Pas de panique. Même si tu n'as jamais entendu parler du cosinus, on va y aller pas à pas. Avant de plonger, on rafraîchit deux indispensables que tu as vus en 5e : comment on mesure un angle et comment on reconnaît les côtés d'un triangle rectangle. C'est notre rampe de lancement ; maîtrise ça, et le cosinus deviendra juste une nouvelle façon de jouer avec ces ingrédients.

Prérequis : Angle et triangle rectangle

Un angle se mesure en degrés avec un rapporteur. L'angle droit est l'angle parfait : il fait 90°, on le marque par un petit carré dans le coin du triangle.

Triangle rectangle : un triangle qui possède un angle droit. Les trois côtés ont des noms très précis :

  • Hypoténuse : le côté le plus long, toujours en face de l'angle droit.
  • Côté adjacent à un angle aigu : le côté qui touche l'angle (son sommet) mais qui n'est PAS l'hypoténuse.
  • Côté opposé à un angle aigu : le côté qui est en face de l'angle (on en reparlera plus tard en 3e).

Le cosinus : l'idée et la formule CAH

Le cosinus est un outil qui permet de lier un angle aigu d'un triangle rectangle au rapport de deux longueurs. Sa valeur est toujours un nombre entre 0 et 1.

Définition : Dans un triangle rectangle, le cosinus d'un angle aigu est le rapport (la division) :

cos(angle) = (côté adjacent) / (hypoténuse)

Moyen mnémotechnique : CAH (Cosinus = Adjacent sur Hypoténuse).

Utilisation : Selon ce que tu connais, cette formule permet de calculer une longueur (le côté adjacent OU l'hypoténuse) ou de trouver la mesure de l'angle (avec la fonction arccos de la calculatrice).

Première utilisation : comment ça marche

On fait le point sur les deux directions possibles :

  • Calculer une longueur : tu connais un angle et un côté. Tu remplaces dans la formule et tu isoles l'inconnue. Exemple : côté adjacent = hypoténuse × cos(angle).
  • Calculer un angle : tu connais les deux longueurs. Tu calcules leur rapport, puis tu tapes arccos(rapport) (ou cos-1) sur ta calculatrice en mode DEGRÉS.

Erreurs à esquiver absolument :

  • Inverser la fraction : cos = adj/hyp, JAMAIS hyp/adj.
  • Prendre le côté opposé pour l'adjacent.
  • Calculatrice en mode RADIANS : vérifie toujours le mode DEG.

À toi de jouer

1. Le triangle ABC est rectangle en C. Indique le nom des côtés en complétant les phrases (utilise les lettres AB, AC ou BC). L'hypoténuse est . Le côté adjacent à l'angle A est . Le côté adjacent à l'angle B est .
Corrigé
L'hypoténuse est AB. Le côté adjacent à l'angle A est AC. Le côté adjacent à l'angle B est BC.
2. Complète la formule du cosinus de l'angle A : $\cos(\hat{A}) = \frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}}$. En utilisant les longueurs AC = 4 cm et AB = 5 cm, calcule $\cos(\hat{A})$ sous forme d'une fraction simplifiée, puis écris sa valeur décimale : .
Corrigé
$\cos(\hat{A}) = \frac{AC}{AB}$. $\cos(\hat{A}) = \frac{4}{5} = 0,8$.
3. Dans le triangle DEF rectangle en F, DF = 6 cm et l'angle D = 37°. Pour calculer la longueur DE (l'hypoténuse), on a la relation : $\cos(\hat{D}) = \frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}}$. Donc $DE = \frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\cos(\hat{D})}$. En utilisant $\cos(37°) \approx 0,8$, calcule DE (arrondis au dixième) : $DE \approx \frac{6}{\underline{\hspace{1.1em}}} \approx \underline{\hspace{1.1em}}$ cm.
Corrigé

Dans le triangle $DEF$ rectangle en $F$ :
- L'hypoténuse est le côté $[DE]$.
- Le côté adjacent à l'angle $\hat{D}$ est $[DF]$.
- Le côté opposé à l'angle $\hat{D}$ est $[EF]$.

