ est entre 1 et 10, oui. Résultat final : $6 \times 10^7$.

Problème type 1 : de la distance Terre-Soleil aux mètres

Énoncé. La distance Terre-Soleil vaut environ $150\,000\,000$ km. Écris-la en notation scientifique, puis convertis-la en mètres (on rappelle que $1$ km $= 10^3$ m).

1) En notation scientifique. Premier chiffre non nul : le 1. Je place la virgule juste après : $a = 1{,}5$. Décalage de la virgule : 8 rangs vers la gauche. Le nombre est grand, donc exposant positif.

$150\,000\,000 = 1{,}5 \times 10^8$ km.

2) Conversion en mètres. Je multiplie par $10^3$ : $1{,}5 \times 10^8 \times 10^3$.

Je regroupe les puissances de 10 (règle du produit) : $10^8 \times 10^3 = 10^{8+3} = 10^{11}$.

Donc la distance vaut $1{,}5 \times 10^{11}$ m.

Réponse. $150\,000\,000$ km $= 1{,}5 \times 10^8$ km $= 1{,}5 \times 10^{11}$ m.

Problème type 2 : combien d'atomes sur 1 mm ?

Énoncé. Un atome mesure environ $0{,}000\,000\,000\,1$ m de diamètre. Combien peut-on en aligner, côte à côte, sur une longueur de $1$ mm ? (On rappelle que $1$ mm $= 0{,}001$ m.)

1) Tout écrire en notation scientifique.

Diamètre d'un atome : $0{,}000\,000\,000\,1 = 1 \times 10^{-10}$ m (la virgule se déplace de 10 rangs vers la droite).

Longueur disponible : $1$ mm $= 0{,}001 = 1 \times 10^{-3}$ m.

2) Le nombre d'atomes, c'est la longueur divisée par le diamètre.

$\dfrac{10^{-3}}{10^{-10}} = 10^{-3-(-10)} = 10^{-3+10} = 10^7$.

Réponse. On peut aligner environ $10^7$ atomes, soit $10\,000\,000$ atomes, sur $1$ mm. Dix millions : d'où l'intérêt de la notation scientifique pour ne pas écrire des rangées de zéros.

Ce que le correcteur attend, et les pièges classiques

Ce qui rapporte les points.

• Toujours vérifier que $a$ respecte $1 \leq a \lt 10$ : c'est LE critère de la notation scientifique, celui que le correcteur regarde en premier.
• Justifier le signe de l'exposant (grand nombre donne positif, petit nombre donne négatif) plutôt que de le deviner.
• Écrire la ligne de calcul des exposants, du type $10^a \times 10^b = 10^{a+b}$ : le résultat seul rapporte moins que le résultat justifié.

Les pièges classiques.

• Le faux « presque bon ». $12 \times 10^3$ n'est PAS en notation scientifique, car $12 \geq 10$. On corrige : $12 \times 10^3 = 1{,}2 \times 10^4$.
• Le produit qui dépasse 10. $(5 \times 10^4) \times (4 \times 10^3) = 20 \times 10^7$... mais $20 \geq 10$ ! On termine le travail : $20 \times 10^7 = 2 \times 10^1 \times 10^7 = 2 \times 10^8$.
• Le signe de l'exposant. Pour $0{,}0053$, la virgule se déplace vers la droite : l'exposant est $-3$, surtout pas $+3$.
• La confusion des ordres. $10^{-3} = 0{,}001$ (tout petit) alors que $10^3 = 1\,000$ (grand). Ne pas les intervertir.

Pourquoi ces règles marchent (l'idée de la preuve)

Les règles ne tombent pas du ciel : on peut les justifier en comptant tout simplement les facteurs 10.

Le produit. $10^a \times 10^b$, c'est $a$ facteurs 10 suivis de $b$ facteurs 10, donc en tout $a+b$ facteurs 10. D'où $10^a \times 10^b = 10^{a+b}$. On a juste compté.

Le quotient. Dans $\dfrac{10^a}{10^b}$, en simplifiant, $b$ des facteurs 10 du haut disparaissent : il en reste $a-b$. D'où $10^a \div 10^b = 10^{a-b}$.

Et pourquoi $10^0 = 1$ ? Regarde $\dfrac{10^a}{10^a}$ : d'un côté, la règle du quotient donne $10^{a-a} = 10^0$ ; de l'autre, un nombre divisé par lui-même vaut $1$. Donc $10^0 = 1$. De la même façon, $10^{-n} = \dfrac{10^0}{10^n} = \dfrac{1}{10^n}$ : l'exposant négatif n'est rien d'autre qu'une division.

Ça se généralise : les puissances de n'importe quel nombre

Au lycée, tu remplaceras le 10 par n'importe quel nombre $x$ : la puissance $x^n$ obéit exactement aux mêmes règles.

$x^a \times x^b = x^{a+b}$, $\quad x^a \div x^b = x^{a-b}$, $\quad x^0 = 1$, $\quad x^{-n} = \dfrac{1}{x^n}$.

Tu croiseras aussi la puissance d'une puissance, $(x^a)^b = x^{a \times b}$, les puissances de $2$ omniprésentes en informatique, et les puissances de $10$ partout en physique-chimie pour les unités et les ordres de grandeur.

L'ordre de grandeur : une même règle, du minuscule au gigantesque

La notation scientifique sert surtout à comparer des tailles vertigineusement différentes grâce à l'exposant, qu'on appelle l'ordre de grandeur. Un atome ($10^{-10}$ m) et une galaxie ($10^{21}$ m) tiennent alors sur une seule et même règle graduée en puissances de 10.

Cette idée — compter en exposants plutôt qu'en valeurs — se retrouve dans les échelles dites logarithmiques que tu rencontreras plus tard : la magnitude des séismes ou le pH en chimie. À chaque fois, passer d'un cran au suivant, c'est multiplier par 10.

Autrement dit : ce petit chiffre en exposant que tu apprends en 3e est déjà une clé pour lire l'Univers, du plus petit au plus grand.