Pyramide et cône — Exercices

Patron, volume, problème concret. Corrigé en fin de fiche.

⏱ ~25 min✎ Calculatrice autorisée

1Éléments d'un cône/ 3 pts

Un cône a une hauteur $h = 4$ cm et un rayon de base $r = 3$ cm.

Calculer la génératrice $l$ (valeur exacte, puis valeur approchée au dixième de cm).
Calculer le périmètre du cercle de base (valeur approchée au dixième de cm).
Sur le patron de ce cône, quel est le rayon du secteur angulaire ?

2Volume d'une pyramide/ 4 pts

Une pyramide a une base rectangulaire de longueur $6$ cm et de largeur $4$ cm. Sa hauteur est $h = 9$ cm.

Calculer l'aire de la base.
Calculer le volume de la pyramide.
Une deuxième pyramide a la même base mais une hauteur de $27$ cm. Calculer son volume. Que peut-on conclure ?

3Volume d'un cône/ 3 pts

Un cône a un rayon de base $r = 5$ cm et une hauteur $h = 12$ cm.

Calculer le volume exact du cône (exprimer le résultat en fonction de $\pi$).
Donner une valeur approchée au cm³ près.

4Gobelet conique/ 4 pts

Un gobelet jetable a la forme d'un cône dont le diamètre de l'ouverture est $7$ cm et la hauteur est $10$ cm.

Quel est le rayon de l'ouverture ?
Calculer le volume d'eau que peut contenir ce gobelet (valeur approchée au mL près ; rappel : $1 \text{ cm}^3 = 1 \text{ mL}$).
Le gobelet est rempli aux trois quarts. Quel volume d'eau contient-il ?

5Retrouver la hauteur/ 3 pts

Une pyramide à base carrée de côté $5$ cm a un volume de $100$ cm³.

Exprimer le volume de cette pyramide en fonction de sa hauteur $h$.
En déduire la valeur exacte de $h$.
Calculer l'apothème $a$ de la face triangulaire (valeur approchée au mm près).

Corrigé détaillé

1Éléments d'un cône

a) $l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} =$ $5 \text{ cm (valeur exacte ; approchée : } 5{,}0 \text{ cm)}$

b) $P = 2\pi r = 2\pi \times 3 = 6\pi \approx$ $18{,}8 \text{ cm}$

c) $\text{Le rayon du secteur angulaire est la génératrice :}$ $l = 5 \text{ cm}$

2Volume d'une pyramide

a) $\mathcal{A}_{\text{base}} = 6 \times 4 =$ $24 \text{ cm}^2$

b) $V = \dfrac{1}{3} \times 24 \times 9 = \dfrac{216}{3} =$ $72 \text{ cm}^3$

c) $V_2 = \dfrac{1}{3} \times 24 \times 27 = \dfrac{648}{3} = 216 \text{ cm}^3 = 3 \times 72 \text{ cm}^3$ $\text{Tripler la hauteur triple le volume.}$

3Volume d'un cône

a) $V = \dfrac{1}{3} \times \pi \times 5^2 \times 12 = \dfrac{1}{3} \times 300\pi =$ $100\pi \text{ cm}^3$

b) $100\pi \approx 100 \times 3{,}14159 \approx$ $314 \text{ cm}^3$

4Gobelet conique

a) $r = \dfrac{d}{2} = \dfrac{7}{2} =$ $3{,}5 \text{ cm}$

b) $V = \dfrac{1}{3} \times \pi \times (3{,}5)^2 \times 10 = \dfrac{1}{3} \times 12{,}25 \times 10 \times \pi = \dfrac{122{,}5\pi}{3} \approx$ $128 \text{ mL}$

c) $V_{\frac{3}{4}} = \dfrac{3}{4} \times 128 =$ $96 \text{ mL}$

5Retrouver la hauteur

a) $\mathcal{A}_{\text{base}} = 5^2 = 25 \text{ cm}^2 \quad \Rightarrow \quad V = \dfrac{1}{3} \times 25 \times h =$ $\dfrac{25h}{3}$

b) $\dfrac{25h}{3} = 100 \Rightarrow 25h = 300 \Rightarrow h =$ $12 \text{ cm}$

c) $a = \sqrt{h^2 + \left(\dfrac{c}{2}\right)^2} = \sqrt{12^2 + 2{,}5^2} = \sqrt{144 + 6{,}25} = \sqrt{150{,}25} \approx$ $12{,}3 \text{ cm}$