La relation du cosinus pour l'angle $\hat{D}$ est :
$\cos(\hat{D}) = \frac{DF}{DE}$

On isole la longueur de l'hypoténuse $DE$ :
$DE = \frac{DF}{\cos(\hat{D})}$

Attention : L'énoncé indique $EF = 6$ cm, mais la formule du cosinus de l'angle $\hat{D}$ fait intervenir le côté adjacent $DF$. Pour pouvoir compléter le calcul de l'énoncé ($DE \approx \frac{6}{\underline{\hspace{1.1em}}}$), on doit supposer que c'est le côté $DF$ qui mesure $6$ cm.

En utilisant $\cos(37°) \approx 0,8$, tu obtiens :
$DE \approx \frac{6}{0,8} \approx 7,5$ cm.

Ah, la piqûre de rappel ! Tu te souviens sûrement de « CAH » et de ce triangle avec son étiquette 'hypoténuse' et son étiquette 'adjacent'. On va remettre tout ça en ordre avec une méthode pas-à-pas qui transforme le charabia en recette de cuisine. Ensuite, on applique direct.

Résumé du cours et méthode pas-à-pas

Cosinus (CAH) : $\cos(\text{angle}) = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypoténuse}}$

Méthode pour résoudre UN exercice :

  1. Identifier l'angle droit et nommer le triangle.
  2. Repérer l'hypoténuse (face à l'angle droit, le plus grand).
  3. Choisir l'angle qui t'intéresse.
  4. Trouver le côté adjacent à CET angle (il touche l'angle sans être l'hypoténuse).
  5. Écrire la formule $\cos = \frac{adj}{hyp}$ en remplaçant par les noms de côtés.
  6. Remplacer les longueurs ou le cosinus connus. Isoler l'inconnue par un produit en croix.
  7. Calculer : pour une longueur, tape sur la calculatrice ; pour un angle, calcule le rapport puis tape $\arccos$ (ou $\cos^{-1}$).

Les deux sens, en clair :

  • Sens direct (trouver une longueur) : « J'ai un angle et un côté, je veux un autre côté. » Ex: adj $= hyp \times \cos(angle)$.
  • Sens réciproque (trouver un angle) : « J'ai deux côtés, je veux l'angle. » Ratio = adj/hyp, puis angle = $\arccos(ratio)$.

À toi de jouer

1. Dans le triangle ABC rectangle en C, AB = 10 cm et $\hat{A} = 48°$. On cherche AC (côté adjacent à A).
Étape 1 : Écris la formule avec les lettres : $\cos(\hat{A}) = \frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}}$.
Étape 2 : Remplace ce que tu connais : $\cos(48°) = \frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{10}$.
Étape 3 : Isole AC : $AC = 10 \times \underline{\hspace{1.1em}}$.
Étape 4 : Utilise ta calculatrice pour trouver $\cos(48°) \approx 0,669$, puis calcule et arrondis au dixième : $AC \approx \underline{\hspace{1.1em}}$ cm.
Corrigé
Étape 1 : $\cos(\hat{A}) = \frac{AC}{AB}$.
Étape 2 : $\cos(48°) = \frac{AC}{10}$.
Étape 3 : $AC = 10 \times \cos(48°)$.
Étape 4 : $AC \approx 10 \times 0,669 \approx 6,7$ cm.
2. Dans le triangle DEF rectangle en F, DF = 6 cm et DE = 8 cm. On cherche l'angle $\hat{D}$.
Étape 1 : Écris la formule pour l'angle D : $\cos(\hat{D}) = \frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}}$.
Étape 2 : Remplace les longueurs : $\cos(\hat{D}) = \frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ (simplifie si possible).
Étape 3 : Calcule ce rapport, puis tape $\arccos(\underline{\hspace{1.1em}})$ (ou $\cos^{-1}$) sur ta calculatrice. Arrondis au dixième de degré : $\hat{D} \approx \underline{\hspace{1.1em}} °$.
Corrigé
Étape 1 : $\cos(\hat{D}) = \frac{DF}{DE}$.
Étape 2 : $\cos(\hat{D}) = \frac{6}{8} = 0,75$.
Étape 3 : $\hat{D} = \arccos(0,75) \approx 41,4 °$.
3. Soit le triangle RST rectangle en T, avec $RS = 13$ cm et $RT = 5$ cm. Pour calculer l'angle $\hat{R}$, tu dois choisir les bons côtés.
Le côté adjacent à $\hat{R}$ est , l'hypoténuse est . Donc $\cos(\hat{R}) = \frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}}$. En utilisant $\arccos$, on trouve $\hat{R} \approx \underline{\hspace{1.1em}} °$ (arrondi au dixième).
Corrigé
Le côté adjacent à $\hat{R}$ est RT. L'hypoténuse est RS. Donc $\cos(\hat{R}) = \frac{RT}{RS} = \frac{5}{13} \approx 0,3846$. $\hat{R} \approx 67,4°$.

