Pas de panique. Les probabilités, c'est juste mettre un chiffre sur « quelles sont mes chances ? ». Si tu sais faire une fraction et compter, tu tiens déjà l'essentiel. On voit ici le strict nécessaire pour assurer le contrôle, et rien de plus.
Trois mots et une idée
Une expérience aléatoire, c'est une expérience dont on ne connaît pas le résultat à l'avance : lancer un dé, tirer une boule dans un sac, faire tourner une roue.
Tous les résultats possibles forment l'univers, noté $\Omega$. Pour un dé à six faces : $\Omega = \{1\,;\,2\,;\,3\,;\,4\,;\,5\,;\,6\}$.
Un événement, c'est ce qui t'intéresse : « tomber sur un nombre pair », « tirer une boule rouge ».
La probabilité de l'événement $A$, notée $P(A)$, est un nombre entre $0$ et $1$ qui mesure ses chances. $P(A)=0$ : c'est impossible. $P(A)=1$ : c'est certain. Entre les deux, plus le nombre est grand, plus l'événement est probable.
Prérequis : savoir écrire et simplifier une fraction, et savoir compter combien il y a de cas. C'est tout.
La formule qui sauve, avec un exemple en entier
Quand tous les résultats ont exactement la même chance de sortir (on dit qu'il y a équiprobabilité), la probabilité se calcule ainsi :
$$P(A) = \dfrac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}}$$
Et un réflexe qui rapporte gros : la probabilité que $A$ ne se produise pas (son événement contraire, noté $\bar{A}$) vaut $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$.
Exemple traité — un dé à six faces. Quelle est la probabilité d'obtenir un multiple de 3 ?
Étape 1 — les cas possibles : les faces $1,2,3,4,5,6$, soit 6 cas possibles, tous équiprobables.
Étape 2 — les cas favorables : les multiples de 3 sont $3$ et $6$, soit 2 cas favorables.
Étape 3 — on applique la formule : $P(A) = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$.
Étape 4 (bonus) — la probabilité de ne pas obtenir un multiple de 3 : $P(\bar{A}) = 1 - \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3}$.
Voilà. Si tu sais refaire ça, tu tiens déjà les premières questions du contrôle.
Ça te revient ? Parfait. On reprend tout dans l'ordre, avec le vocabulaire exact et toutes les règles rangées au même endroit. C'est le cours complet, celui que tu relis posément la veille.
Le vocabulaire, au propre
Une expérience aléatoire a plusieurs résultats possibles et on ne peut pas prévoir lequel sortira. Chaque résultat possible s'appelle une issue.
L'ensemble de toutes les issues est l'univers $\Omega$.
Un événement est un sous-ensemble de $\Omega$ : une ou plusieurs issues regroupées. Un événement réduit à une seule issue est dit élémentaire.
L'événement contraire de $A$, noté $\bar{A}$, regroupe toutes les issues qui ne sont pas dans $A$.
Deux événements sont incompatibles lorsqu'ils ne peuvent pas se produire en même temps : ils n'ont aucune issue commune, ce qu'on note $A \cap B = \varnothing$.
Il y a équiprobabilité quand toutes les issues ont la même probabilité (un dé bien équilibré, une pièce non truquée).
Toutes les règles de calcul
Bornes. Une probabilité est toujours comprise entre 0 et 1 : $0 \le P(A) \le 1$. L'événement certain vaut $P(\Omega)=1$, l'événement impossible vaut $P(\varnothing)=0$.
Équiprobabilité. Si toutes les issues sont également probables :
$$P(A) = \dfrac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}}$$
Événement contraire. $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$. Très utile quand $\bar{A}$ est plus facile à compter que $A$.
Événements incompatibles. Si $A$ et $B$ ne peuvent pas arriver ensemble ($A \cap B = \varnothing$), alors $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$.
Chemin d'un arbre (deux épreuves). La probabilité que $A$ puis $B$ se réalisent se multiplie le long du chemin : $P(A \cap B) = P(A) \times P(B \mid A)$, où $P(B \mid A)$ est la probabilité de $B$ sachant que $A$ vient de se produire.
