Tu découvres tout juste cette leçon et un contrôle approche ? Pas de panique. Avant de plonger dans la multiplication et la division, on va réactiver un prérequis de 5e indispensable : le repérage et la comparaison des nombres relatifs. Ensuite, je te livre la règle des signes en deux phrases. Accroche-toi, on y va pas à pas.
Prérequis – Nombres relatifs : repérage, comparaison (5e)
Un nombre relatif est un nombre avec un signe + ou − (sauf 0). Sur une droite graduée, le 0 est au centre ; les positifs sont à droite, les négatifs à gauche. L’opposé d’un nombre est le nombre de même valeur absolue mais de signe contraire (ex : l’opposé de +3 est −3). Comparer deux nombres relatifs : celui qui est le plus à gauche sur la droite est le plus petit.
La règle des signes – multiplication et division
Pour multiplier ou diviser deux nombres relatifs, on fait deux choses :
1. On calcule la valeur absolue du résultat (le nombre sans son signe, comme si tout était positif).
2. On applique la règle des signes :
- Même signe (tous les deux positifs OU tous les deux négatifs) → le résultat est positif.
- Signes différents (un positif, un négatif) → le résultat est négatif.
Cette règle marche aussi bien pour la multiplication que pour la division.
À toi de jouer
1. 1. Sur la droite graduée ci-dessous, place les points A(+4), B(−2), C(−0,5) et D(+1,5). Complète avec les lettres.
Les points manquants sont aux abscisses $\underline{\hspace{1.1em}}$, $\underline{\hspace{1.1em}}$, $\underline{\hspace{1.1em}}$, $\underline{\hspace{1.1em}}$.
Corrigé
A à +4 (à droite), B à −2 (à gauche), C à −0,5 (juste à gauche de 0), D à +1,5 (entre 0 et 2). Sur le schéma, on peut placer les abscisses : −2, −0,5, +1,5, +4.
2. 2. Compare avec < ou >.
a) −3 … 0
b) 2,5 … −1
c) −4 … −7
d) 0 … −0,2
Corrigé
a) −3 < 0 car −3 est à gauche de 0.
b) 2,5 > −1 car 2,5 est à droite.
c) −4 > −7 car −4 est à droite de −7.
d) 0 > −0,2.
3. 3. Voici des multiplications de deux nombres relatifs. Pour chaque opération, détermine d’abord le signe du résultat en entourant + ou −, puis complète le calcul de la valeur absolue.
a) $(-5) \times 4 = \underline{\hspace{1.1em}}(5 \times 4) = \underline{\hspace{1.1em}}$
b) $(-3) \times (-6) = \underline{\hspace{1.1em}}(3 \times 6) = \underline{\hspace{1.1em}}$
c) $7 \times (-2) = \underline{\hspace{1.1em}}(7 \times 2) = \underline{\hspace{1.1em}}$
Corrigé
a) signes différents → − ; −(5×4)=−20
b) même signe → + ; +(3×6)=+18
c) signes différents → − ; −(7×2)=−14
4. 4. Même chose avec des divisions. Complète.
a) $(-12) \div 3 = \underline{\hspace{1.1em}}(12 \div 3) = \underline{\hspace{1.1em}}$
b) $24 \div (-6) = \underline{\hspace{1.1em}}(24 \div 6) = \underline{\hspace{1.1em}}$
Corrigé
a) signes différents → − ; −4
b) signes différents → − ; −4
Ah, la règle des signes te revient ? On va structurer tout ça avec une méthode claire. Tu vas voir comment enchaîner les étapes sans te tromper. On ajoute aussi le cas des produits avec plusieurs facteurs. Enfile ton armure, c’est parti.
Méthode pas à pas
Pour tout calcul de multiplication ou de division de deux nombres relatifs, suis ces deux étapes :
1. Calcul de la valeur absolue : fais le calcul comme si tous les nombres étaient positifs.
2. Détermination du signe : applique la règle « même signe → + , signes différents → − ».
C’est le même principe pour la division : $\dfrac{-a}{b} = -\dfrac{a}{b}$ si $b
eq 0$.
Produit de plusieurs facteurs
Pour un produit de plusieurs nombres relatifs, on peut généraliser :
1. Calcule le produit des valeurs absolues de tous les facteurs.
2. Compte le nombre de facteurs négatifs.
- Si ce nombre est pair : résultat positif.
- Si ce nombre est impair : résultat négatif.
À toi de jouer
1. 5. Calcule en appliquant la méthode. Complète les étapes.
a) $(-8) \times 5 = -(8 \times 5) = \underline{\hspace{1.1em}}$
b) $(-9) \times (-4) = +(9 \times 4) = \underline{\hspace{1.1em}}$
c) $\dfrac{-20}{5} = \underline{\hspace{1.1em}}(20 \div 5) = \underline{\hspace{1.1em}}$
d) $(-45) \div (-9) = \underline{\hspace{1.1em}}(45 \div 9) = \underline{\hspace{1.1em}}$
Corrigé
a) −40
b) +36
c) −(20÷5)=−4
d) +(45÷9)=+5
2. 6. Détermine d’abord le signe, puis calcule la valeur.
a) $(-2) \times 3 \times (-5) = \underline{\hspace{1.1em}}(2 \times 3 \times 5) = \underline{\hspace{1.1em}}$ (…… facteurs négatifs → …… )
b) $(-1) \times (-4) \times (-3) = \underline{\hspace{1.1em}}(1 \times 4 \times 3) = \underline{\hspace{1.1em}}$ (…… facteurs négatifs → …… )
c) $(-2) \times (-2) \times (-2) \times (-2) = \underline{\hspace{1.1em}}(2^4) = \underline{\hspace{1.1em}}$ (…… facteurs négatifs → …… )
Corrigé
a) 2 facteurs négatifs (pair) → + ; +30
b) 3 facteurs négatifs (impair) → − ; −12
c) 4 facteurs négatifs (pair) → + ; +16
3. 7. Complète les divisions suivantes.
