Salut à toi ! Tu n’as jamais vu les quartiles et les boîtes à moustaches, et le contrôle approche ? Pas de stress. On va partir de ce que tu connais déjà en 4e (moyenne, étendue, médiane) pour construire l’essentiel en un temps record. L’objectif : savoir lire, calculer et tracer un diagramme en boîte pour être opérationnel le jour J.
La médiane d’une série triée la partage en deux moitiés égales : au moins 50 % des valeurs lui sont inférieures ou égales, au moins 50 % lui sont supérieures ou égales.
L’étendue mesure l’écart entre la valeur maximale et la valeur minimale : $e = x_{\text{max}} - x_{\text{min}}$.
Exemple : série triée 3 – 7 – 10 – 14 – 18 – 22 – 25
$n = 7$ (impair) → médiane $Q_2 = 4^e$ valeur $= 14$
$e = 25 - 3 = 22$
Pour aller plus loin, on définit deux autres valeurs :
• le 1er quartile $Q_1$ : médiane de la moitié inférieure de la série
• le 3e quartile $Q_3$ : médiane de la moitié supérieure
Avec la médiane $Q_2$, ces trois nombres partagent la série triée en quatre groupes de même effectif.
L’étendue interquartile $EI = Q_3 - Q_1$ donne la longueur de l’intervalle central qui contient 50 % des données.
On résume toute la série par cinq valeurs clés : minimum, $Q_1$, médiane $Q_2$, $Q_3$, maximum.
Le diagramme en boîte les représente ainsi :
La boîte contient toujours 50 % des données.
Voici une série déjà triée : 5 ; 8 ; 12 ; 16 ; 19 ; 22 ; 26 ; 30 ; 34 (9 valeurs). Complète les étapes du calcul des quartiles.
Il y a valeurs.
La médiane $Q_2$ est la −ième valeur, donc $Q_2 =$ .
La moitié inférieure (sans $Q_2$) est { } : elle a valeurs, donc $Q_1 =$ médiane de cette moitié = .
La moitié supérieure est { } : $Q_3 =$ .
L’étendue $e =$ max − min = $-$ $=$ .
L’étendue interquartile $EI = Q_3 - Q_1 =$ $-$ $=$ .
Il y a 9 valeurs.
La médiane $Q_2$ est la 5−ième valeur, donc $Q_2 =$ 19.
Moitié inférieure (sans $Q_2$) : {5 ; 8 ; 12 ; 16} → 4 valeurs, $Q_1 =$ médiane de {5;8;12;16} $= \frac{8+12}{2} =$ 10.
Moitié supérieure : {22 ; 26 ; 30 ; 34} → $Q_3 = \frac{26+30}{2} =$ 28.
Étendue $e = 34 - 5 =$ 29.
Étendue interquartile $EI = 28 - 10 =$ 18.
Observe ce diagramme en boîte et complète les informations.
Questions :
Le minimum vaut , le maximum vaut , donc l’étendue $e =$ $-$ $=$ .
$Q_1 =$ , $Q_3 =$ , donc l’étendue interquartile $EI =$ $-$ $=$ .
La boîte contient % des données.
Minimum = 2, maximum = 12, étendue $e = 12 - 2 =$ 10.
$Q_1 =$ 4, $Q_3 =$ 9, $EI = 9 - 4 =$ 5.
La boîte contient 50 % des données.
Ça te revient, ce rectangle avec des moustaches ? On va rassembler les morceaux. Je te remets les définitions précises, puis une méthode pas à pas pour calculer quartiles et diagramme. Tu verras, c’est mécanique.
Soit une série statistique triée dans l’ordre croissant.
• $Q_1$ (premier quartile) : médiane de la moitié inférieure de la série.
• $Q_2$ (médiane) : valeur qui coupe la série en deux parties égales.
• $Q_3$ (troisième quartile) : médiane de la moitié supérieure.
• Étendue interquartile : $EI = Q_3 - Q_1$ (longueur de l’intervalle central contenant 50 % des données).
1. Munis-toi des cinq valeurs : min, $Q_1$, $Q_2$, $Q_3$, max.
2. Trace un axe gradué couvrant l’ensemble (de min à max, avec des marges).
3. Dessine un rectangle vertical (ou horizontal) de $Q_1$ à $Q_3$.
4. Trace un trait à l’intérieur du rectangle à la hauteur de $Q_2$.
5. Prolonge deux « moustaches » : un segment de $Q_1$ jusqu’au minimum, et un segment de $Q_3$ jusqu’au maximum.
Ci-dessous, le diagramme correspondant à l’exemple 3 – 7 – 10 – 14 – 18 – 22 – 25.
