Salut, pas de panique. Cette notion parle de deux solides pointus : la pyramide et le cône. Pour comprendre vite, on a juste besoin de savoir calculer l'aire de quelques figures planes (carré, rectangle, disque), connaître le théorème de Pythagore et manipuler des fractions. On va voir l'essentiel pour que tu sois fonctionnel rapidement. C'est parti.
Avant de parler pyramide et cône, vérifions trois outils que tu connais déjà.
Une pyramide a une base polygonale (carré, rectangle, triangle…) et des faces latérales triangulaires qui se rejoignent en un sommet.
Un cône de révolution a une base circulaire et une surface courbe qui part du sommet à la base.
Le point commun : leur hauteur $h$ est la distance perpendiculaire entre le sommet et la base.
Pour les deux solides, le volume se calcule de la même façon :
$V = \dfrac{1}{3} \times \mathcal{A}_{base} \times h$
La seule chose qui change, c'est la formule de l'aire de la base $\mathcal{A}_{base}$ :
- Pyramide à base carrée de côté $c$ : $V = \dfrac{1}{3} \times c^2 \times h$
- Pyramide à base rectangulaire : $V = \dfrac{1}{3} \times (L \times \ell) \times h$
- Cône de rayon $r$ : $V = \dfrac{1}{3} \times \pi r^2 \times h$
Piège : ne pas oublier le $\frac{1}{3}$ !
Exercice 1 (reconnaître les solides et leurs bases)
Associe chaque description au bon solide : une pyramide à base carrée / un cône / une pyramide à base rectangulaire.
a) La base est un disque, un sommet →
b) La base est un carré, 4 faces triangulaires identiques →
c) La base est un rectangle de 8 cm sur 5 cm →
a) un cône
b) une pyramide à base carrée
c) une pyramide à base rectangulaire
Exercice 2 (volume à trous — pyramide carrée)
Une pyramide a une base carrée de côté 5 cm et une hauteur $h = 9$ cm. On veut son volume.
Complète :
$\mathcal{A}_{base} = \underline{\hspace{1.1em}}^2 = \underline{\hspace{1.1em}}$ cm²
$V = \dfrac{1}{3} \times \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{3} = \underline{\hspace{1.1em}}$ cm³
$\mathcal{A}_{base} = 5^2 = 25$ cm²
$V = \dfrac{1}{3} \times 25 \times 9 = \dfrac{225}{3} = 75$ cm³
Exercice 3 (volume à trous — cône)
Un cône a un rayon $r = 4$ cm et une hauteur $h = 6$ cm.
Complète (laisse $\pi$ dans le résultat final) :
$V = \dfrac{1}{3} \times \pi \times \underline{\hspace{1.1em}}^2 \times \underline{\hspace{1.1em}} = \dfrac{1}{3} \times \pi \times \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}\pi}{3} = \underline{\hspace{1.1em}}\pi$ cm³
$V = \dfrac{1}{3} \times \pi \times 4^2 \times 6 = \dfrac{1}{3} \times \pi \times 16 \times 6 = \dfrac{96\pi}{3} = 32\pi$ cm³
Ah oui, cette histoire de volume avec un tiers, ça te revient ? On va structurer tout ça : reconnaître un patron, distinguer hauteur et génératrice, et appliquer la méthode de calcul pas à pas. Tu vas voir, c'est comme une recette de cuisine.
Pyramide : base polygonale, faces latérales triangulaires, un sommet.
Si la base est un polygone régulier et le sommet à l'aplomb du centre, on parle de pyramide régulière.
Dans ce cas, la hauteur d'une face triangulaire s'appelle l'apothème (noté $a$), et $a = \sqrt{h^2 + (c/2)^2}$ pour une base carrée de côté $c$.
Cône de révolution : base circulaire de rayon $r$, surface latérale courbe, un sommet.
La génératrice $l$ est la distance entre le sommet et un point du cercle de base : $l = \sqrt{r^2 + h^2}$.
Patrons :
- Pyramide base carrée : un carré central avec 4 triangles attachés à chaque côté.
- Cône : un disque (base) + un secteur angulaire de rayon $l$ (surface latérale), dont l'angle mesure $360° \times \frac{r}{l}$.
Exercice 1 (calcul de volume — pyramide à base rectangulaire)
Une pyramide a une base de 8 cm sur 3 cm et une hauteur $h = 10$ cm.
Suis la méthode et complète :
Étape 1 : aire de la base = $\underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ cm²
Étape 2 : $V = \dfrac{1}{3} \times \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}}{3} = \underline{\hspace{1.1em}}$ cm³
Étape 1 : aire de la base = $8 \times 3 = 24$ cm²
Étape 2 : $V = \dfrac{1}{3} \times 24 \times 10 = \dfrac{240}{3} = 80$ cm³
Exercice 2 (distinguer hauteur et génératrice)
Un cône a un rayon $r = 6$ cm et une hauteur $h = 8$ cm.
