Pas de stress ! Avant de plonger dans les probabilités, on va réviser deux notions qui te serviront tout le temps : les fractions (pour écrire une probabilité sous la forme $\frac{k}{n}$) et le comptage d'issues (pour savoir combien de résultats possibles). Ensuite, on découvre le vocabulaire des probas. C'est parti !
Les fractions (petit rappel)
Une fraction $\frac{a}{b}$ représente une division. Pour comparer ou simplifier une probabilité, on peut utiliser une fraction irréductible ou un nombre décimal. Par exemple, $\frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 0,5$. Retiens aussi que $\frac{0}{n} = 0$ et $\frac{n}{n} = 1$.
Expérience aléatoire : vocabulaire
Une expérience aléatoire est une expérience dont on ne peut pas prévoir le résultat à l'avance, mais dont tous les résultats possibles sont connus. Chaque résultat possible s'appelle une issue. L'ensemble de toutes les issues s'appelle l'univers, noté $\Omega$. Un événement est un ensemble d'issues. Exemple avec un dé à 6 faces : on lance le dé, l'univers est $\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}$. L'événement « obtenir un nombre pair » est $\{2,4,6\}$.
Probabilité et fréquence (première approche)
Si toutes les issues ont la même chance de se produire (équiprobabilité), la probabilité d'un événement $A$ est : $P(A) = \frac{\text{nombre d'issues favorables à } A}{\text{nombre total d'issues}}$. La fréquence est le rapport observé après expérience : $f(A) = \frac{\text{nombre de fois où } A \text{ est réalisé}}{\text{nombre total d'expériences}}$. Exemple : on lance une pièce équilibrée, $P(\text{Pile}) = \frac{1}{2} = 0,5$. Si on lance 10 fois et qu'on obtient 6 « Pile », la fréquence est $f = \frac{6}{10} = 0,6$. Plus on répète, plus la fréquence se rapproche de la probabilité (loi des grands nombres). Enfin, une probabilité est toujours comprise entre 0 et 1 : $0 \le P(A) \le 1$. $P(\Omega)=1$ (événement certain), $P(\varnothing)=0$ (événement impossible).
À toi de jouer
1. Un dé à 6 faces bien équilibré est lancé.
a) L'univers $\Omega$ est \{ $\underline{\hspace{1.1em}}$, $\underline{\hspace{1.1em}}$, $\underline{\hspace{1.1em}}$, $\underline{\hspace{1.1em}}$, $\underline{\hspace{1.1em}}$, $\underline{\hspace{1.1em}}$ \}.
b) L'événement $A$ : « obtenir le 3 » contient une seule issue : \{ $\underline{\hspace{1.1em}}$ \}. Donc $P(A) = \frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$.
c) L'événement $B$ : « obtenir un nombre pair » est $B = \{ \underline{\hspace{1.1em}}, \underline{\hspace{1.1em}}, \underline{\hspace{1.1em}} $ \}. Il y a $\underline{\hspace{1.1em}}$ issues favorables, donc $P(B) = \frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
a) \{1,2,3,4,5,6\}
b) A = \{3\}, 1 issue favorable, P(A)=\frac{1}{6}.
c) B = \{2,4,6\}, 3 issues favorables, P(B)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}=0,5.
2. On lance une pièce de monnaie équilibrée.
a) L'univers $\Omega$ = \{ $\underline{\hspace{1.1em}}$, $\underline{\hspace{1.1em}}$ \}.
b) Probabilité d'obtenir « Pile » : $P(\text{Pile}) = \frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$.
c) On réalise 20 lancers et on obtient 11 fois « Pile ». La fréquence de « Pile » est $f = \frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$.
d) Comparer $f$ et $P$ : la fréquence est $\underline{\hspace{1.1em}}$ (plus petite / plus grande / proche) de la probabilité.
Corrigé
a) {Pile, Face}
b) P(\text{Pile}) = \frac{1}{2} = 0,5
c) f = \frac{11}{20} = 0,55
d) proche (0,55 est proche de 0,5).