Un professeur relève 9 notes (dans le désordre) : 19 ; 5 ; 30 ; 12 ; 26 ; 34 ; 8 ; 22 ; 16.
On va calculer $Q_1$, $Q_2$, $Q_3$.
Complète les étapes.
Tri : ; ; ; ; ; ; ; ; .
$n =$ → $Q_2 =$ −ième valeur $=$ .
Moitié inférieure (sans $Q_2$) : { } → $Q_1 =$ .
Moitié supérieure : { } → $Q_3 =$ .
Minimum $=$ , maximum $=$ .
$e =$ , $EI =$ .
Tri : 5 ; 8 ; 12 ; 16 ; 19 ; 22 ; 26 ; 30 ; 34
$n = 9$ → $Q_2 =$ 5ème valeur $= 19$
Moitié inférieure : {5 ; 8 ; 12 ; 16} → $Q_1 = \frac{8+12}{2} = 10$
Moitié supérieure : {22 ; 26 ; 30 ; 34} → $Q_3 = \frac{26+30}{2} = 28$
Min $= 5$, Max $= 34$
$e = 29$, $EI = 18$
Voici les durées de trajet (en minutes) déjà triées de 10 élèves :
3 ; 7 ; 11 ; 15 ; 19 ; 23 ; 27 ; 31 ; 35 ; 39
Détermine les cinq valeurs caractéristiques (aide-toi du rappel pour $n$ pair).
min $=$ , $Q_1 =$ , $Q_2 =$ , $Q_3 =$ , max $=$ .
Puis, sur l’axe préparé ci-dessous, dessine le diagramme en boîte (rectangle de $Q_1$ à $Q_3$, trait en $Q_2$, moustaches jusqu’aux extrêmes).
Cinq valeurs :
min $= 3$, $Q_1 = 11$, $Q_2 = \frac{19+23}{2} = 21$, $Q_3 = 31$, max $= 39$
Diagramme attendu :
Maintenant, on automatise. Cinq mini-exercices presque identiques : tu vas calculer les cinq valeurs pour cinq séries différentes. Objectif : que les gestes deviennent un réflexe.
Série A (triée) : 1 ; 4 ; 6 ; 9 ; 12 ; 15 ; 18 ; 22 (8 valeurs)
min $=$ , $Q_1 =$ , $Q_2 =$ , $Q_3 =$ , max $=$
min $= 1$, $Q_1 = \frac{4+6}{2} = 5$, $Q_2 = \frac{9+12}{2} = 10,5$, $Q_3 = \frac{15+18}{2} = 16,5$, max $= 22$
Série B (triée) : 3 ; 5 ; 8 ; 11 ; 14 ; 17 ; 20 ; 24
min $=$ , $Q_1 =$ , $Q_2 =$ , $Q_3 =$ , max $=$
min $= 3$, $Q_1 = \frac{5+8}{2} = 6,5$, $Q_2 = \frac{11+14}{2} = 12,5$, $Q_3 = \frac{17+20}{2} = 18,5$, max $= 24$
Série C (triée) : 2 ; 7 ; 10 ; 13 ; 16 ; 21 ; 25 ; 30
min $=$ , $Q_1 =$ , $Q_2 =$ , $Q_3 =$ , max $=$
min $= 2$, $Q_1 = \frac{7+10}{2} = 8,5$, $Q_2 = \frac{13+16}{2} = 14,5$, $Q_3 = \frac{21+25}{2} = 23$, max $= 30$
Série D (triée) : 4 ; 6 ; 9 ; 12 ; 15 ; 18 ; 22 ; 27
min $=$ , $Q_1 =$ , $Q_2 =$ , $Q_3 =$ , max $=$
min $= 4$, $Q_1 = \frac{6+9}{2} = 7,5$, $Q_2 = \frac{12+15}{2} = 13,5$, $Q_3 = \frac{18+22}{2} = 20$, max $= 27$
Série E (triée) : 0 ; 3 ; 8 ; 11 ; 14 ; 19 ; 24 ; 28
min $=$ , $Q_1 =$ , $Q_2 =$ , $Q_3 =$ , max $=$
min $= 0$, $Q_1 = \frac{3+8}{2} = 5,5$, $Q_2 = \frac{11+14}{2} = 12,5$, $Q_3 = \frac{19+24}{2} = 21,5$, max $= 28$
Tu es prêt pour le contrôle. Voici des exercices de niveau brevet, avec des problèmes variés. Prends ton temps, vérifie tes calculs, et n’oublie pas les moustaches !