Deux situations, deux méthodes
Situation 1 — une seule épreuve. On compte. On dénombre les cas possibles, on dénombre les cas favorables, et on applique la formule de l'équiprobabilité.
Situation 2 — deux épreuves successives (tirer deux boules, lancer deux fois). On construit un arbre de probabilités. Voici la méthode :
1. Repérer les épreuves successives et leurs issues, et tracer une branche par issue.
2. Écrire la probabilité sur chaque branche. Vérifier que la somme des branches qui partent d'un même nœud vaut $1$.
3. Probabilité d'un chemin (du départ jusqu'à un bout) = produit des probabilités rencontrées le long du chemin.
4. Probabilité d'un événement formé de plusieurs chemins = somme des probabilités de ces chemins.
Point clé : si le tirage est sans remise, les probabilités du 2e tirage changent selon le résultat du 1er (on y revient au palier 4).
Ci-contre, l'arbre d'un tirage avec remise dans une urne de 3 boules rouges (R) et 2 boules bleues (B) : après remise, les probabilités du 2e tirage sont les mêmes qu'au 1er.
On passe à la pratique. Je déroule deux exemples devant toi, ligne par ligne, en disant ce que je fais et pourquoi. Tu suis le geste ; à la fin, tu verras que c'est presque mécanique.
Exemple 1 — le dé, événement et contraire
Énoncé. On lance un dé équilibré à six faces. Quelle est la probabilité d'obtenir un nombre strictement supérieur à 4 ? Et celle d'obtenir au plus 4 ?
On pose l'univers : $\Omega = \{1\,;\,2\,;\,3\,;\,4\,;\,5\,;\,6\}$. Six issues, dé équilibré donc équiprobables. (On vérifie toujours qu'on est bien en équiprobabilité avant d'appliquer la formule.)
On nomme l'événement : $A$ = « obtenir un nombre strictement supérieur à 4 » = $\{5\,;\,6\}$. On liste les issues pour ne pas se tromper.
On compte : 2 cas favorables ($5$ et $6$) sur 6 cas possibles.
On applique la formule : $P(A) = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$. On simplifie toujours la fraction.
Pour « au plus 4 » (c'est-à-dire $\le 4$), inutile de tout recompter : c'est exactement l'événement contraire de $A$. On utilise donc $P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3}$.
Vérification de bon sens : $P(A) + P(\bar{A}) = \dfrac{1}{3} + \dfrac{2}{3} = 1$. Cohérent : un événement se produit ou ne se produit pas.
Exemple 2 — l'urne, tirage avec remise (l'arbre en entier)
Énoncé. Une urne contient 3 boules rouges (R) et 2 boules bleues (B), soit 5 boules en tout. On tire une boule, on la remet, puis on en tire une seconde. On veut toutes les probabilités.
Probabilités du 1er tirage : 5 boules équiprobables, donc $P(R) = \dfrac{3}{5}$ et $P(B) = \dfrac{2}{5}$. On vérifie : $\dfrac{3}{5} + \dfrac{2}{5} = 1$, la somme des branches d'un nœud fait bien 1.
Comme on remet la boule, l'urne est identique au 2e tirage : les probabilités sont les mêmes ($\dfrac{3}{5}$ pour R, $\dfrac{2}{5}$ pour B), quel que soit le 1er résultat.
On lit les chemins en multipliant le long de chaque branche (regarde l'arbre ci-contre) :
Chemin R puis R : $\dfrac{3}{5} \times \dfrac{3}{5} = \dfrac{9}{25}$.
Chemin R puis B : $\dfrac{3}{5} \times \dfrac{2}{5} = \dfrac{6}{25}$.
Chemin B puis R : $\dfrac{2}{5} \times \dfrac{3}{5} = \dfrac{6}{25}$.
Chemin B puis B : $\dfrac{2}{5} \times \dfrac{2}{5} = \dfrac{4}{25}$.