3. Une roue de loterie est divisée en 4 secteurs égaux numérotés 1, 2, 3 et 4. On fait tourner la roue.
a) Donner l'univers $\Omega$.
b) Calculer la probabilité d'obtenir le 2.
c) Calculer la probabilité d'obtenir un numéro impair.
Corrigé
a) $\Omega = \{1, 2, 3, 4\}$, 4 issues équiprobables.
b) $P(\{2\}) = \frac{1}{4} = 0,25$.
c) Issues impaires : 1 et 3, soit 2 issues favorables. $P(\text{impair}) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} = 0,5$.
Ah oui, ça commence à te revenir ! La probabilité, c'est la fraction du nombre de cas favorables sur le nombre total de cas, à condition que tous les cas soient équiprobables. Et la fréquence, c'est ce qu'on observe sur un échantillon. Voyons la méthode en détail et entraînons-nous.
Méthode : calculer une probabilité (équiprobabilité)
- Lister toutes les issues de l'univers $\Omega$ et compter le nombre total $n$.
- Vérifier que toutes les issues ont la même chance (équiprobabilité).
- Identifier les issues favorables à l'événement $A$ et les compter : $k$.
- Appliquer la formule $P(A) = \frac{k}{n}$.
- Contrôler que le résultat est bien entre 0 et 1, puis simplifier la fraction si possible, ou donner une valeur décimale.
Exemple : un dé à 6 faces, $A$ = « obtenir un nombre premier ». Issues : 2, 3, 5. Donc $k=3$, $n=6$, $P(A)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}=0,5$.
Fréquence et loi des grands nombres
La fréquence d'un événement $A$ est $f = \frac{\text{nombre de réalisations de } A}{\text{nombre total d'expériences}}$. C'est une valeur expérimentale. La loi des grands nombres dit que plus on répète l'expérience un grand nombre de fois, plus la fréquence se rapproche de la probabilité théorique. Exemple : une pièce lancée 10 fois donne 6 piles, $f=0,6$ ; lancée 1000 fois donne 498 piles, $f=0,498$ ; la probabilité est $0,5$.
À toi de jouer
1. Dans une urne, il y a 3 boules rouges, 2 boules bleues et 1 boule verte, indiscernables au toucher. On tire une boule au hasard.
a) L'univers $\Omega$ contient $\underline{\hspace{1.1em}}$ issues au total.
b) $P(\text{rouge}) = \frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ (sous forme décimale).
c) $P(\text{bleue}) = \frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$.
d) L'événement « ne pas tirer de verte » a $\underline{\hspace{1.1em}}$ issues favorables, donc $P = \frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
a) 3+2+1=6 issues.
b) P(rouge) = 3/6 = 1/2 = 0,5.
c) P(bleue) = 2/6 = 1/3 0,33.
d) Issues non vertes : 3+2=5, P=5/6 0,83.
2. On lance une pièce de monnaie 50 fois. On obtient 23 « Pile ».
a) La fréquence de « Pile » est $f = \frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$.
b) La probabilité théorique de « Pile » est $\underline{\hspace{1.1em}}$.
c) Comparaison : $f$ est $\underline{\hspace{1.1em}}$ (égale, inférieure, supérieure) à la probabilité théorique.
d) Si on lançait la pièce 1000 fois, la fréquence serait probablement $\underline{\hspace{1.1em}}$ (plus proche / plus éloignée) de 0,5.
Corrigé
a) f = 23/50 = 0,46.
b) P(Pile) = 1/2 = 0,5.
c) f est inférieure à 0,5.
d) plus proche.
3. Une roue de loterie est divisée en 8 secteurs égaux numérotés de 1 à 8 (voir figure). Calcule la probabilité des événements suivants :
a) obtenir un nombre impair,
b) obtenir un nombre strictement supérieur à 5,
c) obtenir le 7.
Corrigé
Univers Ω = {1,2,3,4,5,6,7,8}, 8 issues équiprobables.
a) Impairs : 1,3,5,7 → 4 issues, P = 4/8 = 1/2 = 0,5.
b) >5 : 6,7,8 → 3 issues, P = 3/8 = 0,375.
c) P({7}) = 1/8 = 0,125.
