Pas de panique ! Même si tu n'as jamais fait ça en classe, on va te donner l'essentiel pour devenir fonctionnel pour le contrôle.<br>On rappelle d'abord deux choses de 5e : savoir vérifier si deux fractions sont égales et simplifier une fraction. Ensuite, on découvre la multiplication de fractions : c'est plus simple que l'addition, pas besoin de mettre au même dénominateur.
Rappel de 5e : égalité et simplification
Une fraction ne change pas si on multiplie ou divise son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul.
Exemple : $\frac{2}{3} = \frac{2 \times 5}{3 \times 5} = \frac{10}{15}$.
Simplifier une fraction, c'est la diviser haut et bas par un diviseur commun pour la rendre plus simple. On cherche à la rendre irréductible quand c'est possible.
Exemple : $\frac{6}{8} = \frac{6 \div 2}{8 \div 2} = \frac{3}{4}$.
Multiplication de deux fractions
Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux.
$\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}$.
Si l'un des deux est un entier $n$, on pense que $n = \frac{n}{1}$.
Avant de multiplier, on peut chercher des simplifications en diagonale entre un numérateur et un dénominateur pour alléger le calcul.
À toi de jouer
1. Complète puis calcule :
$\frac{3}{5} \times \frac{2}{7} = \frac{\underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}}} = \frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}}$.
Le résultat est-il simplifiable ? $\underline{\hspace{1.1em}}$ (oui/non).
Corrigé
$\frac{3}{5} \times \frac{2}{7} = \frac{3 \times 2}{5 \times 7} = \frac{6}{35}$. Le résultat n'est pas simplifiable (6 et 35 n'ont pas de diviseur commun autre que 1). Réponse : non.
2. Multiplie un entier et une fraction : $4 \times \frac{3}{13}$.
Complète : $4 \times \frac{3}{13} = \frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{1} \times \frac{3}{13} = \frac{\underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}}} = \frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}}$.
Corrigé
$4 \times \frac{3}{13} = \frac{4}{1} \times \frac{3}{13} = \frac{4 \times 3}{1 \times 13} = \frac{12}{13}$.
3. Applique la règle : calcule $\frac{2}{9} \times \frac{5}{4}$ et simplifie le résultat si possible.
Corrigé
$\frac{2}{9} \times \frac{5}{4} = \frac{2 \times 5}{9 \times 4} = \frac{10}{36}$. On simplifie par 2 : $\frac{10 \div 2}{36 \div 2} = \frac{5}{18}$.
On aurait aussi pu simplifier en diagonale avant : 2 et 4 ont un diviseur commun 2, on remplace 2 par 1 et 4 par 2, ce qui donne $\frac{1}{9} \times \frac{5}{2} = \frac{5}{18}$.
Ah oui, c'est ça ! On reprend la multiplication avec une méthode systématique pour simplifier dès le départ. Puis on découvre la division : le secret, c'est de multiplier par l'inverse. On te donne une recette pas-à-pas que tu vas appliquer sans hésiter.
Multiplication et simplification avant de multiplier (méthode)
Règle : $\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{a \times c}{b \times d}$.
Méthode pour simplifier avant :
1. Écris le produit sous forme d'une seule fraction $\frac{a \times c}{b \times d}$.
2. Repère un diviseur commun entre un numérateur (en haut) et un dénominateur (en bas), même s'ils ne sont pas de la même fraction (on regarde en diagonale).
3. Divise-les par ce diviseur commun.
4. Remplace les nombres d'origine par les résultats simplifiés.
5. Multiplie les nombres réduits. Tu obtiens une fraction simplifiée.
Exemple : $\frac{4}{9} \times \frac{3}{8}$. 4 et 8 ont 4 comme diviseur commun ; 3 et 9 ont 3 comme diviseur commun. On simplifie : $\frac{4 \div 4}{9 \div 3} \times \frac{3 \div 3}{8 \div 4} = \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$.
