Pas de panique. On part du tout début, avec ce que tu sais déjà, et on construit la notion marche par marche. Le but : que tu sois capable de comprendre ce qu’est un système, de vérifier si un couple est solution, et de résoudre un système simple par substitution. On y va ensemble.
Prérequis : les outils dont on a besoin
Avant de plonger dans les systèmes, on rafraîchit trois indispensables :
1. Résoudre une équation du premier degré
Tu sais trouver la valeur de $x$ dans $2x + 3 = 11$.
On isole $x$ : $2x = 8$, donc $x = 4$. Facile.
2. Substituer une expression
Remplacer une lettre par ce qu’elle vaut. Si $y = 2x + 1$, alors $3y$ devient $3 \times (2x + 1)$.
3. Utiliser la calcul littéral (développer, réduire)
Par exemple : $2(3x - 4) = 6x - 8$.
C’est quoi un système de deux équations ?
Deux équations, deux inconnues (souvent $x$ et $y$). On cherche le couple $(x ; y)$ qui vérifie les deux équations en même temps.
Exemple :
$\begin{cases} y = x + 2 \\ 2x + y = 8 \end{cases}$
Le couple $(2 ; 4)$ est solution car $4 = 2 + 2$ et $2\times 2 + 4 = 8$.
On vérifie TOUJOURS avec les deux équations.
Résolution express : la substitution
Quand l’utiliser ? Quand une équation donne déjà $y = \dots$ ou $x = \dots$, ou qu’on peut facilement isoler une inconnue.
Étapes à suivre :
1. Repérer l’équation « prête » (ex. $y = x + 2$).
2. Substituer cette expression dans l’autre équation.
3. Résoudre l’équation à une seule inconnue obtenue.
4. Reporter la valeur trouvée pour obtenir l’autre inconnue.
5. Vérifier le couple dans les deux équations de départ.
À toi de jouer
1. On le fait ensemble. Voici le système : $\begin{cases} y = 2x + 1 \\ 3x + y = 16 \end{cases}$. Complète.
Étape 1 : $y$ est déjà exprimé : $y = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Étape 2 : Je substitue dans la 2ᵉ équation : $3x + (\underline{\hspace{1.1em}}) = 16$.
Étape 3 : Je résous : $3x + 2x + 1 = 16 \Rightarrow 5x + 1 = 16 \Rightarrow 5x = \underline{\hspace{1.1em}} \Rightarrow x = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Étape 4 : Je reporte : $y = 2 \times \underline{\hspace{1.1em}} + 1 = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Étape 5 : Je vérifie : $3 \times \underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}} = 16$ ? Oui. Solution : le couple $(\underline{\hspace{1.1em}} ; \underline{\hspace{1.1em}})$.
Corrigé
Étape 1 : $y$ est déjà exprimé : $y = 2x + 1$.
Étape 2 : Je substitue dans la 2ᵉ équation : $3x + (2x + 1) = 16$.
Étape 3 : Je résous : $3x + 2x + 1 = 16 \Rightarrow 5x + 1 = 16 \Rightarrow 5x = 15 \Rightarrow x = 3$.
Étape 4 : Je reporte : $y = 2 \times 3 + 1 = 7$.
Étape 5 : Je vérifie : $3 \times 3 + 7 = 16$ ? Oui ($9+7=16$). Solution : le couple $(3 ; 7)$.
2. Vérifier une solution, c’est rapide. Complète pour tester si $(1 ; 4)$ est solution du système $\begin{cases} 2x + y = 6 \\ y = 3x + 2 \end{cases}$.
1re équation : $2 \times \underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}} = 2 + 4 = \underline{\hspace{1.1em}}$. L’égalité $6 = 6$ est $\underline{\hspace{1.1em}}$ (vraie/fausse).
2ᵉ équation : $\underline{\hspace{1.1em}} = 3 \times \underline{\hspace{1.1em}} + 2 = 3 + 2 = \underline{\hspace{1.1em}}$. L’égalité $4 = 5$ est $\underline{\hspace{1.1em}}$.
Conclusion : le couple $(1 ; 4)$ est-il solution ? $\underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
1re équation : $2 \times 1 + 4 = 2 + 4 = 6$. L’égalité $6 = 6$ est vraie.