Exercice 1. Calculer les quartiles
Les notes obtenues par 9 élèves lors d’un contrôle sont (dans le désordre) :
18 ; 7 ; 25 ; 13 ; 30 ; 11 ; 22 ; 6 ; 15
a) Trie la série dans l’ordre croissant.
b) Détermine la médiane $Q_2$.
c) Calcule $Q_1$ et $Q_3$.
d) Calcule l’étendue et l’étendue interquartile.
a) Série triée : 6 ; 7 ; 11 ; 13 ; 15 ; 18 ; 22 ; 25 ; 30
b) $n = 9$ (impair) → $Q_2$ = 5ᵉ valeur = $15$
c) Moitié inférieure (sans $Q_2$) : {6 ; 7 ; 11 ; 13} → $Q_1 = \frac{7+11}{2} = 9$
Moitié supérieure : {18 ; 22 ; 25 ; 30} → $Q_3 = \frac{22+25}{2} = 23,5$
d) $e = 30 - 6 = 24$ ; $EI = 23,5 - 9 = 14,5$
Exercice 2. Construire un diagramme en boîte
Les durées de trajet (en minutes) de 10 élèves, déjà triées, sont :
5 ; 9 ; 12 ; 16 ; 20 ; 24 ; 28 ; 32 ; 36 ; 40
a) Détermine les cinq valeurs : min, $Q_1$, $Q_2$, $Q_3$, max.
b) Sur l’axe gradué fourni, trace le diagramme en boîte correspondant.
a) $n=10$ pair → $Q_2 = \frac{20+24}{2} = 22$
Moitié inférieure : {5;9;12;16;20} → $Q_1 = 12$ (valeur centrale)
Moitié supérieure : {24;28;32;36;40} → $Q_3 = 32$
min $=5$, max $=40$
b) Diagramme construit :
Exercice 3. Lire un diagramme en boîte
Voici le diagramme en boîte des âges des 40 participants à un club sportif :
a) $e = 32 - 6 = 26$ ; $EI = 22 - 12 = 10$
b) La boîte $[Q_1 , Q_3]$ contient 50 % des participants → 20 participants ont un âge entre 12 et 22 ans.
c) En dessous de la médiane (16 ans), il y a 50 % des effectifs → $0,5 \times 40 = 20$ participants.
d) Vrai, car les deux boîtes sont identiques.
Exercice 4. Comparer deux joueurs de basket
On relève les points marqués lors de 10 matchs par deux joueurs (séries déjà triées).
Joueur A : 7 ; 11 ; 14 ; 16 ; 18 ; 21 ; 23 ; 25 ; 28 ; 32
Joueur B : 4 ; 6 ; 9 ; 13 ; 16 ; 19 ; 22 ; 25 ; 29 ; 33
a) Calcule $Q_1$, $Q_2$ et $Q_3$ pour chaque joueur.
b) Quel est le joueur le plus régulier ? Justifie à l’aide de l’étendue interquartile.
a) Joueur A : $Q_2 = \frac{18+21}{2} = 19,5$ ; moitié inf {7;11;14;16;18} → $Q_1=14$ ; moitié sup {21;23;25;28;32} → $Q_3=25$. Joueur B : $Q_2 = \frac{16+19}{2} = 17,5$ ; moitié inf {4;6;9;13;16} → $Q_1=9$ ; moitié sup {19;22;25;29;33} → $Q_3=25$.
b) Étendue interquartile : A : $25-14=11$ ; B : $25-9=16$. L’EI plus faible de A indique que ses performances sont plus concentrées autour de la médiane, donc A est plus régulier.
Exercice 5. Retrouver une série possible
Une série de 11 notes a les caractéristiques suivantes :
minimum $= 4$, $Q_1 = 9$, médiane $= 12$, $Q_3 = 15$, maximum $= 20$.
Propose une série triée de 11 nombres qui pourrait correspondre.
On doit respecter les 5 valeurs et l’ordre. Exemple :
$4 ; 7 ; 9 ; 9 ; 12 ; 12 ; 13 ; 14 ; 15 ; 18 ; 20$
Vérification : $n=11$, médiane = 6ᵉ valeur = 12. Moitié inf (5 premières) : $4,7,9,9,12$ → $Q_1 = 9$ (3ᵉ). Moitié sup (5 dernières) : $13,14,15,18,20$ → $Q_3 = 15$ (3ᵉ). Min $=4$, max $=20$. Valide.
