Contrôle bientôt, notion jamais vue, et cinq trucs bizarres au tableau : min, Q1, Q2, Q3, max. Respire. En dix minutes tu tiens l'essentiel pour ne pas rendre copie blanche.
L'essentiel, en cinq valeurs
Les prérequis à avoir en tête. Tu sais ranger une série de nombres dans l'ordre croissant (la « série triée »). Tu connais la médiane : la valeur qui coupe la série triée en deux moitiés de même effectif (autant de valeurs en dessous qu'au-dessus). Et tu sais calculer l'étendue $e = x_{\max} - x_{\min}$ : la plus grande valeur moins la plus petite.
L'idée en une phrase. La médiane toute seule ne dit pas si les données sont resserrées ou éparpillées. Pour mesurer cet éparpillement, on ajoute deux repères : le premier quartile $Q_1$ et le troisième quartile $Q_3$. Avec le minimum, $Q_1$, la médiane $Q_2$, $Q_3$ et le maximum, on obtient cinq valeurs qui résument toute la série.
Ce que veulent dire $Q_1$ et $Q_3$. Ces cinq valeurs découpent la série triée en quatre parts de même effectif : un quart des données avant $Q_1$, un quart entre $Q_1$ et la médiane, un quart entre la médiane et $Q_3$, un quart après $Q_3$. Chaque part, c'est 25 % des valeurs.
Un exemple fait en entier
On prend sept notes déjà rangées dans l'ordre croissant.
Le réflexe à retenir : on trie, on trouve la médiane, puis on cherche la médiane de chaque moitié. Rien de plus pour un premier contrôle.
Ça te revient : la médiane, tu connais. Les quartiles, c'est juste la médiane qui s'est démultipliée pour couper la série non pas en deux, mais en quatre. On reprend tout, propre et rangé.
Définitions propres
Une série statistique, une fois triée dans l'ordre croissant, se résume par cinq nombres, du plus petit au plus grand.
Médiane $Q_2$. Valeur qui partage la série en deux moitiés de même effectif : au moins 50 % des valeurs lui sont inférieures ou égales, et au moins 50 % lui sont supérieures ou égales.
Premier quartile $Q_1$. C'est la médiane de la moitié inférieure de la série triée. Autrement dit, environ un quart (25 %) des valeurs sont avant $Q_1$.
Troisième quartile $Q_3$. C'est la médiane de la moitié supérieure. Environ trois quarts (75 %) des valeurs sont avant $Q_3$.
Deux mesures de dispersion. L'étendue $e = x_{\max} - x_{\min}$ mesure l'écart total de la série. L'étendue interquartile $\text{EI} = Q_3 - Q_1$ mesure la largeur de la « boîte », c'est-à-dire l'écart des 50 % de valeurs centrales : elle est plus robuste, car elle ignore les extrêmes.
Les quartiles découpent donc la série en quatre parts d'effectif à peu près égal, environ 25 % des données dans chaque part, comme sur le schéma.
La méthode pas à pas : n impair, n pair
- Trier la série dans l'ordre croissant (indispensable avant tout calcul).
- Trouver la médiane $Q_2$, qui sépare la série en deux moitiés.
- $Q_1$ = médiane de la moitié inférieure ; $Q_3$ = médiane de la moitié supérieure.
La seule subtilité, c'est la façon de couper en deux, selon la parité de l'effectif $n$.
Cas $n$ impair. La médiane est une valeur de la série (celle du milieu). On l'exclut des deux moitiés avant de chercher $Q_1$ et $Q_3$.
Cas $n$ pair. Il n'y a pas de valeur centrale unique : la médiane est la moyenne des deux valeurs du milieu. Les deux moitiés se forment alors naturellement, chacune avec la moitié des valeurs, et il n'y a rien à exclure.
Construire le diagramme en boîte
- Calculer les cinq valeurs : minimum, $Q_1$, $Q_2$, $Q_3$, maximum.
- Tracer un axe gradué dont l'étendue couvre toutes les valeurs de la série.
- Dessiner un rectangle (la « boîte ») allant de $Q_1$ à $Q_3$, avec un trait vertical à la médiane $Q_2$.
- Prolonger deux moustaches horizontales : de $Q_1$ jusqu'au minimum, et de $Q_3$ jusqu'au maximum.
Sur l'exemple $n = 6$ ci-dessus (min $= 4$, $Q_1 = 9$, $Q_2 = 13{,}5$, $Q_3 = 20$, max $= 27$), voici le diagramme obtenu. La boîte contient les 50 % de valeurs centrales ; sa largeur est justement l'étendue interquartile.
On enfile le survêt. Deux séries, on les traite ensemble, ligne par ligne, sans sauter d'étape. Tu suis, tu recopies mentalement, et à la fin la méthode est dans les doigts.
Exemple 1 — série impaire, ligne par ligne
Voici les temps de trajet (en minutes) relevés sur sept jours. Premier réflexe : vérifier qu'ils sont bien triés. Ils le sont.