Maintenant, on automatise. Cinq exos quasi-jumeaux, le même muscle. L'objectif : que la formule coule de source et que le produit en croix « adj = hyp × cos(angle) » devienne un réflexe. Allez, en rythme !

À toi de jouer

1. Calcule $\cos(\hat{A})$ dans le triangle ABC rectangle en C. $AC = 6$ cm, $AB = 10$ cm. $\cos(\hat{A}) = \frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ (simplifie la fraction).
Corrigé
$\cos(\hat{A}) = \frac{AC}{AB} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} = 0,6$.
2. Calcule $\cos(\hat{B})$ dans le triangle ABC rectangle en C. $BC = 4,5$ cm, $AB = 7,5$ cm. $\cos(\hat{B}) = \frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ (décimale arrondie au centième).
Corrigé
$\cos(\hat{B}) = \frac{BC}{AB} = \frac{4,5}{7,5} = 0,6$.
3. Calcule la longueur manquante. Triangle rectangle, hypoténuse = $12$ cm, angle = $25°$. Calcule le côté adjacent. $adj = \underline{\hspace{1.1em}} \times \cos(\underline{\hspace{1.1em}}) \approx 12 \times 0,906 \approx \underline{\hspace{1.1em}}$ cm (arrondi au dixième).
Corrigé
$adj = 12 \times \cos(25°) \approx 12 \times 0,9063 \approx 10,9$ cm.
4. Calcule la longueur manquante. Triangle rectangle, hypoténuse = $15$ cm, angle = $50°$. Calcule le côté adjacent. $adj = \underline{\hspace{1.1em}} \times \cos(\underline{\hspace{1.1em}}) \approx 15 \times 0,643 \approx \underline{\hspace{1.1em}}$ cm (arrondi au dixième).
Corrigé
$adj = 15 \times \cos(50°) \approx 15 \times 0,6428 \approx 9,6$ cm.
5. Calcule la longueur manquante. Triangle rectangle, côté adjacent = $8$ cm, angle = $40°$. Calcule l'hypoténuse. $hyp = \frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\cos(\underline{\hspace{1.1em}})} \approx \frac{8}{0,766} \approx \underline{\hspace{1.1em}}$ cm (arrondi au dixième).
Corrigé
$hyp = \frac{8}{\cos(40°)} \approx \frac{8}{0,7660} \approx 10,4$ cm.

Te voilà prêt pour le format contrôle. Ce sont des problèmes complets, avec des schémas à interpréter, des arrondis à ne pas oublier et cette question qui fait souvent la différence : savoir si on doit utiliser le cosinus pour calculer une longueur ou pour retrouver un angle. À toi de jouer !

À toi de jouer

1. Un triangle ABC est rectangle en C. On donne AB = 13 cm et BC = 5 cm.
1) Fais un schéma à main levée.
2) Calcule $\cos(\hat{B})$ sous forme d'une fraction irréductible.
3) Déduis-en $\cos(\hat{A})$ sachant que $\hat{A} + \hat{B} = 90°$ (aide : l'adjacent de l'un devient l'opposé de l'autre, mais pour l'instant on te donne l'indice que dans un triangle rectangle, $\cos(\hat{A}) = \sin(\hat{B})$ ; ici $\cos(\hat{A}) = \frac{AC}{AB}$ directement).
4) Calcule la mesure de l'angle $\hat{B}$ au dixième de degré près.
Corrigé

1) Schéma à main levée
Tu peux dessiner un triangle rectangle en C. Indique l'angle droit au sommet C, puis note les longueurs connues sur ton schéma : l'hypoténuse $AB = 13$ cm et le côté adjacent à l'angle $\hat{B}$, $BC = 5$ cm.

2) Calcul de $\cos(\hat{B})$
Dans le triangle ABC rectangle en C, le cosinus de l'angle $\hat{B}$ est le rapport du côté adjacent sur l'hypoténuse :
$\cos(\hat{B}) = \frac{BC}{AB} = \frac{5}{13}$
Cette fraction est déjà sous forme irréductible car 5 et 13 sont des nombres premiers.