Complète et réponds :
a) La génératrice $l$ se calcule par : $l = \sqrt{\underline{\hspace{1.1em}}^2 + \underline{\hspace{1.1em}}^2} = \sqrt{\underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}}} = \sqrt{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ cm
b) Le rayon du secteur angulaire sur le patron est : cm. Pourquoi ? (explique en une phrase).
a) $l = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ cm
b) Le rayon du secteur angulaire est 10 cm. Car sur le patron, le secteur a pour rayon la génératrice, pas la hauteur.
Exercice 3 (volume d'un cône)
Un cône a un rayon $r = 5$ cm et une hauteur $h = 9$ cm.
Calcule en complétant :
$V = \dfrac{1}{3} \times \pi \times \underline{\hspace{1.1em}}^2 \times \underline{\hspace{1.1em}} = \dfrac{1}{3} \times \pi \times \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} = \dfrac{\underline{\hspace{1.1em}}\pi}{3} = \underline{\hspace{1.1em}}\pi$ cm³
Valeur arrondie à l'unité : $\underline{\hspace{1.1em}}\pi \approx \underline{\hspace{1.1em}}$ cm³
$V = \dfrac{1}{3} \times \pi \times 5^2 \times 9 = \dfrac{1}{3} \times \pi \times 25 \times 9 = \dfrac{225\pi}{3} = 75\pi$ cm³
$75\pi \approx 75 \times 3,14 \approx 236$ cm³
On répète le même geste cinq fois. Tu vas calculer des volumes de pyramides et de cônes avec la formule magique. Des petits nombres, des situations presque identiques : objectif 100% de réussite, sans stress.
Mini-exercice 1 — Pyramide à base carrée de côté 10 cm, hauteur 6 cm.
Volume = ? cm³
Aire base = $10^2 = 100$ cm²
$V = \dfrac{1}{3} \times 100 \times 6 = \dfrac{600}{3} = 200$ cm³
Mini-exercice 2 — Pyramide à base carrée de côté 8 cm, hauteur 9 cm.
Volume = ? cm³
Aire base = $8^2 = 64$ cm²
$V = \dfrac{1}{3} \times 64 \times 9 = \dfrac{576}{3} = 192$ cm³
Mini-exercice 3 — Cône de rayon 3 cm, hauteur 10 cm.
Volume = ? \pi cm³
Aire base = $\pi \times 3^2 = 9\pi$ cm²
$V = \dfrac{1}{3} \times 9\pi \times 10 = \dfrac{90\pi}{3} = 30\pi$ cm³
Mini-exercice 4 — Cône de rayon 6 cm, hauteur 5 cm.
Volume = ? \pi cm³
Aire base = $\pi \times 6^2 = 36\pi$ cm²
$V = \dfrac{1}{3} \times 36\pi \times 5 = \dfrac{180\pi}{3} = 60\pi$ cm³
Mini-exercice 5 — Pyramide à base rectangulaire 7 cm sur 4 cm, hauteur 12 cm.
Volume = ? cm³
Aire base = $7 \times 4 = 28$ cm²
$V = \dfrac{1}{3} \times 28 \times 12 = \dfrac{336}{3} = 112$ cm³
Maintenant, on monte d'un cran : des exercices comme dans un contrôle, avec des problèmes concrets, des calculs de génératrice, de hauteur et d'apothème. Prends ton temps, applique la méthode, et vérifie tes unités.
Exercice 1 (complet sur le cône)
Un cône a une hauteur $h = 12$ cm et un rayon de base $r = 9$ cm.
a) Calcule la génératrice $l$ (valeur exacte puis approchée au dixième).
b) Calcule le périmètre du cercle de base (valeur exacte puis approchée au dixième).
c) Sur le patron, quel est le rayon du secteur angulaire ?
a) $l = \sqrt{r^2 + h^2} = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15$ cm. Approchée : 15,0 cm.
b) $P = 2\pi r = 2\pi \times 9 = 18\pi$ cm. $18\pi \approx 18 \times 3,14 \approx 56,5$ cm.
c) Le rayon du secteur angulaire est la génératrice, soit 15 cm.
Exercice 2 (volumes comparés)
Une pyramide a une base rectangulaire de dimension 15 cm sur 8 cm et une hauteur de 20 cm.
a) Calcule l'aire de la base.
b) Déduis son volume.
c) Une autre pyramide a la même base mais une hauteur de 40 cm. Calcule son volume. Que remarques-tu ?
a) $\mathcal{A}_{base} = 15 \times 8 = 120$ cm².
b) $V_1 = \dfrac{1}{3} \times 120 \times 20 = \dfrac{2400}{3} = 800$ cm³.
c) $V_2 = \dfrac{1}{3} \times 120 \times 40 = \dfrac{4800}{3} = 1600$ cm³. $V_2 = 2 \times V_1$ : quand on double la hauteur, le volume double.