Division : multiplier par l'inverse
Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse.
L'inverse d'une fraction $\frac{c}{d}$ est $\frac{d}{c}$ (haut et bas sont échangés).
Ainsi : $\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}$.
Pour diviser un entier $n$ par une fraction $\frac{c}{d}$, on écrit $n = \frac{n}{1}$ puis on applique la règle.
Exemple : $\frac{5}{6} \div \frac{2}{3} = \frac{5}{6} \times \frac{3}{2} = \frac{5 \times 3}{6 \times 2} = \frac{15}{12} = \frac{5}{4}$.
À toi de jouer
1. Calcule $\frac{3}{4} \div \frac{1}{2}$ en complétant.
On inverse le diviseur $\frac{1}{2} \rightarrow \frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}}$.
On multiplie : $\frac{3}{4} \times \frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \frac{\underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}}} = \frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}}$.
Simplification : $\frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}}$.
Corrigé
Inverse : $\frac{2}{1}$.
$\frac{3}{4} \times \frac{2}{1} = \frac{3 \times 2}{4 \times 1} = \frac{6}{4} = \frac{3}{2}$. (simplifié par 2).
2. Divise un entier par une fraction : $6 \div \frac{3}{5}$. Écris $6 = \frac{6}{1}$ et termine.
Inverse de $\frac{3}{5}$ : $\frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}}$.
Donc $6 \div \frac{3}{5} = \frac{6}{1} \times \frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \frac{\underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}}} = \frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \underline{\hspace{1.1em}}$ (nombre entier).
Corrigé
Inverse : $\frac{5}{3}$.
$\frac{6}{1} \times \frac{5}{3} = \frac{6 \times 5}{1 \times 3} = \frac{30}{3} = 10$.
3. Utilise la méthode simplifie-avant pour calculer $\frac{15}{8} \div \frac{5}{4}$. N'oublie pas de transformer la division en multiplication par l'inverse, puis simplifie en diagonale.
Corrigé
Division → multiplication par l'inverse : $\frac{15}{8} \times \frac{4}{5}$.
On simplifie : 15 et 5 ont 5 pour diviseur commun (15→3, 5→1) ; 8 et 4 ont 4 (8→2, 4→1).
On obtient $\frac{3}{2} \times \frac{1}{1} = \frac{3}{2}$.
On ne réfléchit plus, on calcule. Cinq exercices quasi-identiques pour automatiser la mécanique. Le geste deviendra un réflexe.
À toi de jouer
1. 1. Complète et calcule :
$\frac{2}{3} \times \frac{4}{5} = \frac{\underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}}} = \frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}}$. Irréductible ? $\underline{\hspace{1.1em}}$ (oui/non).
Corrigé
$\frac{2 \times 4}{3 \times 5} = \frac{8}{15}$. 8 et 15 n'ont pas de diviseur commun autre que 1 → oui irréductible.
2. 2. Complète et calcule :
$\frac{3}{7} \times \frac{5}{2} = \frac{\underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}} \times \underline{\hspace{1.1em}}} = \frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}}$.
Corrigé
$\frac{3 \times 5}{7 \times 2} = \frac{15}{14}$.
3. 3. Simplifie avant de multiplier puis donne le résultat :
$\frac{4}{9} \times \frac{3}{8}$. Divise 4 et 8 par leur diviseur commun $\underline{\hspace{1.1em}}$, et 3 et 9 par leur diviseur commun $\underline{\hspace{1.1em}}$.
Alors $\frac{4}{9} \times \frac{3}{8} = \frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} \times \frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}} = \frac{\underline{\hspace{1.1em}}}{\underline{\hspace{1.1em}}}$.
Corrigé
4 et 8 → diviseur commun 4 (→ 1 et 2). 3 et 9 → diviseur commun 3 (→1 et 3).
On obtient $\frac{1}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$.
