V VIDYALAYA · Soutien scolaire
Mathématiques4eGrandeurs et mesuresExercices + corrigé

Cosinus d'un angle aigu — Exercices

Lire un cosinus, calculer un côté, trouver un angle, résoudre un problème concret. Corrigé en fin de fiche.
⏱ ~25 min✎ Calculatrice autorisée (mode DEGRÉS)
1Lire le cosinus/ 3 pts
Le triangle $ABC$ est rectangle en $C$, avec $BC = 3$ cm, $AC = 4$ cm et $AB = 5$ cm.
  1. Écrire $\cos(\hat{A})$ sous forme d'une fraction irréductible, puis donner sa valeur décimale.
  2. Écrire $\cos(\hat{B})$ sous forme d'une fraction irréductible, puis donner sa valeur décimale.
  3. À l'aide de la calculatrice, vérifier que $\hat{A} + \hat{B} = 90^{\circ}$.
2Trouver le côté adjacent/ 3 pts
Le triangle $ABC$ est rectangle en $C$. Calculer $AC$. Arrondir au dixième de centimètre.
  1. $AB = 10$ cm et $\hat{A} = 48^{\circ}$.
  2. $AB = 7{,}5$ cm et $\hat{A} = 30^{\circ}$.
  3. $AB = 12$ cm et $\hat{A} = 61^{\circ}$.
3Trouver l'hypoténuse/ 3 pts
Le triangle $DEF$ est rectangle en $F$. Calculer $DE$. Arrondir au dixième de centimètre.
  1. $DF = 6$ cm et $\hat{D} = 37^{\circ}$.
  2. $DF = 9$ cm et $\hat{D} = 55^{\circ}$.
  3. $DF = 4{,}8$ cm et $\hat{D} = 22^{\circ}$.
4Trouver un angle/ 3 pts
Le triangle $RST$ est rectangle en $T$. Calculer $\hat{R}$. Arrondir au dixième de degré.
  1. $RS = 13$ cm et $RT = 5$ cm.
  2. $RS = 8$ cm et $RT = 6$ cm.
  3. $RS = 11$ cm et $RT = 7$ cm.
5Problème — Le toboggan/ 8 pts

Un toboggan a une longueur de glissade de $3$ m. La distance horizontale entre son pied et la base du montant vertical est de $2{,}4$ m. On note $\alpha$ l'angle que fait la glissade avec l'horizontale.

  1. Faire un schéma légendé du triangle rectangle correspondant, en y indiquant les longueurs connues et l'angle $\alpha$.
  2. Identifier l'hypoténuse et le côté adjacent à $\alpha$ dans ce triangle.
  3. Calculer $\cos(\alpha)$ en justifiant.
  4. En déduire la valeur de $\alpha$ arrondie au degré.
Corrigé détaillé
1Lire le cosinus
a) \(\cos(\hat{A}) = \dfrac{AC}{AB} = \dfrac{4}{5} =\) \(0{,}8\)
b) \(\cos(\hat{B}) = \dfrac{BC}{AB} = \dfrac{3}{5} =\) \(0{,}6\)
c) \(\arccos(0{,}8) \approx 36{,}9^{\circ} \quad \text{et} \quad \arccos(0{,}6) \approx 53{,}1^{\circ}\) \(36{,}9^{\circ} + 53{,}1^{\circ} = 90^{\circ} \checkmark\)
2Trouver le côté adjacent
a) \(AC = AB \times \cos(48^{\circ}) = 10 \times 0{,}6691 \approx\) \(6{,}7 \text{ cm}\)
b) \(AC = 7{,}5 \times \cos(30^{\circ}) = 7{,}5 \times 0{,}8660 \approx\) \(6{,}5 \text{ cm}\)
c) \(AC = 12 \times \cos(61^{\circ}) = 12 \times 0{,}4848 \approx\) \(5{,}8 \text{ cm}\)
3Trouver l'hypoténuse
a) \(DE = \dfrac{DF}{\cos(\hat{D})} = \dfrac{6}{\cos(37^{\circ})} = \dfrac{6}{0{,}7986} \approx\) \(7{,}5 \text{ cm}\)
b) \(DE = \dfrac{9}{\cos(55^{\circ})} = \dfrac{9}{0{,}5736} \approx\) \(15{,}7 \text{ cm}\)
c) \(DE = \dfrac{4{,}8}{\cos(22^{\circ})} = \dfrac{4{,}8}{0{,}9272} \approx\) \(5{,}2 \text{ cm}\)
4Trouver un angle
a) \(\cos(\hat{R}) = \dfrac{RT}{RS} = \dfrac{5}{13} \approx 0{,}3846 \quad \Rightarrow \quad \hat{R} = \arccos(0{,}3846) \approx\) \(67{,}4^{\circ}\)
b) \(\cos(\hat{R}) = \dfrac{RT}{RS} = \dfrac{6}{8} = 0{,}75 \quad \Rightarrow \quad \hat{R} = \arccos(0{,}75) \approx\) \(41{,}4^{\circ}\)
c) \(\cos(\hat{R}) = \dfrac{RT}{RS} = \dfrac{7}{11} \approx 0{,}6364 \quad \Rightarrow \quad \hat{R} = \arccos(0{,}6364) \approx\) \(50{,}5^{\circ}\)
5Problème — Le toboggan
1) \(\text{Triangle rectangle : angle } \alpha \text{ à la base, hypoténuse (glissade) = 3 m, côté adj. (horiz.) = 2{,}4 m.}\) \(\text{(schéma légendé)}\)
2) \(\text{Hypoténuse} = 3 \text{ m (la glissade, opposée à l'angle droit).} \quad \text{Côté adj. à } \alpha = 2{,}4 \text{ m (distance horiz.).}\) \(\text{adj} = 2{,}4 \text{ m} \quad ; \quad \text{hyp} = 3 \text{ m}\)
3) \(\cos(\alpha) = \dfrac{\text{adj}}{\text{hyp}} = \dfrac{2{,}4}{3} =\) \(0{,}8\)
4) \(\alpha = \arccos(0{,}8) \approx\) \(37^{\circ}\)