Puissances de 10 et notation scientifique

Écrire les très grands et les très petits nombres de façon compacte et précise.

1 L'idée

En sciences et en mathématiques, on manipule des nombres très grands (distance Terre-Soleil : 150 000 000 km) ou très petits (taille d'un atome : 0,000 000 000 1 m). La notation scientifique permet d'écrire ces nombres sous une forme compacte en utilisant des puissances de 10.

Une puissance de 10 est un produit de facteurs égaux à 10 : $10^4 = 10 \times 10 \times 10 \times 10 = 10\,000$. Pour un exposant négatif, on divise : $10^{-2} = \dfrac{1}{100} = 0{,}01$.

2 Puissances de 10

Exposant positif

$10^n = \underbrace{10 \times \cdots \times 10}_{n \text{ facteurs}} \quad (n \geq 1)$

Cas particulier

$10^0 = 1$

Exposant négatif

$10^{-n} = \dfrac{1}{10^n} \quad (n \geq 1)$

Produit

$10^a \times 10^b = 10^{a+b}$

Quotient

$10^a \div 10^b = 10^{a-b}$

3 Notation scientifique

Définition

$a \times 10^n \quad \text{avec } 1 \leq a \lt 10 \text{ et } n \in \mathbb{Z}$

4 Écrire en notation scientifique

Grand nombre — 47 000

$47\,000 = 4{,}7 \times 10\,000 = 4{,}7 \times 10^4$

Petit nombre — 0,0053

$0{,}0053 = 5{,}3 \times 0{,}001 = 5{,}3 \times 10^{-3}$

Multiplication

$(3 \times 10^4) \times (2 \times 10^3) = (3 \times 2) \times 10^{4+3} = 6 \times 10^7$

Méthode — écrire un nombre en notation scientifique

Repérer le premier chiffre significatif (premier chiffre non nul).
Placer la virgule juste après ce chiffre pour obtenir $a$ avec $1 \leq a \lt 10$.
Compter le nombre de rangs de décalage : c'est l'exposant $n$.
Grand nombre (virgule déplacée vers la gauche) : $n \gt 0$.
Petit nombre (virgule déplacée vers la droite) : $n \lt 0$.

Erreurs fréquentes

$12 \times 10^3$ n'est PAS en notation scientifique (car $12 \geq 10$) ; il faut $1{,}2 \times 10^4$.
Ne pas confondre $10^{-3} = 0{,}001$ et $10^3 = 1\,000$.
Pour $0{,}0053$ : la virgule se déplace de 3 rangs vers la droite → exposant $-3$, pas $+3$.