2ᵉ équation : $4 = 3 \times 1 + 2 = 3 + 2 = 5$. L’égalité $4 = 5$ est fausse.
Conclusion : le couple $(1 ; 4)$ n’est pas solution (car il ne vérifie pas les deux équations).
3. Maintenant, à toi de résoudre avec le même modèle. Système : $\begin{cases} y = x + 3 \\ 4x + y = 13 \end{cases}$.
1. $y = \underline{\hspace{1.1em}}$.
2. Substitue : $4x + (\underline{\hspace{1.1em}}) = 13$.
3. Résous : $5x + \underline{\hspace{1.1em}} = 13 \Rightarrow 5x = \underline{\hspace{1.1em}} \Rightarrow x = \underline{\hspace{1.1em}}$.
4. Reporte : $y = \underline{\hspace{1.1em}} + 3 = \underline{\hspace{1.1em}}$.
5. Vérifie : $4 \times \underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}} = 13$ ? Solution : $(\underline{\hspace{1.1em}} ; \underline{\hspace{1.1em}})$.
Corrigé
1. $y = x + 3$.
2. Substitue : $4x + (x + 3) = 13$.
3. Résous : $5x + 3 = 13 \Rightarrow 5x = 10 \Rightarrow x = 2$.
4. Reporte : $y = 2 + 3 = 5$.
5. Vérifie : $4 \times 2 + 5 = 13$ ? $8+5=13$, oui. Solution : $(2 ; 5)$.
Tu as déjà vu les bases, on va réactiver la substitution et ajouter une autre technique : la combinaison. Tu vas voir, avec une méthode claire et des exercices à trous, tout revient vite. Accroche-toi, on structure.
La substitution, méthodiquement
Quand une équation est déjà sous la forme $y = \dots$ ou $x = \dots$, la substitution est le chemin le plus direct.
Méthode pas-à-pas :
1. Repérer l’équation déjà « isolée » (ex. $y = 3x - 2$).
2. Remplacer cette inconnue dans l’autre équation.
3. Résoudre l’équation à une inconnue.
4. Reporter la valeur trouvée pour trouver l’autre inconnue.
5. Vérifier en recalculant les deux équations.
La combinaison, nouvelle arme secrète
Idéale quand les deux équations contiennent le même terme avec des signes opposés ou identiques. Le but : éliminer une inconnue en additionnant ou soustrayant les deux équations.
Exemple :
$\begin{cases} 3x + 2y = 17 \\ 3x - 2y = 1 \end{cases}$
En additionnant : $(3x+2y)+(3x-2y) = 17+1$ donne $6x = 18$, d’où $x=3$. On reporte ensuite.
Méthode pas-à-pas :
1. Observer les coefficients : un même nombre avec signes opposés ? Additionner. Même signe ? Soustraire.
2. Effectuer l’opération pour éliminer une inconnue.
3. Résoudre l’équation à une seule inconnue.
4. Reporter dans une des équations de départ.
5. Vérifier.
À toi de jouer
1. Substitution : redémarrage en douceur. Complète la résolution de $\begin{cases} y = 2x - 1 \\ 5x + y = 20 \end{cases}$.
On a déjà $y = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Substitution dans la 2ᵉ : $5x + (\underline{\hspace{1.1em}}) = 20$.
Réduction : $\underline{\hspace{1.1em}} x - 1 = 20$.
Résolution : $7x = \underline{\hspace{1.1em}}$, donc $x = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Report : $y = 2 \times \underline{\hspace{1.1em}} - 1 = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Vérification : $5 \times \underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}} = 20$ ?
Solution : $(\underline{\hspace{1.1em}} ; \underline{\hspace{1.1em}})$.
Corrigé
On a déjà $y = 2x - 1$.
Substitution : $5x + (2x - 1) = 20$.
Réduction : $7x - 1 = 20$.
Résolution : $7x = 21$, donc $x = 3$.
Report : $y = 2 \times 3 - 1 = 5$.
Vérification : $5 \times 3 + 5 = 20$ ? $15+5=20$, oui.
Solution : $(3 ; 5)$.
2. Combinaison : première fois, accompagnée. Résous $\begin{cases} 2x + y = 9 \\ 3x - y = 6 \end{cases}$.
On observe $y$ et $-y$ : ils sont opposés.
