Systèmes de deux équations — Initiation

Les prérequis à ressortir de ta trousse

Avant de te lancer, trois réflexes suffisent, et tu les as déjà vus.

• Résoudre une équation à une seule inconnue : isoler la lettre, par exemple $3x + 2 = 8$ donne $3x = 6$ puis $x = 2$.
• Remplacer une lettre par sa valeur : si $x = 2$, alors $2x + 1 = 2 \times 2 + 1 = 5$.
• Développer et réduire une petite expression, par exemple $2x + (x + 2) = 3x + 2$.

Si ces trois gestes te parlent, tu as tout ce qu'il faut pour la suite.

L'idée en une minute

Un système de deux équations à deux inconnues $x$ et $y$, ce sont deux équations que les mêmes valeurs de $x$ et $y$ doivent vérifier en même temps. On les écrit avec une accolade :

$\begin{cases} a_1 x + b_1 y = c_1 \\ a_2 x + b_2 y = c_2 \end{cases}$

La solution n'est pas un seul nombre, c'est un couple $(x ; y)$ qui rend les deux équations vraies à la fois. Par exemple $(2 ; 5)$ est solution de $x + y = 7$ et $y = 2x + 1$, car $2 + 5 = 7$ et $5 = 2 \times 2 + 1$.

La méthode express : la substitution, avec un exemple traité

La méthode la plus sûre quand une équation donne déjà $y = \ldots$ (ou $x = \ldots$) s'appelle la substitution. Le plan : on remplace, on résout, on reporte, on vérifie.

Exemple. Résoudre $\begin{cases} y = x + 2 \\ 2x + y = 8 \end{cases}$

1) La première équation donne déjà $y$ en fonction de $x$ : $y = x + 2$.

2) On remplace $y$ par $x + 2$ dans la seconde équation : $2x + (x + 2) = 8$.

3) On résout cette équation à une inconnue : $3x + 2 = 8$, donc $3x = 6$, donc $x = 2$.

4) On reporte dans $y = x + 2$ : $y = 2 + 2 = 4$.

5) On vérifie dans les deux équations de départ : $2 \times 2 + 4 = 8$ (vrai) et $4 = 2 + 2$ (vrai).

Solution : le couple $(2 ; 4)$. Voilà, tu sais déjà résoudre un système.

Définitions et vocabulaire

Un système de deux équations à deux inconnues regroupe deux équations liées par une accolade ; on cherche les valeurs de $x$ et de $y$ qui les vérifient simultanément.

Sa forme générale est :

$\begin{cases} a_1 x + b_1 y = c_1 \\ a_2 x + b_2 y = c_2 \end{cases}$

où $a_1, b_1, c_1, a_2, b_2, c_2$ sont des nombres connus.

La solution est le couple $(x_0 ; y_0)$ qui rend vraies les deux équations à la fois. Attention à l'ordre : dans $(x ; y)$, la première coordonnée est toujours $x$, la seconde $y$.

Vérifier qu'un couple est solution, c'est le remplacer dans les deux équations. Exemple : $(2 ; 5)$ vérifie $x + y = 7$ (car $2 + 5 = 7$) et $y = 2x + 1$ (car $5 = 2 \times 2 + 1$) : c'est bien une solution.

Méthode 1 — la substitution, pas à pas

On l'utilise dès qu'une équation donne (ou permet d'isoler facilement) une inconnue : $y = \ldots$ ou $x = \ldots$.

Les étapes : isoler une inconnue, la remplacer dans l'autre équation, résoudre l'équation à une inconnue obtenue, reporter pour trouver la seconde inconnue, puis vérifier.

Exemple. Résoudre $\begin{cases} y = x + 2 \\ 2x + y = 8 \end{cases}$

1) $y$ est déjà isolé : $y = x + 2$.

2) On substitue dans la seconde : $2x + (x + 2) = 8$.

3) On résout : $3x + 2 = 8$, soit $3x = 6$, soit $x = 2$.

4) On reporte : $y = 2 + 2 = 4$.

5) Vérification : $2 \times 2 + 4 = 8$ (vrai) et $4 = 2 + 2$ (vrai). Solution : $(2 ; 4)$.

Sur un graphique, chaque équation est une droite, et la solution est leur point d'intersection, ici le point de coordonnées $(2 ; 4)$.

Méthode 2 — la combinaison, et laquelle choisir

On l'utilise quand les deux équations contiennent un même terme (par exemple $y$ avec le même coefficient) que l'on peut faire disparaître en additionnant ou en soustrayant les deux équations.

Exemple. Résoudre $\begin{cases} 3x + y = 11 \\ x + y = 5 \end{cases}$

1) Les deux équations contiennent le même terme $y$. On soustrait la seconde à la première : $(3x + y) - (x + y) = 11 - 5$.

