Tu tombes sur une interrogation en calcul littéral, mais tu n'as jamais mis les pieds dans ce chapitre ? Pas de panique, on va te rendre opérationnel vite fait. Avant de t'attaquer aux <em>x</em>, on ravive les bases : les priorités des opérations (souviens-toi, la multiplication avant l'addition !). Ensuite, tu vas découvrir la distributivité, la clé pour développer et factoriser. C'est parti !
Prérequis : priorités opératoires
Rappel : dans un calcul sans parenthèses, on effectue d'abord les multiplications et les divisions, puis les additions et les soustractions. Exemple : $3 + 5 \times 2 = 3 + 10 = 13$.
La distributivité simple
La distributivité permet de transformer un produit en une somme. Formule : $k(a + b) = k a + k b$. Avec soustraction : $k(a - b) = k a - k b$. Le nombre $k$ est distribué à chaque terme dans la parenthèse.
Développer avec des lettres
Exemple : $3(2x + 5) = 3 \times 2x + 3 \times 5 = 6x + 15$.
Factoriser : l'opération inverse
Factoriser, c'est passer d'une somme à un produit en repérant un facteur commun. Exemple : $6x + 18 = 6 \cdot x + 6 \cdot 3 = 6(x + 3)$.
À toi de jouer
1. Complète en appliquant la distributivité simple avec des nombres :
$3 \times (10 + 4) = 3 \times \underline{\hspace{1.1em}} + 3 \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}}$
Corrigé
$3 \times (10 + 4) = 3 \times 10 + 3 \times 4 = 30 + 12 = 42$
2. Même chose avec une inconnue $x$ :
$5(2x + 3) = 5 \times \underline{\hspace{1.1em}} + 5 \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}} x + \underline{\hspace{1.1em}}$
Corrigé
$5(2x + 3) = 5 \times 2x + 5 \times 3 = 10x + 15$
3. Et dans l'autre sens : factorise $6x + 12$ en complétant :
$6x + 12 = \underline{\hspace{1.1em}} \times x + \underline{\hspace{1.1em}} \times 2 = \underline{\hspace{1.1em}} (x + 2)$
Corrigé
$6x + 12 = 6 \times x + 6 \times 2 = 6(x + 2)$
Tu as déjà croisé la distributivité l'année dernière, et ces histoires de développement te reviennent ? Parfait ! On va structurer tout ça avec la méthode pas à pas pour ne plus jamais être piégé. Au programme : développer avec la distributivité simple et double, et surtout savoir factoriser en trouvant le facteur commun. Prêt à rafraîchir la mémoire ?
Double distributivité
Quand on multiplie deux expressions à deux termes : $(a+b)(c+d) = a c + a d + b c + b d$. Méthode : multiplier chaque terme de la première parenthèse par chaque terme de la seconde, puis réduire.
Méthode pour factoriser
1. Repérer le facteur commun (nombre et/ou lettre qui apparaît dans chaque terme).
2. Diviser chaque terme par ce facteur : on obtient ce qui restera dans la parenthèse.
3. Écrire : facteur commun × (termes restants).
4. Vérifier en redéveloppant.
À toi de jouer
1. Développe en utilisant la distributivité simple (attention au signe) :
$-3(y - 4) = (-3) \times \underline{\hspace{1.1em}} + (-3) \times (\underline{\hspace{1.1em}}) = \underline{\hspace{1.1em}} y + \underline{\hspace{1.1em}}$
Corrigé
$-3(y - 4) = (-3) \times y + (-3) \times (-4) = -3y + 12$
2. Développe avec la double distributivité en complétant :
$(x + 2)(x + 5) = x \times x + x \times \underline{\hspace{1.1em}} + 2 \times \underline{\hspace{1.1em}} + 2 \times \underline{\hspace{1.1em}} = x^2 + \underline{\hspace{1.1em}} x + \underline{\hspace{1.1em}} x + \underline{\hspace{1.1em}} = x^2 + \underline{\hspace{1.1em}} x + \underline{\hspace{1.1em}}$
Corrigé
$(x+2)(x+5) = x \times x + x \times 5 + 2 \times x + 2 \times 5 = x^2 + 5x + 2x + 10 = x^2 + 7x + 10$
3. Factorise en repérant le facteur commun :
$4x^2 + 8x = 4x \times \underline{\hspace{1.1em}} + 4x \times \underline{\hspace{1.1em}} = 4x(\underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}})$
Corrigé
$4x^2 + 8x = 4x \times x + 4x \times 2 = 4x(x + 2)$
C'est l'heure de faire des gammes. Cinq mini-exercices quasi identiques pour que développer devienne un automatisme. Attrape ton stylo et répète après moi.