Additionne les deux équations : $(2x + y) + (3x - y) = 9 + 6$.
Simplifie : $\underline{\hspace{1.1em}} x = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Donc $x = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Reporte dans la 1re équation : $2 \times \underline{\hspace{1.1em}} + y = 9 \Rightarrow \underline{\hspace{1.1em}} + y = 9 \Rightarrow y = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Vérifie : $3 \times \underline{\hspace{1.1em}} - \underline{\hspace{1.1em}} = 6$ ?
Solution : $(\underline{\hspace{1.1em}} ; \underline{\hspace{1.1em}})$.
Corrigé
Additionne : $(2x + y) + (3x - y) = 9 + 6$.
Simplifie : $5x = 15$.
Donc $x = 3$.
Reporte dans la 1re : $2 \times 3 + y = 9 \Rightarrow 6 + y = 9 \Rightarrow y = 3$.
Vérifie 2ᵉ : $3 \times 3 - 3 = 6$ ? $9-3=6$, oui.
Solution : $(3 ; 3)$.
3. Combinaison par soustraction. Résous $\begin{cases} 2x + 3y = 13 \\ 2x + y = 7 \end{cases}$.
On observe $2x$ et $2x$ : même signe, on soustrait.
1re moins 2ᵉ : $(2x + 3y) - (2x + y) = 13 - 7$.
Simplifie : $\underline{\hspace{1.1em}} y = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Donc $y = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Reporte dans la 2ᵉ : $2x + \underline{\hspace{1.1em}} = 7 \Rightarrow 2x = \underline{\hspace{1.1em}} \Rightarrow x = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Vérifie la 1re : $2 \times \underline{\hspace{1.1em}} + 3 \times \underline{\hspace{1.1em}} = 13$ ?
Solution : $(\underline{\hspace{1.1em}} ; \underline{\hspace{1.1em}})$.
Corrigé
Soustraction : $(2x + 3y) - (2x + y) = 13 - 7$.
Simplifie : $2y = 6$.
Donc $y = 3$.
Report dans la 2ᵉ : $2x + 3 = 7 \Rightarrow 2x = 4 \Rightarrow x = 2$.
Vérifie 1re : $2 \times 2 + 3 \times 3 = 13$ ? $4+9=13$, oui.
Solution : $(2 ; 3)$.
Cinq exercices quasi identiques pour ancrer la substitution. Les réflexes se mettent en place : isoler, substituer, résoudre, reporter. Pas de variation, juste du geste répété. Tu maîtrises la mécanique.
À toi de jouer
1. Résous par substitution le système : $\begin{cases} y = 3x + 2 \\ x + y = 10 \end{cases}$.
Substitue : $x + (\underline{\hspace{1.1em}}) = 10 \Rightarrow \underline{\hspace{1.1em}} x + 2 = 10 \Rightarrow 4x = \underline{\hspace{1.1em}} \Rightarrow x = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Report : $y = 3 \times \underline{\hspace{1.1em}} + 2 = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Solution : $(\underline{\hspace{1.1em}} ; \underline{\hspace{1.1em}})$.
Corrigé
Substitue : $x + (3x + 2) = 10 \Rightarrow 4x + 2 = 10 \Rightarrow 4x = 8 \Rightarrow x = 2$.
Report : $y = 3 \times 2 + 2 = 8$.
Solution : $(2 ; 8)$.
2. Résous par substitution le système : $\begin{cases} y = 2x - 3 \\ 3x + y = 17 \end{cases}$.
Substitue : $3x + (\underline{\hspace{1.1em}}) = 17 \Rightarrow \underline{\hspace{1.1em}} x - 3 = 17 \Rightarrow 5x = \underline{\hspace{1.1em}} \Rightarrow x = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Report : $y = 2 \times \underline{\hspace{1.1em}} - 3 = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Solution : $(\underline{\hspace{1.1em}} ; \underline{\hspace{1.1em}})$.
Corrigé
Substitue : $3x + (2x - 3) = 17 \Rightarrow 5x - 3 = 17 \Rightarrow 5x = 20 \Rightarrow x = 4$.
Report : $y = 2 \times 4 - 3 = 5$.
Solution : $(4 ; 5)$.