Exercice 3 (problème : gobelet conique)
Un gobelet a la forme d'un cône de diamètre d'ouverture 8 cm et de hauteur 11 cm.
a) Quel est le rayon de l'ouverture ?
b) Calcule le volume de liquide qu'il peut contenir à ras bord (valeur exacte puis approchée au mL près, $1$ mL = $1$ cm³).
c) S'il est rempli aux deux tiers, quel volume de liquide contient-il (arrondi au mL) ?
a) $r = \dfrac{8}{2} = 4$ cm.
b) $V = \dfrac{1}{3} \times \pi \times 4^2 \times 11 = \dfrac{1}{3} \times \pi \times 16 \times 11 = \dfrac{176\pi}{3}$ cm³. $\dfrac{176\pi}{3} \approx \dfrac{176 \times 3,14}{3} \approx 184$ mL.
c) $V_{2/3} = \dfrac{2}{3} \times 184 \approx 123$ mL.
Exercice 4 (retrouver la hauteur)
Une pyramide à base carrée de côté 10 cm a un volume de 600 cm³.
a) Exprime le volume en fonction de la hauteur $h$.
b) Déduis la valeur exacte de $h$.
c) Calcule l'apothème $a$ d'une face (valeur exacte puis arrondie au mm).
a) $\mathcal{A}_{base} = 10^2 = 100$ cm². $V = \dfrac{1}{3} \times 100 \times h = \dfrac{100h}{3}$.
b) $\dfrac{100h}{3} = 600 \implies 100h = 1800 \implies h = 18$ cm.
c) $a = \sqrt{h^2 + (c/2)^2} = \sqrt{18^2 + 5^2} = \sqrt{324 + 25} = \sqrt{349}$ cm. $\sqrt{349} \approx 18,7$ cm.
Tu maîtrises les volumes et les patrons. Voyons maintenant deux extensions : retrouver le rayon d'un cône connaissant son volume et sa hauteur, et comparer les volumes de solides emboîtés. Ce sont des astuces qu'on retrouvera en 3e.
Connaissant le volume et une dimension, on peut isoler l'inconnue dans la formule.
Exemple : un cône a $V = 300\pi$ cm³ et $h = 10$ cm. On cherche $r$.
$V = \dfrac{1}{3} \pi r^2 h \implies 300\pi = \dfrac{1}{3} \pi r^2 \times 10 \implies 300 = \dfrac{10}{3} r^2 \implies r^2 = 90 \implies r = \sqrt{90} = 3\sqrt{10}$ cm.
Un grand cône contenant un petit cône (section parallèle à la base). Si on connaît le rapport de réduction $k$, le volume du petit cône est $k^3$ fois celui du grand.
Exercice 1 (retrouver le rayon)
Un cône a un volume de $150\pi$ cm³ et une hauteur de 18 cm. Détermine la valeur exacte du rayon de sa base.
$V = \dfrac{1}{3} \pi r^2 h \implies 150\pi = \dfrac{1}{3} \pi r^2 \times 18 \implies 150\pi = 6\pi r^2 \implies r^2 = 25 \implies r = 5$ cm.
Exercice 2 (pyramides emboîtées)
Une pyramide régulière à base carrée de côté 12 cm et hauteur 16 cm contient une autre pyramide réduite de rapport $k = 0,5$.
a) Calcule le volume de la grande pyramide.
b) Déduis le volume de la petite pyramide en utilisant le coefficient $k^3$.
c) Vérifie en calculant le volume de la petite pyramide directement avec ses dimensions.
a) $\mathcal{A}_{base grande} = 12^2 = 144$ cm². $V_{grand} = \dfrac{1}{3} \times 144 \times 16 = \dfrac{2304}{3} = 768$ cm³.
b) $V_{petit} = k^3 \times V_{grand} = (0,5)^3 \times 768 = 0,125 \times 768 = 96$ cm³.
c) Petit côté = $12 \times 0,5 = 6$ cm ; petite hauteur = $16 \times 0,5 = 8$ cm.
Aire base petit = $6^2 = 36$ cm². $V = \dfrac{1}{3} \times 36 \times 8 = 96$ cm³. C'est cohérent.
Exercice 3 (optimisation)
On dispose de deux cônes : l'un de rayon 6 cm et hauteur 10 cm, l'autre de rayon 10 cm et hauteur 6 cm. Quel est celui qui a le plus grand volume ? Justifie par calcul et compare.
Cône 1 : $V_1 = \dfrac{1}{3} \times \pi \times 6^2 \times 10 = \dfrac{1}{3} \times 360\pi = 120\pi$ cm³.
Cône 2 : $V_2 = \dfrac{1}{3} \times \pi \times 10^2 \times 6 = \dfrac{1}{3} \times 600\pi = 200\pi$ cm³.
Comme $200\pi > 120\pi$, le cône 2 a un volume plus grand, l'influence du rayon (élevé au carré) est plus forte que celle de la hauteur.
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