Cinq exos quasi identiques pour que calculer une probabilité devienne aussi naturel que compter. Même structure, juste les nombres changent. Complète les cases et vérifie tes réponses !
Rappel express
Pour un tirage équiprobable : $P(A) = \frac{\text{nb issues favorables}}{\text{nb total d'issues}}$. Ici, les issues sont les boules de couleur.
À toi de jouer
1. N°1 Une urne contient $\underline{\hspace{1.1em}}$ boules rouges, $\underline{\hspace{1.1em}}$ boules bleues et $\underline{\hspace{1.1em}}$ boules vertes. On tire une boule au hasard.
a) Nombre total d'issues : $\underline{\hspace{1.1em}}$
b) $P(\text{rouge}) = \frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
c) $P(\text{verte}) = \frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
d) $P(\text{ni rouge ni verte}) = P(\text{bleue}) = \frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
Corrigé
Composition : 2 rouges, 3 bleues, 5 vertes. Total=10.
a) 10
b) P(rouge)=2/10=1/5=0,2
c) P(verte)=5/10=1/2=0,5
d) P(bleue)=3/10=0,3
2. N°2 Une urne contient $\underline{\hspace{1.1em}}$ boules rouges, $\underline{\hspace{1.1em}}$ boules bleues et $\underline{\hspace{1.1em}}$ boules vertes. On tire une boule au hasard.
a) Nombre total d'issues : $\underline{\hspace{1.1em}}$
b) $P(\text{rouge}) = \frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
c) $P(\text{verte}) = \frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
d) $P(\text{ni rouge ni verte}) = P(\text{bleue}) = \frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
Corrigé
Composition : 4 rouges, 1 bleue, 3 vertes. Total=8.
a) 8
b) P(rouge)=4/8=1/2=0,5
c) P(verte)=3/8=0,375
d) P(bleue)=1/8=0,125
3. N°3 Une urne contient $\underline{\hspace{1.1em}}$ boules rouges, $\underline{\hspace{1.1em}}$ boules bleues et $\underline{\hspace{1.1em}}$ boules vertes. On tire une boule au hasard.
a) Nombre total d'issues : $\underline{\hspace{1.1em}}$
b) $P(\text{rouge}) = \frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
c) $P(\text{verte}) = \frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
d) $P(\text{ni rouge ni verte}) = P(\text{bleue}) = \frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
Corrigé
Composition : 5 rouges, 4 bleues, 1 verte. Total=10.
a) 10
b) P(rouge)=5/10=1/2=0,5
c) P(verte)=1/10=0,1
d) P(bleue)=4/10=2/5=0,4
4. N°4 Une urne contient $\underline{\hspace{1.1em}}$ boules rouges, $\underline{\hspace{1.1em}}$ boules bleues et $\underline{\hspace{1.1em}}$ boules vertes. On tire une boule au hasard.
a) Nombre total d'issues : $\underline{\hspace{1.1em}}$
b) $P(\text{rouge}) = \frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
c) $P(\text{verte}) = \frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
d) $P(\text{ni rouge ni verte}) = P(\text{bleue}) = \frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
Corrigé
Composition : 3 rouges, 6 bleues, 1 verte. Total=10.
a) 10
b) P(rouge)=3/10=0,3
c) P(verte)=1/10=0,1
d) P(bleue)=6/10=3/5=0,6
5. N°5 Une urne contient $\underline{\hspace{1.1em}}$ boules rouges, $\underline{\hspace{1.1em}}$ boules bleues et $\underline{\hspace{1.1em}}$ boules vertes. On tire une boule au hasard.
a) Nombre total d'issues : $\underline{\hspace{1.1em}}$
b) $P(\text{rouge}) = \frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
c) $P(\text{verte}) = \frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
d) $P(\text{ni rouge ni verte}) = P(\text{bleue}) = \frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
Corrigé
Composition : 1 rouge, 5 bleues, 4 vertes. Total=10.
a) 10
b) P(rouge)=1/10=0,1
c) P(verte)=4/10=2/5=0,4
d) P(bleue)=5/10=1/2=0,5
Fini les trous, à toi de jouer en autonomie ! Voici des exercices dans l'esprit de ton contrôle. Problèmes de roue, de sac, de fréquence, de jeux de cartes. Prends ton temps, applique la méthode et vérifie tes réponses.