3. Résous par substitution le système : $\begin{cases} y = 4x + 1 \\ 2x + y = 19 \end{cases}$.
Substitue : $2x + (\underline{\hspace{1.1em}}) = 19 \Rightarrow \underline{\hspace{1.1em}} x + 1 = 19 \Rightarrow 6x = \underline{\hspace{1.1em}} \Rightarrow x = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Report : $y = 4 \times \underline{\hspace{1.1em}} + 1 = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Solution : $(\underline{\hspace{1.1em}} ; \underline{\hspace{1.1em}})$.
Corrigé
Substitue : $2x + (4x + 1) = 19 \Rightarrow 6x + 1 = 19 \Rightarrow 6x = 18 \Rightarrow x = 3$.
Report : $y = 4 \times 3 + 1 = 13$.
Solution : $(3 ; 13)$.
4. Résous par substitution le système : $\begin{cases} y = x - 4 \\ 5x + y = 26 \end{cases}$.
Substitue : $5x + (\underline{\hspace{1.1em}}) = 26 \Rightarrow \underline{\hspace{1.1em}} x - 4 = 26 \Rightarrow 6x = \underline{\hspace{1.1em}} \Rightarrow x = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Report : $y = \underline{\hspace{1.1em}} - 4 = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Solution : $(\underline{\hspace{1.1em}} ; \underline{\hspace{1.1em}})$.
Corrigé
Substitue : $5x + (x - 4) = 26 \Rightarrow 6x - 4 = 26 \Rightarrow 6x = 30 \Rightarrow x = 5$.
Report : $y = 5 - 4 = 1$.
Solution : $(5 ; 1)$.
5. Résous par substitution le système : $\begin{cases} y = 2x + 5 \\ 4x + y = 29 \end{cases}$.
Substitue : $4x + (\underline{\hspace{1.1em}}) = 29 \Rightarrow \underline{\hspace{1.1em}} x + 5 = 29 \Rightarrow 6x = \underline{\hspace{1.1em}} \Rightarrow x = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Report : $y = 2 \times \underline{\hspace{1.1em}} + 5 = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Solution : $(\underline{\hspace{1.1em}} ; \underline{\hspace{1.1em}})$.
Corrigé
Substitue : $4x + (2x + 5) = 29 \Rightarrow 6x + 5 = 29 \Rightarrow 6x = 24 \Rightarrow x = 4$.
Report : $y = 2 \times 4 + 5 = 13$.
Solution : $(4 ; 13)$.
C’est l’heure de vérité : des exercices au niveau du contrôle, avec un problème concret et une résolution par combinaison. Cette fois, peu de trous, on te fait confiance. Mobilise la substitution et la combinaison.
À toi de jouer
1. 1. Résous ce système par substitution. Détaille chaque étape : isole $y$, substitue, résous, reporte, vérifie brièvement.
$\begin{cases} 2x - y = 4 \\ 3x + 2y = 20 \end{cases}$
Corrigé
J’isole $y$ dans la 1re : $2x - y = 4 \Rightarrow y = 2x - 4$.
Je substitue dans la 2ᵉ : $3x + 2(2x - 4) = 20 \Rightarrow 3x + 4x - 8 = 20 \Rightarrow 7x = 28 \Rightarrow x = 4$.
Je reporte : $y = 2 \times 4 - 4 = 4$.
Vérification : $2 \times 4 - 4 = 4$ et $3 \times 4 + 2 \times 4 = 12+8=20$.
Solution : $(4 ; 4)$.
2. 2. Résous ce système par combinaison. Tu peux additionner ou soustraire les équations. Détaille l’opération choisie.
$\begin{cases} 3x + 2y = 13 \\ x - 2y = -1 \end{cases}$
Corrigé
Les $2y$ et $-2y$ sont opposés. J’additionne les deux équations :
$(3x+2y)+(x-2y) = 13 + (-1)$ soit $3x+x+2y-2y = 12$, donc $4x = 12$, d’où $x = 3$.
Je reporte dans la 2ᵉ : $3 - 2y = -1 \Rightarrow -2y = -4 \Rightarrow y = 2$.
Vérification : $3 \times 3 + 2 \times 2 = 9+4=13$ et $3 - 2 \times 2 = 3-4=-1$.
