Mathématiques3eNombres et calculsFiche de cours
Systèmes de deux équations — Initiation
Deux équations, deux inconnues : trouver le couple solution qui satisfait les deux simultanément.
1 L'idée
Un système de deux équations à deux inconnues $x$ et $y$ regroupe deux équations que les mêmes valeurs de $x$ et $y$ doivent vérifier en même temps.
La solution est le couple $(x ; y)$ qui rend vraies les deux équations simultanément.
Exemple : le couple $(2 ; 5)$ est solution du système formé de $x + y = 7$ et $y = 2x + 1$, car $2 + 5 = 7$ et $5 = 2 \times 2 + 1$.
2 Vocabulaire et structure
Forme générale
\(\begin{cases} a_1 x + b_1 y = c_1 \\ a_2 x + b_2 y = c_2 \end{cases}\)
Solution
\((x_0 ; y_0) \text{ vérifie les deux équations simultanément}\)
3 Méthode par substitution
Résoudre $\begin{cases} y = x + 2 \\ 2x + y = 8 \end{cases}$
$y$ est déjà exprimé en fonction de $x$ : $y = x + 2$.
On substitue dans la 2e équation : $2x + (x + 2) = 8$.
On résout : $3x + 2 = 8 \Rightarrow 3x = 6 \Rightarrow x = 2$.
On reporte : $y = 2 + 2 = 4$.
Solution : $(2 ; 4)$. Vérification : $2 \times 2 + 4 = 8$ ✓ et $4 = 2 + 2$ ✓.
4 Méthode par combinaison
Résoudre $\begin{cases} 3x + y = 11 \\ x + y = 5 \end{cases}$
On soustrait la 2e équation à la 1re : $(3x + y) - (x + y) = 11 - 5$.
On simplifie : $2x = 6 \Rightarrow x = 3$.
On reporte dans la 2e équation : $3 + y = 5 \Rightarrow y = 2$.
Solution : $(3 ; 2)$. Vérification : $3 \times 3 + 2 = 11$ ✓ et $3 + 2 = 5$ ✓.
Méthode — quelle méthode choisir ?
- Substitution : si une équation donne déjà $y = \ldots$ ou $x = \ldots$ (ou si l'on peut facilement isoler une inconnue).
- Combinaison : si les deux équations contiennent un même terme que l'on peut annuler en les additionnant ou en les soustrayant.
- Dans tous les cas, vérifier la solution en la remplaçant dans les deux équations de départ.
Erreurs fréquentes
- Substituer dans la même équation d'où l'on a tiré l'expression : on obtient une égalité triviale ($0 = 0$), pas la valeur de l'inconnue.
- Lors d'une soustraction d'équations, oublier de changer le signe de tous les termes : on écrit $-(2x + y) = -2x + y$ au lieu de $-2x - y$.
- Ne retrouver qu'une seule inconnue et oublier de reporter pour trouver la seconde, ou négliger la vérification finale.