À toi de jouer
1. Une roue est divisée en 10 secteurs égaux numérotés de 1 à 10 (voir figure). On la fait tourner et on relève le numéro obtenu.
a) Donner l'univers $\Omega$.
b) Calculer la probabilité d'obtenir le numéro 5.
c) Calculer la probabilité d'obtenir un numéro pair.
d) Calculer la probabilité d'obtenir un numéro strictement supérieur à 7.
Corrigé
a) $\Omega = \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10\}$, 10 issues équiprobables.
b) $P(5) = \frac{1}{10} = 0,1$.
c) Numéros pairs : 2,4,6,8,10 → 5 issues, $P(\text{pair}) = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} = 0,5$.
d) Numéros >7 : 8,9,10 → 3 issues, $P = \frac{3}{10} = 0,3$.
2. Un sac contient 4 jetons rouges, 5 jetons bleus et 1 jeton vert, indiscernables au toucher. On tire un jeton au hasard.
a) Combien d'issues au total ?
b) Calculer la probabilité de tirer un jeton rouge.
c) Calculer la probabilité de tirer un jeton qui n'est pas vert.
d) Calculer la probabilité de tirer un jeton jaune.
Corrigé
a) 4+5+1=10 issues.
b) $P(\text{rouge}) = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} = 0,4$.
c) Issues non vertes : 4+5=9, $P = \frac{9}{10} = 0,9$.
d) Aucun jeton jaune, donc $P(\text{jaune}) = 0$ (événement impossible).
3. On lance une pièce de monnaie équilibrée.
Après 20 lancers, on a obtenu 13 « Pile ».
Après 200 lancers, on a obtenu 108 « Pile ».
a) Calculer la fréquence $f_{20}$ de « Pile » pour les 20 lancers.
b) Calculer la fréquence $f_{200}$ pour les 200 lancers.
c) Quelle est la probabilité théorique d'obtenir « Pile » ? Justifier.
d) Comparer $f_{20}$, $f_{200}$ et $P(\text{Pile})$. Interpréter.
Corrigé
a) $f_{20} = \frac{13}{20} = 0,65$.
b) $f_{200} = \frac{108}{200} = 0,54$.
c) $P(\text{Pile}) = \frac{1}{2} = 0,5$, car la pièce est équilibrée : 2 issues équiprobables.
d) $f_{20} (0,65)$ est assez éloignée de 0,5 ; $f_{200} (0,54)$ s'en rapproche. Plus le nombre de lancers est grand, plus la fréquence se stabilise autour de la probabilité théorique (loi des grands nombres).
4. On tire une carte au hasard dans un jeu de 52 cartes (4 couleurs : cœur, carreau, trèfle, pique ; 13 valeurs par couleur : As, 2, ..., 10, Valet, Dame, Roi). Toutes les cartes sont équiprobables.
a) Quel est le nombre total d'issues ?
b) Calculer la probabilité de tirer un As.
c) Calculer la probabilité de tirer une carte de cœur.
d) Calculer la probabilité de tirer le Roi de pique.
Corrigé
a) 52 issues.
b) 4 As, $P(\text{As}) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13} \approx 0,077$.
c) 13 cœurs, $P(\text{cœur}) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4} = 0,25$.
d) Un seul Roi de pique, $P = \frac{1}{52} \approx 0,019$.
5. Un jeu consiste à tirer une boule dans un sac contenant 6 boules numérotées de 1 à 6. Si le numéro est pair, le joueur gagne ; sinon il perd.
a) Donner l'univers $\Omega$ et les issues gagnantes.
b) Calculer $P(\text{gagner})$ et $P(\text{perdre})$.
c) Le jeu est-il équitable ? Justifier.
d) Le forain ajoute une 7e boule numérotée 7. Recalculer $P(\text{gagner})$. Le jeu est-il encore équitable ?