2) Le $y$ s'élimine : $3x + y - x - y = 6$, donc $2x = 6$, donc $x = 3$.

3) On reporte dans la seconde équation : $3 + y = 5$, donc $y = 2$.

4) Vérification : $3 \times 3 + 2 = 11$ (vrai) et $3 + 2 = 5$ (vrai). Solution : $(3 ; 2)$.

Quelle méthode choisir ?

• Substitution : si une équation donne déjà $y = \ldots$ ou $x = \ldots$, ou si une inconnue s'isole facilement.
• Combinaison : si un même terme apparaît dans les deux équations et peut être annulé par addition ou soustraction.
• Dans tous les cas, on vérifie la solution dans les deux équations de départ.

Exemple 1 — substitution, on le fait ensemble

Résolvons $\begin{cases} y = 3x - 1 \\ x + y = 7 \end{cases}$

On repère que la première équation donne déjà $y$ tout seul : c'est le signal de la substitution.

1) On garde $y = 3x - 1$.

2) On remplace $y$ par $3x - 1$ dans la seconde équation : $x + (3x - 1) = 7$.

3) On réduit : $4x - 1 = 7$.

4) On isole $x$ : $4x = 8$, donc $x = 2$.

5) On reporte dans $y = 3x - 1$ : $y = 3 \times 2 - 1 = 5$.

6) On vérifie dans les deux équations : $y = 3 \times 2 - 1 = 5$ (vrai) et $2 + 5 = 7$ (vrai).

Solution : $(2 ; 5)$. Remarque : on reporte toujours dans l'équation la plus simple, pour limiter les calculs.

Exemple 2 — combinaison par addition, on le fait ensemble

Résolvons $\begin{cases} 2x + y = 7 \\ 3x - y = 8 \end{cases}$

Ici on voit $+y$ dans la première et $-y$ dans la seconde : des termes opposés. En additionnant, ils s'annulent.

1) On additionne les deux équations membre à membre : $(2x + y) + (3x - y) = 7 + 8$.

2) Le $y$ disparaît : $5x = 15$.

3) On en tire $x = 3$.

4) On reporte dans la première équation : $2 \times 3 + y = 7$, donc $6 + y = 7$, donc $y = 1$.

5) Vérification : $2 \times 3 + 1 = 7$ (vrai) et $3 \times 3 - 1 = 8$ (vrai).

Solution : $(3 ; 1)$. À retenir : quand les termes sont opposés ($+y$ et $-y$), on additionne ; quand ils sont identiques ($+y$ et $+y$), on soustrait.

Exemple 3 — combinaison par soustraction, on le fait ensemble

Résolvons $\begin{cases} 5x + 2y = 16 \\ 3x + 2y = 12 \end{cases}$

Les deux équations contiennent le même terme $2y$ (même signe, même coefficient) : on soustrait pour l'éliminer.

1) On soustrait la seconde à la première : $(5x + 2y) - (3x + 2y) = 16 - 12$.

2) On distribue le signe moins à tous les termes de la seconde : $5x + 2y - 3x - 2y = 4$.

3) Le $2y$ s'élimine : $2x = 4$, donc $x = 2$.

4) On reporte dans la seconde équation : $3 \times 2 + 2y = 12$, donc $6 + 2y = 12$, donc $2y = 6$, donc $y = 3$.

5) Vérification : $5 \times 2 + 2 \times 3 = 16$ (vrai) et $3 \times 2 + 2 \times 3 = 12$ (vrai).

Solution : $(2 ; 3)$. Le piège classique est ici : bien changer le signe de chaque terme soustrait, pas seulement du premier.

Un problème concret entièrement résolu

Énoncé. Au cinéma, $2$ places adultes et $3$ places enfants coûtent $34$ euros. Une place adulte et $2$ places enfants coûtent $19$ euros. Quel est le prix d'une place adulte et d'une place enfant ?

1) On choisit les inconnues. Soit $a$ le prix d'une place adulte et $e$ le prix d'une place enfant, en euros.

2) On met en équation. $\begin{cases} 2a + 3e = 34 \\ a + 2e = 19 \end{cases}$

3) On isole une inconnue (substitution). La seconde équation donne $a = 19 - 2e$.

4) On substitue dans la première : $2(19 - 2e) + 3e = 34$.

5) On résout. On développe : $38 - 4e + 3e = 34$, soit $38 - e = 34$, donc $e = 4$.

6) On reporte dans $a = 19 - 2e$ : $a = 19 - 2 \times 4 = 11$.

7) On vérifie. $2 \times 11 + 3 \times 4 = 22 + 12 = 34$ (vrai) et $11 + 2 \times 4 = 19$ (vrai).

Conclusion (la phrase attendue). Une place adulte coûte $11$ euros et une place enfant $4$ euros.