4. 4. Calcule : $5 \times \frac{7}{10}$. Pense à simplifier avant si possible, puis donne le résultat irréductible.
Corrigé
$5 \times \frac{7}{10} = \frac{5 \times 7}{10} = \frac{35}{10} = \frac{7}{2}$.
Ou simplifier avant : 5 et 10 ont 5 en commun, $5 \div 5 = 1$, $10 \div 5 = 2$, donc $\frac{1 \times 7}{2} = \frac{7}{2}$.
5. 5. Calcule : $\frac{6}{11} \times \frac{22}{9}$. Simplifie en diagonale et donne la fraction irréductible.
Corrigé
6 et 9 → div par 3 : 2 et 3. 11 et 22 → div par 11 : 1 et 2.
On obtient $\frac{2}{1} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$.
Tu es prêt pour le contrôle ? On enchaîne multiplication et division dans un même calcul, on résout des problèmes concrets, et on fait attention aux erreurs classiques. Sans filet !
Erreurs à éviter absolument
- Ne pas inverser le diviseur dans une division : $\frac{a}{b} \div \frac{c}{d}$ devient $\frac{a}{b} \times \frac{d}{c}$, pas $\frac{a}{b} \times \frac{c}{d}$.
- Ne pas additionner les dénominateurs : $\frac{a}{b} \times \frac{c}{d}
eq \frac{a \times c}{b + d}$. - Toujours vérifier que le résultat est une fraction irréductible. Si on peut encore simplifier, on le fait.
À toi de jouer
1. Calcule en enchaînant multiplication et division (de gauche à droite) : $\frac{2}{5} \times \frac{15}{6} \div \frac{3}{4}$.
Donne le résultat sous forme irréductible.
Corrigé
On traite d'abord la multiplication : $\frac{2}{5} \times \frac{15}{6} = \frac{2 \times 15}{5 \times 6} = \frac{30}{30} = 1$.
Puis la division : $1 \div \frac{3}{4} = 1 \times \frac{4}{3} = \frac{4}{3}$.
Autre méthode : transformer directement en inversant la division : $\frac{2}{5} \times \frac{15}{6} \times \frac{4}{3}$. Simplifications : 2 et 6 (→1 et 3), 15 et 5 (→3 et 1). On obtient $\frac{1}{1} \times \frac{3}{3} \times \frac{4}{3} = 1 \times 1 \times \frac{4}{3} = \frac{4}{3}$.
2. Une bouteille de $\frac{3}{4}$ L de soda. On verse la moitié du contenu dans un verre. Quelle quantité de soda (en litre) reste-t-il dans la bouteille ?
Écris le calcul, puis réponds.
Corrigé
Verser la moitié, c'est enlever $\frac{1}{2}$ du soda. La quantité restante correspond donc à l'autre moitié, soit $\frac{1}{2} \times \frac{3}{4} = \frac{3}{8}$ L.
Vérification : la moitié versée est $\frac{3}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{8}$. Reste $\frac{3}{4} - \frac{3}{8} = \frac{6}{8} - \frac{3}{8} = \frac{3}{8}$ L.
3. Une plaque de chocolat pèse $\frac{7}{6}$ kg. On la partage équitablement entre 4 enfants. Quelle fraction de kilogramme chaque enfant reçoit-il ?
Corrigé
Il faut diviser la masse par 4 : $\frac{7}{6} \div 4 = \frac{7}{6} \times \frac{1}{4} = \frac{7 \times 1}{6 \times 4} = \frac{7}{24}$ kg.
Chaque enfant reçoit $\frac{7}{24}$ kg.
4. Calcule l'aire du rectangle ci-dessous (longueur $\frac{5}{2}$ m, largeur $\frac{8}{5}$ m). Exprime l'aire en m².
Corrigé
Aire = longueur $\times$ largeur = $\frac{5}{2} \times \frac{8}{5} = \frac{5 \times 8}{2 \times 5}$.