Corrigé
a) $\Omega = \{1,2,3,4,5,6\}$, issues gagnantes : {2,4,6}.
b) $P(\text{gagner}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 0,5$ ; $P(\text{perdre}) = 1 - 0,5 = 0,5$.
c) Oui car les probabilités de gagner et de perdre sont égales.
d) Nouvel univers : {1,2,3,4,5,6,7}, soit 7 issues. Issues gagnantes : toujours {2,4,6} (3 issues). Donc $P(\text{gagner}) = \frac{3}{7} \approx 0,429$. Le jeu n'est plus équitable car $P(\text{gagner}) < P(\text{perdre})$.
Tu maîtrises les probas de 4e ? Alors voyons plus loin : événement contraire, expérience à deux épreuves, et estimation de probabilités non équiprobables. De quoi aborder la 3e en toute sérénité.
À toi de jouer
1. Dans un jeu de 32 cartes, on tire une carte au hasard. Soit $A$ l'événement « tirer un As ».
a) Décrire l'événement contraire $\overline{A}$ par une phrase.
b) Calculer $P(A)$.
c) Calculer $P(\overline{A})$ de deux façons : en comptant les issues favorables à $\overline{A}$, puis en utilisant la formule $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$.
Corrigé
a) $\overline{A}$ : « ne pas tirer d'As », c'est-à-dire tirer une carte qui n'est pas un As.
b) 4 As dans 32 cartes, $P(A) = \frac{4}{32} = \frac{1}{8} = 0,125$.
c) Issues favorables à $\overline{A}$ : 32 - 4 = 28, donc $P(\overline{A}) = \frac{28}{32} = \frac{7}{8} = 0,875$. Avec la formule : $P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8}$.
2. On lance deux pièces de monnaie équilibrées.
a) Construire un tableau à double entrée pour lister toutes les issues possibles. On notera P pour Pile et F pour Face.
b) Combien y a-t-il d'issues au total ?
c) Calculer la probabilité d'obtenir exactement une fois Pile.
d) Calculer la probabilité d'obtenir au moins une fois Pile.
Corrigé
a) Issues : (P,P), (P,F), (F,P), (F,F). (Le tableau est donné en figure.)
b) 4 issues.
c) Exactement une Pile : (P,F) et (F,P) → 2 issues, $P = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} = 0,5$.
d) Au moins une Pile : (P,P), (P,F), (F,P) → 3 issues, $P = \frac{3}{4} = 0,75$.
3. On dispose d'un dé cubique non équilibré (truqué). Après avoir lancé ce dé 10 000 fois, on a obtenu les résultats suivants :
Face 1 : 1 700 fois
Face 2 : 1 800 fois
Face 3 : 1 600 fois
Face 4 : 1 500 fois
Face 5 : 1 800 fois
Face 6 : 1 600 fois
a) Pour chaque face, calculer la fréquence observée (arrondir au millième).
b) Utiliser ces fréquences pour estimer la probabilité de chaque face.
c) Comparer ces probabilités estimées à celles d'un dé équilibré (1/6 ≈ 0,167 pour chaque face). Qu'en conclus-tu sur le dé ?
Corrigé
a) f1 = 1700/10000 = 0,170 ; f2 = 1800/10000 = 0,180 ; f3 = 0,160 ; f4 = 0,150 ; f5 = 0,180 ; f6 = 0,160.
b) Estimation : P(1) ≈ 0,170 ; P(2) ≈ 0,180 ; P(3) ≈ 0,160 ; P(4) ≈ 0,150 ; P(5) ≈ 0,180 ; P(6) ≈ 0,160.
c) Ces probabilités ne sont pas toutes proches de 0,167. Par exemple, la face 2 sort plus souvent (0,180) et la face 4 moins souvent (0,150). Le dé est truqué : les faces n'ont pas la même chance de sortir.