Les quartiles, c’est aussi un outil qu’on retrouve en seconde, avec des situations un peu plus riches. On va t’y préparer avec deux ou trois exercices qui te feront voir plus loin.
Exercice 1. Quartiles pour une série continue (classes)
Les âges des 60 adhérents d’une association sont répartis ainsi :
Âge : $[0;15[$ → 8 personnes ; $[15;30[$ → 22 ; $[30;45[$ → 18 ; $[45;60[$ → 10 ; $[60;75]$ → 2.
On cherche les quartiles $Q_1$, $Q_2$, $Q_3$ par interpolation linéaire :
On calcule les effectifs cumulés croissants, puis on localise la classe contenant le quartile, et on applique $Q_k = L + \frac{\frac{k}{4}N - E}{f} \times a$, où $L$ borne inférieure de la classe, $N$ effectif total, $E$ effectif cumulé avant la classe, $f$ effectif de la classe, $a$ amplitude.
Détermine $Q_1$, $Q_2$, $Q_3$.
Tableau des effectifs cumulés :
$[0;15[$ : 8 → cumul 8
$[15;30[$ : 22 → cumul 30
$[30;45[$ : 18 → cumul 48
$[45;60[$ : 10 → cumul 58
$[60;75]$ : 2 → cumul 60
$N = 60$.
$\frac{N}{4} = 15$ → $Q_1$ dans $[15;30[$. $L=15$, $E=8$, $f=22$, $a=15$.
$Q_1 = 15 + \frac{15-8}{22} \times 15 = 15 + \frac{7}{22}\times 15 \approx 19,8$.
$\frac{N}{2} = 30$ → $Q_2$ tombe juste à la borne de la classe $[15;30[$ (cumul 30), convention : $Q_2$ est donc la borne supérieure de cette classe, soit $30$.
$\frac{3N}{4} = 45$ → $Q_3$ dans $[30;45[$. $L=30$, $E=30$, $f=18$, $a=15$.
$Q_3 = 30 + \frac{45-30}{18} \times 15 = 30 + \frac{15}{18}\times 15 = 30 + 12,5 = 42,5$.
Ainsi $Q_1 \approx 19,8$, $Q_2 = 30$, $Q_3 = 42,5$.
Exercice 2. Comparaison de trois séries
Voici les diagrammes en boîte des pointures de chaussures pour trois équipes sportives (les pointures vont de 36 à 46).
Analyse :
- Quelle équipe a la plus grande pointure maximale ?
- Laquelle est la plus homogène (étendue interquartile la plus faible) ?
- Dans quelle équipe la médiane est-elle la plus élevée ?
Lecture des diagrammes en boîte :
Équipe 1 : min 37, Q1 38, médiane 40, Q3 42, max 44
Équipe 2 : min 38, Q1 39, médiane 40, Q3 42, max 45
Équipe 3 : min 36, Q1 38, médiane 40, Q3 43, max 46
- Pointure maximale la plus grande : l'Équipe 3, avec un maximum de 46.
- Équipe la plus homogène : on calcule l'étendue interquartile $EI = Q3 - Q1$ pour chacune :
Équipe 1 : $EI = 42 - 38 = 4$
Équipe 2 : $EI = 42 - 39 = 3$
Équipe 3 : $EI = 43 - 38 = 5$
L'étendue interquartile la plus faible est celle de l'Équipe 2 ($EI = 3$) : c'est donc l'Équipe 2 qui est la plus homogène.
- Médiane la plus élevée : les trois équipes ont la même médiane (40), les traits centraux des trois boîtes sont alignés.
Exercice 3. Interpréter un diagramme atypique
On te donne les caractéristiques d’une série : min = 10, Q1 = 12, médiane = 20, Q3 = 28, max = 100.
a) Que remarques-tu à propos de la moustache droite ?
b) Que peut-on supposer sur la répartition des plus grandes valeurs ?
c) Propose une situation concrète où un tel diagramme pourrait apparaître.
a) La moustache droite est très longue (de 28 à 100, soit 72) alors que la boîte (de 12 à 28, EI=16) est étroite.
b) Cela indique que les 25 % des plus grandes valeurs sont très dispersées et s’étalent bien au-delà de Q3 ; il y a probablement une ou plusieurs valeurs extrêmes (éventuellement aberrantes) qui tirent le maximum vers le haut.
c) Par exemple, les salaires dans une entreprise où la plupart des employés gagnent entre 10 et 28 k€, mais quelques dirigeants gagnent beaucoup plus (jusqu’à 100 k€).
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