Le réflexe qui évite les catastrophes : on additionne les probabilités de tous les chemins au bout de l'arbre, ça doit faire 1. Ici $\dfrac{9 + 6 + 6 + 4}{25} = \dfrac{25}{25} = 1$. Aucune branche oubliée.
Application : la probabilité de tirer deux boules de la même couleur = chemin R-R + chemin B-B = $\dfrac{9}{25} + \dfrac{4}{25} = \dfrac{13}{25}$. On additionne parce que ce sont deux chemins favorables distincts.
Niveau brevet. Ici on vise les points qui font la différence : le tirage sans remise (le piège vedette des sujets), la rédaction que le correcteur attend, et la liste des fautes qui coûtent des points pour rien.
La subtilité qui rapporte : avec remise ou sans remise
Tout se joue sur une question : remet-on la boule (ou la carte, le jeton) avant le 2e tirage ?
Avec remise. L'urne redevient identique. Les probabilités du 2e tirage sont les mêmes qu'au 1er : les deux épreuves ne s'influencent pas.
Sans remise. La boule tirée ne revient pas : il y a une boule de moins, et souvent une couleur de moins. Les probabilités du 2e tirage changent selon ce qu'on a tiré en premier. C'est là que l'arbre devient vraiment utile : il t'oblige à réécrire les probabilités branche par branche.
Le geste-clé : sur un tirage sans remise, avant d'écrire les probabilités du 2e tirage, redemande-toi « combien de boules reste-t-il, et de quelle couleur ? ».
Problème type entièrement résolu — tirage sans remise
Énoncé. Même urne : 3 boules rouges (R) et 2 boules bleues (B), 5 boules en tout. Cette fois on tire une boule, on ne la remet pas, puis on en tire une seconde. Calculer la probabilité de chaque chemin, puis celle de tirer deux boules de couleurs différentes.
1er tirage — l'urne est encore complète (5 boules) : $P(R) = \dfrac{3}{5}$ et $P(B) = \dfrac{2}{5}$.
2e tirage si on a tiré R : il reste 4 boules, dont 2 rouges et 2 bleues. Donc $P(R \mid R) = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$ et $P(B \mid R) = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$.
2e tirage si on a tiré B : il reste 4 boules, dont 3 rouges et 1 bleue. Donc $P(R \mid B) = \dfrac{3}{4}$ et $P(B \mid B) = \dfrac{1}{4}$.
On multiplie le long de chaque chemin (arbre ci-contre) :
Chemin R puis R : $\dfrac{3}{5} \times \dfrac{2}{4} = \dfrac{6}{20} = \dfrac{3}{10}$.
Chemin R puis B : $\dfrac{3}{5} \times \dfrac{2}{4} = \dfrac{6}{20} = \dfrac{3}{10}$.
Chemin B puis R : $\dfrac{2}{5} \times \dfrac{3}{4} = \dfrac{6}{20} = \dfrac{3}{10}$.
Chemin B puis B : $\dfrac{2}{5} \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{2}{20} = \dfrac{1}{10}$.
Vérification : $\dfrac{6 + 6 + 6 + 2}{20} = \dfrac{20}{20} = 1$. Tout est là.
Question posée — « deux couleurs différentes » = chemin R-B + chemin B-R (les deux chemins croisés) $= \dfrac{3}{10} + \dfrac{3}{10} = \dfrac{6}{10} = \dfrac{3}{5}$.
Astuce de contrôle : on pouvait aussi passer par le contraire. « Couleurs différentes » est le contraire de « même couleur » = R-R + B-B $= \dfrac{3}{10} + \dfrac{1}{10} = \dfrac{4}{10}$, et $1 - \dfrac{4}{10} = \dfrac{6}{10} = \dfrac{3}{5}$. Même résultat : bonne façon de vérifier.
Ce que le correcteur attend, et les pièges classiques
Ce qui rapporte les points.
— Poser l'univers ou dire clairement combien il y a de cas (le correcteur veut voir d'où viennent les fractions).