3) Déduction de $\cos(\hat{A})$
Pour calculer $\cos(\hat{A}) = \frac{AC}{AB}$, tu as d'abord besoin de déterminer la longueur du côté AC. Le triangle ABC étant rectangle en C, tu peux appliquer le théorème de Pythagore :
$AB^2 = AC^2 + BC^2$
$13^2 = AC^2 + 5^2$
$169 = AC^2 + 25$
$AC^2 = 169 - 25 = 144$
Puisque AC est une longueur, c'est un nombre positif, donc :
$AC = \sqrt{144} = 12$ cm.
Tu obtiens ainsi :
$\cos(\hat{A}) = \frac{AC}{AB} = \frac{12}{13}$
(Remarque : l'indice de l'énoncé contenait une petite erreur, on a bien en réalité $\cos(\hat{A}) = \frac{AC}{AB} = \frac{12}{13}$).

4) Calcul de la mesure de l'angle $\hat{B}$
Puisque $\cos(\hat{B}) = \frac{5}{13}$, tu peux utiliser la touche $\cos^{-1}$ (ou $\text{Arccos}$) de ta calculatrice :
$\hat{B} = \text{Arccos}\left(\frac{5}{13}\right) \approx 67,4°$ (arrondi au dixième de degré près).

2. Un avion décolle et suit une trajectoire rectiligne qui fait un angle de $30°$ avec l'horizontale. Après avoir parcouru $1500$ mètres en l'air (l'hypoténuse), quelle distance horizontale a-t-il couverte ? Arrondis au mètre près.
Corrigé
Distance horizontale = côté adjacent. $adj = hyp \times \cos(30°) = 1500 \times \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 1500 \times 0,866 = 1299$ mètres.
3. Le toboggan du parc fait une glissade de $3,5$ m de long. La distance horizontale entre le pied du toboggan et le pied de l'échelle verticale est de $2,8$ m.
1) Schématise la situation (triangle rectangle).
2) Calcule $\cos(\alpha)$ où $\alpha$ est l'angle entre le toboggan et le sol.
3) Détermine l'angle $\alpha$ (arrondi au degré).
Corrigé
1) Triangle rectangle : hypoténuse = 3,5 m (toboggan), adjacent = 2,8 m (sol).
2) $\cos(\alpha) = \frac{2,8}{3,5} = 0,8$.
3) $\alpha = \arccos(0,8) \approx 36,9°$, soit environ 37°.
4. Dans le triangle EFG rectangle en G, EF = 14,5 cm et $\hat{E} = 25°$. Calcule la longueur EG, puis la longueur FG. Rédige ta démarche et arrondis chaque résultat au millimètre.
Corrigé

Dans le triangle $EFG$ rectangle en $G$, le côté $[EF]$ est l'hypoténuse.

Calcul de la longueur $EG$ :
Le côté $[EG]$ est le côté adjacent à l'angle $\hat{E}$.
Tu peux écrire :
$\cos(\hat{E}) = \frac{EG}{EF}$
$\cos(25°) = \frac{EG}{14,5}$
$EG = 14,5 \times \cos(25°)$
$EG \approx 13,1$ cm (soit $131$ mm).

Calcul de la longueur $FG$ :
Dans un triangle rectangle, les deux angles aigus sont complémentaires (leur somme fait $90°$). Tu peux donc calculer la mesure de l'angle $\hat{F}$ :
$\hat{F} = 90° - 25° = 65°$.
Le côté $[FG]$ est le côté adjacent à l'angle $\hat{F}$.
Tu peux écrire :
$\cos(\hat{F}) = \frac{FG}{EF}$
$\cos(65°) = \frac{FG}{14,5}$
$FG = 14,5 \times \cos(65°)$
$FG \approx 6,1$ cm (soit $61$ mm).

Remarque : Tu pouvais aussi utiliser le théorème de Pythagore ($FG^2 = EF^2 - EG^2$), mais utiliser le cosinus de l'angle complémentaire évite d'utiliser la valeur arrondie de $EG$ et te garantit un résultat plus précis.

