Systèmes de deux équations — Exercices

Substitution, combinaison, problème concret. Corrigé en fin de fiche.

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1Substitution directe/ 4 pts

Résous chaque système par substitution.

a) $\begin{cases} y = 3x + 1 \\ 2x + y = 16 \end{cases}$
b) $\begin{cases} x = 2y + 1 \\ x + 3y = 11 \end{cases}$

2Combinaison/ 4 pts

Résous chaque système par combinaison (addition ou soustraction des équations).

a) $\begin{cases} 2x + y = 11 \\ x - y = 1 \end{cases}$
b) $\begin{cases} 3x + 2y = 17 \\ 3x - 2y = 1 \end{cases}$

3Substitution après isolation/ 4 pts

Résous le système suivant. Commence par isoler $y$ dans la première équation, puis substitue dans la seconde.

$\begin{cases} 2x - y = 5 \\ 3x + 2y = 25 \end{cases}$

4Problème concret/ 4 pts

Un cinéma vend des places adulte à 8 € et des places enfant à 5 €. Un soir, 50 places ont été vendues pour une recette totale de 340 €.

a) En notant $a$ le nombre de places adulte et $e$ le nombre de places enfant, écris un système de deux équations modélisant la situation.
b) Résous ce système.
c) Donne la réponse à la question posée.

Corrigé détaillé

1Substitution directe

a) Substitution $2x + (3x + 1) = 16 \Rightarrow 5x + 1 = 16 \Rightarrow 5x = 15 \Rightarrow x =$ $3$

a) Report $y = 3 \times 3 + 1 =$ $10$

a) Solution $\text{Vérif. : } 2 \times 3 + 10 = 16 \checkmark$ $(x ; y) = (3 ; 10)$

b) Substitution $(2y + 1) + 3y = 11 \Rightarrow 5y + 1 = 11 \Rightarrow 5y = 10 \Rightarrow y =$ $2$

b) Report $x = 2 \times 2 + 1 =$ $5$

b) Solution $\text{Vérif. : } 5 + 3 \times 2 = 11 \checkmark$ $(x ; y) = (5 ; 2)$

2Combinaison

a) Addition $(2x + y) + (x - y) = 11 + 1 \Rightarrow 3x = 12 \Rightarrow x =$ $4$

a) Report $4 - y = 1 \Rightarrow y =$ $3$

a) Solution $\text{Vérif. : } 2 \times 4 + 3 = 11 \checkmark \text{ et } 4 - 3 = 1 \checkmark$ $(x ; y) = (4 ; 3)$

b) Addition $(3x + 2y) + (3x - 2y) = 17 + 1 \Rightarrow 6x = 18 \Rightarrow x =$ $3$

b) Report $3 \times 3 + 2y = 17 \Rightarrow 2y = 8 \Rightarrow y =$ $4$

b) Solution $\text{Vérif. : } 3 \times 3 - 2 \times 4 = 9 - 8 = 1 \checkmark$ $(x ; y) = (3 ; 4)$

3Substitution après isolation

Isolation de y $2x - y = 5 \Rightarrow y =$ $2x - 5$

Substitution $3x + 2(2x - 5) = 25 \Rightarrow 7x - 10 = 25 \Rightarrow 7x = 35 \Rightarrow x =$ $5$

Report $y = 2 \times 5 - 5 =$ $5$

Solution $\text{Vérif. : } 2 \times 5 - 5 = 5 \checkmark \text{ et } 3 \times 5 + 2 \times 5 = 25 \checkmark$ $(x ; y) = (5 ; 5)$

4Problème concret

a) Mise en équation $\text{Nombre de places : } a + e = 50 \quad \text{Recette : } 8a + 5e = 340$ $\begin{cases} a + e = 50 \\ 8a + 5e = 340 \end{cases}$

b) Résolution $a = 50 - e \Rightarrow 8(50 - e) + 5e = 340 \Rightarrow 400 - 3e = 340 \Rightarrow 3e = 60 \Rightarrow e =$ $20$

b) Report $a = 50 - 20 =$ $30$

c) Réponse $\text{Vérif. : } 8 \times 30 + 5 \times 20 = 240 + 100 = 340 \checkmark$ $\text{30 places adulte et 20 places enfant.}$