— Sur un arbre : écrire les probabilités sur chaque branche, pas seulement au bout.
— Montrer le produit du chemin ($\dfrac{3}{5} \times \dfrac{2}{4}$), pas seulement le résultat final.
— Terminer par une phrase de conclusion qui répond à la question (« la probabilité de tirer deux couleurs différentes est $\dfrac{3}{5}$ »).
Les pièges qui coûtent des points.
— Additionner au lieu de multiplier (ou l'inverse) : on multiplie le long d'un chemin, on additionne entre les chemins favorables. C'est la faute numéro un.
— Confondre avec remise et sans remise : sans remise, les branches du 2e tirage dépendent du 1er résultat. Ne recopie pas bêtement les mêmes fractions.
— Oublier les chemins croisés : « R puis B » et « B puis R » sont deux chemins différents, à compter tous les deux.
— Ne pas vérifier que la somme des probabilités de tous les bouts de l'arbre fait 1. Cette vérification repère instantanément une branche oubliée ou une erreur de calcul.
Tu as tout ce qu'il faut pour le brevet. Maintenant, un coup d'œil par-dessus la clôture : voilà où ces arbres t'emmènent au lycée. Rien à réviser ici, juste de quoi arriver en seconde avec une longueur d'avance.
Pourquoi on multiplie le long d'un chemin
La règle « on multiplie sur un chemin » n'est pas magique : elle se justifie avec des proportions. Reprenons le tirage avec remise (3 R et 2 B).
Imagine que tu répètes l'expérience un très grand nombre de fois. Environ $\dfrac{3}{5}$ des fois, tu tires R en premier. Et parmi ces fois-là, encore environ $\dfrac{3}{5}$ redonnent R au second tirage.
Prendre « les $\dfrac{3}{5}$ des $\dfrac{3}{5}$ », c'est calculer une fraction d'une fraction — et une fraction d'une fraction, ça se multiplie : $\dfrac{3}{5} \times \dfrac{3}{5} = \dfrac{9}{25}$. D'où la probabilité du chemin R-R.
C'est exactement l'idée derrière la formule du cours $P(A \cap B) = P(A) \times P(B \mid A)$ : la probabilité de $B$ sachant que $A$ est déjà arrivé, multipliée par celle de $A$.
Les mots que tu réentendras : conditionnelle et indépendance
Cette petite notation $P(B \mid A)$ — « probabilité de $B$ sachant $A$ » — s'appelle une probabilité conditionnelle. Au lycée, elle devient un objet à part entière, avec ses formules et ses arbres pondérés (première).
Elle éclaire aussi la différence entre tes deux tirages :
— Avec remise, le 2e tirage ne dépend pas du 1er : $P(B \mid A) = P(B)$. On dit que les deux épreuves sont indépendantes, et la formule se simplifie en $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$.
— Sans remise, le 2e tirage dépend du 1er : les épreuves sont dépendantes, et il faut garder le $P(B \mid A)$.
Tu manipules donc déjà, sans le nom savant, l'indépendance — l'une des idées centrales des probabilités au lycée.
L'an prochain : lois, espérance et dénombrement
Voilà la suite du programme, juste pour situer :
— Loi de probabilité (seconde) : ranger toutes les issues et leurs probabilités dans un tableau, dont la somme fait toujours 1 — exactement ta vérification « la somme fait 1 », mais présentée proprement.
— Variable aléatoire et espérance (première) : associer un nombre (un gain, un score) à chaque issue et calculer la valeur moyenne attendue sur un grand nombre de parties.
— Arbres pondérés et probabilités totales (première) : les mêmes arbres qu'en 3e, mais outillés pour des situations plus riches.
— Dénombrement (première et terminale) : compter les cas favorables quand il y en a trop pour les lister à la main (factorielle, combinaisons).
Le fil rouge ne change jamais : compter les cas, ou bien multiplier le long d'un chemin et additionner entre les chemins. Tu as déjà le bon réflexe.