Probabilités : expérience aléatoire et fréquence — Exercices

Identifier les issues, calculer des probabilités, interpréter des fréquences. Corrigé en fin de fiche.

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1Roue de la chance/ 4 pts

Une roue est divisée en 8 secteurs égaux numérotés de 1 à 8. On fait tourner la roue et on note le numéro sur lequel elle s'arrête.

Donner l'univers $\Omega$ de cette expérience aléatoire.
Calculer la probabilité d'obtenir le numéro 5.
Calculer la probabilité d'obtenir un numéro pair.
Calculer la probabilité d'obtenir un numéro strictement supérieur à 5.

2Sac de billes/ 4 pts

Un sac contient 5 billes rouges, 3 billes bleues et 2 billes vertes, indiscernables au toucher. On tire une bille au hasard.

Quel est le nombre total d'issues ?
Calculer la probabilité de tirer une bille rouge.
Calculer la probabilité de tirer une bille qui n'est pas verte.
Calculer la probabilité de tirer une bille jaune.

3Fréquence et stabilisation/ 4 pts

On lance une pièce de monnaie équilibrée à plusieurs reprises. Après 10 lancers, on a obtenu 6 fois « Pile ». Après 100 lancers, on a obtenu 53 fois « Pile ».

Calculer la fréquence $f_{10}$ de « Pile » après 10 lancers.
Calculer la fréquence $f_{100}$ de « Pile » après 100 lancers.
Quelle est la probabilité théorique d'obtenir « Pile » ? Justifier.
Comparer $f_{10}$, $f_{100}$ et $P(\text{Pile})$. Que peut-on conclure ?

4Jeu de 32 cartes/ 4 pts

On tire au hasard une carte dans un jeu de 32 cartes (4 couleurs : cœur, carreau, trèfle, pique ; 8 valeurs par couleur : 7, 8, 9, 10, valet, dame, roi, as). Toutes les cartes ont la même probabilité d'être tirées.

Quel est le nombre total d'issues ?
Calculer la probabilité de tirer un as.
Calculer la probabilité de tirer une carte de cœur.
Calculer la probabilité de tirer le roi de pique.

5Jeu équitable ?/ 4 pts

Dans un jeu de fête foraine, un sac contient 4 boules numérotées 1, 2, 3 et 4. Un joueur tire une boule au hasard : si le numéro est pair, il gagne ; si le numéro est impair, il perd.

Donner l'univers $\Omega$ et identifier les issues gagnantes.
Calculer $P(\text{gagner})$ et $P(\text{perdre})$.
Le forain affirme : « Tu as une chance sur deux de gagner. » Est-ce exact ? Justifier.
Le forain ajoute une 5e boule numérotée 5. Recalculer $P(\text{gagner})$. Le jeu est-il encore équitable ?

Corrigé détaillé

1Roue de la chance

a) $\Omega = \{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8\}$ $8 \text{ issues équiprobables}$

b) $P(\{5\}) = \dfrac{1}{8}$ $P(\{5\}) = \dfrac{1}{8} = 0{,}125$

c) $\text{Issues paires : } \{2,\ 4,\ 6,\ 8\} \Rightarrow P = \dfrac{4}{8}$ $P(\text{pair}) = \dfrac{1}{2} = 0{,}5$

d) $\text{Issues} \gt 5 : \{6,\ 7,\ 8\} \Rightarrow P = \dfrac{3}{8}$ $P(\text{numéro} \gt 5) = \dfrac{3}{8} = 0{,}375$

2Sac de billes

a) $5 + 3 + 2 = 10$ $10 \text{ issues au total}$

b) $P(\text{rouge}) = \dfrac{5}{10}$ $P(\text{rouge}) = \dfrac{1}{2} = 0{,}5$

c) $\text{Billes non vertes : } 5 + 3 = 8 \Rightarrow P(\text{non verte}) = \dfrac{8}{10}$ $P(\text{non verte}) = \dfrac{4}{5} = 0{,}8$

d) $\text{Aucune bille jaune dans le sac.}$ $P(\text{jaune}) = 0 \quad (\text{événement impossible})$

3Fréquence et stabilisation

a) $f_{10} = \dfrac{6}{10}$ $f_{10} = 0{,}6$

b) $f_{100} = \dfrac{53}{100}$ $f_{100} = 0{,}53$

c) $\text{Pièce équilibrée : 2 issues équiprobables (Pile, Face).}$ $P(\text{Pile}) = \dfrac{1}{2} = 0{,}5$

d) $f_{10} = 0{,}6 \quad f_{100} = 0{,}53 \quad P(\text{Pile}) = 0{,}5$ $\text{Plus le nombre de lancers augmente, plus la fréquence se rapproche de la probabilité } 0{,}5.$

4Jeu de 32 cartes

a) $4 \times 8 = 32$ $32 \text{ issues}$

b) $\text{4 as (un par couleur)} \Rightarrow P(\text{as}) = \dfrac{4}{32}$ $P(\text{as}) = \dfrac{1}{8} = 0{,}125$

c) $\text{8 cartes de cœur} \Rightarrow P(\text{cœur}) = \dfrac{8}{32}$ $P(\text{cœur}) = \dfrac{1}{4} = 0{,}25$

d) $\text{1 seul roi de pique} \Rightarrow P = \dfrac{1}{32}$ $P(\text{roi de pique}) = \dfrac{1}{32} \approx 0{,}031$

5Jeu équitable ?

a) $\Omega = \{1,\ 2,\ 3,\ 4\} \quad \text{Issues gagnantes : } \{2,\ 4\}$ $2 \text{ issues gagnantes sur 4}$

b) $P(\text{gagner}) = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2} \qquad P(\text{perdre}) = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$ $P(\text{gagner}) = 0{,}5 \quad \text{et} \quad P(\text{perdre}) = 0{,}5$

c) $P(\text{gagner}) = \dfrac{1}{2}$ $\text{Oui, l'affirmation est exacte : le jeu est équitable.}$

d) $\Omega' = \{1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5\} \quad \text{Issues gagnantes : } \{2,\ 4\} \Rightarrow P'(\text{gagner}) = \dfrac{2}{5}$ $P'(\text{gagner}) = \dfrac{2}{5} = 0{,}4 \lt \dfrac{1}{2} : \text{ le jeu n'est plus équitable.}$