5. Un tableau rectangulaire de 2 mètres de haut est posé contre un mur. Il s'incline vers l'avant. Vu de profil, il forme un triangle rectangle avec le sol : la hauteur du mur à l'endroit où il touche est de $1,80$ m. L'hypoténuse est le tableau lui-même (2 m).
1) Quel est l'angle d'inclinaison du tableau par rapport au mur ?
Indication : Identifie le côté adjacent à l'angle par rapport au mur.
2) De quelle distance le pied du tableau a-t-il avancé par rapport au mur ?
Corrigé
1) Par rapport au mur, le côté adjacent à l'angle est la hauteur (1,80 m), hypoténuse = 2 m. $\cos(\theta) = \frac{1,80}{2} = 0,9$. $\theta = \arccos(0,9) \approx 25,8°$.
2) Distance du pied = côté opposé. Par Pythagore : $d = \sqrt{2^2 - 1,8^2} = \sqrt{4 - 3,24} = \sqrt{0,76} \approx 0,87$ m.

Tu maîtrises le cosinus ? Alors en 3e, tu vas rencontrer ses deux cousins : le sinus et la tangente. Comme le cosinus, ils lient un angle à DEUX côtés, mais en en choisissant d'autres. On va goûter à la totale avec un exercice qui vous mélange tous, puis on utilisera les relations entre ces trois-là pour résoudre un problème sans même avoir besoin de la calculatrice pour les angles !

Un aperçu du trio de 3e : SOH CAH TOA

Dans un triangle rectangle, en plus du cosinus (adjacent/hypoténuse), on définit :

  • Sinus (sin) : opposé / hypoténuse (SOH).
  • Tangente (tan) : opposé / adjacent (TOA).

Lien fondamental : $(\cos(\theta))^2 + (\sin(\theta))^2 = 1$. Grâce à ça, si tu connais le cosinus, tu peux trouver le sinus (et vice versa) sans calculer l'angle !

À toi de jouer

1. Dans un triangle rectangle, un angle aigu $\theta$ a pour cosinus $0,6$. Sans calculer la valeur de l'angle, calcule son sinus en utilisant la relation $(\cos(\theta))^2 + (\sin(\theta))^2 = 1$. Écris les étapes. $\sin(\theta) = \sqrt{1 - \underline{\hspace{1.1em}}^2} = \sqrt{1 - \underline{\hspace{1.1em}}} = \sqrt{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
$\sin(\theta) = \sqrt{1 - 0,6^2} = \sqrt{1 - 0,36} = \sqrt{0,64} = 0,8$.
2. Un triangle rectangle a une hypoténuse de 25 cm. L'un des angles aigus a un cosinus de $\frac{7}{25}$.
1) Calcule la longueur du côté adjacent à cet angle.
2) À l'aide de la relation $(\cos)^2 + (\sin)^2 = 1$, déduis le sinus de cet angle, puis la longueur du côté opposé.
3) Vérifie avec le théorème de Pythagore que tout est cohérent.
Corrigé
1) $adj = 25 \times \frac{7}{25} = 7$ cm.
2) $\sin^2 = 1 - (\frac{7}{25})^2 = 1 - \frac{49}{625} = \frac{576}{625}$. Donc $\sin = \frac{24}{25}$. Côté opposé $= 25 \times \frac{24}{25} = 24$ cm.
3) $7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625$, et $25^2 = 625$. Vérifié.
3. Pour aller plus loin : un géomètre mesure l'angle d'élévation du sommet d'une tour depuis un point au sol : $35°$. Il recule de 50 mètres et mesure à nouveau l'angle : $25°$. La hauteur $h$ de la tour et la distance initiale $d$ sont inconnues.
1) Écris deux équations utilisant la tangente (opposé/adjacent) pour chaque mesure.
2) Résous le système pour trouver la hauteur de la tour. (Tu peux poser $\tan(35°) \approx 0,7$ et $\tan(25°) \approx 0,47$).
Corrigé
1) $\tan(35°) = \frac{h}{d} \Rightarrow 0,7 = \frac{h}{d}$. $\tan(25°) = \frac{h}{d+50} \Rightarrow 0,47 = \frac{h}{d+50}$.
2) De la 1re : $h = 0,7d$. Substituée dans la 2e : $0,47(d+50) = 0,7d \Rightarrow 0,47d + 23,5 = 0,7d \Rightarrow 0,23d = 23,5 \Rightarrow d \approx 102,2$ m. $h \approx 0,7 \times 102,2 \approx 71,5$ m.