Un second problème type : somme et différence

Énoncé. La somme de deux nombres est $25$ et leur différence est $7$. Quels sont ces deux nombres ?

Inconnues. Soit $x$ le plus grand des deux nombres et $y$ le plus petit.

Système. $\begin{cases} x + y = 25 \\ x - y = 7 \end{cases}$

Les termes $+y$ et $-y$ sont opposés : on additionne pour éliminer $y$.

$(x + y) + (x - y) = 25 + 7$, donc $2x = 32$, donc $x = 16$.

On reporte dans la première : $16 + y = 25$, donc $y = 9$.

Vérification : $16 + 9 = 25$ (vrai) et $16 - 9 = 7$ (vrai).

Conclusion. Les deux nombres sont $16$ et $9$.

Ce que le correcteur attend, et les pièges classiques

Ce qui rapporte les points.

• Écrire le système avec l'accolade, pas deux équations jetées dans le désordre.
• Dans un problème, définir les inconnues par une phrase (« Soit $x$ le prix... ») et préciser les unités.
• Résoudre proprement, puis reporter pour trouver la seconde inconnue : un système a deux réponses, jamais une seule.
• Terminer par une vérification et une phrase de conclusion.

Les pièges qui coûtent des points.

• Substituer dans la même équation d'où l'on a tiré l'expression : on obtient $0 = 0$, une égalité vraie mais inutile, jamais la valeur de l'inconnue.
• Lors d'une soustraction d'équations, oublier de changer le signe de tous les termes : on écrit à tort $-(2x + y) = -2x + y$ au lieu de $-2x - y$.
• Trouver une seule inconnue et oublier de reporter, ou zapper la vérification finale.

La géométrie cachée : deux droites qui se croisent

Chaque équation du type $ax + by = c$ représente une droite dans un repère (tu le verras en détail avec les fonctions affines). Résoudre le système, c'est chercher le point qui appartient aux deux droites en même temps.

La solution $(x_0 ; y_0)$ est donc le point d'intersection des deux droites. C'est pour cela qu'un système « bien posé » a une seule solution : deux droites qui ne sont pas parallèles se coupent en un seul point.

Cela donne aussi une méthode graphique : tracer les deux droites et lire les coordonnées de leur point commun. Rapide pour vérifier, mais moins précis que le calcul quand la solution n'est pas un couple de nombres entiers.

Combien de solutions ? Une, aucune, ou une infinité

Selon la position des deux droites, trois cas se présentent.

• Une seule solution : les droites sont sécantes, elles se croisent en un point. C'est le cas courant.
• Aucune solution : les droites sont parallèles et distinctes, donc sans point commun. Exemple : $\begin{cases} y = 2x + 1 \\ y = 2x - 3 \end{cases}$ ; les deux membres de droite ne peuvent jamais être égaux, car $2x + 1 = 2x - 3$ conduirait à $1 = -3$, ce qui est faux.
• Une infinité de solutions : les deux équations décrivent la même droite. Exemple : $\begin{cases} y = 2x + 1 \\ 2y = 4x + 2 \end{cases}$ ; la seconde équation est simplement la première multipliée par $2$.

En 3e, presque tous les systèmes rencontrés sont du premier type. Mais savoir que les deux autres existent t'évitera la panique le jour où un $1 = -3$ apparaîtra : ce n'est pas une faute de calcul, c'est le signe de deux droites parallèles.

L'astuce de l'an prochain : combiner après avoir multiplié

Parfois aucun terme ne se répète : ni $x$ ni $y$ n'ont le même coefficient. La combinaison semble bloquée... jusqu'à ce qu'on multiplie chaque équation par un nombre bien choisi pour fabriquer un terme commun. C'est le cœur de la méthode que tu approfondiras au lycée.

Aperçu. Résolvons $\begin{cases} 2x + 3y = 8 \\ 3x + 2y = 7 \end{cases}$

1) Pour aligner les termes en $x$, on multiplie la première équation par $3$ et la seconde par $2$ : $\begin{cases} 6x + 9y = 24 \\ 6x + 4y = 14 \end{cases}$

2) Les termes $6x$ sont maintenant identiques : on soustrait, $9y - 4y = 24 - 14$, donc $5y = 10$, donc $y = 2$.

3) On reporte dans $2x + 3y = 8$ : $2x + 6 = 8$, donc $x = 1$.

4) Vérification : $3 \times 1 + 2 \times 2 = 7$ (vrai). Solution : $(1 ; 2)$.

Pourquoi tout cela fonctionne ? Multiplier une équation par un nombre non nul, ou additionner deux équations vraies, ne change pas l'ensemble des couples solutions : on remplace le système par un système équivalent, plus simple, mais qui a exactement les mêmes solutions. C'est l'idée que tu formaliseras en seconde.