a) $\dfrac{-24}{6} = \underline{\hspace{1.1em}}$
b) $\dfrac{-18}{-2} = \underline{\hspace{1.1em}}$
c) $\dfrac{49}{-7} = \underline{\hspace{1.1em}}$
Corrigé
a) −4
b) +9
c) −7
Maintenant que la mécanique est en place, on répète pour que ça devienne un réflexe. Voici cinq calculs très simples, quasiment identiques, avec des nombres différents. Fais-les à la suite, sans réfléchir (ou presque).
À toi de jouer
1. Calcule.
1) $(-8) \times 9 = \underline{\hspace{1.1em}}$
Corrigé
−(8×9)=−72
2. 2) $(-7) \times (-6) = \underline{\hspace{1.1em}}$
Corrigé
+(7×6)=42
3. 3) $15 \div (-3) = \underline{\hspace{1.1em}}$
Corrigé
−(15÷3)=−5
4. 4) $(-48) \div 6 = \underline{\hspace{1.1em}}$
Corrigé
−(48÷6)=−8
5. 5) $(-12) \div (-4) = \underline{\hspace{1.1em}}$
Corrigé
+(12÷4)=3
Tu maîtrises la règle, on passe la vitesse supérieure. Les exercices qui suivent ressemblent à ce que tu pourrais rencontrer en évaluation : un mélange de multiplications, divisions, produits enchaînés et un petit problème concret. Plus de trous, tu te débrouilles tout seul !
À toi de jouer
1. 8. Calcule les produits et quotients suivants.
a) $(-4) \times 7$
b) $(-12) \times (-5)$
c) $36 \div (-4)$
d) $(-54) \div (-6)$
Corrigé
a) −28
b) +60
c) −9
d) +9
2. 9. Détermine le signe puis calcule.
a) $(-2) \times 5 \times (-3) \times (-1)$
b) $(-3) \times (-2) \times (-2) \times (-2) \times (-1)$
Corrigé
a) 3 négatifs (impair) → − ; −30
b) 5 négatifs (impair) → − ; −24
3. 10. Simplifie les expressions suivantes.
a) $\dfrac{(-8) \times 3}{-2}$
b) $\dfrac{-20}{(-4) \times (-5)}$
Corrigé
a) numérateur : −24, divisé par −2 → +12
b) dénominateur : (−4)×(−5)=+20, −20÷(+20)=−1
4. 11. Un plongeur descend de 5 mètres par minute. Il part de la surface (0 m).
a) Quelle profondeur (en négatif) atteint-il en 12 minutes ?
b) Combien de minutes lui faut-il pour atteindre −75 m ?
Corrigé
a) 12 × (−5) = −60 m
b) (−75) ÷ (−5) = +15 min
5. 12. Calcule astucieusement en regroupant les signes : $(-1) \times (+2) \times (-3) \times (+4) \times (-1)$.
Corrigé
3 facteurs négatifs → signe − ; 1×2×3×4×1 = 24 → −24
Tu es déjà bien rodé ? On va étendre la règle des signes aux puissances et à la notation scientifique. De quoi briller en 3e et comprendre pourquoi (−2)<sup>3</sup> est négatif alors que (−2)<sup>2</sup> est positif. Tu verras aussi comment manipuler des grands ou petits nombres en gardant le contrôle du signe.
Puissances et règle des signes
Pour une puissance d’un nombre négatif, le résultat est :
- positif si l’exposant est pair (car les paires de signes − s’annulent),
- négatif si l’exposant est impair.
Exemples : (−3)2 = +9 ; (−3)3 = −27.
Multiplication et notation scientifique
En notation scientifique, un nombre s’écrit $a \times 10^n$ avec $1 \leq a < 10$. Pour multiplier deux nombres en notation scientifique, on multiplie les mantisses et on additionne les exposants, sans oublier la règle des signes pour la mantisse.
À toi de jouer
1. 13. Calcule en détaillant la règle des signes.
a) (−2)3 × 32 × (−1)5
b) (−4)2 ÷ (−2)3
Corrigé
a) (−2)3 = −8 ; 32 = 9 ; (−1)5 = −1. Nombre de négatifs : (−8) et (−1) → 2 (pair) donc positif : −8 × 9 × (−1) = +72.
b) (−4)2 = +16 ; (−2)3 = −8. 16 ÷ (−8) = −2.
2. 14. Écris en notation scientifique le résultat de :
(5 × 104) × (−3 × 10−2).
Puis calcule (−2 × 103) × (4 × 10−5).
Corrigé
a) 5 × (−3) = −15 ; 104 × 10−2 = 102 → −15 × 102 = −1,5 × 103.
b) (−2) × 4 = −8 ; 103 × 10−5 = 10−2 → −8 × 10−2 = −8 × 10−2 (ou −0,08 mais on garde la notation scientifique).
3. 15. Un chercheur mesure une variation de température : −1,2 × 103 degrés par minute. Il observe pendant 4 × 10−2 minutes. Quelle est la variation totale en notation scientifique ?
Corrigé
Multiplication : (−1,2 × 103) × (4 × 10−2) = (−1,2 × 4) × 103−2 = −4,8 × 101 = −48 degrés.