À toi de jouer
1. 1. Développe et réduis : $2(3x + 4) = 2 \times \underline{\hspace{1.1em}} + 2 \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}} x + \underline{\hspace{1.1em}}$
Corrigé
$2(3x + 4) = 6x + 8$
2. 2. Développe et réduis : $5(x - 2) = 5 \times \underline{\hspace{1.1em}} + 5 \times (\underline{\hspace{1.1em}}) = \underline{\hspace{1.1em}} x + \underline{\hspace{1.1em}}$
Corrigé
$5(x - 2) = 5x - 10$
3. 3. Développe et réduis : $-3(2x + 5) = (-3) \times \underline{\hspace{1.1em}} + (-3) \times \underline{\hspace{1.1em}} = \underline{\hspace{1.1em}} x + \underline{\hspace{1.1em}}$
Corrigé
$-3(2x + 5) = -6x - 15$
4. 4. Développe et réduis : $x(x + 6) = \underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}} \times 6 = \underline{\hspace{1.1em}} + \underline{\hspace{1.1em}}$
Corrigé
$x(x + 6) = x^2 + 6x$
5. 5. Développe et réduis : $4(3x - 1) = 4 \times \underline{\hspace{1.1em}} + 4 \times (\underline{\hspace{1.1em}}) = \underline{\hspace{1.1em}} x + \underline{\hspace{1.1em}}$
Corrigé
$4(3x - 1) = 12x - 4$
Maintenant que tu es chaud, on monte d'un cran. Voici des exercices à la hauteur d'un contrôle ou du brevet. Tu vas devoir développer, factoriser, réduire, et même utiliser le calcul littéral pour simplifier des calculs malins. Applique la méthode, soigne les signes, et tu déchires tout.
Erreurs à éviter
• Ne pas oublier de distribuer le signe « moins » à chaque terme : $-(x - 3) = -x + 3$, pas $-x - 3$.
• Dans une double distributivité, ne pas négliger les termes croisés : $(x+4)(x+2) = x^2 + 6x + 8$, pas $x^2 + 8$.
• Pour factoriser, vérifie bien que le facteur commun est exact : $3x+6 = 3(x+2)$, pas $3(x+6)$.
À toi de jouer
1. Développe et réduis : $3(2x - 5) - 4(x + 3)$.
Corrigé
$3(2x - 5) - 4(x + 3) = 6x - 15 - 4x - 12 = 2x - 27$.
2. Développe et réduis : $(2x + 1)(x - 4)$.
Corrigé
$(2x + 1)(x - 4) = 2x^2 - 8x + x - 4 = 2x^2 - 7x - 4$.
3. Factorise : $12x^2 - 8x$.
Corrigé
$12x^2 - 8x = 4x(3x - 2)$.
4. Développe et réduis : $(x + 3)^2 - (x - 2)(x + 2)$.
Corrigé
$(x + 3)^2 = (x+3)(x+3) = x^2 + 6x + 9$ ; $(x-2)(x+2) = x^2 - 4$. Donc $(x+3)^2 - (x-2)(x+2) = x^2 + 6x + 9 - (x^2 - 4) = x^2 + 6x + 9 - x^2 + 4 = 6x + 13$.
5. Calcul malin : écris $99 \times 101$ sous la forme $(100 - 1)(100 + 1)$, développe et calcule.
Corrigé
$(100 - 1)(100 + 1) = 100^2 - 1^2 = 10\,000 - 1 = 9\,999$.
Tu te sens à l'aise ? On t'emmène maintenant en territoire inconnu (mais pas pour longtemps !). Ces exercices te donneront un avant-goût de ce que tu verras en troisième : des factorisations plus subtiles et même les premières identités remarquables. Ouvre l'œil, c'est le même principe poussé un cran plus loin.
Un aperçu des identités remarquables
En développant $(a+b)(a-b)$, on remarque que les termes en $ab$ s'annulent et il reste $a^2 - b^2$.
De même, $(a+b)^2 = (a+b)(a+b) = a^2 + 2ab + b^2$.
Ces formules seront très utiles l'année prochaine pour factoriser rapidement !
À toi de jouer
1. En écrivant $(x+5)^2 = (x+5)(x+5)$, développe et réduis. Peux-tu deviner une formule pour $(a+b)^2$ ?
Corrigé
$(x+5)^2 = x^2 + 10x + 25$. D'une manière générale, $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
2. Développe et réduis $(2x - 3)(2x + 3)$. Que constates-tu ?
Corrigé
$(2x - 3)(2x + 3) = 4x^2 - 9$. Les termes en $x$ disparaissent. C'est une différence de deux carrés.
3. En utilisant l'idée précédente, factorise $x^2 - 9$ en complétant : $x^2 - 9 = (x - \underline{\hspace{1.1em}})(x + \underline{\hspace{1.1em}})$.
Corrigé
$x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3)$.