Quartiles et diagramme en boîte

Cinq valeurs résument une série — min, Q1, médiane, Q3, max — et la boîte à moustaches les visualise d'un seul coup d'œil.

1 L'idée

La médiane seule ne suffit pas à décrire une série statistique : deux séries peuvent partager la même médiane tout en ayant des dispersions très différentes. Les quartiles $Q_1$ et $Q_3$ précisent cette dispersion en partageant la série triée en quatre parties d'effectif égal.

Ces cinq valeurs — minimum, $Q_1$, $Q_2$ (médiane), $Q_3$, maximum — permettent de tracer le diagramme en boîte (ou boîte à moustaches), qui représente la répartition d'une série en un seul dessin, et facilite la comparaison de deux séries.

2 Définitions

Premier quartile Q₁

$Q_1 = \text{médiane de la moitié inférieure de la série triée}$

Médiane Q₂

$Q_2 = \text{valeur centrale : 50\,\% des données en dessous}$

Troisième quartile Q₃

$Q_3 = \text{médiane de la moitié supérieure de la série triée}$

Étendue interquartile

$\text{EI} = Q_3 - Q_1 \quad (\text{50\,\% des données dans la boîte})$

Étendue

$e = x_{\max} - x_{\min}$

3 Calcul des quartiles

Série triée (n = 7) : 3 ; 7 ; 10 ; 14 ; 18 ; 22 ; 25

$n = 7$ (impair) : $Q_2$ = 4e valeur $= 14$.

Moitié inférieure $\{3 ; 7 ; 10\}$ : $Q_1 = 7$ (valeur centrale des 3 termes).

Moitié supérieure $\{18 ; 22 ; 25\}$ : $Q_3 = 22$ (valeur centrale des 3 termes).

Étendue $= 25 - 3 = 22$. Étendue interquartile $= Q_3 - Q_1 = 22 - 7 = 15$.

Méthode — construire un diagramme en boîte

Trier la série en ordre croissant.
Calculer les cinq valeurs caractéristiques : minimum, $Q_1$, $Q_2$, $Q_3$, maximum.
Choisir un axe gradué dont l'étendue couvre toutes les valeurs de la série.
Dessiner un rectangle (la « boîte ») de $Q_1$ à $Q_3$, avec un trait vertical en $Q_2$.
Prolonger deux moustaches horizontales : de $Q_1$ vers le minimum et de $Q_3$ vers le maximum.

Erreurs fréquentes

Oublier de trier la série avant tout calcul de quartile.
Si $n$ est impair, exclure $Q_2$ des deux moitiés avant de calculer $Q_1$ et $Q_3$.
Confondre étendue ($x_{\max} - x_{\min}$) et étendue interquartile ($Q_3 - Q_1$) : ce ne sont pas les mêmes.
Croire que la boîte regroupe toutes les données : elle ne contient que 50 % de la série.