Une lecture immédiate : la moitié des jours, le trajet dure entre 15 et 24 minutes (la boîte), et jamais plus de 30.
Exemple 2 — série paire, ligne par ligne
Dix notes sur 20, déjà rangées. Cette fois l'effectif est pair : attention à la médiane.
- Quand $n$ est pair, on ne « saute » aucune valeur : les deux moitiés se partagent l'ensemble des données (ici cinq et cinq).
- Un quartile peut tomber sur une valeur qui existe déjà dans la série (ici $Q_2 = 12$) : c'est normal, ce n'est pas une erreur.
Niveau brevet. Ici on ne calcule plus pour calculer : on compare, on interprète, et on écrit ce que le correcteur veut lire. Les points se gagnent autant dans la phrase de conclusion que dans le calcul.
Problème type — comparer deux classes
Deux classes passent le même contrôle noté sur 20. On donne les séries déjà triées, chacune avec onze élèves.
Interprétation (c'est ça qui rapporte les points). Les deux classes ont la même médiane $Q_2 = 12$ : à elle seule, elle ne les distingue pas. Mais la classe A a une étendue interquartile plus petite ($\text{EI} = 6$ contre $9$) et une étendue plus faible ($12$ contre $17$) : ses notes sont plus resserrées, donc la classe est plus homogène. La classe B est plus dispersée (des élèves très bas et d'autres très hauts).
Sur le graphique, deux boîtes alignées sur le même axe rendent la comparaison immédiate : même trait de médiane, mais la boîte de B est nettement plus large.
Ce que le correcteur attend, et les pièges classiques
- Toujours trier la série avant de calculer (ou vérifier qu'elle est déjà triée).
- Donner chaque valeur avec son nom : écrire « $Q_1 = 9$ », pas seulement « 9 ».
- Ne pas confondre étendue ($x_{\max} - x_{\min}$) et étendue interquartile ($Q_3 - Q_1$).
- Terminer par une phrase d'interprétation quand on compare deux séries : c'est souvent la question qui rapporte le plus de points.
- Oublier de trier : sur une série en désordre, tous les quartiles sont faux.
- Si $n$ est impair, oublier d'exclure la médiane des deux moitiés avant de calculer $Q_1$ et $Q_3$.
- Croire que la boîte contient toutes les données : elle n'en contient que 50 % (les moustaches portent le reste).
- Confondre les deux étendues : ce sont deux nombres différents, qui mesurent deux choses différentes.
- Sur un diagramme : lire $Q_1$, $Q_2$, $Q_3$ sur les bords de la boîte et le trait, mais lire le minimum et le maximum au bout des moustaches.
Tu as tout le programme de 3e en poche, alors offrons-nous un tour d'avance. D'où viennent ces quartiles, pourquoi ils résistent aux valeurs bizarres, et ce qui t'attend au lycée.
Pourquoi les quartiles résistent aux valeurs extrêmes
Voici la vraie force de ce chapitre. Reprends une série et imagine qu'une seule valeur devienne énorme (une erreur de saisie, un jour exceptionnel). La moyenne, elle, serait tirée vers le haut. La médiane et les quartiles, eux, ne bougent presque pas : ils ne dépendent que de la position des valeurs, pas de leur taille.
Exemple : si, dans une série, le maximum passe de 22 à 38, alors $Q_1$, $Q_2$ et $Q_3$ restent identiques — seule l'étendue ($x_{\max} - x_{\min}$) augmente. C'est pour ça qu'on dit que la médiane et l'étendue interquartile sont des indicateurs robustes, contrairement à la moyenne et à l'étendue totale.
C'est aussi pourquoi les diagrammes en boîte servent partout où il y a des valeurs aberrantes : notes, salaires, températures, résultats sportifs.
L'an prochain, et un peu de recul
Le lien avec ce que tu connais déjà. La médiane, l'étendue et les quartiles forment une même famille : des indicateurs qui décrivent une série sans la lister en entier. Tu les relies aux effectifs et aux fréquences — 25 %, 50 % et 75 % ne sont que des fréquences cumulées.
Une justification à méditer. Pourquoi 50 % des données dans la boîte ? Parce que $Q_1$ laisse un quart des valeurs à sa gauche et $Q_3$ laisse un quart à sa droite ; entre les deux, il reste donc $100 - 25 - 25 = 50$ % des valeurs. La construction n'a rien de magique : elle découpe simplement l'effectif en quatre parts égales.
Au lycée (seconde). Tu retrouveras ce résumé, complété par un autre couple d'indicateurs : la moyenne et l'écart-type, qui mesurent la dispersion « autour de la moyenne ». Tu compareras les deux points de vue — médiane et quartiles (robustes) contre moyenne et écart-type (sensibles aux extrêmes) — et tu choisiras selon les données. Les diagrammes en boîte, eux, resteront l'outil roi pour comparer plusieurs séries d'un seul coup d'œil.