Simplification : 5 et 5 s'annulent, 8 et 2 ont 2 en commun (→4 et 1). Il reste $\frac{1 \times 4}{1 \times 1} = 4$. L'aire est de 4 m².
5. Calcule : $\frac{3}{4} \times \frac{2}{3} \div \frac{5}{6}$. Simplifie au maximum.
Corrigé
On effectue de gauche à droite. $\frac{3}{4} \times \frac{2}{3} = \frac{3 \times 2}{4 \times 3} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$.
Puis $\frac{1}{2} \div \frac{5}{6} = \frac{1}{2} \times \frac{6}{5} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$.
Ou en une fois : $\frac{3}{4} \times \frac{2}{3} \times \frac{6}{5} = \frac{3 \times 2 \times 6}{4 \times 3 \times 5}$. 3 avec 3, 2 avec 4 (→1 et 2), 6 avec 2 (→3), on obtient $\frac{1 \times 1 \times 3}{1 \times 1 \times 5} = \frac{3}{5}$.
Tu veux voir plus loin ? On s'attaque à des chaînes de plusieurs fractions, on résout un problème avec équation, et on simplifie des écritures à étages. Voilà ce qui t'attend en 3e.
Fractions à étages et équations
Une fraction écrite sous la forme $\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}$ est une division de deux fractions. Elle se simplifie en $\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \times \frac{d}{c}$.
Quand un problème fait intervenir une fraction d'une fraction d'un nombre, on peut poser une équation et utiliser la multiplication pour la résoudre.
À toi de jouer
1. Simplifie l'écriture à étages : $\frac{\frac{3}{4}}{\frac{5}{6}}$. Indice : transforme-la en une division de deux fractions, puis effectue le calcul.
Corrigé
$\frac{\frac{3}{4}}{\frac{5}{6}} = \frac{3}{4} \div \frac{5}{6} = \frac{3}{4} \times \frac{6}{5} = \frac{3 \times 6}{4 \times 5} = \frac{18}{20} = \frac{9}{10}$.
2. Problème : Si je prends les $\frac{2}{3}$ de $\frac{9}{5}$ d'un nombre, j'obtiens 12. Quel est ce nombre ?
1. Pose une équation en nommant $x$ le nombre cherché.
2. Calcule $\frac{2}{3} \times \frac{9}{5}$ pour simplifier l'équation.
3. Résous l'équation obtenue.
Corrigé
Soit $x$ le nombre. L'énoncé se traduit par : $\frac{2}{3} \times \frac{9}{5} \times x = 12$.
On calcule $\frac{2}{3} \times \frac{9}{5} = \frac{2 \times 9}{3 \times 5} = \frac{18}{15} = \frac{6}{5}$.
L'équation devient $\frac{6}{5} x = 12$.
On multiplie les deux membres par l'inverse de $\frac{6}{5}$, soit $\frac{5}{6}$ :
$x = 12 \times \frac{5}{6} = \frac{12 \times 5}{6} = \frac{60}{6} = 10$.
Le nombre cherché est 10.
3. Calcule astucieusement en simplifiant en diagonale tous les facteurs possibles :
$\frac{3}{8} \times \frac{16}{9} \times \frac{2}{5} \times \frac{15}{4}$.
Regroupe toutes les fractions en une seule avant de simplifier.
Corrigé
On écrit le produit sous forme d'une unique fraction : $\frac{3 \times 16 \times 2 \times 15}{8 \times 9 \times 5 \times 4}$.
On simplifie :
- 3 (haut) avec 9 (bas) → 1 et 3.
- 16 avec 8 → 2 et 1.
- 2 avec 4 (bas) → 1 et 2.
- 15 avec 5 (bas) → 3 et 1.
On obtient $\frac{1 \times 2 \times 1 \times 3}{1 \times 3 \times 1 \times 2} = \frac{6}{6} = 1$.
Ainsi le produit vaut 1.