Solution : $(3 ; 2)$.
3. 3. Combinaison (soustraction). Résous $\begin{cases} 5x + y = 17 \\ 5x + 4y = 32 \end{cases}$.
Corrigé
Même coefficient devant $x$ (5 et 5), je soustrais la 1re à la 2ᵉ :
$(5x+4y) - (5x+y) = 32 - 17 \Rightarrow 3y = 15 \Rightarrow y = 5$.
Je reporte dans la 1re : $5x + 5 = 17 \Rightarrow 5x = 12 \Rightarrow x = 2{,}4$.
Vérification : $5 \times 2{,}4 + 5 = 12+5=17$ et $5 \times 2{,}4 + 4 \times 5 = 12+20=32$.
Solution : $(2{,}4 ; 5)$.
4. 4. Problème. Une boulangère vend des croissants à 1,20 € et des pains au chocolat à 1,50 €. Ce matin, elle a vendu 100 viennoiseries pour une recette totale de 135 €.
a) En notant $c$ le nombre de croissants et $p$ le nombre de pains au chocolat, écris le système modélisant la situation.
b) Résous ce système (isole une inconnue dans l’équation la plus simple).
c) Conclus par une phrase.
Corrigé
a) Nombre de viennoiseries : $c + p = 100$.
Recette : $1{,}20 c + 1{,}50 p = 135$.
Système : $\begin{cases} c + p = 100 \\ 1{,}2c + 1{,}5p = 135 \end{cases}$.
b) J’isole $c$ dans la 1re : $c = 100 - p$. Je substitue dans la 2ᵉ : $1{,}2(100-p)+1{,}5p = 135 \Rightarrow 120 - 1{,}2p + 1{,}5p = 135 \Rightarrow 0{,}3p = 15 \Rightarrow p = 50$.
Report : $c = 100 - 50 = 50$.
Vérification : recette $1{,}2 \times 50 + 1{,}5 \times 50 = 60 + 75 = 135$.
c) La boulangère a vendu 50 croissants et 50 pains au chocolat.
Tu tiens le bon bout. On termine avec deux défis qui dépassent un peu le cadre pour voir ce qui t’attend au lycée : interprétation graphique et systèmes avec paramètre. De quoi prendre de l’avance.
Interprétation graphique (aperçu Seconde)
Chaque équation d’un système peut être vue comme l’équation d’une droite. Résoudre le système, c’est trouver les coordonnées du point d’intersection de ces deux droites.
Exemple : $\begin{cases} y = 2x - 1 \\ y = -x + 5 \end{cases}$
La solution $(x;y)$ vérifie les deux équations, c’est le croisement des deux droites.
À toi de jouer
1. 1. Interprétation graphique. Le système $\begin{cases} y = 3x - 2 \\ y = -2x + 8 \end{cases}$ a pour solution $(2 ; 4)$. Explique pourquoi ce couple correspond au point d’intersection des deux droites d’équation $y = 3x - 2$ et $y = -2x + 8$.
Corrigé
Le couple $(2 ; 4)$ vérifie les deux équations : $4 = 3 \times 2 - 2$ et $4 = -2 \times 2 + 8$. Il est donc sur chacune des deux droites.
C’est donc le point où les deux droites se coupent : leur point d’intersection a pour coordonnées $(2 ; 4)$.
2. 2. Système avec paramètre (défi). Soit le système $\begin{cases} 2x + 3y = 12 \\ 4x + 6y = k \end{cases}$, où $k$ est un nombre que l’on peut choisir.
a) Multiplie la première équation par 2. Qu’observes-tu ?
b) Pour quelle valeur de $k$ le système a-t-il une infinité de solutions ? Justifie.
c) Si $k = 20$, combien de solutions possède le système ?
Corrigé
a) $2 \times (2x + 3y) = 2 \times 12$ donne $4x + 6y = 24$.
On observe que la 2ᵉ équation est $4x + 6y = k$. Pour avoir les mêmes équations, il faudrait $k = 24$.
b) Si $k = 24$, les deux équations sont identiques, donc une infinité de couples solutions (tous les points de la droite associée).
c) Si $k = 20
eq 24$, les deux équations sont contradictoires (même premier membre, seconds membres différents). Aucune solution.