Probabilités et arbre de probabilités

Quantifier le hasard : calculer des probabilités et organiser les expériences à deux épreuves.

1 L'idée

Une expérience aléatoire est une expérience dont on ne peut pas prévoir le résultat à l'avance (lancer un dé, tirer une boule…). L'ensemble de tous les résultats possibles est l'univers $\Omega$. Un événement est un sous-ensemble de $\Omega$. La probabilité $P(A)$ d'un événement $A$ est un nombre compris entre $0$ et $1$ : $P(A)=0$ signifie qu'il est impossible, $P(A)=1$ qu'il est certain. Lorsque tous les résultats sont également possibles, on parle d'équiprobabilité.

2 Règles de calcul

Équiprobabilité

$P(A) = \dfrac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}}$

Bornes

$0 \le P(A) \le 1 \;; \quad P(\Omega)=1 \;; \quad P(\varnothing)=0$

Événement contraire

$P(\bar{A}) = 1 - P(A)$

Événements incompatibles

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) \quad \text{si } A \cap B = \varnothing$

Chemin d'un arbre

$P(A \cap B) = P(A) \times P(B \mid A)$

3 Calcul en équiprobabilité

Exemple A — dé à 6 faces

Univers : $\Omega = \{1\,;\,2\,;\,3\,;\,4\,;\,5\,;\,6\}$ — 6 issues équiprobables.

Événement $A$ = « obtenir un multiple de 3 » = $\{3\,;\,6\}$ — 2 cas favorables sur 6.

$P(A) = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$.

Événement contraire : $P(\bar{A}) = 1 - \dfrac{1}{3} = \dfrac{2}{3}$.

4 Arbre de probabilités — deux épreuves avec remise

Exemple B — urne, tirage avec remise

Urne : 3 boules rouges (R) et 2 boules bleues (B). On tire une boule, on la remet, puis on en tire une seconde.

Probabilités du 1er tirage : $P(R) = \dfrac{3}{5}$, $P(B) = \dfrac{2}{5}$. Après remise, les probabilités sont identiques au 2e tirage.

Chemin R puis R : $\dfrac{3}{5} \times \dfrac{3}{5} = \dfrac{9}{25}$.

Chemin R puis B : $\dfrac{3}{5} \times \dfrac{2}{5} = \dfrac{6}{25}$.

Chemin B puis R : $\dfrac{2}{5} \times \dfrac{3}{5} = \dfrac{6}{25}$.

Chemin B puis B : $\dfrac{2}{5} \times \dfrac{2}{5} = \dfrac{4}{25}$.

Vérification : $\dfrac{9+6+6+4}{25} = \dfrac{25}{25} = 1$ ✓

Méthode — construire et lire un arbre de probabilités

Identifier les épreuves successives et leurs issues.
Écrire les probabilités sur chaque branche. Vérifier que la somme des branches issues d'un même nœud vaut 1.
Probabilité d'un chemin = produit des probabilités le long du chemin.
Probabilité d'un événement composé de plusieurs chemins = somme des probabilités de ces chemins.
En cas de tirage sans remise, les probabilités du 2e tirage changent selon le résultat du 1er.

Erreurs fréquentes

Additionner au lieu de multiplier sur un chemin : on multiplie le long d'un chemin, on additionne entre les chemins favorables.
Confondre tirage avec remise et sans remise : dans le 2e cas, les probabilités des branches du 2e tirage dépendent du résultat du 1er.
Oublier les chemins croisés : « R puis B » et « B puis R » sont deux chemins distincts à comptabiliser séparément.
Ne pas vérifier que la somme de toutes les probabilités des chemins terminaux est égale à 1.